Tag: Rataan Geometrik

Misalkan $x$ dan $y$ merupakan bilangan real positif. Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM yang melibatkan $6$ suku, yaitu $xy,$ $x,$ $y,$ ${\displaystyle \frac{1}{xy}},$ ${\displaystyle \frac{1}{x}},$ dan ${\displaystyle \frac{1}{y}},$ nilai minimum dari ekspresi tersebut tercapai saat
$$xy=x=y={\displaystyle \frac{1}{xy}}={\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{1}{y}}.$$Karena $x,y\in {\mathbb{R}}^{+},$ satu-satunya solusi persamaan tersebut adalah $x=y=1.$ Ini akan membuat nilai $$xy+x+y+{\displaystyle \frac{1}{xy}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}$$menjadi minimum.
Catatan:
Jika Anda diminta menentukan nilai minimumnya, ketaksamaan AM-GM dapat digunakan sehingga diperoleh
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{xy+x+y+{\displaystyle \frac{1}{xy}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}}{6}}& \ge \sqrt[6]{xy\cdot x\cdot y\cdot {\displaystyle \frac{1}{xy}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{y}}}\\ {\displaystyle \frac{xy+x+y+{\displaystyle \frac{1}{xy}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}}{6}}& \ge \sqrt[6]{1}\\ xy+x+y+{\displaystyle \frac{1}{xy}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}& \ge 6.\end{array}$$Jadi, nilai minimumnya adalah $\boxed{{\displaystyle 6}}.$
(Jawaban B)

Misalkan $x,y,$ dan $z$ merupakan bilangan real positif sehingga $xyz=1.$ Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, diperoleh tiga ketaksamaan berikut.
$$\begin{array}{rlrl}x+2y& \ge 2\sqrt{2xy}& & (\cdots 1)\\ y+2z& \ge 2\sqrt{2yz}& & (\cdots 2)\\ xz+1& \ge 2\sqrt{xz}& & (\cdots 3)\end{array}$$Dengan mengalikan ketiga ketaksamaan tersebut sesuai ruasnya, diperoleh
$$\begin{array}{rl}(x+2y)(y+2z)(xz+1)& \ge 2\sqrt{2xy}\cdot 2\sqrt{2yz}\cdot 2\sqrt{xz}\\ & \ge 8\sqrt{4(xyz{)}^2}\\ & \ge 16(xyz).\end{array}$$Karena diketahui $xyz=1,$ diperoleh $(x+2y)(y+2z)(xz+1)\ge 16.$ Ini berarti, nilai minimum dari $(x+2y)(y+2z)(xz+1)$ adalah $16.$ Kondisi ini tercapai saat setiap suku yang terlibat dari Ketaksamaan $1,2,$ dan $3$ bernilai sama, yaitu $x=2y,$ $y=2z,$ dan $xz=1.$ Substitusi sederhana menghasilkan $x=2,$ $y=1,$ dan $z={\displaystyle \frac{1}{2}}.$
(Jawaban A) 

Misalkan $a_1,a_2,\cdots ,a_{100}$ merupakan bilangan real positif dan $a_1+a_2+\cdots +a_{100}=2025.$ Dengan menggunakan ketaksamaan AM-HM, diperoleh ketaksamaan berikut.
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots +a_{100}}{100}}& \ge {\displaystyle \frac{100}{{\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{a_{100}}}}}\\ {\displaystyle \frac{2.025}{100}}& \ge {\displaystyle \frac{100}{{\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{a_{100}}}}}\\ {\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{a_{100}}}& \ge {\displaystyle \frac{10.000}{2.025}}={\displaystyle \frac{400}{81}}.\end{array}$$ Ini berarti, nilai minimum dari ${\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{a_{100}}}$$adalah$\dfrac{400}{81}.$Kondisiinitercapaisaat$a_1 = a_2 = \cdots = a_{100} = x$untuksuatubilanganrealpositif$x.$Karenadiketahui$a_1 + a_2 + \cdots + a_{100} = 2.025,$ diperoleh
$$\begin{array}{rl}\underset{\text{sebanyak 100 kali}}{\underbrace{x+x+\cdots +x}}& =2025\\ 100x& =2025\\ x& ={\displaystyle \frac{4}{81}}.\end{array}$$Jadi, nilai minimum dari ${\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{a_{100}}}$ tercapai saat $a_1=a_2=\cdots =a_{100}={\displaystyle \frac{4}{81}}.$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{4x^2+8x+13}{6+6x}}& ={\displaystyle \frac{4(x^2+2x)+13}{6+6x}}\\ & ={\displaystyle \frac{4((x+1{)}^2-1)+13}{6+6x}}\\ & ={\displaystyle \frac{4(x+1{)}^2+9}{6+6x}}.\end{array}$$Sekarang dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, memakai dua suku, yakni ${\displaystyle \frac{4(x+1{)}^2}{6+6x}}$ dan ${\displaystyle \frac{9}{6+6x}},$ diperoleh
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{4(x+1{)}^2}{6+6x}}+{\displaystyle \frac{9}{6+6x}}& \ge 2\sqrt{{\displaystyle \frac{4(x+1{)}^2}{6+6x}}\cdot {\displaystyle \frac{9}{6+6x}}}\\ {\displaystyle \frac{4(x+1{)}^2+9}{6+6x}}& \ge 2\cdot {\displaystyle \frac{2(x+1)(3)}{6+6x}}\\ {\displaystyle \frac{4(x+1{)}^2+9}{6+6x}}& \ge 2\cdot {\displaystyle \frac{\cancel{6x+6}}{\cancel{6+6x}}}\\ {\displaystyle \frac{4(x+1{)}^2+9}{6+6x}}& \ge 2.\end{array}$$Ketaksamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai minimum dari ${\displaystyle \frac{4x^2+8x+13}{6+6x}}$ adalah $\boxed{{\displaystyle 2}}.$
(Jawaban C)

Misalkan $f(x)=x+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}={\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$.
Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, memakai $3$ suku, yaitu ${\displaystyle \frac{x}{2}},{\displaystyle \frac{x}{2}},$ dan ${\displaystyle \frac{1}{x^2}},$ diperoleh
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}& \ge 3\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{x}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{x}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{x^2}}}\\ x+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}& \ge 3\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{4}}}.\end{array}$
Ketaksamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai minimum $x+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ adalah $\boxed{{\displaystyle 3\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}}.$
(Jawaban B)

Diketahui $xy={\displaystyle \frac{1}{3}}.$
Misalkan $x_1={\displaystyle \frac{1}{9x^6}}$ dan $x_2={\displaystyle \frac{1}{4y^6}}$. Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM pada kedua datum tersebut, kita peroleh
$\begin{array}{rl}\mathbf{\text{AM}}& \ge \mathbf{\text{GM}}\\ {\displaystyle \frac{1}{9x^6}}+{\displaystyle \frac{1}{4y^6}}& \ge 2\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{9x^6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4y^6}}}\\ & =2\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{36(xy{)}^6}}}\\ & =2\cdot {\displaystyle \frac{1}{6(xy{)}^3}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3(\frac{1}{3}{)}^3}}={\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{9}}}=9.\end{array}$
Jadi, nilai minimum dari ${\displaystyle \frac{1}{9x^6}}+{\displaystyle \frac{1}{4y^6}}$ sama dengan $\boxed{{\displaystyle 9}}.$
(Jawaban D)

Misalkan dua bilangan itu adalah $x$ dan $y$, berarti $x+y=24.$ Dalam hal ini, kita akan mencari nilai minimum dari ${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}.$
Dengan menggunakan ketaksamaan AM-HM, yakni $\mathbf{\text{AM}}\ge \mathbf{\text{HM}}$, memakai suku $x$ dan $y$, diperoleh
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{x+y}{2}}& \ge {\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}}\\ {\displaystyle \frac{24}{2}}& \ge {\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}}\\ 12& \ge {\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}}\\ {\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}& \ge {\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{1}{6}}.\end{array}$
Ketaksamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai minimum (terkecil) dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan itu adalah $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{6}}}}.$
(Jawaban E)

Diketahui ${\displaystyle \frac{a}{b}}+{\displaystyle \frac{b}{c}}+{\displaystyle \frac{c}{a}}=3.$
Misalkan $x_1={\displaystyle \frac{a}{b}}$, $x_2={\displaystyle \frac{b}{c}},$ dan $x_3={\displaystyle \frac{c}{a}},$ maka berdasarkan ketaksamaan AM-GM, diperoleh
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{a}{b}}+{\displaystyle \frac{b}{c}}+{\displaystyle \frac{c}{a}}& \ge 3\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{b}{c}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{a}}}\\ & =3\sqrt[3]{1}=3(1)=3.\end{array}$
Padahal diketahui bahwa ${\displaystyle \frac{a}{b}}+{\displaystyle \frac{b}{c}}+{\displaystyle \frac{c}{a}}=3,$ dan berdasarkan ketaksamaan AM-GM, kesamaan terjadi hanya ketika ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{b}{c}}={\displaystyle \frac{c}{a}},$ berakibat $a=b=c=1.$
Di lain sisi, diketahui bahwa $a<b<c$ sehingga tidak mungkin ada nilai $a$ yang memenuhi.
(Jawaban A)

Sederhanakan dulu ekspresi logaritma yang diberikan menggunakan sifat-sifat logaritma.
$$\begin{array}{rl}{}^a\log \left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right){+}^b\log \left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)& ={(}^a\log a{-}^a\log b)+{(}^b\log b{-}^b\log a)\\ & =(1{-}^a\log b)+(1{-}^b\log a)\\ & =2-{(}^a\log b{+}^b\log a)\end{array}$$Supaya bernilai maksimum, maka nilai ${}^a\log b{+}^b\log a$ harus dibuat sekecil mungkin. Dengan kata lain, kita harus mencari nilai minimum dari ekspresi tersebut.
Gunakan ketaksamaan AM-GM.
$\begin{array}{rl}{}^a\log b{+}^b\log a& \ge 2\sqrt{{}^a\log b{\cdot }^b\log a}\\ & =2\sqrt{1}=2\end{array}$
Kita peroleh nilai minimumnya $2$. Akibatnya, nilai maksimum dari $2-({}^a\log b{+}^b\log a)$ adalah $2-2=0.$
(Jawaban A)

Diketahui
$\begin{array}{rl}f(x)& ={\displaystyle \frac{9x^2{\sin }^{2}x+4}{x\sin x}}\\ & =9x\sin x+{\displaystyle \frac{4}{x\sin x}}.\end{array}$
Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, diperoleh
$$\begin{array}{rl}\mathbf{\text{AM}}& \ge \mathbf{\text{GM}}\\ 9x\sin x+{\displaystyle \frac{4}{x\sin x}}& \ge 2\sqrt{(9\cancel{x\sin x})\left({\displaystyle \frac{4}{\cancel{x\sin x}}}\right)}\\ & =2\sqrt{36}=12.\end{array}$$Akibatnya, $f(x)\ge 12$.
Jadi, nilai minimum dari $f(x)$ adalah $\boxed{{\displaystyle 12}}.$
(Jawaban C)

Dari $f(x)=x^2+4$, diperoleh
$$\begin{array}{rl}f(xy)& =(xy{)}^2+4\\ f(y-x)& =(y-x{)}^2+4=y^2-2xy+x^2+4\\ f(y+x)& =(y+x{)}^2+4=y^2+2xy+x^2+4.\end{array}$$Substitusikan masing-masing pada persamaan $f(xy)+f(y-x)$ $=f(y+x)$.
$$\begin{array}{rl}((xy{)}^2+4)+(\cancel{y^2}-2xy+\bcancel{x^2+4})& =\cancel{y^2}+2xy+\bcancel{x^2+4}\\ (xy{)}^2+4-2xy& =2xy\\ (xy{)}^2-4xy+4& =0\\ (xy-2{)}^2& =0\\ xy& =2\end{array}$$Selanjutnya, kita akan mencari nilai minimum dari $x+y$ menggunakan ketaksamaan AM-GM serta fakta bahwa $xy=2$, yakni $x+y\ge 2\sqrt{xy}=2\sqrt{2}.$
Jadi, nilai minimum dari $x+y$ adalah $\boxed{{\displaystyle 2\sqrt{2}}}.$
(Jawaban E)

Diketahui $x^4-2x^3+5x^2-176x+2009=0.$
Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM (melibatkan $5$ suku), kita peroleh
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{x^4-2x^3+5x^2-176x+2009}{5}}& \ge \sqrt[5]{x^4(-2x^3)(5x^2)(-176x)(2009)}\\ {\displaystyle \frac{0}{5}}& \ge \sqrt[5]{x^{10}\cdot 1760\cdot 2009}\\ 0& \ge x^{10}\cdot 1760\cdot 2009.\end{array}$$Ketaksamaan di atas bernilai benar ketika $x^{10}$ bernilai negatif atau nol. Karena $x$ bilangan real, $x^{10}$ tidak mungkin bernilai negatif, artinya satu-satunya kemungkinan adalah $x^{10}$ harus bernilai $0$ sehingga $x=0$.
Jika $x=0$ disubstitusikan pada polinomial $x^4-2x^3+5x^2-176x+2009$, hasilnya $0-0+0-0+2009\ne 0$. Dengan demikian, tidak ada satu pun bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan $x^4-2x^3+5x^2-176x+2009=0$.
(Jawaban A)

Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM pada $3$ suku: $a^3$, $b^3$, dan $1$, diperoleh
$\begin{array}{rl}{a}^3+b^3+1& \ge 3\sqrt[3]{a^3(b^3)(1)}\\ a^3+b^3+1& \ge 3ab.& & (\cdots 1)\end{array}$
Dengan prinsip yang sama untuk $b^3$, $c^3$, dan $1$, serta $c^3$, $a^3$, dan $1$, kita dapatkan
$\begin{array}{rlrl}{b}^3+c^3+1& \ge 3bc& & (\cdots 2)\\ c^3+a^3+1& \ge 3ac.& & (\cdots 3)\end{array}$
Kalikan ketiga persamaan tersebut sesuai posisi ruasnya.
$$\begin{array}{rl}(a^3+b^3+1)(b^3+c^3+1)(c^3+a^3+1)& \ge (3ab)(3bc)(3ac)\\ (a^3+b^3+1)(b^3+c^3+1)(c^3+a^3+1)& \ge 27a^2{b}^2{c}^2\\ \text{Bagi kedua ruas dengan}& a^2{b}^2{c}^2\\ {\displaystyle \frac{(a^3+b^3+1)(b^3+c^3+1)(c^3+a^3+1)}{a^2{b}^2{c}^2}}& \ge 27\end{array}$$Dari ketaksamaan terakhir, kita peroleh bahwa nilai minimum dari $${\displaystyle \frac{(a^3+b^3+1)(b^3+c^3+1)(c^3+a^3+1)}{a^2{b}^2{c}^2}}$$ adalah $\boxed{{\displaystyle 27}}.$
(Jawaban B)

Persamaan di atas ekuivalen dengan $a^4+b^4+2=4ab.$
Berdasarkan ketaksamaan AM-GM yang melibatkan suku $a^4$ dan $b^4$, kita peroleh
$\begin{array}{rl}{a}^4+b^4& \ge 2\sqrt{(a^4)(b^4)}\\ a^4+b^4& \ge 2(ab{)}^2\\ a^4+b^4+2& \ge 2(ab{)}^2+2.\end{array}$
Karena $a^4+b^4+2=4ab$, kita peroleh 
$\begin{array}{rl}2(ab{)}^2+2& =4ab\\ 2(ab{)}^2-4ab+2& =0\\ \text{Bagi kedua ruas}& \text{dengan}2\\ (ab{)}^2-2ab+1& =0\\ (ab-1{)}^2& =0\\ ab& =1.\end{array}$
Substitusikan $ab=1$ pada persamaan mula-mula untuk mendapatkan
$a^4+b^4=4(1)-2=2.$
Di lain sisi, kesamaan dapat terjadi apabila $a^4=b^4$. Dengan demikian, kita peroleh $2b^4=2\Rightarrow b=\pm 1$ dan $a=\pm 1$.
Perhatikan bahwa $ab=1$ sehingga $a$ dan $b$ harus bertanda sama.
Jadi, pasangan bilangan real $(a,b)$ yang memenuhi persamaan tersebut ada $\boxed{{\displaystyle 2}}$, yaitu $(1,1)$ dan $(-1,-1).$
(Jawaban C)

Karena $a$ dan $b$ bilangan real positif, ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ juga positif. Misalkan ${\displaystyle \frac{a}{b}}=x,$ maka ekspresi $4{({\displaystyle \frac{a^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{b}{a}})}^3$ dapat ditulis menjadi $4{(x^2+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^3.$
Dengan mengambil tiga suku: $({\displaystyle \frac{1}{2x^3}},{\displaystyle \frac{1}{2x^3}},1)$, kita gunakan ketaksamaan AM-GM.
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2x^3}}+{\displaystyle \frac{1}{2x^3}}+1}{3}}& \ge \sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{2x^3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2x^3}}\cdot 1}\\ {\displaystyle \frac{1}{x^3}}+1& \ge {\displaystyle \frac{3}{x^2}}\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{4}}}\\ \text{Kedua ruas}& \text{dikalikan}{x}^2\\ x^2+{\displaystyle \frac{1}{x}}& \ge {\displaystyle \frac{3}{\sqrt[3]{4}}}\end{array}$$Jadi, nilai minimum dari $x^2+{\displaystyle \frac{1}{x}}$ adalah ${\displaystyle \frac{3}{\sqrt[3]{4}}}.$
Dengan demikian, nilai minimum dari $4{({\displaystyle \frac{a^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{b}{a}})}^3$ dinyatakan oleh
$$\boxed{{\displaystyle 4{({\displaystyle \frac{a^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{b}{a}})}_{\text{min}}^3=4{\left({\displaystyle \frac{3}{\sqrt[3]{4}}}\right)}^3=27}}.$$(Jawaban E)

Karena $a,b$ bilangan real positif, ketaksamaan AM-GM dapat kita terapkan.
Pertama, ambil suku $(a,{\displaystyle \frac{4}{a}}).$
$$\begin{array}{rl}\mathbf{\text{AM}}& \ge \mathbf{\text{GM}}\\ {\displaystyle \frac{a+\frac{4}{a}}{2}}& \ge \sqrt{a\cdot {\displaystyle \frac{4}{a}}}\\ a+{\displaystyle \frac{4}{a}}& \ge 2\sqrt{4}\\ a+{\displaystyle \frac{4}{a}}& \ge 4& & (\cdots 1)\end{array}$$Kedua, ambil suku $(b,{\displaystyle \frac{5}{a}}).$
$$\begin{array}{rl}\mathbf{\text{AM}}& \ge \mathbf{\text{GM}}\\ {\displaystyle \frac{b+\frac{5}{b}}{2}}& \ge \sqrt{b\cdot {\displaystyle \frac{5}{b}}}\\ b+{\displaystyle \frac{5}{b}}& \ge 2\sqrt{5}& & (\cdots 2)\end{array}$$Dengan mengalikan kedua pertidaksamaan di atas sesuai ruasnya, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}(a+{\displaystyle \frac{4}{a}})(b+{\displaystyle \frac{5}{b}})& \ge 4\cdot 2\sqrt{5}\\ (a+{\displaystyle \frac{4}{a}})(b+{\displaystyle \frac{5}{b}})& \ge \sqrt{320}.\end{array}$$Kesamaan terjadi ketika suku yang diambil pada masing-masing kasus adalah sama.
$$\begin{array}{rl}a& ={\displaystyle \frac{4}{a}}\Rightarrow a^2=4\Rightarrow a=2\\ b& ={\displaystyle \frac{5}{b}}\Rightarrow b^2=5\Rightarrow b=\sqrt{5}\end{array}$$Dengan demikian, nilai $\boxed{{\displaystyle ab=2\sqrt{5}}}.$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa ekspresi $4^{2a},4^{2b},$ dan $4^{2c}$ selalu nonnegatif sehingga kita dapat menggunakan ketaksamaan AM-GM. Untuk suku $4^{2a}$ dan $1,$ kita peroleh
$$4^{2a}+1\ge 2\sqrt{4^{2a}}.$$Dengan cara yang sama, kita juga peroleh
$$\{\begin{array}{l}{4}^{2b}+2\ge 2\sqrt{4^{2a}\cdot 2}\\ 4^{2c}+8\ge 2\sqrt{4^{2a}\cdot 8}\end{array}$$Kalikan tiga ketaksamaan tersebut sesuai ruasnya.
$$\begin{array}{rl}(4^{2a}+1)(4^{2b}+2)(4^{2c}+8)& \ge (2\sqrt{4^{2a}})(2\sqrt{4^{2a}\cdot 2})(2\sqrt{4^{2a}\cdot 8})\\ & =8\sqrt{4^{2a+2b+2c+2}}\\ & =2^{2a+2b+2c+5}\end{array}$$Perhatikan bahwa yang kita inginkan adalah kesamaan itu tercapai, yaitu $$(4^{2a}+1)(4^{2b}+2)(4^{2c}+8)=2^{2a+2b+2c+5}.$$Kondisi tersebut terjadi saat setiap dua suku yang dipilih tadi bernilai sama. Dari sana, kita bisa tentukan masing-masing nilai $a,b,$ dan $c.$
$$\begin{array}{rl}{4}^{2a}=1& \Rightarrow a=0\\ 4^{2b}=2& \Rightarrow b=1/4\\ 4^{2a}=8& \Rightarrow c=3/4\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a+b}{c}}={\displaystyle \frac{0+1/4}{3/4}}={\displaystyle \frac{1}{3}}}}.$

Ambil sembarang bilangan positif $x.$ Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, diperoleh empat ketaksamaan berikut.
$$\begin{array}{rl}x+1& \ge 2x^{1/2}\\ x+3=x+1+1+1& \ge 4x^{1/4}\\ x+5=x+1+1+1+1+1& \ge 6x^{1/6}\\ x+11=x+\underset{\text{Sebanyak 11 kali}}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}& \ge 12x^{1/12}\end{array}$$Dengan mengalikan keempat ketaksamaan tersebut sesuai ruasnya, diperoleh
$$\begin{array}{rl}(x+1)(x+3)(x+5)(x+11)& \ge 2x^{1/2}\cdot 4x^{1/4}\cdot 6x^{1/6}\cdot 12x^{1/12}\\ & =(2\cdot 4\cdot 6\cdot 12)x^{1/2+1/4+1/6+1/12}\\ & =576x.\end{array}$$Ini berarti, nilai $M$ terbesar yang dimaksud adalah $\boxed{{\displaystyle 576}}.$
(Jawaban E)

Berdasarkan ketaksamaan AM-GM, diperoleh
$\begin{array}{rl}\mathbf{\text{AM}}& \ge \mathbf{\text{GM}}\\ {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{x}{y}}+{\displaystyle \frac{y}{x}}}{2}}& \ge \sqrt{{\displaystyle \frac{\bcancel{x}}{\cancel{y}}}\cdot {\displaystyle \frac{\cancel{y}}{\bcancel{x}}}}=\sqrt{1}=1\\ {\displaystyle \frac{x}{y}}+{\displaystyle \frac{y}{x}}& \ge 2.\end{array}$
Jadi, terbukti bahwa berlaku ${\displaystyle \frac{x}{y}}+{\displaystyle \frac{y}{x}}\ge 2$ untuk setiap $x,y>0$.

Misalkan diberikan bilangan positif $a,b,c,d$. Berdasarkan ketaksamaan AM-HM, diperoleh
$$\begin{array}{rl}\mathbf{\text{AM}}& \ge \mathbf{\text{HM}}\\ {\displaystyle \frac{a+b+c+d}{4}}& \ge {\displaystyle \frac{4}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}}\\ (a+b+c+d)({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}+{\displaystyle \frac{1}{d}})& \ge 4(4)=16.\end{array}$$Jadi, terbukti bahwa $$(a+b+c+d)({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}+{\displaystyle \frac{1}{d}})\ge 16.$$

Diketahui $p+q+r=1$.
Kita akan menggunakan ketaksamaan AM-HM, yaitu $\mathbf{\text{AM}}\ge \mathbf{\text{HM}}$.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{p+q+r}{3}}& \ge {\displaystyle \frac{3}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}}}\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}& \ge {\displaystyle \frac{3}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}}}\\ {\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}+{\displaystyle \frac{1}{r}}& \ge 3(3)=9\end{array}$
Jadi, terbukti bahwa ${\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}+{\displaystyle \frac{1}{r}}\ge 9.$

Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, berlaku $3$ pernyataan berikut.
$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle \frac{a+b}{2}}& \ge \sqrt{ab}& & (\cdots 1)\\ {\displaystyle \frac{a+c}{2}}& \ge \sqrt{ac}& & (\cdots 2)\\ {\displaystyle \frac{b+c}{2}}& \ge \sqrt{bc}& & (\cdots 3)\end{array}$
Kalikan masing-masing sesuai ruasnya dan kita peroleh
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{a+b}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{a+c}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{b+c}{2}}& \ge \sqrt{ab}\cdot \sqrt{ac}\cdot \sqrt{bc}\\ {\displaystyle \frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{8}}& \ge \sqrt{a^2{b}^2{c}^2}\\ (a+b)(a+c)(b+c)& \ge 8abc.\end{array}$$Jadi, terbukti bahwa untuk setiap $a,b,c\ge 0$, berlaku $(a+b)(a+c)(b+c)\ge 8abc.$

Kita akan menggunakan ketaksamaan AM-GM, memakai suku $x^2,y^2$, dan $z^2$.
Untuk masing-masing dua variabel, kita peroleh
$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2& \ge 2\sqrt{x^2\cdot y^2}=2xy\\ x^2+z^2& \ge 2\sqrt{x^2\cdot z^2}=2xz\\ y^2+z^2& \ge 2\sqrt{y^2\cdot z^2}=2yz.\end{array}$
Jumlahkan ketiga ketaksamaan tersebut dan kita peroleh
$\begin{array}{rl}2x^2+2y^2+2z^2& \ge 2xy+2xz+2yz\\ \text{Bagi kedua ruas}& \text{dengan}2\\ x^2+y^2+z^2& \ge xy+xz+yz.\end{array}$
Pernyataan terbukti.
Tanda kesamaan terjadi saat $x^2=y^2=z^2$, yakni ketika $x=y=z=1$.

Perhatikan bahwa
$999!=1\times 2\times 3\times \cdots \times 999$.
Berdasarkan ketaksamaan AM-GM, berlaku
$$\boxed{{\displaystyle \sqrt[n]{a_1\times a_2\times a_3\times \cdots \times a_{n-1}\times a_n}\le {\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n{a}_n}{n}}}}.$$Tanda kesamaan berlaku jika dan hanya jika $a_1=a_2=a_3=\cdots =a_{n-1}=a_n.$
Karena $a_1\ne a_2\ne a_3\ne \cdots \ne a_{n-1}\ne a_n$, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}\sqrt[n]{a_1\times a_2\times a_3\times \cdots \times a_{n-1}\times a_n}& <{\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n{a}_n}{n}}\\ \sqrt[999]{1\times 2\times 3\times \cdots \times 999}& <{\displaystyle \frac{1+2+3+\cdots +999}{999}}.\end{array}$$Deret yang ditandai dengan warna biru di atas merupakan deret aritmetika. Jumlahnya dapat dicari dengan menggunakan rumus ${\text{S}}_n={\displaystyle \frac{n}{2}}(a+{\text{U}}_n)$.
Kita akan peroleh ketaksamaan
$\begin{array}{rl}\sqrt[999]{999!}& <{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{999}{2}}(1+999)}{999}}\\ \sqrt[999]{999!}& <{\displaystyle \frac{\cancel{999}\cdot 500}{\cancel{999}}}\\ \sqrt[999]{999!}& <500\\ 999!& <{500}^{999}.\end{array}$
Terbukti bahwa $999!<{500}^{999}$.