Penaksiran (estimation) adalah proses untuk memperkirakan nilai dari suatu parameter populasi dari sampel yang diambil. Dalam penaksiran, kita melakukan inferensi untuk menduga nilai parameter populasi yang terlibat sehingga sangat memungkinkan terjadinya galat (error). Meskipun begitu, peran statistika menjadi begitu krusial karena kita berusaha untuk meminimalisasi terjadinya galat tersebut agar bernilai sekecil-kecilnya. Lebih lanjut, parameter populasi yang dimaksud umumnya berupa rata-rata (mean), proporsi (proportion), dan varians (variance).
Pada artikel ini, kita akan memfokuskan bahasan pada penaksiran rata-rata satu populasi.
Misalkan terdapat satu populasi dengan rata-rata $\mu$ dan varians $\sigma^2.$ Taksiran titik dari $\mu$ diberikan oleh statistik $\overline{X}.$ Oleh karena itu, untuk mendapatkan taksiran titik dari $\mu,$ kita harus memilih dua sampel acak bebas berukuran $n$ dari populasi tersebut. Ini menyebabkan kita harus memperhatikan distribusi penyampelan dari $\overline{X}.$
Berdasarkan teorema limit pusat, kita dapat menduga bahwa distribusi penyampelan (sampling distribution) dari $\overline{X}$ cenderung normal dengan rata-rata $\mu_{\overline{X}} = \mu$ dan simpangan baku $\sigma_{\overline{X}} = \sigma/\sqrt{n}.$ Misalkan $z_{\alpha/2}$ merupakan nilai-$z$ yang berasosiasi dengan luas sebesar $\alpha/2$ di bawah kurva normal (lihat gambar di bawah) sehingga diperoleh
$$p(-z_{\alpha/2} < Z < z_{\alpha/2}) = 1-\alpha$$dengan
$$Z = \dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}.$$Lebih lanjut, $1-\alpha$ disebut sebagai derajat kepercayaan (degree of confidence), atau kadang juga dikenal sebagai koefisien kepercayaan (confidence coefficient).
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} p(-z_{\alpha/2} < \dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} < z_{\alpha/2}) & = 1-\alpha \\ p(-z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n} < \overline{X}-\mu < z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n}) & = 1-\alpha \\ p(-\overline{X} -z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n} < -\mu <-\overline{X} + z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n}) & = 1-\alpha \\ p(\overline{X} -z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n} < \mu <\overline{X} + z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n}) & = 1-\alpha. \end{aligned}$$Dari sini, kita peroleh cara untuk melakukan penaksiran rata-rata satu populasi jika varians populasi diketahui sebagai berikut.
Selang Kepercayaan untuk $\mu,$ $\sigma^2$ Diketahui
$$\overline{x}-z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \overline{x}+z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$$dengan $z_{\alpha/2}$ merupakan nilai-$z$ sehingga luas di bawah kurva normal di sebelah kanannya sebesar $\alpha/2.$
Ukuran sampel ternyata memiliki andil yang besar. Jika sampel yang diambil berukuran kecil $(n < 30)$ dan berasal dari populasi yang tidak berdistribusi normal, derajat kepercayaan cenderung tidak akurat sehingga kurang dapat digunakan untuk menaksir. Sebaliknya, jika sampel yang diambil ukurannya besar, yaitu $n \ge 30,$ serta taknormal dengan grafik distribusi yang tidak terlalu menceng positif maupun negatif, teori penyampelan memberikan hasil penaksiran yang baik.
Selang kepercayaan $100(1-\alpha)\%$ menginformasikan keakuratan estimasi dari penaksiran titik yang dimiliki. Jika $\mu$ merupakan nilai pusat dari selang, maka $\overline{x}$ menaksir $\mu$ tanpa ada galat sama sekali. Namun, kasus ini sepertinya sangat jarang terjadi. Dengan kata lain, $\overline{x}$ cenderung tidak sama dengan $\mu.$ Perbedaan tersebut terjadi karena adanya galat. Dalam konteks ini, besarnya galat adalah nilai mutlak dari $\mu-\overline{x}$ dan kita $100(1-\alpha)\%$ yakin bahwa besarnya galat tidak mungkin melebihi $z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.$ Dari pendekatan tersebut, kita dapat merumuskan teorema terkait galat dalam penaksiran rata-rata satu populasi sebagai berikut.
Teorema 2: Besarnya Galat dalam Penaksiran
Besarnya sampel turut memengaruhi besarnya galat. Dalam hal ini, kita ingin mengetahui seberapa besar ukuran sampel yang diperlukan untuk memastikan bahwa galat yang terjadi karena menaksir $\mu$ kurang dari suatu nilai tertentu, katakanlah $e.$ Berdasarkan Teorema 1, kita harus memilih $n$ sehingga $z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = e.$ Kemudian, gunakan persamaan ini untuk mencari nilai $n.$
Teorema 2: Ukuran Sampel Minimum untuk Membatasi Besarnya Galat
$$n = \left(\dfrac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{e}\right)^2.$$
Ketika menentukan nilai $n$ dengan Teorema 2 di atas, kita bisa jadi mendapatkan nilai $n$ dalam bentuk pecahan desimal. Jika demikian, selalu bulatkan ke atas terlepas dari aturan pembulatan pada umumnya. Sebagai contoh, jika perhitungan menghasilkan $n = 27,\!42,$ maka $n = 28$ merupakan ukuran sampel minimumnya.
Bagaimana cara menaksir rata-rata populasi jika simpangan populasi tidak diketahui? Ketika suatu sampel acak diambil dari populasi yang berdsitribusi normal, variabel acak $T = \dfrac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$ berdistribusi-$t$ Student dengan derajat kebebasan $n-1.$ Sebagai informasi, Student merupakan nama samaran (pseudonim) dari statistikawan Inggris, William Sealy Gosset (1876–1937). Dalam hal ini, $S$ merupakan simpangan baku sampel. Jadi, saat simpangan baku populasi $\sigma$ tidak diketahui, variabel acak $T$ dapat digunakan untuk menaksir kepercayaan untuk rata-rata populasi $\mu.$ Prosedur menemukan cara menentukan selang kepercayaan dalam hal ini serupa seperti kasus ketika varians populasi diketahui. Yang membedakannya adalah $\sigma$ diganti menjadi $S$ dan distribusi normal diganti menjadi distribusi-$t.$
Perhatikan gambar berikut.
Berdasarkan gambar di atas, diperoleh
$$p(-t_{\alpha/2} < T < t_{\alpha/2}) = 1-\alpha$$dengan $t_{\alpha/2}$ adalah nilai-$t$ dengan derajat kebebasan $n-1$ yang berasosiasi dengan luas sebesar $\alpha/2$ di bawah kurva distribusi-$t.$ Kesimetrisan distribusi-$t$ mengakibatkan luas yang sama di sebelah kiri nilai $t_{\alpha/2},$ yaitu $\alpha/2.$ Substitusi nilai $T$ akan menghasilkan
$$p\left(-t_{\alpha/2} < \dfrac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} < t_{\alpha/2}\right) = 1-\alpha.$$Sedikit manipulasi aljabar akan mengantarkan kita pada
$$p\left(\overline{X}-t_{\alpha/2} \cdot \dfrac{S}{\sqrt{n}} < \mu < \overline{X}+t_{\alpha/2} \cdot \dfrac{S}{\sqrt{n}} \right) = 1-\alpha.$$Dari sini, kita peroleh cara untuk melakukan penaksiran rata-rata satu populasi jika varians populasi tidak diketahui sebagai berikut.
Selang Kepercayaan untuk $\mu,$ $\sigma^2$ Tidak Diketahui
$$\overline{x}-t_{\alpha/2} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} < \mu < \overline{x}+t_{\alpha/2} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}}$$dengan $t_{\alpha/2}$ merupakan nilai-$t$ dengan derajat kebebasan $n-1$ yang memiliki luas di bawah kurva distribusi-$t$ sebesar $\alpha/2$ di sebelah kanan.
Selang kepercayaan yang dibahas pada paragraf sebelumnya bersisi-dua (two-sided) (memiliki batas atas dan batas bawah). Meskipun begitu, cukup banyak kasus yang hanya memerlukan salah satu batas. Tanpa mengurangi keumuman, dengan cara yang serupa seperti mengembangkan kasus dua-sisi, kita dapat menggunakan teorema limit pusat untuk memperoleh
$$p\left(\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} < z_{\alpha}\right) = 1-\alpha.$$Dengan menggunakan sedikit aljabar, diperoleh
$$p(\mu < \overline{X} + z_{\alpha} \cdot \sigma/\sqrt{n}) = 1-\alpha.$$Jadi, kita memperoleh batas kepercayaan satu-sisi untuk $\mu$ jika $\sigma^2$ diketahui yang dirumuskan sebagai berikut.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Rata-Rata Satu Populasi
Batas Kepercayaan Satu-Sisi untuk $\mu,$ $\sigma^2$ Diketahui
$$\begin{aligned} \text{Batas satu-sisi atas:} &~~~~ \overline{x} + z_{\alpha} \cdot \sigma/\sqrt{n}; \\ \text{Batas satu-sisi bawah:} &~~~~ \overline{x}-z_{\alpha} \cdot \sigma/\sqrt{n}. \end{aligned}$$
Selang Kepercayaan untuk Sampel Besar
Meskipun suatu populasi tidak dapat diasumsikan normalitasnya (atau tidak berdistribusi normal) dan $\sigma$ tidak diketahui, para statistikawan merekomendasikan agar $s$ dapat menggantikan $\sigma$ sehingga selang kepercayaannya menjadi
$$\overline{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}}$$asalkan sampel yang digunakan berukuran besar, yaitu $n \ge 30$ serta distribusi populasinya tidak terlalu menceng (skewed). Selang kepercayaan seperti ini sering disebut sebagai selang kepercayaan sampel-besar (large-sample confidence interval). Tentu saja, ini sekadar asumsi. Namun, semakin besar ukuran sampel yang diambil, penaksiran akan semakin akurat dan mendekati nilai parameter populasi yang sebenarnya. Di sisi lain, pengambilan sampel dengan ukuran yang besar akan mengorbankan dana, tenaga, dan waktu sehingga ini perlu dipertimbangkan secara bijak oleh peneliti.
Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Salah satu sumber yang digunakan di antaranya adalah buku “Probability & Statistics for Engineers & Scientists” yang ditulis oleh Ronald E. Walpole dkk. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Penaksiran} & \text{Estimation} \\ 2. & \text{Sampel Acak} & \text{Random Sample} \\ 3. & \text{Teori Penyampelan} & \text{Sampling Theory} \\ 4. & \text{Distribusi Penyampelan} & \text{Sampling Distribution} \\ 5. & \text{Rata-Rata} & \text{Mean} \\ 6. & \text{Simpangan Baku} & \text{Standard Deviation} \\ 7. & \text{Galat} & \text{Error} \\ 8. & \text{Galat Baku} & \text{Standard Error} \\ 9. & \text{Nilai-}z & z\text{-Value} \\ 10. & \text{Nilai-}t & t\text{-Value} \\ 11. & \text{Selang Kepercayaan} & \text{Confidence Interval} \\ 12. & \text{Taraf Signifikansi} & \text{Significance Value} \\ 13. & \text{Derajat Kebebasan} & \text{Degree of Freedom} \\ 14. & \text{Rata-Rata Hakiki} & \text{True Mean} \\ 15. & \text{Batas Atas} & \text{Upper Bound} \\ 16. & \text{Batas Bawah} & \text{Lower Bound} \\ 17. & \text{Teorema Limit Pusat} & \text{Central Limit Theorem} \\ 18. & \text{Distribusi Normal} & \text{Normal Distribution} \\ 19. & \text{Distribusi-}t~\text{Student} & \text{Student’s}~t\text{-Distribution} \\ 20. & \text{Derajat Kepercayaan} & \text{Degree of Confidence} \\ 21. & \text{Kemencengan} & \text{Skewness} \\ \hline \end{array}$$
Quote by Richard Feynmann
Catatan: Hasil perhitungan yang dilakukan dalam setiap soal bisa jadi sedikit berbeda karena masalah pembulatan. Anda seharusnya tidak dianggap salah jika terjadi kasus seperti itu. Lebih lanjut, silakan unduh tabel-$z$ dan tabel-$t$ untuk menjawab soal-soal penaksiran di bawah.
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Berdasarkan $100$ laporan kematian di AS yang diambil secara acak, diperoleh bahwa rata-rata usia hidup orang AS adalah $71,\!8$ tahun dengan simpangan baku $8,\!9$ tahun.
- Tentukan selang kepercayaan $90\%$ untuk rata-rata populasi dari usia hidup orang AS.
- Tentukan selang kepercayaan $95\%$ untuk rata-rata populasi dari usia hidup orang AS.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan usia hidup orang AS dengan $\mu_X$ sebagai rata-rata populasi. Diketahui $\overline{x}=71,\!8;$ $s=8,\!9;$ $n=100.$ Ini merupakan kasus penaksiran rata-rata satu populasi yang variansnya tidak diketahui. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$t.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1$ sehingga nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1 = 100-1=99$ adalah $t_{0,05; ~99} \approx 1,\!66.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \overline{x}-t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} & < & \mu_X & < & \overline{x}+ t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} \\ 71,\!8-1,\!66 \cdot \dfrac{8,\!9}{\sqrt{100}} & < & \mu_X & < & 71,\!8+1,\!66 \cdot \dfrac{8,\!9}{\sqrt{100}} \\ 70,\!3226 & < & \mu_X & < & 73,\!2774. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk rata-rata populasi dari usia hidup orang AS adalah $70,\!3226 < \mu_X < 73,\!2774.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha = 1-95\% = 5\% = 0,\!05$ sehingga nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1 = 100-1=99$ adalah $t_{0,025; ~99} \approx 1,\!98.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \overline{x}-t_{\alpha/2; \text{dk}} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} & < & \mu_X & < & \overline{x}+ t_{\alpha/2; \text{dk}} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} \\ 71,\!8+1,\!98 \cdot \dfrac{8,\!9}{\sqrt{100}} & < & \mu_X & < & 71,\!8+1,\!98 \cdot \dfrac{8,\!9}{\sqrt{100}} \\ 70,\!0378 & < & \mu_X & < & 73,\!5622. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk rata-rata populasi dari usia hidup orang AS adalah $70,\!0378 < \mu_X < 73,\!5622.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Selisih Rata-Rata Dua Populasi Bebas
Soal Nomor 2
Berikut ini adalah data lamanya pengeboran oleh suatu mesin pada pengeboran minyak dalam satuan jam.
$$\begin{array}{cc} \hline 14,\!5 & 13,\!8 & 13,\!6 & 14,\!6 & 14,\!1 & 13,\!5 \\ 14,\!3 & 13,\!3 & 13,\!8 & 14,\!3 & 13,\!3 & 13,\!8 \\ \hline \end{array}$$Asumsikan lamanya pengeboran berdistribusi normal.
- Tentukan selang kepercayaan $80\%$ untuk rata-rata populasi data tersebut.
- Tentukan selang kepercayaan $90\%$ untuk rata-rata populasi data tersebut.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan lamanya pengeboran oleh mesin tersebut (dalam jam) dengan $\mu_X$ sebagai rata-rata populasi. Diketahui $n = 12.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai $\overline{x} \approx 13,\!9083$ dan $s \approx 0,\!4481.$ Ini merupakan kasus penaksiran rata-rata satu populasi yang variansnya tidak diketahui. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$t.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-80\% = 20\% = 0,\!2$ sehingga nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!1$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1 = 12-1=11$ adalah $t_{0,1; ~11} \approx 1,\!363.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \overline{x}-t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} & < & \mu_X & < & \overline{x}+ t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} \\ 13,\!9083-1,\!363 \cdot \dfrac{0,\!4481}{\sqrt{12}} & < & \mu_X & < & 13,\!9083+1,\!363 \cdot \dfrac{0,\!4481}{\sqrt{12}} \\ 13,\!7320 & < & \mu_X & < & 14,\!0846. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $80\%$ untuk rata-rata populasi dari lamanya pengeboran oleh mesin tersebut adalah $13,\!7320 < \mu < 14,\!0846.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1$ sehingga nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1 = 12-1=11$ adalah $t_{0,05; ~11} \approx 1,\!796.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \overline{x}-t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} & < & \mu_X & < & \overline{x}+ t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} \\ 13,\!9083-1,\!796 \cdot \dfrac{0,\!4481}{\sqrt{12}} & < & \mu_X & < & 13,\!9083+1,\!796 \cdot \dfrac{0,\!4481}{\sqrt{12}} \\ 13,\!6760 & < & \mu_X & < & 14,\!1406. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $80\%$ untuk rata-rata populasi dari lamanya pengeboran oleh mesin tersebut adalah $13,\!6760 < \mu < 14,\!1406.$
Soal Nomor 3
Seorang peneliti berencana mendata berat badan penduduk di Desa Makmur Sentosa. Diketahui bahwa berat badan penduduk di desa tersebut berdistribusi normal dengan simpangan baku $\sigma = 10$ kilogram. Karena keterbatasan waktu, ia mengambil sampel acak berupa $30$ orang penduduk dan memperoleh informasi bahwa rata-rata berat badan mereka adalah $50$ kilogram.
- Tentukan selang kepercayaan $70\%$ untuk rata-rata populasi data tersebut.
- Tentukan selang kepercayaan $98\%$ untuk rata-rata populasi data tersebut.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan berat badan penduduk Desa Makmur Sentosa (dalam kilogram) dengan $\mu_X$ sebagai rata-rata populasi. Diketahui $\overline{x} = 50;$ $\sigma = 10;$ dan $n = 12.$ Ini merupakan kasus penaksiran rata-rata satu populasi yang variansnya diketahui. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$z.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-70\% = 30\% = 0,\!3$ sehingga nilai-$z$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!15$ adalah $z_{0,15} \approx 1,\!0364.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \overline{x}-z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} & < & \mu_X & < & \overline{x}-z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \\ 50-1,\!0364 \cdot \dfrac{10}{\sqrt{12}} & < & \mu_X & < & 50+1,\!0364 \cdot \dfrac{10}{\sqrt{12}}\\ 47,\!0082 & < & \mu_X & < & 52,\!9918. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $80\%$ untuk rata-rata populasi dari berat badan penduduk Desa Makmur Sentosa (dalam kilogram) adalah $47,\!0082 < \mu_X < 52,\!9918.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha = 1-98\% = 2\% = 0,\!02$ sehingga nilai-$z$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!01$ adalah $z_{0,01} \approx 2,\!3263.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \overline{x}-z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} & < & \mu_X & < & \overline{x}-z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \\ 50-2,\!3263 \cdot \dfrac{10}{\sqrt{12}} & < & \mu_X & < & 50+2,\!3263 \cdot \dfrac{10}{\sqrt{12}}\\ 43,\!2846 & < & \mu_X & < & 56,\!7155. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $98\%$ untuk rata-rata populasi dari berat badan penduduk Desa Makmur Sentosa (dalam kilogram) adalah $43,\!2846 < \mu_X < 56,\!7155.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Selisih Rata-Rata Dua Populasi Berpasangan
Soal Nomor 4
Sampel acak dari $12$ alumnus sekolah tinggi kesekretariatan tertentu menunjukkan bahwa rata-rata kecepatan mengetik mereka adalah $79,\!3$ kata per menit dengan simpangan baku sebesar $7,\!8$ kata per menit. Dengan mengasumsikan banyaknya kata yang diketik setiap menit berdistribusi normal, tentukan selang kepercayaan $95\%$ untuk rata-rata banyaknya kata yang diketik per menit oleh semua alumnus sekolah tinggi tersebut.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya kata yang diketik per menit dengan $\mu_X$ sebagai rata-rata populasi. Diketahui $\overline{x}=79,\!3;$ $s=7,\!8;$ dan $n=12.$ Ini merupakan kasus penaksiran rata-rata satu populasi yang variansnya tidak diketahui. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$t.$
Diketahui $\alpha = 1-95\% = 5\% = 0,\!05$ sehingga nilai-$t$ dengan $\alpha = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1 = 12-1=11$ adalah $t_{0,025; ~11} \approx 2,\!201.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \overline{x}-t_{\alpha/2;~ \text{dk}} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} & < & \mu_X & < & \overline{x}+ t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} \\ 79,3 -2,\!201 \cdot \dfrac{7,\!8}{\sqrt{12}} & < & \mu_X & < & 79,3+2,\!201 \cdot \dfrac{7,\!8}{\sqrt{12}}\\ 74,\!3441 & < & \mu_X & < & 84,\!2559. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\%$ untuk rata-rata banyaknya kata yang diketik per menit oleh semua alumnus sekolah tinggi tersebut adalah $74,\!3441 < \mu_X < 84,\!2599.$
Soal Nomor 5
Berikut ini merupakan data tekanan darah sistolik (dalam mmHg) dari $14$ pasien yang menjalani terapi penyembuhan hipertensi.
$$\begin{array}{cc} \hline 183 & 152 & 178 & 157 & 194 & 163 & 144 \\ 194 & 163 & 114 & 178 & 152 & 118 & 158 \\ \hline \end{array}$$Asumsikan tekanan darah sistolik berdistribusi normal.
- Tentukan batas $95\%$ bawah untuk rata-rata populasi data tersebut.
- Tentukan batas $95\%$ atas untuk rata-rata populasi data tersebut.
- Tentukan selang kepercayaan $95\%$ untuk rata-rata populasi data tersebut.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan tekanan darah sistolik (dalam mmHg). Diketahui $n = 12.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai $\overline{x} \approx 160,\!5714$ dan $s \approx 24,\!4626.$ Ini merupakan kasus penaksiran rata-rata satu populasi yang variansnya tidak diketahui. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$t.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-95\% = 5\% = 0,\!05$ sehingga nilai-$t$ dengan $\alpha = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1 = 12-1=11$ adalah $t_{0,05; ~11} \approx 1,\!796.$ Dengan demikian, batas $95\%$ bawahnya adalah
$$\begin{aligned} \overline{x}-t_{\alpha; ~\text{dk}} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} & = 160,\!5714 -1,\!796 \cdot \dfrac{24,\!4626}{\sqrt{12}} \\ & \approx 147,\!8885. \end{aligned}$$Jadi, kita yakin $95\%$ bahwa rata-rata populasi data tersebut lebih dari $147,\!8885$ mmHg.
Jawaban b)
Diketahui $\alpha = 1-95\% = 5\% = 0,\!05$ sehingga nilai-$t$ dengan $\alpha = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1 = 12-1=11$ adalah $t_{0,05; ~11} \approx 1,\!796.$ Dengan demikian, batas $95\%$ atasnya adalah
$$\begin{aligned} \overline{x}+t_{\alpha; ~\text{dk}} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} & = 160,\!5714 + 1,\!796 \cdot \dfrac{24,\!4626}{\sqrt{12}} \\ & \approx 173,\!2543. \end{aligned}$$Jadi, kita yakin $95\%$ bahwa rata-rata populasi data tersebut kurang dari $173,\!2543$ mmHg.
Jawaban c)
Diketahui $\alpha = 1-95\% = 5\% = 0,\!05$ sehingga nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1 = 12-1=11$ adalah $t_{0,025; ~11} \approx 2,\!201.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \overline{x}-t_{\alpha/2;~ \text{dk}} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} & < & \mu_X & < & \overline{x}+ t_{\alpha/2;~ \text{dk}} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} \\ 160,\!5714- 2,\!201 \cdot \dfrac{24,\!4626}{\sqrt{12}} & < & \mu_X & < & 160,\!5714 + 2,\!201 \cdot \dfrac{24,\!4626}{\sqrt{12}} \\ 145,\!0285 & < & \mu_X & < & 176,\!1143. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\%$ untuk rata-rata populasi dari data tersebut adalah $145,\!0285< \mu_X < 176,\!1143.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Varians Satu Populasi
Soal Nomor 6
Seorang mahasiswa melakukan penelitian kecil terkait hubungan tingkat pendidikan terakhir terhadap jumlah uang yang dibelanjakan setiap bulan. Untuk itu, ia melakukan survei kepada $19$ orang yang dipilih secara acak dan mendapatkan informasi terkait pendidikan terakhir mereka beserta jumlah uang yang dibelanjakan mereka setiap bulan (dalam ratusan ribu rupiah).
$$\begin{array}{c|ccccc} \textbf{SD} & 8 & 7 & 10 & 19 & 11 \\ \hline \textbf{SMP} & 12 & 11 & 16 & 10 & 12 \\ \hline \textbf{SMA} & 10 & 20 & 15 & 18 & 19 \\ \hline \textbf{S-1} & 13 & 12 & 14 & 15 & \end{array}$$Asumsikan keempat populasi berdistribusi normal dan variansnya tidak diketahui. Tentukan selang kepercayaan $90\%$ untuk masing-masing tingkat pendidikan terakhir tersebut.
Populasi pertama:
Misalkan $X_1$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan jumlah uang yang dibelanjakan setiap bulan (dalam ratusan ribu rupiah) oleh orang dengan pendidikan terakhir SD dengan $\mu_{X_1}$ sebagai rata-rata populasi. Diketahui $n_1 = 5.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai $\overline{x}_1 = 11$ dan $s_1 \approx 4,\!7434.$ Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1$ sehingga nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n_1-1 = 5-1=4$ adalah $t_{0,1; ~4} \approx 1,\!533.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \overline{x}_1-t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot \dfrac{s_1}{\sqrt{n_1}} & < & \mu_{X_1} & < & \overline{x}_1+ t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot \dfrac{s_1}{\sqrt{n_1}} \\ 11-1,\!533 \cdot \dfrac{4,\!7434}{\sqrt{5}} & < & \mu_{X_1} & < & 11-1,\!533 \cdot \dfrac{4,\!7434}{\sqrt{5}} \\ 9,\!1225 & < & \mu_{X_1} & < & 12,\!8775. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk rata-rata populasi dari jumlah uang yang dibelanjakan setiap bulan (dalam ratusan ribu rupiah) oleh orang dengan pendidikan terakhir SD adalah $9,\!1225 < \mu_{X_1} < 12,\!8775.$
Populasi kedua:
Misalkan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan jumlah uang yang dibelanjakan setiap bulan (dalam ratusan ribu rupiah) oleh orang dengan pendidikan terakhir SMP dengan $\mu_{X_2}$ sebagai rata-rata populasi. Diketahui $n_2 = 5.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai $\overline{x}_2 = 12,\!2$ dan $s_2 \approx 2,\!2804.$ Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1$ sehingga nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n_2-1 = 5-1=4$ adalah $t_{0,1; ~4} \approx 1,\!533.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \overline{x}_2-t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot \dfrac{s_2}{\sqrt{n_2}} & < & \mu_{X_2} & < & \overline{x}_2+ t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot \dfrac{s_2}{\sqrt{n_2}} \\ 12,\!2-1,\!533 \cdot \dfrac{2,\!2804}{\sqrt{5}} & < & \mu_{X_2} & < & 12,\!2+1,\!533 \cdot \dfrac{2,\!2804}{\sqrt{5}} \\ 10,\!6366 & < & \mu_{X_2} & < & 13,\!7634. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk rata-rata populasi dari jumlah uang yang dibelanjakan setiap bulan (dalam ratusan ribu rupiah) oleh orang dengan pendidikan terakhir SMP adalah $10,\!6366 < \mu_{X_2} < 13,\!7634.$
Populasi ketiga:
Misalkan $X_3$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan jumlah uang yang dibelanjakan setiap bulan (dalam ratusan ribu rupiah) oleh orang dengan pendidikan terakhir SMA dengan $\mu_{X_3}$ sebagai rata-rata populasi. Diketahui $n_3 = 5.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai $\overline{x}_3 = 16,\!4$ dan $s_3 \approx 4,\!0373.$ Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1$ sehingga nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n_3-1 = 5-1=4$ adalah $t_{0,1; ~4} \approx 1,\!533.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \overline{x}_3-t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot \dfrac{s_3}{\sqrt{n_3}} & < & \mu_{X_3} & < & \overline{x}_3+ t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot \dfrac{s_3}{\sqrt{n_3}} \\ 16,\!4-1,\!533 \cdot \dfrac{4,\!0373}{\sqrt{5}} & < & \mu_{X_3} & < & 16,\!4+1,\!533 \cdot \dfrac{4,\!0373}{\sqrt{5}} \\ 13,\!6321 & < & \mu_{X_3} & < & 19,\!1679. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk rata-rata populasi dari jumlah uang yang dibelanjakan setiap bulan (dalam ratusan ribu rupiah) oleh orang dengan pendidikan terakhir SMA adalah $13,\!6321 < \mu_{X_3} < 19,\!1679.$
Populasi keempat:
Misalkan $X_4$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan jumlah uang yang dibelanjakan setiap bulan (dalam ratusan ribu rupiah) oleh orang dengan pendidikan terakhir S-1 dengan $\mu_{X_4}$ sebagai rata-rata populasi. Diketahui $n_4 = 4.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai $\overline{x}_4 = 13,\!5$ dan $s_4 \approx 1,\!2900.$ Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1$ sehingga nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n_4-1 = 4-1=3$ adalah $t_{0,1; ~3} \approx 1,\!638.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \overline{x}_4-t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot \dfrac{s_4}{\sqrt{n_4}} & < & \mu_{X_4} & < & \overline{x}_4+ t_{\alpha/2; ~\text{dk}} \cdot \dfrac{s_4}{\sqrt{n_4}} \\ 13,\!5-1,\!638 \cdot \dfrac{1,\!2900}{\sqrt{4}} & < & \mu_{X_4} & < & 13,\!5+1,\!638 \cdot \dfrac{1,\!2900}{\sqrt{4}} \\ 12,\!4435 & < & \mu_{X_4} & < & 14,\!5565. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk rata-rata populasi dari jumlah uang yang dibelanjakan setiap bulan (dalam ratusan ribu rupiah) oleh orang dengan pendidikan terakhir S-1 adalah $12,\!4435 < \mu_{X_4} < 14,\!5565.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Selisih Rata-Rata Dua Populasi Bebas
Soal Nomor 7
Suatu komponen memiliki rata-rata sampel dari lamanya waktu pemakaian sebesar $31.485$ jam dan simpangan baku populasi sebesar $9.000$ jam. Perusahaan membuat selang kepercayaan $95\%$ untuk rata-rata populasi, yaitu
$$28.151 < \mu < 34.819.$$Tentukan banyaknya sampel yang digunakan oleh perusahaan tersebut.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan lamanya waktu pemakaian komponen (dalam jam) dengan $\mu_X$ sebagai rata-rata populasi. Diketahui $\overline{x} = 31.485,$ $\sigma = 9.000,$ dan $\alpha = 1-95\% = 5\% = 0,\!05.$ Ini merupakan kasus penaksiran rata-rata satu populasi yang variansnya diketahui. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$z.$
Selang kepercayaan rata-rata satu populasi diberikan oleh
$$\overline{x}-z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu_X < \overline{x}+z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$Dalam kasus ini, diketahui $\overline{x}-z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 28.151$ sebagai batas bawah dan $\overline{x}+z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 34.819$ sebagai batas atas.
Lebih lanjut, $z_{\alpha/2} = z_{0,025} \approx 1,\!96.$ Dengan hanya meninjau batas bawah, diperoleh
$$\begin{aligned} 31.485-1,\!96 \cdot \dfrac{9.000}{\sqrt{n}} & = 28.151 \\ 1,\!96 \cdot \dfrac{9.000}{\sqrt{n}} & = 3.334 \\ n & = \left(\dfrac{1,\!96 \cdot 9.000}{3.334}\right)^2 \approx 28. \end{aligned}$$Jadi, banyaknya sampel yang digunakan oleh perusahaan tersebut adalah $\boxed{28}$
Soal Nomor 8
Seorang pakar ingin menentukan rata-rata waktu yang dibutuhkan untuk mengebor tiga lubang pada suatu penjepit logam. Berapa banyak sampel yang dibutuhkan agar ia $95\%$ yakin bahwa rata-rata sampelnya akan menyimpang kurang dari $15$ detik terhadap rata-rata hakikinya? Asumsikan penelitian sebelumnya telah menunjukkan bahwa $\sigma = 40$ detik.
Diketahui simpangan baku populasi $\sigma = 40$ dan galat $e = 15.$ Karena $\alpha = 1-95\%=5\%=0,\!05,$ nilai-$z$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ adalah $z_{0,025} \approx 1,\!96.$ Dengan demikian, diperoleh
$$n = \left(\dfrac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{e}\right)^2 = \left(\dfrac{1,\!96 \cdot 40}{15}\right)^2 \approx 27,\!3180.$$Setelah melakukan pembulatan ke atas, disimpulkan bahwa banyaknya sampel yang dibutuhkan adalah $\boxed{28}.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Selisih Rata-Rata Dua Populasi Berpasangan
Soal Nomor 9
Seorang peneliti di UCLA (University of California, Los Angeles) menyatakan bahwa umur tikus dapat diperpanjang $25\%$ jika kalori dalam makanannya dikurangi sebanyak $40\%$ sejak tikus itu disapih (dihentikan dari proses menyusui). Makanan tersebut kemudian diperkaya dengan vitamin dan protein. Dari penelitian terdahulu, diketahui bahwa simpangan baku umur tikus dengan pola makan seperti itu adalah $5,\!8$ bulan. Peneliti lain melakukan percobaan terhadap beberapa ekor tikus yang diambil secara acak dari populasi tikus tersebut. Jika ia ingin rata-rata umur tikus-tikus tersebut lebih lama $2$ bulan dari rata-rata populasinya, dengan derajat kepercayaan $95\%,$ berapa ekor tikus yang harus dijadikan sampel?
Diketahui simpangan baku populasi $\sigma = 5,\!8$ dan galat $e = 2.$ Karena $\alpha = 1-95\%=5\%=0,\!05,$ nilai-$z$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ adalah $z_{0,025} \approx 1,\!96.$ Dengan demikian, diperoleh
$$n = \left(\dfrac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{e}\right)^2 = \left(\dfrac{1,\!96 \cdot 5,\!8}{2}\right)^2 = 5,\!684.$$Setelah melakukan pembulatan ke atas, disimpulkan bahwa banyaknya tikus yang dibutuhkan sebagai sampel adalah $\boxed{6}$ ekor.
Soal Nomor 10
Sampel acak dari $50$ mahasiswa di suatu universitas menunjukkan bahwa rata-rata tinggi badan mereka adalah $174,\!5$ cm dengan simpangan baku $6,\!9$ cm.
- Buatlah selang kepercayaan $98\%$ untuk rata-rata tinggi badan dari semua mahasiswa di universitas tersebut.
- Apa yang dapat disimpulkan dengan $98\%$ kepercayaan terkait besarnya galat jika taksiran rata-rata tinggi badan semua mahasiswa di universitas tersebut adalah $174,\!5$ cm?
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan tinggi badan mahasiswa di universitas tersebut (dalam cm) dengan $\mu_X$ sebagai rata-rata populasi. Diketahui $\overline{x} = 174,\!5;$ $s = 6,\!9;$ dan $n = 50.$ Ini merupakan kasus penaksiran rata-rata satu populasi yang variansnya tidak diketahui. Namun, karena ukuran sampelnya tergolong besar $(\ge 30),$ aproksimasi normal dapat digunakan. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$z.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-98\% = 2\% = 0,\!02$ sehingga nilai-$z$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!01$ adalah $z_{0,01} \approx 2,\!33.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \overline{x}-z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} & < & \mu_X & < & \overline{x}-z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} \\ 174,\!5-2,\!33 \cdot \dfrac{6,\!9}{\sqrt{50}} & < & \mu_X & < & 174,\!5-2,\!33 \cdot \dfrac{6,\!9}{\sqrt{50}} \\ 172,\!2264 & < & \mu_X & < & 176,\!7736. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $98\%$ untuk rata-rata rata-rata tinggi badan dari semua mahasiswa di universitas tersebut (dalam cm) adalah $172,\!2264 < \mu_X < 176,\!7736.$
Jawaban b)
Karena $z_{0,01} \approx 2,33;$ $s = 6,\!9;$ dan $n = 50,$ besar galat $e$ akan memenuhi $e < \dfrac{z_{\alpha/2} \cdot s}{\sqrt{n}}$ sehingga diperoleh $e < \dfrac{2,\!33 \cdot 6,\!9}{\sqrt{50}} \approx 2,\!27.$