Suku banyak atau polinomial adalah salah satu materi matematika tingkat SMA yang merupakan bagian besar dari ruang lingkup aljabar. Suku banyak adalah ekspresi aljabar yang berbentuk
untuk bilangan cacah, adalah koefisien masing-masing variabel, serta suatu konstanta dengan syarat
Contoh suku banyak:
Bukan suku banyak:
Untuk menambah pemahaman tentang materi ini, berikut penulis sajikan sejumlah soal beserta pembahasannya yang dikumpulkan dari berbagai sumber. Semoga bermanfaat.
Unduh soal dengan klik tautan:Download (PDF, 173 KB).
Quote by Robert T. Kiyosaki
In school we learn that mistakes are bad and we are punished for making them. Yet, if you look at the way humans are designed to learn, we learn by making mistakes. We learn to walk by falling down. If we never fell down, we would never walk.
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Berikut ini yang bukan merupakan bentuk suku banyak adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Berdasarkan definisi, suatu ekspresi berbentuk dengan bilangan bulat positif, disebut suku banyak (polinomial) satu variabel.
Cek opsi A:
Perhatikan bahwa sehingga ekspresi yang diberikan sama dengan dan jelas ini merupakan suku banyak.
Cek opsi B:
Jelas suku banyak karena berbentuk seperti definisi. Perhatikan bahwa koefisien tidak harus bernilai bulat.
Cek opsi C:
Bukan suku banyak karena ada ekspresi trigonometri dengan adalah variabel.
Cek opsi D:
Jelas suku banyak karena berbentuk seperti definisi.
Cek opsi E:
Koefisien dari setiap suku dinyatakan dalam bentuk trigonometri yang nilainya sudah jelas (misalnya ), sedangkan variabelnya berpangkat bulat positif. Karena sesuai definisi, ekspresi tersebut tergolong suku banyak.
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 2
Jika dibagi oleh , maka sisa pembagiannya adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Diketahui:
Pembagi:
Dalam hal ini, dapat ditulis
Karena pembagi (divisor) berbentuk polinomial berderajat dua, maka sisa hasil baginya berupa polinomial berderajat satu, yaitu sehingga
Substitusi , diperoleh
Substitusi , diperoleh
Diperoleh SPLDV:
Selesaikan sistem sehingga diperoleh dan .
Jadi, sisa hasil baginya adalah
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 3
Jika faktor-faktor adalah dan , maka nilai dan berturut-turut adalah
A. dan
B. dan
C. dan
D. dan
E. dan
Pembahasan
Diketahui memiliki faktor dan
Pembuat nol pembagi:
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh
Karena merupakan faktor dari , berdasarkan teorema faktor, diperoleh
Pembuat nol pembagi:
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh
Karena juga merupakan faktor dari berdasarkan teorema faktor, diperoleh
Jadi, diperoleh SPLDV:
Penyelesaian sistem di atas adalah dan
Jadi, nilai dari
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 4
Diketahui dua polinom, yaitu dan . Jika kedua polinom ini dibagi dengan sehingga sisa hasil baginya sama, maka nilai
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Misalkan:
dengan pembagi
Pembuat nol pembagi:
Dengan menggunakan metode Horner, untuk polinom diperoleh
Untuk polinom diperoleh
Karena sisa hasil baginya sama, didapat
Jadi, nilai
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 5
Diketahui adalah faktor . Jika dibagi , maka sisa hasil pembagiannya adalah . Nilai
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Diketahui memiliki faktor
Pembuat nol pembagi:
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh
Karena merupakan faktor , haruslah
Diketahui dibagi memiliki sisa hasil bagi .
Pembuat nol pembagi:
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh
Karena bersisa , diperoleh
Diperoleh SPLDV:
Penyelesaian dari sistem di atas adalah dan .
Dengan demikian, nilai dari
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 6
adalah suku banyak berderajat tiga. adalah faktor dari . Jika dibagi oleh bersisa , maka suku banyak tersebut adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Diketahui bahwa:
Catatan: Karena merupakan faktor dari , maka sisa hasil baginya adalah .
Pada persamaan , bentuk dapat difaktorkan menjadi sehingga dapat ditulis Substitusi menghasilkan
Substitusi menghasilkan
Misalkan hasil bagi oleh adalah sehingga dapat ditulis
Substitusi , diperoleh
Substitusi , diperoleh
Diperoleh SPLDV:
Penyelesaian dari sistem di atas adalah dan .
Dengan demikian,
Jadi, suku banyak tersebut adalah
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 7
Diketahui dan adalah faktor-faktor suku banyak . Jika , dan adalah akar-akar suku banyak tersebut, maka nilai dari
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Karena dan adalah faktor-faktor suku banyak , dapat ditulis
dengan sebagai hasil baginya.
Dengan menggunakan metode Horner dua tingkat dengan pembuat nol pembagi dan , diperoleh
Dari tahap II Skema Horner di atas, diperoleh sehingga .
Dari tahap I Skema Horner di atas, diperoleh . Substitusi , diperoleh
Dari baris terakhir Skema Horner, diperoleh hasil baginya adalah
Dengan demikian, suku banyak itu adalah dengan akar-akarnya adalah sehingga
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 8
Salah satu akar persamaan suku banyak adalah . Jumlah akar-akar yang lain dari persamaan tersebut adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Karena salah satu akar suku banyaknya adalah , dapat ditulis
dengan sebagai hasil baginya.
Dengan menggunakan metode Horner dengan pembuat nol pembagi , diperoleh
Diperoleh:
dengan hasil baginya
Substitusi , diperoleh
Dengan demikian, suku banyaknya dapat ditulis
Diperoleh dua akar yang lain, yaitu dan
Jumlah akarnya adalah
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 9
Suku banyak habis dibagi oleh . Salah satu faktor linear lainnya adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Diketahui: memiliki faktor
Pembuat nol pembagi:
Dengan demikian, diperoleh
Hasil baginya adalah
Substitusi , diperoleh
Oleh karena itu, suku banyak tersebut dapat ditulis menjadi
Jadi, faktor linear lainnya dari adalah dan
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 10
Salah satu faktor suku banyak adalah . Faktor lainnya adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Diketahui: memiliki faktor
Pembuat nol pembagi:
Dengan demikian, diperoleh
Hasil baginya adalah
Perhatikan bahwa konstanta memiliki faktor bulat, yaitu , dan .
Beberapa dari bilangan tersebut akan menjadi faktor dari .
Substitusi pada , diperoleh
Karena , haruslah merupakan salah satu faktor dari sehingga sekarang dapat ditulis
Jadi, faktor lainnya dari adalah (sesuai dengan alternatif pilihan yang diberikan).
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 11
Diketahui jika dibagi bersisa sedangkan jika dibagi dengan bersisa Sisa pembagian oleh adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Diketahui:
dibagi bersisa ;
dibagi bersisa .
Untuk itu, dapat ditulis
Substitusi dan berturut-turut pada persamaan pertama dan kedua, diperoleh
Misalkan sisa hasil bagi oleh adalah , yang satu derajat kurang dari pembaginya sehingga
Substitusi dan berturut-turut pada persamaan di atas sehingga diperoleh
Selesaikan SPLDV di atas untuk memperoleh dan
Dengan demikian, sisa hasil baginya adalah
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 12
Suatu suku banyak berderajat 3 jika dibagi bersisa dan jika dibagi bersisa . Suku banyak itu adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Karena merupakan polinomial berderajat , hasil baginya ketika dibagi oleh pasti dalam bentuk linear. Ini juga sama ketika dibagi oleh .
Untuk itu, dapat ditulis
Faktorkan pembagi pada persamaan pertama sehingga
Substitusi dan berturut-turut pada persamaan pertama sehingga diperoleh
Sekarang, substitusi pada persamaan kedua.
Substitusi menghasilkan
Diperoleh SPLDV:
Dengan menggunakan metode eliminasi, diperoleh
Substitusikan ke salah satu persamaan, misalkan pada persamaan kedua.
Dengan demikian, sekarang dapat ditulis
Jadi, suku banyak adalah
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 13
Diketahui dan adalah faktor-faktor dari suku banyak . Jika akar-akar persamaan suku banyak tersebut adalah , dan untuk , maka nilai
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Karena dan adalah faktor-faktor dari suku banyak , diperoleh
dengan sebagai hasil baginya.
Dengan menggunakan metode Horner dua tingkat untuk pembuat nol pembagi dan , diperoleh
Diperoleh SPLDV:
Penyelesaian dari sistem di atas adalah dan .
Dari barisan terakhir skema Horner di atas, diperoleh hasil baginya adalah
Substitusi menghasilkan
Dengan demikian, suku banyak dapat ditulis menjadi
sehingga akar-akarnya adalah
Jadi, nilai dari adalah
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 14
Diketahui suku banyak . Jika dibagi bersisa dan jika dibagi bersisa , maka sisa pembagian suku banyak oleh adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Diketahui:
dibagi bersisa sehingga dengan menggunakan metode Horner, didapat
Karena bersisa , berarti
Selanjutnya, dibagi bersisa sehingga dengan menggunakan metode Horner, didapat
Karena bersisa , berarti
Diperoleh SPLDV:
Penyelesaian dari sistem di atas adalah dan
Dengan demikian,
Misalkan dibagi oleh bersisa sehingga dapat ditulis
Substitusi , didapat
Substitusi , didapat
Diperoleh SPLDV:
Penyelesaian dari sistem di atas adalah dan
Jadi, sisa hasil baginya adalah
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 15
Jika dengan habis dibagi oleh , maka nilai adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
dapat dinyatakan sebagai
Dengan menggunakan metode Horner dua tingkat, diperoleh
Diperoleh SPLDV:
Dengan menggunakan metode eliminasi, diperoleh
Jadi, nilai adalah
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 16
Polinom habis dibagi oleh . Jika , maka nilai
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Perhatikanlah bahwa
Ini artinya, dan akan mengakibatkan , karena merupakan faktornya. Dengan demikian, dapat ditulis
Substitusi , diperoleh
Substitusi , diperoleh
Jadi, nilai
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 17
Sisa pembagian oleh adalah . Nilai adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Misalkan sehingga dapat ditulis
Substitusi , diperoleh
Substitusi , diperoleh
Diperoleh SPLDV:
Penyelesaian dari sistem di atas adalah sehingga nilai dari
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 18
Diketahui , dengan dan konstan. Jika dibagi oleh bersisa , maka akan bersisa
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Diketahui:
Karena dibagi bersisa , dapat ditulis
dengan sebagai hasil baginya.
Substitusi , diperoleh atau ditulis
Misalkan dibagi bersisa sehingga
Substitusi , diperoleh
Jadi, sisa hasil baginya adalah
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 19
Nilai yang mengakibatkan
habis dibagi oleh adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Misalkan Dengan menggunakan metode Horner untuk , diperoleh
Dari persamaan , diperoleh sehingga .
Substitusi pada persamaan sehingga didapat
Jadi, nilai dari
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 20
Jika suku banyak berderajat habis dibagi , maka sisa dibagi oleh adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Misalkan dibagi oleh bersisa (sisanya polinomial berderajat dua karena pembaginya berderajat tiga).
Dengan demikian, dapat ditulis
Karena habis dibagi oleh , substitusi menghasilkan
dan substitusi menghasilkan
Eliminasi pada kedua persamaan di atas sehingga diperoleh
Eliminasi pada kedua persamaan di atas sehingga diperoleh .
Selanjutnya, substitusi pada sehingga diperoleh
Karena dan , diperoleh
Dengan demikian,
Untuk itu,
Jadi, sisa hasil baginya adalah
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 21
Apabila akar-akar persamaan membentuk barisan aritmetika dengan beda , maka haruslah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Karena persamaan itu berderajat , ada paling banyak akar yang memenuhi.
Misalkan merupakan akar-akar persamaan suku banyak tersebut.
Berdasarkan teorema Vieta, kita peroleh
Keempat akar itu membentuk barisan aritmetika dengan beda sehingga jika dimisalkan sebagai suku pertama, maka ketiganya dapat ditulis sebagai berikut.
Dari , kita peroleh
Untuk itu, didapat , , dan sehingga ruas kiri persamaan suku banyak dapat ditulis dalam pemfaktoran:
Jika kita jabarkan kembali, diperoleh
yang didasari pada persamaan semula:
Jadi, nilai , , dan .
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 22
Diketahui persamaan polinomial memiliki sepasang akar yang berkebalikan. Nilai
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Persamaan berderajat tiga sehingga paling banyak memiliki akar.
Misalkan ketiga akar itu adalah , dan . Sepasang akar diketahui berkebalikan, yaitu , ekuivalen dengan .
Berdasarkan teorema Vieta, hasil kali ketiga akar itu dinyatakan oleh
Substitusi pada persamaan polinomial tersebut.
Jadi, nilai
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 23
Diberikan suatu polinomial dengan . Nilai dari
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Diketahui bahwa adalah polinom monik berderajat .
Agar ini terpenuhi, haruslah merupakan polinom monik berderajat .
Misalkan .
Akibatnya, kita peroleh
Bandingkan koefisien tiap suku dengan .
Pada kesamaan koefisien , kita peroleh yang berarti .
Sekarang, pada kesamaan koefisien , kita substitusikan untuk mendapatkan nilai .
Didapat .
Dengan demikian,
Catatan:
Jadi, nilai dari
(Jawaban A)
[collapse]
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Dekomposisi Pecahan Parsial
Soal Nomor 24
Jika suku banyak dibagi bersisa dan jika dibagi bersisa , maka nilai
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Diketahui dibagi bersisa . Kita tuliskan,
Substitusi dan kita peroleh
Diketahui juga dibagi bersisa . Kita tuliskan,
Substitusi dan kita peroleh
Jadi, nilai dari
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 25
Diketahui suku banyak dibagi mempunyai sisa dan suku banyak dibagi bersisa . Jika sisa pembagian oleh sama dengan sisa pembagian oleh serta , maka sisa pembagian oleh adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Diberikan:
Jika , kita peroleh
Jika , kita peroleh
Diberikan juga:
Jika , kita peroleh
Jika , kita peroleh
Misalkan sisa hasil bagi oleh dan oleh adalah sehingga
Dari persamaan polinomial pertama, ambil dan kita peroleh
Dari persamaan polinomial kedua, ambil dan kita peroleh
Akibatnya, sehingga
Karena itu, berturut-turut didapat
Selanjutnya, akan dicari sisa pembagian oleh , dimisalkan .
Catat bahwa , , , dan .
Substitusi , didapat
Substitusi , didapat
Dari dua persamaan di atas, kita akan memperoleh dan . Jadi, sisa hasil baginya adalah
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 26
Misalkan adalah bilangan-bilangan real berbeda yang memenuhi
Nilai
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Misalkan .
Dengan demikian, tiga persamaan di atas dapat ditulis menjadi
Perhatikan bahwa dapat diasumsikan sebagai akar dari polinom
Berdasarkan Teorema Vieta, kita peroleh
Karena dimisalkan , diperoleh
Dengan menggunakan teorema Vieta untuk hasil kali ketiga akar pada polinom di atas, kita peroleh
Jadi, nilai
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 27
Diketahui polinomial berderajat enam dengan dan Nilai dari adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Perhatikan bahwa berderajat enam. Untuk , berlaku Ini menandakan bahwa ada satu suku yang memengaruhi nilai sedangkan suku lainnya bisa kita atur agar nilainya dengan menggunakan teorema faktor.
Jadi, nilai dari adalah
(Jawaban E)
[collapse]
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Carilah nilai fungsi berikut dengan menggunakan metode Horner.
a) jika
b) jika
Pembahasan
Jawaban a)
Diketahui:
Susun koefisien variabel mulai dari terbesar ke terkecil, kemudian gunakan algoritma Horner.
Jadi, nilai dari
Jawaban b)
Diketahui:
Susun menjadi:
Susun koefisien variabel mulai dari terbesar ke terkecil, kemudian gunakan algoritma Horner.
Jadi, nilai dari
[collapse]
Soal Nomor 2
Tentukan hasil bagi dan sisa hasil bagi dari:
a) dibagi oleh
b) dibagi oleh
Pembahasan
Jawaban a)
Misal
Cara 1: Metode Horner
Pembuat nol pembagi:
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh
Diperoleh, hasil baginya adalah dan sisa hasil baginya .
Cara 2: Metode Pembagian Bersusun

Diperoleh, hasil baginya adalah dan sisa hasil baginya .
Jawaban b)
Misal
Cara 1: Metode Horner
Pembuat nol pembagi:
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh
Diperoleh, hasil baginya adalah dan sisa hasil baginya .
Cara 2: Metode Pembagian Bersusun

Diperoleh, hasil baginya adalah dan sisa hasil baginya .
[collapse]
Soal Nomor 3
Jika suku banyak dibagi oleh , maka sisanya adalah . Tentukan nilai .
Pembahasan
Misalkan
sehingga dapat ditulis
Jika , diperoleh .
Jika , diperoleh .
Dengan menggunakan metode Horner untuk , diperoleh
Karena bersisa , diperoleh
Dengan menggunakan metode Horner untuk , diperoleh
Karena bersisa , diperoleh
Diperoleh SPLDV:
Penyelesaian sistem di atas adalah dan .
Jadi, nilai dari
[collapse]
Soal Nomor 4
Tentukan nilai dan sehingga habis dibagi oleh .
Pembahasan
Misalkan:
Pembagi:
Dengan menggunakan metode Horner untuk , diperoleh
dengan dan
Karena merupakan salah satu faktor , berlaku
Berikutnya, dengan menggunakan metode Horner untuk diperoleh
dengan dan
.
Karena merupakan salah satu faktor , berlaku
Diperoleh SPL:
Penyelesaian sistem di atas adalah dan .
Jadi, nilai
[collapse]
Soal Nomor 5
Jika adalah faktor dari suku banyak , tentukan nilai dari , dan .
Pembahasan
Misalkan Perhatikan bahwa merupakan faktor dari sehingga
Dari sini, kita dapatkan
Agar ruas kanan bernilai , semua koefisien dan konstanta pada ruas kiri harus dibuat menjadi .
Pada konstanta, diperoleh .
Pada koefisien , diperoleh
Pada koefisien , diperoleh
Jadi, nilai , dan berturut-turut adalah , dan .
[collapse]
Soal Nomor 6
Jika adalah faktor dari , tentukan nilai , dan .
Pembahasan
Misalkan .
Perhatikan bahwa merupakan faktor dari sehingga .
Dari sini, kita dapatkan
Agar ruas kanan bernilai , semua koefisien dan konstanta pada ruas kiri harus dibuat menjadi .
Pada konstanta, diperoleh .
Pada koefisien , diperoleh
Pada koefisien , diperoleh
Dari persamaan dan , kita dapatkan .
Jadi, nilai , dan berturut-turut adalah , dan .
[collapse]
Soal Nomor 7
Suku banyak mempunyai tujuh akar real berbeda dan salah satunya adalah nol. Tentukan koefisien yang tidak boleh bernilai nol.
Pembahasan
Karena suku banyak tersebut berderajat dan memiliki tujuh akar real berbeda, tidak ada satu pun akar yang nilainya sama.
Diketahui salah satu akarnya nol sehingga substitusi pada menghasilkan . Jadi, Dari bentuk ini, nilai tidak boleh bernilai nol karena jika ini terjadi, maka memiliki dua akar yang sama, yaitu nol. Dalam hal ini, ditulis
Jadi, koefisien yang tidak boleh bernilai nol adalah
[collapse]
Soal Nomor 8
Sebuah polinomial berderajat yang semua koefisiennya real memiliki tepat buah akar real (dengan memperhitungkan pengulangan). Contohnya, mempunyai lima akar real, sedangkan hanya mempunyai satu akar real.
Di antara bilangan asli dari sampai , manakah yang tidak mungkin menjadi nilai ?
Pembahasan
Persamaan polinomial berderajat genap memiliki kemungkinan untuk tidak memiliki akar real, sedangkan persamaan polinomial berderajat ganjil pasti setidaknya memiliki satu akar real.
Misalkan adalah fungsi polinomial berderajat . Polinomial tersebut dapat memiliki akar real jika dapat dituliskan dalam lima faktor linear.
Polinomial juga dapat memiliki akar real jika dapat dituliskan dalam tiga faktor linear.
Polinomial juga dapat memiliki akar real jika dapat dituliskan dalam satu faktor linear.
Polinomial tersebut tidak akan mungkin memiliki akar real sebanyak genap. Dalam hal ini, polinomial tidak mungkin memiliki atau akar real.
[collapse]
Soal Nomor 9
Diketahui dan adalah bilangan rasional. Jika diketahui persamaan mempunyai empat akar real, dua di antaranya adalah dan tentukan nilai dari
Pembahasan
Perhatikan bahwa koefisien dari setiap polinomial pada ruas kiri persamaan tersebut adalah bilangan rasional, padahal dua akarnya diketahui irasional, yaitu dan Agar menghasilkan koefisien rasional, haruslah bentuk harus dipasangkan dengan , begitu juga dengan harus dipasangkan dengan Jadi, kita dapat tuliskan.
Jadi, diperoleh nilai koefisien:
Dengan demikian, nilai
[collapse]
Soal Nomor 10 (Soal KSN)
Misalkan suatu polinom sehingga . Jika , maka
Pembahasan
Perhatikan bahwa persamaan polinom tersebut dapat kita tulis sebagai berikut.
Jika adalah polinom berderajat dengan koefisien maka juga demikian halnya sehingga hasil pengurangannya mengeliminasi suku berderajat tertinggi. Artinya, tersisa suku dengan variabel berderajat di bawahnya. Jadi, kita simpulkan bahwa berderajat tiga.
Misalkan dengan
Kita tuliskan
Berdasarkan kesamaan polinom pada baris terakhir, kita peroleh
Jadi, kita peroleh
Karena diketahui maka dengan substitusi diperoleh
Jadi, bentuk polinom tersebut adalah sehingga
[collapse]