Sebelumnya, kita sudah mempelajari mengenai kalimat terbuka dan kalimat tertutup (proposisi), serta nilai kebenaran. Dalam logika matematika, ada notasi yang dipakai untuk menegasikan kebenaran suatu proposisi. Ketika proposisi tunggal dihubungkan dengan proposisi tunggal lainnya dengan menggunakan kata hubung tertentu, maka akan terbentuk proposisi majemuk. Proposisi majemuk tersebut memiliki nilai kebenaran yang bergantung pada proposisi tunggal pembentuknya. Berikut akan dibahas secara lebih rinci tentang istilah-istilah dalam logika matematika tersebut.
Today Quote
Tabel Kebenaran
Tabel kebenaran (truth table) adalah tabel yang digunakan untuk menunjukkan nilai kebenaran dari suatu proposisi tunggal maupun majemuk. Baris pertama (paling atas) pada tabel berisi nama/simbol proposisi, kemudian baris di bawahnya menunjukkan nilai kebenaran. Nilai kebenaran ada dua, yaitu B (Benar) atau S (Salah), sedangkan dalam bahasa Inggris (internasional), ditulis T (True) atau F (False). Lain halnya dengan logika komputer yang menyatakannya dalam bilangan biner, yaitu 1 (Benar) atau 0 (Salah). Di sini, kita akan menggunakan notasi B dan S.
Pada tabel kebenaran, disepakati bahwa penulisan nilai kebenaran mengutamakan BENAR pada proposisi pertama terlebih dahulu, kemudian baru diikuti proposisi berikutnya. Setelah itu, barulah proposisi pertama dianggap SALAH. Sebagai contoh, disajikan tabel kebenaran dengan proposisi
Untuk tabel kebenaran yang melibatkan tiga proposisi, misalnya
Urutan penulisannya selalu seperti itu dan tidak boleh tertukar.
Apabila kita mencari nilai kebenaran dari proposisi majemuk, maka dalam tabel kebenaran harus disajikan nilai kebenaran dari proposisi tunggal pembentuknya terlebih dahulu. Kolom terakhir (paling kanan) pada tabel kebenaran adalah nilai kebenaran dari proposisi majemuk yang dicari.
Ingkaran (Negasi)
Definisi: Ingkaran (Negasi)
Ingkaran atau negasi digunakan untuk menyangkal suatu proposisi. Ingkaran atau negasi
Tabel berikut menunjukkan bentuk proposisi beserta negasi/ingkaran yang sesuai dengannya.
Konjungsi
Definisi: Konjungsi
Ketika konjungsi digunakan, maka dua proposisi akan menjadi satu proposisi, disebut sebagai proposisi majemuk. Kata “dan” dalam matematika selanjutnya disimbolkan dengan notasi
Nilai kebenaran proposisi majemuk yang dihubungkan oleh konjungsi bergantung pada nilai kebenaran masing-masing proposisi tunggal pembentuknya, yaitu mengikuti ketentuan:
Negasi dari Proposisi Konjungsi
Negasi dari proposisi konjungsi

Disjungsi
Definisi: Disjungsi
Ketika disjungsi digunakan, maka dua proposisi akan menjadi satu proposisi, disebut sebagai proposisi majemuk. Kata “atau” dalam matematika selanjutnya disimbolkan dengan notasi
Disjungsi dalam keseharian memiliki arti ganda, yaitu disjungsi eksklusif dan inklusif. Misalkan ada kalimat “Setelah lulus SMP, Toni akan melanjutkan pendidikannya ke SMA atau SMK.” Kalimat ini ditafsirkan bahwa Toni akan melanjutkan ke salah satu dari dua pilihan sekolah yang diberikan, tidak mungkin keduanya sekaligus. Kata penghubung “atau” di sini disebut sebagai disjungsi eksklusif. Beda halnya dengan disjungsi inklusif, yang kata “atau”-nya memperbolehkan kita untuk memilih dua-duanya sekaligus, seperti pada kalimat “Dua bilangan yang habis dibagi 2 atau habis dibagi 5.” Ketika muncul istilah “disjungsi”, telah disepakati bahwa yang dimaksud adalah disjungsi inklusif.
Perhatikan contoh-contoh proposisi majemuk yang dihubungkan menggunakan disjungsi berikut.
Negasi dari Proposisi Disjungsi
Negasi dari proposisi disjungsi

Implikasi
Definisi: Implikasi
Banyak proposisi dalam komunikasi sehari-hari, tak terkecuali dalam matematika, yang merupakan proposisi bersyarat (conditional statement). Ciri utamanya adalah berbentuk “Jika …, maka …”. Sebagai contoh,
Proposisi
- Jika
, maka . mengimplikasikan . hanya jika . jika . asal saja .
Pada bentuk
Konvers, Invers, dan Kontrapositif
Dari suatu implikasi, misalnya
- Menukar anteseden dengan konsekuen, atau sebaliknya sehingga diperoleh proposisi baru yang disebut konvers dari implikasi itu.
- Menegasikan anteseden dan konsekuen sehingga diperoleh proposisi baru yang disebut invers dari implikasi itu.
- Menegasikan anteseden dan konsekuen, kemudian menukar letaknya sehingga diperoleh proposisi baru yang disebut kontrapositif dari implikasi itu.
Kebenaran hubungan antara proposisi implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi dari bentuk

Jika kita memperhatikan tabel di atas, ada beberapa poin penting yang dapat kita ambil.
- Nilai kebenaran pada proposisi implikasi ekuivalen dengan nilai kebenaran pada kontrapositifnya sehingga
- Nilai kebenaran pada proposisi konvers ekuivalen dengan nilai kebenaran pada proposisi invers sehingga
Baca Juga: Syarat Cukup dan Syarat Perlu dalam Matematika
Negasi dari Proposisi Implikasi
Negasi dari proposisi implikasi

Perhatikan bahwa kolom yang diraster kuning memiliki urutan nilai kebenaran yang sama. Jadi, terbukti bahwa
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Gerbang Logika
Biimplikasi
Definisi: Biimplikasi
Selain proposisi kondisional (implikasi), ada juga proposisi majemuk yang menunjukkan dua peristiwa/kondisi yang terjadi secara serentak. Ciri utamanya adalah berbentuk memuat frasa jika dan hanya jika. Proposisi seperti itu disebut sebagai biimplikasi (atau implikasi dua arah). Biimplikasi yang dibentuk dari proposisi
jika dan hanya jika- Jika
, maka dan jika , maka
Pada bentuk
Proposisi

Negasi dari Proposisi Biimplikasi
Negasi dari proposisi biimplikasi

Perhatikan bahwa kolom yang diraster kuning memiliki urutan nilai kebenaran yang sama. Jadi, terbukti bahwa
Perangkai Logika
Nah, sebagai bentuk menguji pemahaman atas materi yang telah diterima di atas, silakan pelajari soal logika matematika yang tersedia pada tautan berikut. Setiap soal telah disertai dengan pembahasannya.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Logika Matematika