Deret Teleskopik adalah deret yang suku-sukunya saling menghilangkan dikarenakan adanya operasi yang saling berlawanan. Kadang deret ini juga dikenal dengan sebutan deret berjatuhan. Teknik untuk memunculkan deret teleskopik selanjutnya disebut sebagai prinsip teleskopik dan sering kali digunakan untuk menyederhanakan suatu ekspresi matematika yang panjang. Teknik seperti ini banyak dipakai saat mengerjakan soal olimpiade matematika dan soal penalaran skolastik, serta numerik.
Secara terminologi, istilah “teleskopik” sendiri diambil karena suku-suku pada deret ini menyerupai ukuran batang teleskop, besar di bagian atas, lalu mengecil di bagian bawahnya. Ini mengindikasikan bahwa nilai suku-suku pada deret tersebut semakin naik, ada juga yang semakin turun.
Apa contoh deret teleskopik? Contoh soal yang paling sederhana, misalnya, $(1+2+3+4)-(4+3+2+1)$. Perhitungannya sangat mungkin untuk dilakukan secara manual, yakni dengan cara menjumlahkan dalam kurung dulu, lalu dikurangi. Di lain sisi, kita melihat bahwa bentuk di atas sebetulnya dapat ditulis menjadi
$$(1-1)+(2-2)+(3-3)+(4-4)$$ dan mari kita gunakan pena untuk melakukan aksi coret-coret:
$$\cancel{(1-1)}+\cancel{(2-2)}+\cancel{(3-3)}+\cancel{(4-4)} = 0$$Ya, hal yang paling identik dengan deret teleskopik adalah coret-coretnya. Coret di sini artinya suku-sukunya saling menghilangkan. Jika untuk operasi penjumlahan/pengurangan, menghilangkan artinya menghasilkan nilai $0$, sedangkan untuk operasi perkalian/pembagian, menghilangkan artinya menghasilkan nilai $1.$
Nah, apakah ada contoh soal lain, mungkin yang lebih sulit? Ada, dong!
Hitunglah $$\boxed{2020+2019+2018+\cdots+3+2+1+0-1-2-3-\cdots-2018-2019.}$$Nah, prinsip kerjanya sama. Kelompokkan suku-suku yang saling menghilangkan, yaitu nilainya sama, tapi tandanya berbeda, seperti berikut.
$$\boxed{2020 + (2019-2019) + (2018-2018) +\cdots + (3-3)+(2-2)+(1-1)+0}$$Terlihat bahwa bilangan $2020$ tidak memiliki pasangan (alias jomblo). Nah, suku-suku yang di dalam kurung saling menghilangkan sehingga kita tidak perlu repot-repot lagi menghitung secara manual. Pada akhirnya, kita peroleh bahwa jawabannya adalah $2020.$
Ada contoh lagi, mungkin yang berkaitan dengan operasi perkalian/pembagian? Ada, dong. Hitunglah: $$\dfrac12 \times \dfrac23 \times \dfrac34 \times \cdots \times \dfrac{2019}{2020}.$$ Wah, kelihatannya bakal memusingkan, ya. Kalau mengerjakannya secara manual, mungkin bisa menghabiskan waktu sehari, tetapi kalau menerapkan prinsip teleskopik, cuma butuh waktu $10$ detik. Mari coret-coret pembilang dan penyebut yang nilainya sama.
$$\dfrac{1}{\cancel{2}} \times \dfrac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \times \dfrac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \times \cdots \times \dfrac{\cancel{2019}}{2020}$$Setelah dicoret sampai pembilang di pecahan terakhir, kita peroleh bahwa yang selamat adalah pembilang $1$ di pecahan pertama dan penyebut $2020$ di pecahan terakhir. Jadi, jawabannya $\dfrac{1}{2020}.$
Nah, seperti itulah penjelasan singkat mengenai deret teleskopik. Tentu membaca uraian dan $3$ contoh di atas tidak pasti menjamin bahwa kita memahami deret teleskopik dengan baik. Alangkah baiknya bila diselingi dengan latihan soal. Untuk itu, berikut ini disajikan beberapa soal yang menerapkan deret teleskopik disertai dengan pembahasannya. Soal ini disarankan untuk dipelajari oleh pelajar tingkat SMP dan SMA (Pengayaan). Selain itu, soal juga dapat diunduh dalam format PDF dengan mengklik tautan berikut: Download (PDF, 152 KB).
Quote by Nikola Tesla
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Hasil dari $\left(1-\dfrac12\right)\left(1-\dfrac13\right)$ $\left(1-\dfrac14\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{2020}\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{1010}$ D. $\dfrac{1009}{1010}$
B. $\dfrac{1}{2020}$ E. $\dfrac{2019}{2020}$
C. $\dfrac{1}{4040}$
Jika kita sederhanakan setiap perhitungan dalam tanda kurung masing-masing (dengan menyamakan penyebut, lalu dikurang), kita peroleh
$\dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac34 \cdots \dfrac{2019}{2020}.$
Dengan menggunakan prinsip teleskopik, kita lakukan pencoretan pembilang dan penyebut yang sama.
$\dfrac{1}{\cancel{2}} \cdot \dfrac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \cdot \dfrac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdots \dfrac{\cancel{2019}}{2020} = \dfrac{1}{2020}$
Jadi, hasil dari perhitungan tersebut adalah $\boxed{\dfrac{1}{2020}}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 2
Hasil dari $\sqrt{1+\dfrac13} \cdot \sqrt{1+\dfrac14}\cdot \sqrt{1+\dfrac15}$ $\cdots \sqrt{1+\dfrac{1}{2018}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{672}$ D. $\sqrt{2019}$
B. $\sqrt{673}$ E. $2019$
C. $\sqrt{2018}$
Jumlahkan setiap ekspresi dalam tanda akar dan gunakan sifat akar bahwa $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}.$ Kita peroleh
$\begin{aligned} & \sqrt{\dfrac43 \cdot \dfrac54 \cdot \dfrac65 \cdots \dfrac{2019}{2018}} \\ & = \sqrt{\dfrac{\cancel{4}}{\color{blue}{3}} \cdot \dfrac{\cancel{5}}{\cancel{4}} \cdot \dfrac{\cancel{6}}{\cancel{5}} \cdots \dfrac{\color{blue}{2019}}{\cancel{2018}}} \\ & = \sqrt{\dfrac{2019}{3}} = \sqrt{673} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari perhitungan tersebut adalah $\boxed{\sqrt{673}}$
(Jawaban B)
Baca : Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma
Soal Nomor 3
Hasil dari $\dfrac{1}{4 \cdot 10} + \dfrac{1}{10 \cdot 16} + \dfrac{1}{16 \cdot 22} +$ $ \dfrac{1}{22 \cdot 28} + \dfrac{1}{28 \cdot 34}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac17$ C. $\dfrac{5}{136}$ E. $\dfrac45$
B. $\dfrac{2}{17}$ D. $\dfrac54$
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+6} & = \dfrac{(n+6)-n}{n(n+6)} \\ & = \dfrac{6}{n(n+6)} \end{aligned}$
Oleh karena itu, ekspresi pada soal dapat kita tulis sebagai berikut.
$$\begin{aligned} & \dfrac16\left(\dfrac{6}{4 \cdot 10} + \dfrac{6}{10 \cdot 16} + \dfrac{6}{16 \cdot 22} + \dfrac{6}{22 \cdot 28} + \dfrac{6}{28 \cdot 34}\right) \\ & = \dfrac16\left(\color{blue}{\dfrac14}-\cancel{\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}}-\cancel{\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}}-\cancel{\dfrac{1}{22}+\dfrac{1}{22}}-\cancel{\dfrac{1}{28}+\dfrac{1}{28}}-\color{blue}{\dfrac{1}{34}}\right) \\ & = \dfrac16\left(\dfrac14-\dfrac{1}{34}\right) \\ & = \dfrac16\left(\dfrac{15}{68}\right) = \dfrac{5}{136} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari perhitungan tersebut sama dengan $\boxed{\dfrac{5}{136}}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 4
Nilai dari $\dfrac12 + \dfrac16 + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{20} + \cdots + \dfrac{1}{420}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{21}{20}$ C. $\dfrac{21}{10}$ E. $1$
B. $\dfrac{20}{21}$ D. $\dfrac{10}{21}$
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} & = \dfrac{(n+1)-n}{n(n+1)} \\ & = \dfrac{1}{n(n+1)} \end{aligned}$
Oleh karena itu, kita dapat menuliskan
$\begin{aligned} \dfrac{1}{2} & = \dfrac{1}{1 \times 2} = \dfrac11-\dfrac12 \\ \dfrac{1}{6} & = \dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac12-\dfrac13 \\ \dfrac{1}{12} & = \dfrac{1}{3 \times 4} = \dfrac13-\dfrac14 \\ \dfrac{1}{20} & = \dfrac{1}{4 \times 5} = \dfrac14-\dfrac15 \\ \cdots & \cdots \cdots \\ \dfrac{1}{420} & = \dfrac{1}{20 \times 21} = \dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{21} \end{aligned}$
Dengan mengubah bentuknya seperti itu, kita akan dapat melakukan prinsip teleskopik.
$$\begin{aligned} & \dfrac12 + \dfrac16 + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{20} + \cdots + \dfrac{1}{420} \\ & = \left(\dfrac{1}{1}-\dfrac12\right) + \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac13\right) + \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac14\right) + \left(\dfrac{1}{4}-\dfrac15\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{21}\right) \\ & = \left(\dfrac{1}{1}-\cancel{\dfrac12}\right) + \left(\cancel{\dfrac{1}{2}}-\cancel{\dfrac13}\right) + \left(\cancel{\dfrac{1}{3}}-\cancel{\dfrac14}\right) + \left(\cancel{\dfrac{1}{4}}-\cancel{\dfrac15}\right) + \cdots + \left(\cancel{\dfrac{1}{20}}-\dfrac{1}{21}\right) \\ & = \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{21} = \dfrac{20}{21} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\dfrac12 + \dfrac16 + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{20} + \cdots + \dfrac{1}{420}$ adalah $\boxed{\dfrac{20}{21}}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 5
Nilai dari $\dfrac13 + \dfrac18 + \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{24} + \cdots$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac14$ C. $\dfrac34$ E. $\dfrac32$
B. $\dfrac12$ D. $1$
Bentuk di atas dapat kita tulis dalam bentuk pola perkalian dua bilangan berselisih dua seperti berikut.
$$\dfrac{1}{1 \times 3} + \dfrac{1}{2 \times 4} + \dfrac{1}{3 \times 5} + \dfrac{1}{4 \times 6} + \cdots$$Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2} & = \dfrac{(n+2)-n}{n(n+2)} \\ & = \dfrac{2}{n(n+2)} \end{aligned}$
Oleh karena itu, dari bentuk berpola di atas, kita tuliskan
$$\begin{aligned} & \dfrac12\left(\dfrac{2}{1 \times 3} + \dfrac{2}{2 \times 4} + \dfrac{2}{3 \times 5} + \dfrac{2}{4 \times 6} + \cdots\right) \\ & = \dfrac12\left(\color{blue}{\dfrac11}-\cancel{\dfrac13}+\color{blue}{\dfrac12}-\cancel{\dfrac14}+\cancel{\dfrac13}-\cancel{\dfrac15}+\cancel{\dfrac14}-\cancel{\dfrac16}+\cdots\right) \\ & = \dfrac12\left(1+\dfrac12\right) = \dfrac12 \times \dfrac32 = \dfrac34 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\dfrac13 + \dfrac18 + \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{24} + \cdots$ adalah $\boxed{\dfrac{3}{4}}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 6
Bentuk sederhana dari $\dfrac{1}{\sqrt4+\sqrt7} + \dfrac{1}{\sqrt7+\sqrt{10}} + \cdots +$ $\dfrac{1}{\sqrt{397}+\sqrt{400}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3$ D. $\sqrt{397}+\sqrt7$
B. $6$ E. $\dfrac{1}{\sqrt{397}+\sqrt7}$
C. $\sqrt{397}-\sqrt7$
Rasionalkan setiap ekspresi dengan mengalikan akar sekawan. Pada suku pertama,
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{\sqrt4+\sqrt7} \times \dfrac{\sqrt4-\sqrt7}{\sqrt4-\sqrt7} & = \dfrac{\sqrt4-\sqrt7}{4-7} \\ & = \dfrac13(\sqrt7-\sqrt4) \end{aligned}$$Demikian berlaku untuk suku kedua dan seterusnya. Kita akan peroleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{\sqrt4+\sqrt7} + \dfrac{1}{\sqrt7+\sqrt{10}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{397}+\sqrt{400}} \\ & = \dfrac13\left(\sqrt7-\sqrt4\right)+\dfrac13\left(\sqrt{10}-\sqrt7\right)+\cdots+\dfrac13\left(\sqrt{400}-\sqrt{397}\right) \\ & = \dfrac13\left(\cancel{\sqrt7}\color{blue}{-\sqrt4}+\cancel{\sqrt{10}-\sqrt7}+\cdots+\color{blue}{\sqrt{400}}\cancel{-\sqrt{397}}\right) \\ & = \dfrac13\left(-\sqrt4 + \sqrt{400}\right) \\ & = \dfrac13\left(-2 + 20\right) = \dfrac13(18) = 6 \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari ekspresi di atas adalah $\boxed{6}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 7
Nilai dari $\dfrac{1}{3^2+1} + \dfrac{1}{4^2+2}+$ $\dfrac{1}{5^2+3} + \dfrac{1}{6^2+4} + \cdots$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{7}{12}$ C. $\dfrac{11}{36}$ E. $\dfrac{17}{36}$
B. $\dfrac{7}{36}$ D. $\dfrac{13}{36}$
Setiap suku pada bentuk di atas memiliki rumus
$\begin{aligned} \text{U}_n & = \dfrac{1}{(n+2)^2+n} \\ & = \dfrac{1}{(n^2+4n+4)+n} \\ & = \dfrac{1}{n^2+5n+4} \\ & = \dfrac{1}{(n+1)(n+4)} \end{aligned}$
Selanjutnya, perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+4} & = \dfrac{(n+4)-(n+1)}{(n+1)(n+4)} \\ & = \dfrac{3}{(n+1)(n+4)} \end{aligned}$
Oleh karena itu, dari bentuk berpola di atas, kita tuliskan
$$\begin{aligned} & \dfrac13\left(\dfrac{3}{3^2+1} + \dfrac{3}{4^2+2}+ \dfrac{3}{5^2+3} + \dfrac{3}{6^2+4} + \cdots\right) \\ & = \dfrac13\left(\color{blue}{\dfrac12}-\cancel{\dfrac15}+\color{blue}{\dfrac13}-\cancel{\dfrac16}+\color{blue}{\dfrac14}-\cancel{\dfrac17}+\cancel{\dfrac15}-\cancel{\dfrac18}+\cdots\right) \\ & = \dfrac13\left(\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14\right) \\ & = \dfrac13 \times \dfrac{6+4+3}{12} = \dfrac{13}{36} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\dfrac{1}{3^2+1} + \dfrac{1}{4^2+2}+ \dfrac{1}{5^2+3} + \dfrac{1}{6^2+4} + \cdots$$ adalah $\boxed{\dfrac{13}{36}}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 8
Diketahui $\sqrt{\dfrac{5}{a} \times \dfrac65 \times \dfrac76 \times \dfrac87 \times \cdots \times \dfrac{b}{c}} = 2$. Nilai dari $b+ac=\cdots \cdot$
A. $30$ C. $42$ E. $81$
B. $36$ D. $76$
Perhatikan polanya. Nilai $a$ seharusnya $4$, sedangkan nilai $c$ satu kurangnya dari nilai $b$, ditulis $c = b-1$.
Dari persamaan yang diberikan, kuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan bentuk akar, diperoleh
$\dfrac{5}{a} \times \dfrac65 \times \dfrac76 \times \dfrac87 \times \cdots \times \dfrac{b}{c} = 4$
Kemudian gunakan prinsip teleskopik dengan mencoret pembilang dan penyebut yang nilainya sama.
$$\begin{aligned} \dfrac{\cancel{5}}{a} \times \dfrac{\cancel{6}}{\cancel{5}} \times \dfrac{\cancel{7}}{\cancel{6}} \times \dfrac{\cancel{8}}{\cancel{7}} \times \cdots \times \dfrac{b}{\cancel{c}} & = 4 \\ \dfrac{b}{a} & = 4 \\ b & = 4a \end{aligned}$$Karena $a=4$, maka diperoleh $b=16$, dan akibatnya $c = 15.$
Jadi, nilai dari $\boxed{b+ac=16+4(15)=76}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 9
Jika $A = 1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\dfrac15-$ $\dfrac16+\cdots+\dfrac{1}{2017}-\dfrac{1}{2018}$ dan $B = \dfrac{1}{1010} + \dfrac{1}{1011} + \dfrac{1}{1012} +$ $\cdots + \dfrac{1}{2018},$ maka nilai dari $A^2-B^2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$ D. $1009$
B. $0$ E. $2018$
C. $1$
Perhatikan bahwa $A$ dapat kita tulis sebagai berikut.
$$\begin{aligned} A & = 1 + \left(\dfrac12-1\right) + \dfrac13 + \left(\dfrac14-\dfrac12\right) + \dfrac15 + \left(\dfrac16-\dfrac13\right) + \cdots + \dfrac{1}{2017} + \left(\dfrac{1}{2018}-\dfrac{1}{1009}\right) \\ & = \left(1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac{1}{2018}\right)-\left(1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac{1}{1009}\right) \\ & = \dfrac{1}{1010} + \dfrac{1}{1011} + \dfrac{1}{2012} + \cdots + \dfrac{1}{2018} = B \end{aligned}$$Kita peroleh $A=B$, ekuivalen dengan $A-B=0$.
Karena $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$, maka jelas bahwa $A^2-B^2=(A+B)(0) = 0$.
Jadi, nilai dari $\boxed{A^2-B^2=0}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 10
Misalkan $\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)$ $\cdots\left(1-\dfrac{1}{2020^2}\right) = \dfrac{x}{2 \times 2020}$. Nilai dari $x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$ D. $2020$
B. $1010$ E. $2021$
C. $2019$
Karena $1-\dfrac{1}{k^2} = \dfrac{k^2-1}{k^2} = \dfrac{(k+1)(k-1)}{k^2}$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} & \left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{2020^2}\right) \\ & = \dfrac{\color{blue}{1} \times 3}{\cancelto{2}{2^2}} \cdot \dfrac{\cancel{2} \times 4}{3^2} \cdot \dfrac{3 \times 5}{4^2} \cdots \dfrac{2018 \times 2020}{2019^2} \cdot \dfrac{2019 \times \color{blue}{2021}}{2020^2} \end{aligned}$$Bentuk terakhir dapat disederhanakan menggunakan prinsip teleskopik. Bilangan $1$ dan $2021$ pada pembilang tidak memiliki pasangan pada penyebut untuk dicoret. Bilangan $2$ pada pembilang dicoret dengan $2$ pada penyebut, sehingga tersisa $2^1$. Selain itu, semuanya dicoret dan “habis”. Kita peroleh $\dfrac{2021}{2 \times 2020}$.
Nilai $x$ menempati pembilang, artinya $\boxed{x=2021}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 11
Nilai dari $$\dfrac{7}{12}-\dfrac{9}{20}+\dfrac{11}{30}-\cdots+\dfrac{19}{90}$$adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{7}{30}$ D. $\dfrac{17}{30}$
B. $\dfrac{9}{30}$ E. $\dfrac{19}{30}$
C. $\dfrac{13}{30}$
Alternatif 1:
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & \dfrac{7}{12}-\dfrac{9}{20}+\dfrac{11}{30}-\cdots+\dfrac{19}{90} \\ & = \dfrac{3 + 4}{3 \times 4}-\dfrac{4 + 5}{4 \times 5} + \dfrac{5 + 6}{5 \times 6}-\cdots+\dfrac{9 + 10}{9 \times 10} \end{aligned}$$Berdasarkan deret di atas, rumus barisan suku ke-$n$ adalah
$$\begin{aligned} \text{U}_n & = \dfrac{n + (n+1)}{n(n+1)} \\ & = \dfrac{n}{n(n+1)} + \dfrac{n+1}{n(n+1)} \\ & = \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n} \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{7}{12}-\dfrac{9}{20}+\dfrac{11}{30}-\cdots+\dfrac{19}{90} \\ & = \left(\cancel{\dfrac14} + \dfrac13\right)-\cancel{\left(\dfrac15 + \dfrac14\right)}+\cancel{\left(\dfrac16 + \dfrac15\right)}-\cdots+\left(\dfrac{1}{10} + \cancel{\dfrac19}\right) \\ & = \dfrac13+\dfrac{1}{10} = \dfrac{10 + 3}{30} = \dfrac{13}{30} \end{aligned}$$Alternatif 2:
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & \dfrac{7}{12}-\dfrac{9}{20}+\dfrac{11}{30}-\cdots+\dfrac{19}{90} \\ & = \dfrac{7}{3 \times 4}-\dfrac{9}{4 \times 5}+\dfrac{11}{5 \times 6}-\cdots+\dfrac{19}{9 \times 10} \\ & = 7\left(\dfrac13-\dfrac14\right)-9\left(\dfrac14-\dfrac15\right)+11\left(\dfrac15-\dfrac16\right)-\cdots+19\left(\dfrac19-\dfrac{1}{10}\right) \\ & = \dfrac73 + \left(-\dfrac74-\dfrac94\right) + \left(\dfrac95+\dfrac{11}{5}\right)+\cdots+\left(\dfrac{17}{9}+\dfrac{19}{9}\right)-\dfrac{19}{10} \\ & = \dfrac73 + \left(-\dfrac{16}{4}\right) + \left(\dfrac{20}{5}\right) + \cdots + \left(\dfrac{36}{9}\right)-\dfrac{19}{10} \\ & = \dfrac73 + \cancel{(-4) + 4 + (-4) + \cdots + 4}-\dfrac{19}{10} \\ & = \dfrac73-\dfrac{19}{10} = \dfrac{70-57}{30} = \dfrac{13}{30} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\dfrac{7}{12}-\dfrac{9}{20}+\dfrac{11}{30}-\cdots+\dfrac{19}{90} = \dfrac{13}{30}}$$(Jawaban C)
Soal Nomor 12
Nilai dari $\dfrac11+\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3} +$ $\cdots + \dfrac{1}{1+2+3+\cdots+2020}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1010}{2021}$ D. $\dfrac{1010}{1011}$
B. $\dfrac{2020}{2021}$ E. $\dfrac{2020}{1011}$
C. $\dfrac{4040}{2021}$
Salah satu rumus deret yang perlu diketahui adalah
$1+2+3+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$,
atau bila dalam bentuk kebalikannya,
$\dfrac{1}{1+2+3+\cdots+n} = \dfrac{2}{n(n+1)}.$
Dengan menggunakan rumus deret ini, maka kita akan peroleh
$$\begin{aligned} & \dfrac11+\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3} + \cdots + \dfrac{1}{1+2+3+\cdots+2020} \\ & = \dfrac{2}{1(1+1)} + \dfrac{2}{2(2+1)} + \cdots + \dfrac{2}{2020(2020+1)} \\ & = 2\left(\dfrac{1}{1(2)} + \dfrac{1}{2(3)} + \cdots + \dfrac{1}{2020(2021)}\right) \\ & = 2\left(\dfrac11-\color{red}{\dfrac12+\dfrac12-\dfrac13+\cdots+\dfrac{1}{2020}}-\dfrac{1}{2021}\right) \\ & = 2\left(1-\dfrac{1}{2021}\right) \\ & = \dfrac{4040}{2021} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari perhitungan di atas adalah $\boxed{\dfrac{4040}{2021}}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 13
Hasil dari $\dfrac{3}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dfrac{5}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dfrac{7}{3 \cdot 4 \cdot 5}$ $+ \cdots + \dfrac{81}{40 \cdot 41 \cdot 42}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{456}{287}$ D. $\dfrac{123}{287}$
B. $\dfrac{345}{287}$ E. $\dfrac{87}{287}$
C. $\dfrac{234}{287}$
Setiap suku pada ekspresi di atas dirumuskan oleh
$\text{U}_n = \dfrac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}$
dan dapat didekomposisikan sebagai
$\text{U}_n = \dfrac{A}{n} + \dfrac{B}{n+1} + \dfrac{C}{n+2}$
untuk suatu konstanta real $A, B, C$.
Kalikan kedua ruas dengan $n(n+1)(n+2)$ dan kita peroleh
$2n+1 = A(n+1)(n+2)+$ $Bn(n+2)+Cn(n+1).$
Substitusi $n = 0.$
$$\begin{aligned} 2(0)+1 & = A(0+1)(0+2) + B(0)(0+2) + C(0)(0+1) \\ 1 & = 2A + 0 + 0 \\ A & = \dfrac12 \end{aligned}$$Substitusi $A = \dfrac12$ dan $n = -1$.
$$\begin{aligned} 2(-1)+1 & = \dfrac12(-1+1)(-1+2) + B(-1)(-1+2) + C(-1)(-1+1) \\ -1 & = \dfrac12(0)(1)-B +0 \\ -1 & = -B \\ B & = 1 \end{aligned}$$Substitusi $A = \dfrac12$, $B = 1$, dan $n = -2$.
$$\begin{aligned} 2(-2)+1 & = \dfrac12(-2+1)(-2+2) + 1(-2)(-2+2) + C(-2)(-2+1) \\ -3 & = \dfrac12(-1)(0)-0 +2C \\ -3 & = 2C \\ C & = -\dfrac32 \end{aligned}$$Kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{2n+1}{n(n+1)(n+2)} & = \dfrac{\frac12}{n} + \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{-\frac32}{n+2} \\ & = \dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{3}{2(n+2)} \end{aligned}$$Dengan demikian, kita tuliskan
$$\begin{aligned} & \dfrac{3}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dfrac{5}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dfrac{7}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \cdots + \dfrac{81}{40 \cdot 41 \cdot 42} \\ & = \left(\dfrac12+\dfrac12-\color{red}{\dfrac36}\right)+\left(\dfrac14+\color{red}{\dfrac13}-\dfrac38\right)+\left(\color{red}{\dfrac16}+\dfrac14-\dfrac{3}{10}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{80}+\dfrac{1}{41}-\dfrac{3}{84}\right) \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $\dfrac{3}{2(n+2)} = \dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{2(n+2)}$.
Ini menunjukkan bahwa suku ketiga pada tripel pertama mengeliminasi suku kedua pada tripel kedua dan suku pertama pada tripel ketiga, seperti yang ditandai dengan warna merah di atas, dan berlaku prinsip teleskopik untuk kasus berikutnya.
Suku yang tersisa adalah dua suku pertama pada tripel pertama, suku pertama pada tripel kedua, suku terakhir pada tripel kedua terakhir, dan dua suku terakhir pada tripel terakhir, yaitu
$$\begin{aligned} & \dfrac{3}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dfrac{5}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dfrac{7}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \cdots + \dfrac{81}{40 \cdot 41 \cdot 42} \\ & = \left(\dfrac12+\dfrac12\right)+\left(\dfrac14\right)+\left(-\dfrac{3}{82}\right) + \left(\dfrac{1}{41}-\dfrac{3}{84}\right) \\ & = \dfrac{345}{287} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari perhitungan di atas adalah $\boxed{\dfrac{345}{287}}$
(Jawaban B)
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Dekomposisi Pecahan Parsial
Soal Nomor 14
Jika
$$f(n) = \dfrac{1}{\sqrt[3]{n^2-2n+1} + \sqrt[3]{n^2-1} + \sqrt[3]{n^2+2n+1}}$$untuk $n$ bilangan asli, maka nilai dari $f(1) + f(3) + f(5) + \cdots + f(999.999)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$ C. $50$ E. $200$
B. $25$ D. $100$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \sqrt[3]{n^2-2n+1} & = \sqrt[3]{(n-1)^2} = (\sqrt[3]{n-1})^2 \\ \sqrt[3]{n^2-1} & = \sqrt[3]{(n+1)(n-1)} = \sqrt[3]{n+1} \cdot \sqrt[3]{n-1} \\ \sqrt[3]{n^2+2n+1} & = \sqrt[3]{(n+1)^2} = (\sqrt[3]{n+1})^2 \end{aligned}$$Misalkan $\sqrt[3]{n-1} = a$ dan $\sqrt[3]{n+1} = b$, maka $f(n)$ dapat kita tulis sebagai
$f(n) = \dfrac{1}{a^2+ab+b^2}$.
Berdasarkan salah satu identitas aljabar (pemfaktoran), yaitu $a^3-b^3=(a+b)(a^2+ab+b^2)$, atau ekuivalen dengan $a^2+ab+b^2 = \dfrac{a^3-b^3}{a-b}$, kita dapat tuliskan
$f(n) = \dfrac{1}{\frac{a^3-b^3}{a-b}} = \dfrac{a-b}{a^3-b^3}$.
Nyatakan kembali $a$ dan $b$ dalam $n$.
$\begin{aligned} f(n) & = \dfrac{\sqrt[3]{n-1}-\sqrt[3]{n+1}}{(\sqrt[3]{n-1})^3-(\sqrt[3]{n+1})^3} \\ & = \dfrac{\sqrt[3]{n-1}-\sqrt[3]{n+1}}{(n-1)-(n+1)} \\ & = \dfrac{\sqrt[3]{n-1}-\sqrt[3]{n+1}}{-2} \\ & = \dfrac12\left(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1}\right) \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} & f(1) + f(3) + f(5) + \cdots + f(999.999) \\ & = \dfrac12\left(\sqrt[3]{1+1}-\sqrt[3]{1-1}\right) + \dfrac12\left(\sqrt[3]{3+1}-\sqrt[3]{3-1}\right) + \dfrac12\left(\sqrt[3]{5+1}-\sqrt[3]{5-1}\right) + \cdots + \dfrac12\left(\sqrt[3]{999.999+1}-\sqrt[3]{999.999-1}\right) \\ & = \dfrac12\left(\cancel{\sqrt[3]{2}}\color{blue}{-\sqrt[3]{0}}+\bcancel{\sqrt[3]{4}}-\cancel{\sqrt[3]{2}}+\cancel{\sqrt[3]{6}}-\bcancel{\sqrt[3]{4}}+\cdots+\color{blue}{\sqrt[3]{1.000.000}}-\cancel{\sqrt[3]{999.998}}\right) \\ & = \dfrac12\left(-\sqrt[3]{0} + \sqrt[3]{1.000.000}\right) \\ & = \dfrac12(0 + 100) = 50 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $f(1) + f(3) + f(5) + \cdots + f(999.999)$ adalah $\boxed{50}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 15
Jika barisan $(a_n)$ didefinisikan sukunya, yaitu $a_1 = 2$ dan $a_{n+1} = a_n+2n$ untuk $n \geq 1$, maka nilai $a_{100} = \cdots \cdot$
A. $9900$ D. $10100$
B. $9902$ E. $10102$
C. $9904$
Definisi rekursif barisan tersebut juga dapat ditulis sebagai $a_{n+1}-a_n = 2n$.
Karena $a_1 = 2$, maka berturut-turut kita peroleh
$$\begin{aligned} a_2-a_1 & = 2(1) \\ a_3-a_2 & = 2(2) \\ a_4-a_3 & = 2(3) \\ \cdots & \\ a_{99}-a_{98} &= 2(98) \\ a_{100}-a_{99} & = 2(99) \end{aligned}$$Jumlahkan semua persamaan tersebut sehingga dapat diterapkan Prinsip Teleskopik.
$$\begin{aligned} (\cancel{a_2}-a_1)+(\cancel{a_3-a_2})+\cdots+(\cancel{a_{99}-a_{98}})+(a_{100}\cancel{-a_{99}}) & = 2(1)+2(2)+\cdots+2(98)+2(99) \\ \text{Ruas kiri hanya tersisa}~&-a_1~\text{dan}~a_{100} \\ a_{100}-a_1 & = 2(1+2+3+\cdots+99) \\ a_{100}-2 & = \cancel{2}\left(\dfrac{99+1}{\cancel{2}} \cdot 99\right) \\ a_{100}-2 & = 9900 \\ a_{100} & = 9902 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a_{100} = 9902}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 16
Diketahui nilai $S$ didefinisikan sebagai berikut.
$$S = \sqrt{1 + \dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2}} + \sqrt{1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2}} + \cdots + \sqrt{1 + \dfrac{1}{99^2} + \dfrac{1}{100^2}}$$Nilai dari $100S + 1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1.000$ D. $10.000$
B. $1.001$ E. $100.000$
C. $9.999$
Tinjau bentuk $\sqrt{1 + \dfrac{1}{k^2} + \dfrac{1}{(k+1)^2}}$ untuk bilangan asli $k$. Bentuk ini dapat kita tuliskan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \sqrt{1 + \dfrac{1}{k^2} + \dfrac{1}{(k+1)^2}} & = \sqrt{\dfrac{k^2(k+1)^2 + (k+1)^2 + k^2}{k^2(k+1)^2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{(k^4 + 2k^3 + k^2) + (k+1)^2 + k^2}{k^2(k+1)^2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{(k^2)^2 + 2k^2(k+1) + (k+1)^2}{k^2(k+1)^2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{(k^2 + (k+1))^2}{k^2(k+1)^2}} \\ & = \dfrac{k^2 + (k+1)}{k(k+1)} \\ & = \dfrac{k(k+1)+1}{k(k+1)} \\ & = 1+\dfrac{1}{k(k+1)} \\ & = 1+\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1} \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus ini, kita akan peroleh bentuk berikut.
$$\begin{aligned} S & = \sqrt{1 + \dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2}} + \sqrt{1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2}} + \cdots + \sqrt{1 + \dfrac{1}{99^2} + \dfrac{1}{100^2}} \\ & = \left(1+\dfrac11-\dfrac12\right)+\left(1+\dfrac12-\dfrac13\right)+\cdots+\left(1+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\right) \\ & = \left(\underbrace{1+1+\cdots+1}_{\text{ada}~99}\right) + \dfrac11-\dfrac{1}{100} && (\text{Prinsip Teleskopik}) \\ & = 99 + \dfrac{99}{100} \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} 100S + 1 & = 100\left(99+\dfrac{99}{100}\right) + 1 \\ & = 9.900 + 99 + 1 = 10.000 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{100S+1 = 10.000}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 17
Diketahui $f(x) + f(x-1) = x^2$ untuk setiap bilangan real $x.$ Jika $f(7)=15,$ maka nilai dari $f(80)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3124$ D. $9197$
B. $3197$ E. $9352$
C. $3253$
Bentuk teleskopik (suku saling menghilangkan) muncul ketika kita input nilai $x$ sedemikian sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} x = 8 & \Rightarrow f(8)+f(7) = 8^2 \\ x = 9 & \Rightarrow -f(9)-f(8) = -9^2 \\ x = 10 & \Rightarrow f(10) + f(9) = 10^2 \\ x = 11 & \Rightarrow -f(11)-f(10)=-11^2 \\ \cdots \cdots & \Rightarrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x = 79 & \Rightarrow -f(79)-f(78)=-79^2 \\ x = 80 & \Rightarrow f(80)+f(79)=80^2 \end{aligned}$$Dengan menjumlahkan semua persamaan tersebut, kita akan peroleh
$$\begin{aligned} f(7) + f(80) & = 8^2-9^2+10^2-11^2+\cdots-79^2+80^2 \\ 15 + f(80) & = (8-9)(8+9) + (10-11)(10+11) + \cdots + (78-79)(78+79) + 6.400 \\ 15 + f(80) & = -(\underbrace{17 + 21 + \cdots + 157}_{\text{deret aritmetika}}) + 6.400 \\ 15 + f(80) & = -\dfrac{36}{2}(17+157) + 6.400 \\ 15 + f(80) & = -18(174) + 6.400 \\ 15 + f(80) & = -3.132 + 6.400 \\ f(80) & = 3.253 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{f(80) = 3.253}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 18
Diketahui $$\dfrac{1}{x^2+x} + \dfrac{1}{x^2+3x+2} + \dfrac{1}{x^2+5x+6} + \cdots + \dfrac{1}{x^2+21x+110} = \dfrac{A}{Bx^2 + Cx},$$dengan $A, B, C$ adalah bilangan bulat. Nilai $A + B + C = \cdots \cdot$
A. $11$ C. $22$ E. $25$
B. $12$ D. $23$
Faktorkan bentuk penyebutnya dan kita akan peroleh bahwa setiap faktor pada masing-masing penyebut memiliki selisih $1.$ Selanjutnya, bentuk tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk pengurangan sehingga terbentuklah deret teleskopik.
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{x^2+x} + \dfrac{1}{x^2+3x+2} + \dfrac{1}{x^2+5x+6} + \cdots + \dfrac{1}{x^2+21x+110} \\ & = \dfrac{1}{x(x+1)} + \dfrac{1}{(x+1)(x+2)} + \dfrac{1}{(x+2)(x+3)} + \cdots + \dfrac{1}{(x+10)(x+11)} \\ & = \left(\color{red}{\dfrac{1}{x}}-\dfrac{1}{x+1}\right) + \left(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}\right)+ \left(\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x+3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{x+10}-\color{red}{\dfrac{1}{x+11}}\right) \\ & = \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+11} \\ & = \dfrac{(x+11)-x}{x(x+11)} \\ & = \dfrac{11}{x^2+11x} \end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, kita peroleh nilai $A = 11,$ $B = 1,$ dan $C = 11$ sehingga $\boxed{A+B+C=23}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 19
Hasil dari $$\dfrac13 + \dfrac{3}{3 \cdot 7} + \dfrac{5}{3 \cdot 7 \cdot 11} + \dfrac{7}{3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 15} + \cdots$$adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac16$ D. $\dfrac12$
B. $\dfrac14$ E. $\dfrac23$
C. $\dfrac13$
Perhatikan bahwa deret tak berhingga di atas memiliki pola, yaitu pembilangnya secara konstan bertambah $2,$ sedangkan penyebutnya merupakan perkalian sejumlah bilangan ganjil berbentuk $4k-1$ untuk $k \geq 1, k \in \mathbb{N}.$
Sekarang, tinjau pengurangan pecahan berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac13-\dfrac{1}{3 \cdot 7} & = \dfrac{1 \cdot 7}{3 \cdot 7}-\dfrac{1}{3 \cdot 7} = \color{red}{\dfrac{6}{3 \cdot 7}} \\ \dfrac{1}{3 \cdot 7}-\dfrac{1}{3 \cdot 7 \cdot 11} & = \dfrac{11}{3 \cdot 7 \cdot 11}-\dfrac{1}{3 \cdot 7 \cdot 11} = \color{blue}{\dfrac{10}{3 \cdot 7 \cdot 11}} \\ \dfrac{1}{3 \cdot 7 \cdot 11} -\dfrac{1}{3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 15} & = \dfrac{15}{3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 15} -\dfrac{1}{3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 15} = \color{purple}{\dfrac{14}{3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 15}} \end{aligned}$$Dari sini, kita peroleh fakta baru bahwa suku kedua dan seterusnya dari deret di atas dapat dituliskan sebagai bentuk pengurangan pecahan sehingga akan membentuk deret teleskopik.
$$\begin{aligned} & \dfrac13 + \dfrac{3}{3 \cdot 7} + \dfrac{5}{3 \cdot 7 \cdot 11} + \dfrac{7}{3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 15} + \cdots \\ & = \dfrac13 + \dfrac12\left(\color{red}{\dfrac{6}{3 \cdot 7}} + \color{blue}{\dfrac{10}{3 \cdot 7 \cdot 11}} + \color{purple}{\dfrac{14}{3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 15}} + \cdots\right) \\ & = \dfrac13 + \dfrac12\left(\dfrac13\cancel{-\dfrac{1}{3 \cdot 7} + \dfrac{1}{3 \cdot 7}}-\cancel{\dfrac{1}{3 \cdot 7 \cdot 11} + \dfrac{1}{3 \cdot 7 \cdot 11}}-\cancel{\dfrac{1}{3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 15}} + \cdots\right) \\ & = \dfrac13 + \dfrac12\left(\dfrac13\right) \\ & = \dfrac13 + \dfrac16 = \dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari deret tersebut adalah $\boxed{\dfrac12}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 20
Jika $$\dfrac{1}{1 \times 4 \times 7} + \dfrac{1}{4 \times 7 \times 10} + \cdots + \dfrac{1}{25 \times 28 \times 31} = \dfrac{9a}{4b}$$untuk $a,b$ relatif prima, maka jumlah semua angka dari hasil $a+b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3$ C. $7$ E. $13$
B. $5$ D. $9$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{1 \times 4}-\dfrac{1}{4 \times 7} & = \dfrac{7}{1 \times 4 \times 7}-\dfrac{1}{1\times 4 \times 7} = \dfrac{6}{1 \times 4 \times 7} \\ \dfrac{1}{4 \times 7}-\dfrac{1}{7 \times 10} & = \dfrac{10}{4 \times 7 \times 10}-\dfrac{4}{4 \times 7 \times 10} = \dfrac{6}{4 \times 7 \times 10} \\ \cdots & \cdots \cdots \cdots \\ \dfrac{1}{25 \times 28}-\dfrac{1}{28 \times 31} & = \dfrac{31}{25 \times 28 \times 31}-\dfrac{25}{25 \times 28 \times 31} = \dfrac{6}{25 \times 28 \times 31} \end{aligned}$$Dengan demikian, kita dapat tuliskan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{1 \times 4 \times 7} + \dfrac{1}{4 \times 7 \times 10} + \cdots + \dfrac{1}{25 \times 28 \times 31} \\ & = \dfrac16\left(\dfrac{1}{1 \times 4}\cancel{-\dfrac{1}{4 \times 7}} + \cancel{\dfrac{1}{4 \times 7}}\bcancel{-\dfrac{1}{7 \times 10}} + \cdots + \bcancel{\dfrac{1}{25 \times 28}}-\dfrac{1}{28 \times 31}\right) \\ & = \dfrac16\left(\dfrac{1}{1 \times 4}-\dfrac{1}{28 \times 31}\right) \\ & = \dfrac16\left(\dfrac{216}{868}\right) = \dfrac{36}{868} = \dfrac{9(4)}{4(217)} \end{aligned}$$Karena $4$ dan $217$ relatif prima, maka nilai $a = 4$ dan $b = 217$ sehingga $a + b = 221.$ Jumlah semua angka dari $221$ adalah $\boxed{2+2+1=5}$
(Jawaban B)
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Misalkan $t_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$. Tentukan hasil dari $\dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t_2} + \cdots + \dfrac{1}{t_{2020}}$.
Karena $t_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$, maka $\dfrac{1}{t_n} = \dfrac{2}{n(n+1)}$.
Dengan substitusi nilai $n$ masing-masing, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t_2} + \cdots + \dfrac{1}{t_{2020}} & = \dfrac{2}{1(1+1)} + \dfrac{2}{2(2+1)} + \cdots + \dfrac{2}{2020(2020+1)} \\ & = 2\left(\dfrac{1}{1(2)} + \dfrac{1}{2(3)} + \cdots + \dfrac{1}{2020(2021)}\right) \\ & = 2\left(\dfrac11-\color{red}{\dfrac12+\dfrac12-\dfrac13+\cdots+\dfrac{1}{2020}}-\dfrac{1}{2021}\right) \\ & = 2\left(1-\dfrac{1}{2021}\right) \\ & = \dfrac{4040}{2021} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t_2} + \cdots + \dfrac{1}{t_{2020}}$ sama dengan $\boxed{ \dfrac{4040}{2021}}$
Soal Nomor 2
Hitunglah hasil dari $$\dfrac12 + \dfrac23 + \dfrac{3}{10} + \dfrac{5}{24} + \dfrac{8}{65} + \cdots$$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac23 & = \dfrac{1+2}{1 \cdot 2}-\dfrac{2+3}{2 \cdot 3} \\ \dfrac{3}{10} & = \dfrac{2+3}{2 \cdot 3}-\dfrac{3+5}{3 \cdot 5} \\ \dfrac{5}{24} & = \dfrac{3+5}{3 \cdot 5}-\dfrac{5+8}{5 \cdot 8} \\ \dfrac{8}{65} & = \dfrac{5+8}{5 \cdot 8}-\dfrac{8+13}{8 \cdot 13} \\ \text{dan}&~\text{seterusnya} \end{aligned}$$Dengan demikian, dapat kita terapkan Prinsip Teleskopik sebagai berikut.
$$\begin{aligned} & \dfrac12 + \dfrac23 + \dfrac{3}{10} + \dfrac{5}{24} + \dfrac{8}{65} + \cdots \\ & = \dfrac12 + \underbrace{\left(\dfrac{1+2}{1 \cdot 2}-\dfrac{2+3}{2 \cdot 3}\right)}_{\dfrac23} + \underbrace{\left(\dfrac{2+3}{2 \cdot 3}-\dfrac{3+5}{3 \cdot 5}\right)}_{\dfrac{3}{10}} + \underbrace{\left(\dfrac{3+5}{3 \cdot 5}-\dfrac{5+8}{5 \cdot 8}\right)}_{\dfrac{5}{24}} + \cdots \\ & = \dfrac12 + \left(\dfrac{1+2}{1 \cdot 2}-\cancel{\dfrac{2+3}{2 \cdot 3}}\right) + \left(\cancel{\dfrac{2+3}{2 \cdot 3}}-\cancel{\dfrac{3+5}{3 \cdot 5}}\right) + \left(\cancel{\dfrac{3+5}{3 \cdot 5}}-\cancel{\dfrac{5+8}{5 \cdot 8}}\right) + \cdots \\ & = \dfrac12 + \dfrac{1+2}{1 \cdot 2} = \dfrac12+\dfrac32 = 2 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\dfrac12 + \dfrac23 + \dfrac{3}{10} + \dfrac{5}{24} + \dfrac{8}{65} + \cdots$$adalah $\boxed{2}$
Soal Nomor 3
Pertidaksamaan berikut berlaku untuk semua bilangan bulat positif $n$.
$$\displaystyle \sqrt{n+1}-\sqrt{n}<\dfrac{1}{\sqrt{4n+1}}<\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$$Berapa nilai bilangan bulat terbesar yang kurang dari $\displaystyle \sum_{n=1}^{24} \dfrac{1}{\sqrt{4n+1}}$?
Dari pertidaksamaan di atas, berlaku
$$\displaystyle \sum_{n=1}^{24} \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \sum_{n=1}^{24} \dfrac{1}{\sqrt{4n+1}}<\sum_{n=1}^{24} \left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)$$Pertama, akan dihitung nilai dari $\displaystyle \sum_{n=1}^{24} \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)$ yang bila kita jabarkan akan menjadi
$$\begin{aligned} & (\sqrt2-\sqrt1)+(\sqrt3-\sqrt2)+\cdots+(\sqrt{25}-\sqrt{24}) \\ & = -\sqrt1 + \sqrt{25} = -1 + 5 = 4 \end{aligned}$$Selanjutnya, akan dihitung nilai dari $\displaystyle \sum_{n=1}^{24} \left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)$ yang bila kita jabarkan akan menjadi
$$\begin{aligned} & (\sqrt1-\sqrt0)+(\sqrt2-\sqrt1)+\cdots+(\sqrt{24}-\sqrt{23}) \\ & = -\sqrt0 + \sqrt{24} = \sqrt{24} \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$\displaystyle 4< \sum_{n=1}^{24} \dfrac{1}{\sqrt{4n+1}}<\sqrt{24}$
Jadi, bilangan bulat terbesar yang kurang dari $\displaystyle \sum_{n=1}^{24} \dfrac{1}{\sqrt{4n+1}}$ adalah $\boxed{4}$
Baca: Soal dan Pembahasan – Notasi Sigma
Soal Nomor 4
Jika $f(x) = 4x^2-1$, tentukan hasil dari $\dfrac{1}{f(1)}+\dfrac{1}{f(2)}+\dfrac{1}{f(3)}+\cdots+\dfrac{1}{f(84)}$.
Perhatikan bahwa $f(x) = 4x^2-1 = (2x+1)(2x-1)$ sehingga
$\begin{aligned} \dfrac{1}{f(x)} & = \dfrac{1}{4x^2-1} \\ & = \dfrac{1}{(2x+1)(2x-1)} \\ & = \dfrac12\left(\dfrac{1}{2x-1}+\dfrac{1}{2x-1}\right) \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{f(1)}+\dfrac{1}{f(2)}+\dfrac{1}{f(3)}+\cdots+\dfrac{1}{f(84)} \\ & = \dfrac12\left(1-\dfrac13\right)+\dfrac12\left(\dfrac13-\dfrac15\right)+\dfrac12\left(\dfrac15-\dfrac17\right)+\cdots+\dfrac12\left(\dfrac{1}{167}-\dfrac{1}{169}\right) \\ & = \dfrac12\left(\color{blue}{1}-\dfrac13+\dfrac13-\dfrac15+\dfrac15-\dfrac17+\cdots+\dfrac{1}{167}\color{blue}{-\dfrac{1}{169}}\right) \\ & = \dfrac12\left(1-\dfrac{1}{169}\right) \\ & = \dfrac12\left(\dfrac{168}{169}\right) = \dfrac{84}{169} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\dfrac{1}{f(1)}+\dfrac{1}{f(2)}+\dfrac{1}{f(3)}+\cdots+\dfrac{1}{f(84)}$ adalah $\boxed{\dfrac{84}{169}}$
Soal Nomor 5
Misalkan $a, b, c$, dan $d$ adalah konstanta sedemikian sehingga ekspresi berikut berlaku untuk setiap bilangan real $x$ yang tidak mengakibatkan penyebut bernilai nol.
$\dfrac{10}{x(x+10)} + \dfrac{10}{(x+5)(x+15)} +$ $\dfrac{10}{(x+10)(x+20)} + \dfrac{10}{(x+15)(x+25)}$ $+\dfrac{10}{(x+20)(x+30)} =$ $ \dfrac{a(x^2+30x+75)}{x(x+b)(x+c)(x+d)}$
Berapakah nilai dari $a+b+c+d$?
Dengan menggunakan dekomposisi pecahan parsial, kita peroleh bahwa ekspresi pada ruas kiri di atas dapat ditulis sebagai berikut.
$$\begin{aligned} & \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+10}\right) + \left(\dfrac{1}{x+5}-\dfrac{1}{x+15}\right)+\left(\dfrac{1}{x+10}-\dfrac{1}{x+20}\right)+ \\ & \left(\dfrac{1}{x+15}-\dfrac{1}{x+25}\right)+\left(\dfrac{1}{x+20}-\dfrac{1}{x+30}\right) \\ & = \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+5}-\dfrac{1}{x+25}-\dfrac{1}{x+30} \\ & = \dfrac{(x+25)-x}{x(x+25)}+\dfrac{(x+30)-(x+5)}{(x+5)(x+30)} \\ & = \dfrac{25}{x(x+25)} + \dfrac{25}{(x+5)(x+30)} \\ & = \dfrac{25((x+5)(x+30)+x(x+25))}{x(x+5)(x+25)(x+30)} \\ & = \dfrac{25((x^2+35x+150)+x^2+25x)}{x(x+5)(x+25)(x+30)} \\ & = \dfrac{25(2x^2+60x+150)}{x(x+5)(x+25)(x+30)} \\ & = \dfrac{50(x^2+30x+75)}{x(x+5)(x+25)(x+30)} \end{aligned}$$Menyesuaikan dengan bentuk ruas kanannya, yaitu $\dfrac{a(x^2+30x+75)}{x(x+b)(x+c)(x+d)}$, diperoleh $a = 50$, $b = 5$, $c = 25$, dan $d = 30$ (nilai $b, c, d$ dapat tertukar-tukar) sehingga $$\boxed{a + b + c + d = 50+5+25+30 = 110}$$
Soal Nomor 6
Tentukan nilai dari $\dfrac{1}{2015!} + \displaystyle \sum_{k=1}^{2014} \dfrac{k}{(k+1)!}.$
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!} & = \dfrac{(k+1)!-k!}{k!(k+1)!} \\ & = \dfrac{k!((k+1)-1)}{k!(k+1)!} \\ & = \dfrac{\cancel{k!} \cdot k}{\cancel{k!} \cdot (k+1)!} \\ & = \dfrac{k}{(k+1)!} \end{aligned}$
Dengan menggunakan sifat ini, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{2015!} + \displaystyle \sum_{k=1}^{2014} \dfrac{k}{(k+1)!} & = \dfrac{1}{2015!} + \sum_{k=1}^{2014} \left(\dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2015!} + \left(\dfrac{1}{1!}-\dfrac{1}{(1+1)!}\right)+\left(\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{(2+1)!}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{2014!}-\dfrac{1}{(2014+1)!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2015!} + \left(\dfrac{1}{1!}-\cancel{\dfrac{1}{2!}}\right)+\left(\cancel{\dfrac{1}{2!}}-\cancel{\dfrac{1}{3!}}\right)+\cdots+\left(\cancel{\dfrac{1}{2014!}}-\dfrac{1}{2015!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2015!} + \dfrac{1}{1!}-\dfrac{1}{2015!} = 1 \end{aligned}$$Catatan: Dalam prosedur di atas, kita menerapkan prinsip teleskopik, yaitu suku-sukunya dibuat saling menghilangkan.
Soal Nomor 7
Tentukan bentuk sederhana dari $\dfrac{3}{1! + 2! + 3!} + \dfrac{4}{2! + 3! + 4!} + \cdots$ $+ \dfrac{2001}{1999! + 2000! + 2001!}$.
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{k+2}{k! + (k+1)! + (k+2)!} & = \dfrac{k+2}{k! + k!(k+1) + k!(k+1)(k+2)} \\ & = \dfrac{k+2}{k!(1 + (k+1) + (k+1)(k+2))} \\ & = \dfrac{k+2}{k!(k+2)(k+1)(k+2)} \\ & = \dfrac{k+2}{k!(k+2)(1 + (k+1))} \\ & = \dfrac{\cancel{k+2}}{k! \cancel{(k+2)}(k+2)} \\ & = \dfrac{1}{k!(k+2)} \\ & = \dfrac{k+1}{k!(k+1)(k+2)} \\ & = \dfrac{k+1}{(k+2)!} \\ & = \dfrac{(k+2)-1}{(k+2)!} \\ & = \dfrac{k+2}{(k+2)!}-\dfrac{1}{(k+2)!} \\ & = \dfrac{1}{(k+1)!}-\dfrac{1}{(k+2)!} \end{aligned}$$Dengan menerapkan pernyataan di atas beserta prinsip teleskopik, kita peroleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{3}{1! + 2! + 3!} + \dfrac{4}{2! + 3! + 4!} + \cdots + \dfrac{2001}{1999! + 2000! + 2001!} \\ & = \left(\dfrac{1}{2!}-\cancel{\dfrac{1}{3!}}\right)+\left(\cancel{\dfrac{1}{3!}-\dfrac{1}{4!}}\right)+\cdots+\left(\cancel{\dfrac{1}{2000!}}-\dfrac{1}{2001!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{2001!} \\ & = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2001!}\end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{3}{1! + 2! + 3!} + \dfrac{4}{2! + 3! + 4!} + \cdots$ $+ \dfrac{2001}{1999! + 2000! + 2001!}$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2001!}}$
Soal Nomor 8
Hitunglah hasil dari $$\dfrac{21!-21}{1 \times 1!+2 \times 2!+3 \times 3! + \cdots + 19 \times 19!}.$$
Dengan menggunakan definisi faktorial, sifat distributif bilangan, dan prinsip teleskopik, kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{21!-21}{1 \times 1!+2 \times 2!+3 \times 3! + \cdots + 19 \times 19!} \\ & = \dfrac{21 \times 20!-21}{(2-1) \times 1! + (3-1) \times 2! + (4-1) \times 3! + \cdots + (20-1) \times 19!} \\ & = \dfrac{21 \times (20!-1)}{(\cancel{2!}-1!)+(\bcancel{3!}-\cancel{2!})+(\cancel{4!}-\bcancel{3!})+\cdots+(20!-\cancel{19!})} \\ & = \dfrac{21 \times (\cancel{20!-1})}{\cancel{20!-1}} = 21 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\dfrac{21!-21}{1 \times 1!+2 \times 2!+3 \times 3! + \cdots + 19 \times 19!}$$ sama dengan $\boxed{21}$
Soal Nomor 9
Hitunglah hasil dari $$\dfrac{100!+99!}{100!-99!} \times \dfrac{98!+97!}{98!-97!} \times \dfrac{96!+95!}{96!-95!} \times \cdots \times \dfrac{2!+1!}{2!-1!}.$$
Dengan menggunakan definisi faktorial, sifat distributif bilangan, dan prinsip teleskopik, kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{100!+99!}{100!-99!} \times \dfrac{98!+97!}{98!-97!} \times \dfrac{96!+95!}{96!-95!} \times \cdots \times \dfrac{2!+1!}{2!-1!} \\ & = \dfrac{100 \cdot 99! + 99!}{100 \cdot 99!-99!} \times \dfrac{98 \cdot 97! +97!}{98 \cdot 97!-97!} \times \dfrac{96 \cdot 95! +95!}{96 \cdot 95!-95!} \times \cdots \times \dfrac{2 \cdot 1!+1!}{2 \cdot 1!-1!} \\ & = \dfrac{(100+1) \cdot 99!}{(100-1) \cdot 99!} \times \dfrac{(98+1) \cdot 97!}{(98-1) \cdot 97!} \times \dfrac{(96+1) \cdot 95!}{(96-1) \cdot 95!} \times \cdots \times \dfrac{(2+1) \cdot 1!}{(2-1) \cdot 1!} \\ & = \dfrac{101}{\cancel{99}} \times \dfrac{\cancel{99}}{\cancel{97}} \times \dfrac{\cancel{97}}{\cancel{95}} \times \cdots \times \dfrac{\cancel{3}}{1} \\ & = \dfrac{101}{1} = 101 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\dfrac{100!+99!}{100!-99!} \times \dfrac{98!+97!}{98!-97!} \times \dfrac{96!+95!}{96!-95!} \times \cdots \times \dfrac{2!+1!}{2!-1!}$$adalah $\boxed{101}$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Faktorial
Soal Nomor 10
Tentukan hasil dari $\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}(k+1)+k\sqrt{k+1}}$.
Kalikan dengan bentuk sekawan dari penyebutnya.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}(k+1)+k\sqrt{k+1}} \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}(k+1)+k\sqrt{k+1}} \times \dfrac{\sqrt{k}(k+1)-k\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}(k+1)-k\sqrt{k+1}} \\ & = \sum_{k=1}^n \dfrac{\sqrt{k}(k+1)-k\sqrt{k+1}}{k(k+1)^2-k^2(k+1)} \\ & = \sum_{k=1}^n \dfrac{\sqrt{k}(k+1)-k\sqrt{k+1}}{k(k+1)} \\ & = \sum_{k=1}^n \left(\dfrac{\sqrt{k}}{k}-\dfrac{\sqrt{k+1}}{k+1}\right) \\ & = \sum_{k=1}^n \left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right) \\ & = \left(\dfrac{1}{\sqrt1}-\cancel{\dfrac{1}{\sqrt2}}\right) + \left(\cancel{\dfrac{1}{\sqrt2}-\dfrac{1}{\sqrt3}}\right)+\cdots+\left(\cancel{\dfrac{1}{\sqrt{n}}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right) \\ & = 1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}} && (\text{Prinsip Teleskopik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}(k+1)+k\sqrt{k+1}}$ adalah $\boxed{1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}}$