Dalam matematika, jumlahan Newton (Newton’s sums) atau terkadang juga disebut sebagai Identitas Newton atau Rumus Girard-Newton adalah salah satu teorema yang menjadi fondasi dalam aljabar terutama pada materi tentang polinomial. Teorema ini ditemukan oleh Isaac Newton pada tahun 1666, tetapi sebelumnya telah dikembangkan oleh Albert Girard, salah satu matematikawan Prancis pada abad itu.
Jumlahan Newton adalah teknik yang digunakan untuk mencari jumlahan akar-akar berpangkat dari suatu polinomial (suku banyak). Selain itu, teknik ini juga dipakai untuk mendapatkan sejumlah identitas pemfaktoran yang sangat penting dalam bidang aljabar.
Diberikan polinomial $P(x)$ berderajat $n,$ yaitu
$$P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$$Misalkan $P(x) = 0$ memiliki akar-akar $x_1, x_2, \cdots, x_n.$ Definisikan penjumlahan berikut.
$$\begin{cases} P_1 & = x_1+x_2+\cdots+x_n \\ P_2 & = x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 \\ \vdots & \\ P_k & = x_1^k+x_2^k+\cdots+x_n^k \\ \vdots & \end{cases}$$Menurut jumlahan Newton, berlaku
$$\begin{aligned} a_nP_1 + a_{n-1} & = 0 \\ a_nP_2 + a_{n-1}P_1 + 2a_{n-2} & = 0 \\ a_nP_3 + a_{n-1}P_2 + a_{n-2}P_1 + 3a_{n-3} & = 0 \\ \vdots & \end{aligned}$$(Definisikan $a_j = 0$ untuk $j < 0$).
BUKTI
Misalkan $\alpha, \beta, \gamma, \cdots, \omega$ adalah akar-akar dari polinomial
$$P(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$sehingga haruslah
$$P(\alpha)=P(\beta)=P(\gamma) = \cdots = P(\omega) = 0.$$Oleh karena itu,
$$\begin{cases} a_n\alpha^n + a_{n-1} \alpha^{n-1} + \cdots + a_0 & = 0 \\ a_n\beta^n + a_{n-1} \beta^{n-1} + \cdots + a_0 & = 0 \\ \hspace{4cm} \vdots \\ a_n\omega^n + a_{n-1} \omega^{n-1} + \cdots + a_0 & = 0. \end{cases}$$Kalikan setiap persamaan di atas dengan $\alpha^{k-n},$ $\beta^{k-n}$, $\cdots$, $\omega^{k-n}$ berturut-turut sehingga didapat
$$\begin{cases} a_n\alpha^{n+k-n} + a_{n-1} \alpha^{n-1+k-n} + \cdots + a_0\alpha^{k-n} & = 0 \\ a_n\beta^{n+k-n} + a_{n-1} \beta^{n-1+k-n} + \cdots + a_0\beta^{k-n} & = 0 \\ \hspace{4cm} \vdots \\ a_n\omega^{n+k-n}+ a_{n-1} \omega^{n-1+k-n} + \cdots + a_0\omega^{k-n} & = 0 \end{cases}$$atau disederhanakan menjadi
$$\begin{cases} a_n\alpha^{k} + a_{n-1} \alpha^{k-1} + \cdots + a_0\alpha^{k-n} & = 0 \\ a_n\beta^{k} + a_{n-1} \beta^{k-1} + \cdots + a_0\beta^{k-n} & = 0 \\ \hspace{4cm} \vdots \\ a_n\omega^{k}+ a_{n-1} \omega^{k-1} + \cdots + a_0\omega^{k-n} & = 0. \end{cases}$$Jumlahkan semua persamaan di atas.
$$\begin{aligned} & a_n\underbrace{(\alpha^k + \beta^k + \cdots + \omega^k)}_{P_k} + a_{n-1}\underbrace{(\alpha^{k-1} + \beta^{k-1} + \cdots + \omega^{k-1})}_{P_{k-1}} + \\ & a_{n-2}\underbrace{(\alpha^{k-2} + \beta^{k-2} + \cdots + \omega^{k-2})}_{P_{k-2}} + \cdots + \\ & a_{0}\underbrace{(\alpha^{k-n} + \beta^{k-n} + \cdots + \omega^{k-n})}_{P_{k-n}} = 0 \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$a_nP_k + a_{n-1}P_{k-1}+a_{n-2}P_{k-2}+\cdots+a_0P_{k-n} = 0.$$Contoh:
Diberikan suatu polinomial $P(x) = x^3+3x^2+4x-8.$ Misalkan akar-akarnya adalah $r, s$, dan $t$. Carilah nilai dari $r^2+s^2+t^2$ dan $r^4+s^4+t^4.$
Berdasarkan jumlahan Newton, kita ketahui bahwa
$$\begin{aligned} P_1 + 3 & = 0 \\ P_2 + 3P_1 + 2(4) & = 0 \\ P_3 + 3P_2 + 4P_1+3(-8) & = 0 \\ P_4 + 3P_3 + 4P_2-8P_1 & = 0 \end{aligned}$$Selesaikan $P_1, P_2, P_3$, kemudian $P_4$ secara berturut-turut dengan menggunakan persamaan pertama, kedua, ketiga, dan keempat sehingga akan diperoleh
$$\begin{aligned} P_1 &= r + s + t = -3 \\ P_2 & = r^2+s^2+t^2 = 1 \\ P_3 & = r^3+s^3+t^3 = 33 \\ P_4 & = r^4+s^4+t^4 = -127. \end{aligned}$$Jadi, diperoleh nilai $\boxed{r^2+s^2+t^2 = 1}$ dan $\boxed{r^4+s^4+t^4 = -127}.$
Berikut ini disajikan sejumlah soal dan pembahasan mengenai penyelesaian permasalahan yang melibatkan jumlahan Newton. Semoga dapat dipahami.
Quote by Confucius
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Jika persamaan $x^2-5x+6=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$, maka nilai dari $x_1^4 + x_2^4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$ C. $35$ E. $97$
B. $13$ D. $64$
Alternatif 1: Pemfaktoran
Persamaan kuadrat $x^2-5x+6=0$ dapat ditulis menjadi $(x-2)(x-3) = 0$ setelah bentuk di ruas kirinya difaktorkan sehingga diperoleh $x_1 = 2$ dan $x_2 = 3$ (urutan tidak menjadi masalah). Artinya, nilai dari $x_1^4+x_2^4 = 2^4 + 3^4 = 97.$
Alternatif 2: Jumlahan Newton
Diketahui $x^2-5x+6=0$ dengan koefisien dan konstanta $(1, -5, 6)$. Misalkan
$$\begin{cases} S_1 & = x_1+x_2 \\ S_2 & = x_1^2+x_2^2 \\ S_3 & = x_1^3+x_2^3 \\ S_4 & = x_1^4+x_2^4. \end{cases}$$Dalam soal ini, akan dicari nilai $S_4$.
Menurut jumlahan Newton,
$$\begin{aligned} \Rightarrow 1S_1-5(1) & = 0 \\ S_1 & = 5 \\ \Rightarrow 1S_2-5S_1+2(6) & = 0 \\ S_2-5(5)+12 & = 0 \\ S_2 & = 13 \\ \Rightarrow 1S_3-5S_2+6S_1 & = 0 \\ S_3-5(13)+6(5) & = 0 \\ S_3 & = 35 \\ \Rightarrow S_4-5S_3+6S_2 & = 0 \\ S_4-5(35)+6(13) & = 0 \\ S_4 & = 97. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{x_1^4+x_2^4=97}.$
(Jawaban E)
Soal Nomor 2
Jika $a$ dan $b$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^2-x-1=0$, maka $a^5+b^5$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3$ C. $6$ E. $13$
B. $5$ D. $11$
Diketahui $x^2-x-1=0$, dengan akar-akarnya $a$ dan $b$.
Misalkan $$\begin{cases} S_1 & = a+b \\ S_2 & = a^2+b^2 \\ S_3 & = a^3+b^3 \\ S_4 & = a^4+b^4 \\ S_5 & = a^5+b^5 \end{cases}$$Dengan menggunakan jumlahan Newton diperoleh
$$\begin{aligned} S_1-1 & = 0 \Leftrightarrow S_1 = 1 \\ S_2-S_1-2 & = 0 \Leftrightarrow S_2 = 3 \\ S_3-S_2-S_1 & = 0 \Leftrightarrow S_3 = 4 \\ S_4-S_3-S_2 & = 0 \Leftrightarrow S_1 = 7 \\ S_5-S_4-S_3 & = 0 \Leftrightarrow S_5 = 11.. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a^5+b^5=11}.$
(Jawaban D)
Soal Nomor 3
Diketahui $x^3-6x^2+11x-6=0$ mempunyai akar-akar $p, q$, dan $r$. Nilai dari $p^3+q^3+r^3 = \cdots \cdot$
A. $12$ C. $24$ E. $48$
B. $18$ D. $36$
Diketahui $x^3-6x^2+11x-6=0.$
Kita bisa saja mencari akar-akar persamaan tersebut, kemudian substitusikan masing-masing nilai ketiga akar untuk mendapatkan nilai $p^3+q^3+r^3,$ tetapi mencari akar persamaan kubik dan berderajat lebih tinggi lainnya tidak selalu mudah.
Alternatif lain yang dapat dipakai adalah dengan menggunakan jumlahan Newton. Misalkan
$$\begin{cases} S_1 & = p + q + r \\ S_2 & = p^2+q^2+r^2 \\ S_3 & = p^3+q^3+r^3. \end{cases}$$Dalam soal ini, akan dicari nilai $S_3$.
Menurut jumlahan Newton, berlaku
$$\begin{aligned} S_1 + 1(-6) & = 0 \Leftrightarrow S_1 = 6 \\ S_2-6S_1+2(11) & = 0 \Leftrightarrow S_2 = 14 \\ S_3-6S_2+11S_1+3(-6) & = 0 \\ S_3-6(14)+11(6)-18 & = 0 \\ S_3-84+66-18 & = 0 \Leftrightarrow S_3 = 36. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{p^3+q^3+r^3=36}.$
(Jawaban D)
Soal Nomor 4
Diketahui $a, b, c$ adalah bilangan real yang memenuhi sistem persamaan
$$\begin{cases} a+b+c & = 3 \\ a^2+b^2+c^2 & = 9 \\ a^3+b^3+c^3 & = 24 \end{cases}$$Nilai $a^4+b^4+c^4 = \cdots \cdot$
A. $32$ C. $51$ E. $81$
B. $48$ D. $69$
Alternatif 1: Menganggap Polinomialnya Umum
Misalkan $$\begin{cases} S_1 & = a+b+c = 3 \\ S_2 & = a^2+b^2+c^2 = 9 \\ S_3 & = a^3+b^3+c^3 = 24 \end{cases}$$dan akan dicari nilai dari $S_4 = a^4+b^4+c^4.$
Anggap terdapat suatu polinomial berderajat $3$, yaitu $px^3+qx^2+rx + t = 0$, dengan tiga akar $a, b, c$ dan $p \neq 0$.
Menurut jumlahan Newton, berlaku
$$\begin{aligned} pS_1 + q & = 0 \\ 3p + q & = 0 && (\cdots 1) \\ q & = -3p && (\cdots 2). \end{aligned}$$Berikutnya,
$$\begin{aligned} pS_2 + qS_1 + 2r & = 0 \\ 9p + 3q + 2r & = 0 \\ 3(3p + q) + 2r & = 0 \\ 3(0) + 2r & = 0 \\ r & = 0. \end{aligned}$$Selanjutnya,
$$\begin{aligned} pS_3 + qS_2 + rS_1 + 3t & = 0 \\ 24p + 9q + 3r + 3t & = 0 \\ 24p + 9q + 3(0) + 3t & = 0 \\ 8p + 3q + t & = 0 && (\text{dibagi}~3) \\ 8p + 3(-3p) + t & = 0 \\ -p + t & = 0 \\ t & = p. \end{aligned}$$Terakhir,
$$\begin{aligned} pS_4 + qS_3 + rS_2 + tS_1 & = 0 \\ pS_4 + 24q + 0(9) + 3t & = 0 \\ pS_4 + 24(-3p) + 3p & = 0 \\ S_4-72+3 & = 0 && (\text{dibagi}~p) \\ S_4 & = 69. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a^4+b^4+c^4 = 69}.$
Alternatif 2: Menganggap Polinomialnya Monik
Anggap polinomialnya monik (koefisien variabel pangkat tertingginya adalah $1$), yaitu $x^3 + qx^2 + rx + t = 0$ dengan $3$ akar, yaitu $a, b$, dan $c$.
Menurut jumlahan Newton, berlaku
$$\begin{aligned} 1S_1 + q & = 0 \\ 1(3) + q & = 0 \\ q & = -3. \end{aligned}$$Berikutnya,
$$\begin{aligned} 1S_2 + qS_1 + 2r & = 0 \\ 1(9) + (-3)(3) + 2r & = 0 \\ 9+(-9)+2r & = 0 \\ r & = 0. \end{aligned}$$Selanjutnya,
$$\begin{aligned} 1S_3+qS_2+rS_1+3t & = 0 \\ 1(24) + (-3)(9) + 0(3) + 3t & = 0 \\ 24-27+0+3t & = 0 \\ t & = 1. \end{aligned}$$Terakhir,
$$\begin{aligned} 1S_4+qS_3+rS_2+tS_1 & = 0 \\ S_4+(-3)(24) + 0(9) + 1(3) & = 0 \\ S_4-72+0+3 & = 0 \\ S_4 & = 69. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a^4+b^4+c^4=69}.$
(Jawaban D)
Soal Nomor 5
Diketahui polinomial monik $x^3 + px^2 + qx + r$ memiliki akar-akar $a, b$, dan $c$ yang memenuhi sistem persamaan $$\begin{cases} a+b+c = 1 \\ a^2+b^2+c^2 = 4 \\ a^3+b^3+c^3 = 9 \end{cases}$$Jika nilai $p + q + r = -\dfrac{m}{n}$, dengan $\text{FPB}(m, n) = 1,$ maka nilai $m + n = \cdots \cdot$
A. $3$ C. $11$ E. $14$
B. $7$ D. $12$
Misalkan $$\begin{cases} S_1 & = a+b+c = 1 \\ S_2 & = a^2+b^2+c^2 = 4 \\ S_3 & = a^3+b^3+c^3 = 9. \end{cases}$$Menurut jumlahan Newton, berlaku persamaan berikut.
$$\begin{aligned} 1S_1 + p & = 0 \\ 1(1) + p & = 0 \\ p & = -1 \end{aligned}$$Langkah kedua:
$$\begin{aligned} 1S_2+pS_1+2q & = 0 \\ 1(4)+(-1)(1)+2q & = 0 \\ 3+2q & = 0 \\ q & = -\dfrac32 \end{aligned}$$Langkah ketiga:
$$\begin{aligned} 1S_3+pS_2+qS_1+3r & = 0 \\ 1(9) + (-1)(4) + \left(-\dfrac32\right)(1) + 3r & = 0 \\ \dfrac72 + 3r & = 0 \\ r & = -\dfrac76 \end{aligned}$$Diperoleh nilai
$$p+q+r = -1-\dfrac32-\dfrac76 = -\dfrac{11}{3}$$sehingga $m = 11$ dan $n = 3,$ berarti $\boxed{m+n=14}.$
(Jawaban E)
Soal Nomor 6
Diketahui $p(x) = x^3 + 3x^2 + 4x-8$ memiliki akar-akar $a, b$, dan $c$. Nilai $$a^2(1+a^2) + b^2(1+b^2) + c^2(1+c^2)$$adalah $\cdots \cdot$
A. $127$ D. $-126$
B. $126$ E. $-127$
C. $0$
Diketahui $p(x) = x^3 + \underbrace{3}_{p}x^2 + \underbrace{4}_{q}x\underbrace{-8}_{r}$. Perhatikan bahwa bentuk yang ditanyakan sama dengan
$$(a^2+b^2+c^2)+(a^4+b^4+c^4).$$Misalkan $$\begin{cases} S_1 & = a+b+c \\ S_2 & = a^2+b^2+c^2 \\ S_3 & = a^3+b^3+c^3 \\ S_4 & = a^4+b^4+c^4. \end{cases}$$Menurut jumlahan Newton, berlaku persamaan berikut.
$$\begin{aligned} 1S_1 + p & = 0 \\ S_1 + 3 & = 0 \\ S_1 & = -3 \end{aligned}$$Langkah kedua:
$$\begin{aligned} 1S_2 + pS_1 + 2q & = 0 \\ S_2 + 3(-3) + 2(4) & = 0 \\ S_2-9+8 & = 0 \\ S_2 & = 1 \end{aligned}$$Langkah ketiga:
$$\begin{aligned} 1S_3+pS_2+ qS_1+3r & = 0 \\ S_3 + 3(1) + 4(-3) + 3(-8) & = 0 \\ S_3 + 3-12-24 & = 0 \\ S_3 & = 33 \end{aligned}$$Langkah keempat:
$$\begin{aligned} 1S_4+pS_3+qS_2+rS_1 & = 0 \\ S_4 + 3(33) + 4(1) + (-8)(-3) & = 0 \\ S_4 + 99 + 4 + 24 & = 0 \\ S_4 & = -127 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\begin{aligned} & a^2(1+a^2) + b^2(1+b^2) + c^2(1+c^2) \\ & = (a^2+b^2+c^2)+(a^4+b^4+c^4) \\ & = 1+(-127) = -126. \end{aligned}}$$(Jawaban D)
Soal Nomor 7
Diketahui $$\begin{cases} x+y+z & = 1 \\ x^2+y^2+z^2 & = e \\ x^3+y^3+z^3 & = e^2 \end{cases}$$Jika $xyz = \dfrac{ae^2+be+c}{6}$, maka nilai $a+b+c = \cdots \cdot$
A. $0$ C. $4$ E. $6$
B. $2$ D. $5$
Misalkan terdapat polinomial monik (polinomial yang koefisien dari variabel pangkat tertingginya sama dengan 1), yaitu $x^3+px^2+qx+r = 0$ dengan tiga akar, yaitu $x, y$, dan $z$. Menurut teorema Vieta, perkalian ketiga akar $xyz$ sama dengan $-\dfrac{r}{1} = -r$ sehingga akan dicari nilai $r$ dengan menggunakan jumlahan Newton.
Misalkan $$\begin{cases} S_1 & = x+y+z = 1 \\ S_2 & = x^2+y^2+z^2 = e \\ S_3 & = x^3+y^3+z^3 = e^2 \end{cases}$$Menurut jumlahan Newton, berlaku persamaan berikut.
$$\begin{aligned} 1S_1 + p & = 0 \\ S_1 + 1 & = 0 \\ S_1 & = -1 \end{aligned}$$Langkah kedua:
$$\begin{aligned} 1S_2 + pS_1 + 2q & = 0 \\ e + 1(-1) + 2q & = 0 \\ 2q & = 1-e \\ q & = \dfrac{1-e}{2} \end{aligned}$$Langkah ketiga:
$$\begin{aligned} 1S_3+pS_2+ qS_1+3r & = 0 \\ e^2 + 1(e) + \dfrac{1-e}{2} \cdot 1 + 3r & = 0 \\ 2e^2 + 2e + (1-e) + 6r & = 0 \\ 6r & = -2e^2-e-1 \\ r & = \dfrac{-2e^2-e-1}{6} \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$xyz = -r = \dfrac{2e^2+e+1}{6}.$$Dari bentuk ini, diperoleh $a = 2$, $b = 1$, dan $c = 1$ sehingga $\boxed{a + b + c = 2+1+1=4}.$
(Jawaban C)
Soal Nomor 8
Diberikan sistem persamaan
$$\begin{cases} x+y+z & = 3 \\ x^3+y^3+z^3 & = 15 \\ x^4+y^4+z^4 & = 35 \end{cases}$$mempunyai solusi real $x, y$, dan $z$ dengan $x^2+y^2+z^2 < 10$. Hasil dari $x^5+y^5+z^5$ adalah $\cdots \cdot$
A. $69$ C. $81$ E. $91$
B. $71$ D. $83$
Misalkan $$\begin{cases} S_1 & = x+y+z = 3 \\ S_2 & = x^2+y^2+z^2 \\ S_3 & = x^3+y^3+z^3 = 15 \\ S_4 & = x^4+y^4+z^4 = 35 \end{cases}$$dan akan dicari nilai dari $S_5 = x^5+y^5+z^5.$
Anggap terdapat suatu polinomial monik berderajat $3$ bervariabel $x$, yaitu $x^3+qx^2+rx+t = 0$ dengan tiga akar $x, y$, dan $z$.
Menurut jumlahan Newton, berlaku persamaan berikut.
$$\begin{aligned} 1S_1 + q & = 0 \\ 1(3) + q & = 0 \\ q & = -3 \end{aligned}$$Langkah kedua:
$$\begin{aligned} 1S_2+qS_1+2r & = 0 \\ S_2+3(-3)+2r & = 0 \\ S_2 & = 9-2r && (\cdots 1) \end{aligned}$$Langkah ketiga:
$$\begin{aligned} 1S_3+qS_2+rS_1+3t & = 0 \\ 1(15) + (-3)(9-2r) + r(3) + 3t & = 0 \\ 15-27+6r+3r+3t & = 0 \\ -12+9r+3t & = 0 \\ 3t & = 12-9r \\ t & = 4-3r && (\cdots 2) \end{aligned}$$Langkah keempat:
$$\begin{aligned} 1S_4+qS_3+rS_2+tS_1 & = 0 \\ 35+(-3)(15) + r(9-2r) + (4-3r)(3) & = 0 \\ 35-45+9r-2r^2+12-9r & = 0 \\ 2-2r^2 & = 0 \\ r^2 & = 1 \\ r & = \pm 1 \end{aligned}$$Kita peroleh dua kemungkinan nilai $r$.
Kemungkinan pertama:
Jika $r = 1$, maka $S_2 = 9-2(1) = 7 < 10.$
Kemungkinan kedua:
Jika $r = -1$, maka $S_2 = 9-2(-1)$ $= 11 > 10.$ (Tidak memenuhi syarat)
Jadi, nilai $r = 1$ sehingga $t = 1$.
Menurut jumlahan Newton,
$$\begin{aligned} 1S_5 + qS_4+rS_3+tS_2 & = 0 \\ S_5+(-3)(35) + 1(15) + 1(7) & = 0 \\ S_5-105+15+7 & = 0 \\ S_5 & = 83. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{x^5+y^5+z^5 = 83}.$
(Jawaban D)
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Diketahui polinomial berderajat tiga $$P(x) = x^3+33x^2+327x+935$$dengan $a, b, c$ sebagai akar-akar dari $P(x)$. Carilah nilai $a^2+b^2+c^2$ tanpa menyelesaikan $P(x) = 0$.
Diketahui $$P(x) = x^3+33x^2+327x+935.$$Misalkan $S_1 = a+b+c$ dan $S_2 = a^2+b^2+c^2.$
Menurut jumlahan Newton, berlaku
$$\begin{aligned} 1S_1 + 33 & = 0 \\ S_1 & = -33. \end{aligned}$$Berikutnya,
$$\begin{aligned} 1S_2 + 33S_1 + 2(327) & = 0 \\ S_2 + 33(-33) + 654 & = 0 \\ S_2-1089+654 & = 0 \\ S_2 & = 435. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a^2+b^2+c^2=435}.$
Soal Nomor 2
Diketahui $x, y$, dan $z$ memenuhi sistem persamaan berikut.
$$\begin{cases} x+y+z & = 1 \\ x^2+y^2+z^2 & = 3 \\ x^3+y^3+z^3 & = 7 \end{cases}$$Tentukan nilai $x^5+y^5+z^5.$
Langkah pertama:
Misalkan $$\begin{cases} S_1 & = x+y+z = 1 \\ S_2 & = x^2+y^2+z^2 = 3 \\ S_3 & = x^3+y^3+z^3 = 7 \end{cases}$$dan akan dicari nilai dari $S_5 = x^5+y^5+z^5.$
Anggap terdapat suatu polinomial monik berderajat $3$ bervariabel $x$, yaitu $x^3+qx^2+rx+t = 0$ dengan tiga akar $x, y$, dan $z$.
Menurut jumlahan Newton, berlaku persamaan berikut.
$$\begin{aligned} 1S_1 + q & = 0 \\ 1(1) + q & = 0 \\ q & = -1 \end{aligned}$$Langkah kedua:
$$\begin{aligned} 1S_2+qS_1+2r & = 0 \\ 1(3)+(-1)(1)+2r & = 0 \\ 3-1+2r & = 0 \\ r & = -1 \end{aligned}$$Langkah ketiga:
$$\begin{aligned} 1S_3+qS_2+rS_1+3t & = 0 \\ 1(7) + (-1)(3) + (-1)(1) + 3t & = 0 \\ 7+(-3)+(-1) + 3t & = 0 \\ 3 + 3t & = 0 \\ t & = -1 \end{aligned}$$Langkah keempat:
$$\begin{aligned} 1S_4+qS_3+rS_2+tS_1 & = 0 \\ S_4 + (-1)(7) + (-1)(3) + (-1)(1) & = 0 \\ S_4-7-3-1 & = 0 \\ S_4 & = 11 \end{aligned}$$Langkah terakhir:
$$\begin{aligned} 1S_5 + qS_4+rS_3+tS_2 & = 0 \\ S_5 + (-1)(11) + (-1)(7) + (-1)(3) & = 0 \\ S5-11-7-3 & = 0 \\ S_5 & = 21 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{x^5+y^5+z^5 = 21}.$