Tag: Persamaan Laplace

Misalkan $z=x+iy$ sehingga
$\begin{array}{rl}f(z)& =z^2\\ & =(x+iy{)}^2\\ & =(x^2-y^2)+2ixy.\end{array}$
Diperoleh $u=x^2-y^2$ dan $v=2xy$ dengan $u$ dan $v$ masing-masing merepresentasikan bagian real dan imajiner dalam fungsi $f$.
(1a) Cek turunan parsial $u=x^2$ terhadap $x,$ yaitu ${\displaystyle \frac{\partial (x^2–y^2)}{\partial x}}=2x.$
(1b) Cek turunan parsial $v=2xy$ terhadap $y,$ yaitu ${\displaystyle \frac{\partial (2xy)}{\partial x}}=2x.$
Kita dapatkan bahwa hasil (1a) dan (1b) sama.
Selanjutnya,
(2a) Cek turunan parsial $u=x^2-y^2$ terhadap $y,$ yaitu ${\displaystyle \frac{\partial (x^2-y^2)}{\partial y}}=-2y.$
(2b) Cek negatif turunan parsial $v=2xy$ terhadap $x,$ yaitu $-{\displaystyle \frac{\partial (2xy)}{x}}=-2y.$
Kita dapatkan bahwa hasil (2a) dan (2b) sama.
Dengan demikian, $f(z)$ memenuhi PCR.

Jawaban a)
Perhatikan bahwa $x=r\cos \theta ,$ sedangkan $y=r\sin \theta$ sehingga fungsi $f$ bisa ditulis sebagai $f(z)=x^2+i{y}^2.$
Jadi, $u=x^2$ dan $v=y^2.$
(1a) Cek turunan parsial $u=x^2$ terhadap $x,$ yaitu ${\displaystyle \frac{\partial (x^2)}{\partial x}}=2x.$
(1b) Cek turunan parsial $v=y^2$ terhadap $y,$ yaitu ${\displaystyle \frac{\partial (y^2)}{\partial y}}=2y.$
Kita dapatkan bahwa hasil (1a) dan (1b) tidak sama. $★$
Selanjutnya,
(2a) Cek turunan parsial $u=x^2$ terhadap $y,$ yaitu ${\displaystyle \frac{\partial (x^2)}{\partial y}}=0.$
(2b) Cek negatif turunan parsial $v=y^2$ terhadap $x,$ yaitu $-{\displaystyle \frac{\partial (y^2)}{x}}=0.$
Kita dapatkan bahwa hasil (2a) dan (2b) sama.
Dengan demikian, $f(z)$ tetap tidak memenuhi PCR karena salah satu syarat tak terpenuhi.
Catatan: $★$ Dari sini sebenarnya sudah dapat disimpulkan bahwa $f(z)$ tidak memenuhi PCR.
Jawaban b)
Ubah fungsi $f$ dalam bentuk $x$ dan $y$ (sebelumnya dalam bentuk eksponen).
$\begin{array}{rl}f(z)& =f(r{e}^{i\theta })={\displaystyle \frac{1}{r{e}^{i\theta }}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{r(\cos \theta +i\sin \theta )}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{x+iy}}={\displaystyle \frac{x-iy}{x^2+y^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}}-\left({\displaystyle \frac{y}{x^2+y^2}}\right)i\end{array}$
Diperoleh $u={\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}}$ dan $v={\displaystyle \frac{-y}{x^2+y^2}}.$
(1a) Cek turunan parsial $u$ terhadap $x.$
${\displaystyle \frac{\partial \left({\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}}\right)}{\partial x}}={\displaystyle \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2{)}^2}}$
(1b) Cek turunan parsial $v$ terhadap $y.$
${\displaystyle \frac{\partial (-{\displaystyle \frac{y}{x^2+y^2}})}{\partial y}}={\displaystyle \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2{)}^2}}$
Kita dapatkan bahwa hasil (1a) dan (1b) sama.
Selanjutnya,
(2a) Cek turunan parsial $u$ terhadap $y.$
${\displaystyle \frac{\partial \left({\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}}\right)}{\partial y}}={\displaystyle \frac{-2xy}{(x^2+y^2{)}^2}}$
(2b) Cek negatif turunan parsial $v$ terhadap $x.$
$-{\displaystyle \frac{\partial \left({\displaystyle \frac{-y}{x^2+y^2}}\right)}{x}}={\displaystyle \frac{-2xy}{(x^2+y^2{)}^2}}$
Kita dapatkan bahwa hasil (2a) dan (2b) sama.
Dengan demikian, $f(z)$ memenuhi PCR.

Periksa apakah fungsi kompleks tersebut memenuhi PCR atau tidak. Perhatikan bahwa
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\partial (2x(1-y))}{\partial x}}& =2-2y\\ & ={\displaystyle \frac{\partial (x^2-y^2+2y)}{\partial y}}\end{array}$
dan juga
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\partial (2x(1-y))}{\partial y}}& =-2x\\ & =-{\displaystyle \frac{\partial (x^2-y^2+2y)}{\partial x}}.\end{array}$
Terlihat bahwa solusi sistem PCR terpenuhi di seluruh bidang kompleks. Jadi, $f$ fungsi analitik.

Cek turunan parsial kedua dari $2x(1-y)=2x-2xy$ terhadap $x.$
$${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}\left({\displaystyle \frac{\partial (2x–2xy)}{\partial x}}\right)={\displaystyle \frac{\partial (2-2y)}{\partial x}}=0.$$Selanjutnya, cek turunan parsial kedua dari $2x(1-y)=2x-2xy$ terhadap $y.$
$${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}\left({\displaystyle \frac{\partial (2x–2xy)}{\partial y}}\right)={\displaystyle \frac{\partial (-2x)}{\partial y}}=0.$$Karena ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}}+{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}}=0$, maka $U$ memenuhi Persamaan Laplace sehingga dapat dikatakan bahwa fungsi $U$ adalah fungsi harmonik. 

Suatu fungsi kompleks dikatakan fungsi analitik jika memenuhi PCR, yaitu:
(1)
${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}={\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}}=2-2y$ sehingga
$\begin{array}{rl}v& ={\displaystyle \int \left({\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}}\right)\text{d}y}\\ & =\int (2-2y)\text{d}y\\ & =2y-y^2+C(x).\end{array}$
(2)
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}& =-{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}}\\ {\displaystyle \frac{\partial (2y-y^2+C(x))}{\partial x}}& =-(-2x)\\ C^{\prime }(x)& =2x\\ C(x)& =x^2.\end{array}$
Dengan demikian, kita dapatkan
$\boxed{{\displaystyle v=2y-y^2+x^2}}$

Perhatikan bahwa $f(z)=u+iv=(y^3-3x^{2}y)+iv.$
Fungsi $f$ memenuhi PCR sehingga haruslah berlaku
(1)
${\displaystyle \frac{\partial (y^3-3x^{2}y)}{\partial x}}={\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}}=-6xy$
Dengan integral, kita dapat menentukan $v$ sebagai berikut.
$\begin{array}{rl}v& ={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}}\text{d}y}\\ & =\int (-6xy)\text{d}y\\ & =-3x{y}^2+C(x)★\end{array}$
(2)
${\displaystyle \frac{\partial (y^3-3x^{2}y)}{\partial y}}=-{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}=3y^2–3x^2.$
Dari $★$, kita tuliskan
$-3y^2+C^{\prime }(x)=3y^2-3x^2.$
Diperolehlah $C^{\prime }(x)=3x^2$ atau $C(x)=x^3.$
Jadi, $v=-3y^2+x^3$ sehingga $\boxed{{\displaystyle f(z)=y^3-3x^{2}y+(x^3-3y^2)i}}$

Fungsi $f(z)$ dapat diekspansikan dalam bentuk deret pangkat di sekitar $z=0$ dengan uraian Maclaurin, yaitu
$$\ln (1-z)=-z-{\displaystyle \frac{z^2}{2}}-{\displaystyle \frac{z^3}{3}}-{\displaystyle \frac{z^4}{4}}-\cdots$$Untuk menentukan titik singularnya, harus dicari titik saat $f(z)$ tidak memiliki turunan. Perhatikan bahwa jika $f(z)=\ln (1-z)$, maka
$f^{\prime }(z)=-{\displaystyle \frac{1}{1-z}}$, berarti titik singular yang dimaksud adalah $z=1$. Jadi, daerah lingkaran konvergensinya adalah lingkaran dengan pusat di titik asal dan berjari-jari $1$.

Diketahui $u(x,y)=x^2-y^2.$
Agar fungsi tersebut analitik, maka PCR harus terpenuhi, yaitu
${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}=2x={\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}}$
sehingga
$\begin{array}{rl}v& ={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}}\text{d}y}\\ & =\int 2x\text{d}y=2xy+C(x)★\end{array}$
Selain itu, juga harus memenuhi persamaan
$-{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}}=2y={\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}$, dan dari $★$, didapat $2y+C^{\prime }(x)=2y$ sehingga $C^{\prime }(x)=0$ dan akibatnya $C(x)=C.$
Jadi, bagian imajiner dalam fungsi kompleks tersebut adalah $v=2xy+C$ dengan $C$ sebagai suatu konstanta sembarang.