Tag: Sistem Koordinat Kartesius

Setiap garis lurus yang diletakkan pada bidang koordinat Kartesius pasti memiliki suatu properti unik yang disebut sebagai persamaan (equation), yaitu suatu pernyataan yang menunjukkan adanya kesamaan nilai pada dua ekspresi aljabar tertentu. Persamaan garis lurus (linear equation) bersinonim dengan persamaan linear. Ciri-cirinya adalah setiap variabel yang muncul memiliki pangkat tertinggi 1 (satu) tanpa memuat perkalian antarvariabel. Berikut telah diberikan contoh dan noncontoh persamaan garis lurus.
$$\overline{)\begin{array}{cc}\text{Contoh}& \text{Noncontoh}\\ y=3x+9& y=3x^2+9\\ 3x-2y=\sqrt{7}& 3x-2\sqrt{y}=7\\ 9x=10& xy=4\end{array}}$$Ada fakta menarik yang dapat diulas ketika membahas garis lurus pada bidang koordinat Kartesius, yaitu setiap dua titik berbeda dapat dibuat garis lurus. Dengan kata lain, untuk menggambar garis lurus, kita hanya perlu dua titik, kemudian menghubungkannya. Persamaan garis lurus umumnya berbentuk $ax+by+c=0$ atau $y=mx+c$ (dengan $m$ = gradien) atau $ax+by=d.$

Perhatikan gambar berikut.
Gambar di atas menunjukkan garis lurus dengan persamaan $ax+by+c=0$ yang melalui dua titik, yaitu titik biru dengan koordinat $(x_1,y_1)$ dan titik merah dengan koordinat $(x_2,y_2).$ Nah, yang menjadi pertanyaan adalah bagaimana cara mencari persamaan tersebut (menentukan nilai $a,b,c$)?

Mungkin para guru di kelas sudah memberitahu dan menjelaskan bahwa persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu, misalnya $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ adalah
$$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{y-y_1}{y_2-y_1}}={\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}}}}$$Selanjutnya, kita tinggal melakukan “kali silang” dan sedikit perhitungan aljabar. Oleh karena itu, kita sebut saja cara ini dengan metode aljabar.

Baca: Soal dan Pembahasan – Gradien dan Persamaan Garis Lurus

Contoh 1

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik $(2,3)$ dan $(5,2).$

Metode Aljabar:
Dua titik yang dilalui garis adalah $(x_1,y_1)=(2,3)$ dan $(x_2,y_2)=(5,2).$
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{y-y_1}{y_2-y_1}}& ={\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}}\\ {\displaystyle \frac{y-3}{2-3}}& ={\displaystyle \frac{x-2}{5-2}}\\ {\displaystyle \frac{y-3}{-1}}& ={\displaystyle \frac{x-2}{3}}\\ 3(y-3)& =-(x-2)\\ 3y-9& =-x+2\\ x+3y& =11\end{array}$$Jadi, persamaan garisnya adalah $x+3y=11.$

Contoh 2

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik $(-1,3)$ dan $(3,-4).$

Metode Aljabar:
Dua titik yang dilalui garis adalah $(x_1,y_1)=(-1,3)$ dan $(x_2,y_2)=(3,-4).$
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{y-y_1}{y_2-y_1}}& ={\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}}\\ {\displaystyle \frac{y-3}{-4-3}}& ={\displaystyle \frac{x-(-1)}{3-(-1)}}\\ {\displaystyle \frac{y-3}{-7}}& ={\displaystyle \frac{x+1}{4}}\\ 4(y-3)& =-7(x+1)\\ 4y-12& =-7x-7\\ 7x+4y& =5\end{array}$$Jadi, persamaan garisnya adalah $7x+4y=5.$ 

Contoh 3

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik $(3,0)$ dan $(-1,-2).$

Metode Aljabar:
Dua titik yang dilalui garis adalah $(x_1,y_1)=(3,0)$ dan $(x_2,y_2)=(-1,-2).$
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{y-y_1}{y_2-y_1}}& ={\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}}\\ {\displaystyle \frac{y-0}{-2-0}}& ={\displaystyle \frac{x-3}{-1-3}}\\ {\displaystyle \frac{y}{-2}}& ={\displaystyle \frac{x-3}{-4}}\\ {\cancel{-4}}^{2}y& =\cancel{-2}(x-3)\\ 2y& =x-3\\ x-2y& =3\end{array}$$Jadi, persamaan garisnya adalah $x-2y=3.$

 

---

Bagi orang yang baru mulai mempelajari aljabar atau belum menguasai aljabar dengan baik, langkah pengerjaan yang ditunjukkan di atas mungkin akan terasa sulit dan membingungkan. Berdasarkan pengalaman pribadi, saya sendiri sering menjadi saksi bahwa banyak siswa setingkat SMP (kelas 8 ke atas) yang kesulitan melakukan operasi aljabar untuk menentukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik seperti ini.

Usut punya usut, ternyata ada cara lain yang “kelihatannya” lebih menyenangkan mata dibandingkan cara di atas. Kita bakal sebut ini sebagai metode skematik karena perhitungannya nanti memang menggunakan semacam skema. Perhatikan kembali rumus sebelumnya.
$$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{y-y_1}{y_2-y_1}}={\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}}}}$$Apabila kita menerapkan operasi aljabar pada persamaan tersebut, kita akan peroleh persamaan lain yang ternyata memunculkan ide baru tanpa melibatkan perhitungan aljabar yang sulit.
$$\begin{array}{rl}(y-y_1)(x_2-x_1)& =(x-x_1)(y_2-y_1)\\ x_{2}y-x_{1}y-x_2{y}_1+\cancel{x_1{y}_1}& =x{y}_2-x{y}_1-x_1{y}_2+\cancel{x_1{y}_1}\\ (x_2-x_1)y& =(y_2-y_1)x+(x_2{y}_1-x_1{y}_2)\end{array}$$Persamaan terakhirlah yang menjadi asal muasal munculnya metode skematik seperti berikut.
Setelah dikurangi, langkah terakhir adalah tinggal menyisipkan variabel $y$, tanda sama dengan, dan variabel $x$ sehingga persamaannya menjadi
$$\boxed{{\displaystyle (x_1-x_2)y=(y_1-y_2)x+(x_1{y}_2-x_2{y}_1)}}$$Masih bingung? Perhatikan beberapa contoh berikut supaya lebih paham. Saya menunggu kalimat “Oh, begitu rupanya!”.

Quote by Napoleon Hill

---

Contoh 1

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik $(2,3)$ dan $(5,2).$

Metode Skematik:
Dari hasil pengurangan di baris terakhir, kita peroleh persamaan garisnya, yaitu $-3y=x-11$ atau dapat disusun menjadi $x+3y=11.$

Contoh 2

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik $(-1,3)$ dan $(3,-4).$

Metode Skematik:
Dari hasil pengurangan di baris terakhir, kita peroleh persamaan garisnya, yaitu $-4y=7x-5$ atau dapat disusun menjadi $7x+4y=5.$

Contoh 3

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik $(3,0)$ dan $(-1,-2).$

Metode Skematik:
Dari hasil pengurangan di baris terakhir, kita peroleh persamaan garisnya, yaitu $4y=2x-6$ atau dapat disederhanakan dan disusun menjadi $x-2y=3.$

Contoh 4

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik $(10,-1)$ dan $(-1,10).$

Metode Skematik:
Dari hasil pengurangan di baris terakhir, kita peroleh persamaan garisnya, yaitu $11y=-11x+99$ atau dapat disederhanakan dan disusun menjadi $x+y=9.$

Contoh 5

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik $(4,7)$ dan $(-2,-3).$

Metode Skematik:
Dari hasil pengurangan di baris terakhir, kita peroleh persamaan garisnya, yaitu $6y=10x+2$ atau dapat disederhanakan dan disusun menjadi $5x-3y=-1.$

Contoh 6

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik $(0,0)$ dan $(-4,-7).$

Metode Skematik:
Dari hasil pengurangan di baris terakhir, kita peroleh persamaan garisnya, yaitu $4y=7x$ atau dapat disusun menjadi $7x-4y=0.$

Contoh 7

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik $(3,5)$ dan $(-9,-3).$

Metode Skematik:
Dari hasil pengurangan di baris terakhir, kita peroleh persamaan garisnya, yaitu $12y=8x+36$ atau dapat disederhanakan dan disusun menjadi $2x-3y=-9.$

Contoh 8

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik $(7,-3)$ dan $(-3,-2).$

Metode Skematik:
Dari hasil pengurangan di baris terakhir, kita peroleh persamaan garisnya, yaitu $10y=-x-23$ atau dapat disusun menjadi $x+10y=-23.$

Contoh 9

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik $(-1,-4)$ dan $(7,-5).$

Metode Skematik:
Dari hasil pengurangan di baris terakhir, kita peroleh persamaan garisnya, yaitu $-8y=x+33$ atau dapat disusun menjadi $x+8y=-33.$

Contoh 10

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik $(-3,-4)$ dan $(-3,-2).$

Metode Skematik:
Dari hasil pengurangan di baris terakhir, kita peroleh persamaan garisnya, yaitu $0y=-2x-6$ atau dapat disederhanakan dan disusun menjadi $x=-3.$

Bagaimana? Metode manakah yang lebih enak untuk dipakai? Semuanya tergantung selera masing-masing, tetapi intinya kita tahu bahwa kreativitas dan rasa “kepo” kita terhadap rumus yang lazim ternyata menghasilkan sesuatu yang “mempermudah” kita, sama seperti penggunaan mnemonik dalam proses menghafal.