Tag: Statistika

Misalkan besar nilai yang dipindahkan dari Boni ke Cecilia adalah $x.$ Ini berarti, nilai Cecilia menjadi $x+15,$ sedangkan nilai Boni menjadi $63-x.$ Mari tinjau dua kasus berikut.
Kasus 1: $x = 24.$
Saat $x = 24,$ nilai Cecilia adalah $24+15=39,$ sedangkan nilai Boni $63-24=39.$ Dengan demikian, data nilai menjadi $22, 38, 39, 39, 63$ yang menunjukkan bahwa mediannya sekarang naik menjadi $39.$
Kasus 2: $x > 24.$
Saat $x > 24,$ nilai Cecilia $\ge 40,$ tetapi nilai Boni $\le 38.$ Akibatnya, median data nilai baru ditentukan oleh, nilai Boni atau nilai Erlang (saat nilai Boni $\le$ nilai Erlang). Bagaimana pun kondisinya, median data tersebut justru tidak naik.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa besar nilai yang dipindahkan tersebut agar mediannya naik adalah $\boxed{24}.$

Misalkan rata-rata dari lima bilangan bulat positif tersebut adalah $x.$ Ini berarti, mediannya adalah $x+2,$ sedangkan modusnya adalah $x+4.$ Mula-mula, asumsikan lima bilangan bulat positif tersebut adalah
$$x, x, x, x, x.$$Agar mediannya $x+2$ dan modusnya $x+4,$ tetapi dengan tetap mempertahankan rata-rata, dapat dibuat data baru
$$x-k, x-j, (x+2), (x+4), (x+4)$$untuk suatu bilangan cacah $k, j$ yang memenuhi $k+j = 10.$ Untuk membuat modus sekecil mungkin, nilai $x$ harus dibuat sekecil mungkin. Ini berarti, $k$ juga dibuat demikian. Perhatikan bahwa $k \neq 5$ karena akan mengakibatkan bilangan kedua juga berbentuk $x-5$ (modusnya menjadi ganda). Oleh karena itu, pilih $k=6$ dan $j=4$ sehingga $x-6$ sebagai bilangan pertama dan $x-4$ sebagai bilangan kedua. Agar modus sekecil mungkin, pilih bilangan pertama $x-6=1$ sehingga $x = 7.$ Dengan demikian, lima bilangan bulat positif tersebut adalah
$$1, 3, 9, 11, 11.$$Jadi, nilai terkecil yang mungkin untuk modus tersebut adalah $\boxed{11}.$
(Jawaban D)

Diketahui data yang terdiri dari $6$ bilangan bulat positif, yaitu $1, 7, 5,$ $2, 5,$ dan $x.$ Dengan asumsi bahwa $x$ berbeda dari yang lain, dapat dikatakan ada $5$ bilangan berbeda dari data tersebut. Karena rata-ratanya sama dengan salah satu nilai dari data tersebut, sejumlah kasus perlu diselidiki untuk nilai rata-ratanya $(\overline{x}).$
Sebelumnya, perhatikan bahwa jumlah keenam bilangan tersebut adalah $$1+7+5+2+5+x = 20+x.$$ Ingat kembali bahwa rata-rata sama dengan jumlah nilai dibagi dengan banyaknya nilai.
Kasus 1: $\overline{x} = 1.$
Dengan demikian, diperoleh
$$1 = \dfrac{20+x}{6} \Leftrightarrow 6 = 20 + x \Leftrightarrow x = -14.$$Kasus ini tidak mungkin terjadi karena menghasilkan bilangan bulat negatif $x.$
Kasus 2: $\overline{x} = 2.$
Dengan demikian, diperoleh
$$2 = \dfrac{20+x}{6} \Leftrightarrow 12 = 20 + x \Leftrightarrow x = -8.$$Kasus ini juga tidak mungkin terjadi karena menghasilkan bilangan bulat negatif $x.$
Kasus 3: $\overline{x} = 5.$
Dengan demikian, diperoleh
$$5 = \dfrac{20+x}{6} \Leftrightarrow 30 = 20 + x \Leftrightarrow x = 10.$$Kasus ini juga mungkin terjadi karena menghasilkan bilangan bulat positif $x.$
Kasus 4: $\overline{x} = 7.$
Dengan demikian, diperoleh
$$7 = \dfrac{20+x}{6} \Leftrightarrow 42 = 20 + x \Leftrightarrow x = 22.$$Kasus ini juga mungkin terjadi karena menghasilkan bilangan bulat positif $x.$
Kasus 5: $\overline{x} = x.$
Dengan demikian, diperoleh
$$x = \dfrac{20+x}{6} \Leftrightarrow 6x = 20 + x \Leftrightarrow x = 4.$$Kasus ini juga mungkin terjadi karena menghasilkan bilangan bulat positif $x.$
Dari kelima kasus tersebut, dapat disimpulkan bahwa ada tiga nilai yang mungkin untuk $x,$ yaitu $10, 22,$ dan $4.$ Ini berarti, jumlah semua kemungkinan bilangan bulat positif $x$ adalah $\boxed{10+22+4=36}.$
(Jawaban D)

Ingat kembali bahwa rata-rata sama dengan jumlah nilai dibagi dengan banyaknya nilai. Misalkan rata-rata nilai ujian keenam Lili adalah $x.$ Karena rata-rata nilai yang diinginkan dalam $6$ kali ujian adalah $75,$ diperoleh
$$\begin{aligned} 75 & = \dfrac{82 + 60 + 77 + 70 + 65 + x}{6} \\ 450 & = 354 + x \\ x & = 96. \end{aligned}$$Jadi, agar rata-rata nilai ujiannya sebesar $75,$ nilai ujian keenam yang harus diperoleh oleh Lili adalah $\boxed{96}.$
(Jawaban A)

Dari tabel yang diberikan, nilai rata-rata nilai kelompok $3$ adalah $\dfrac{1+6+z+10}{4} = \dfrac{17+z}{4}.$ Sementara itu, median nilai kelompok $1$ dan $2$ adalah $7.$ Ini berarti, median gabungan kedua kelompok tersebut adalah $\dfrac{7+7}{2} = 7.$ Karena tiga kali rata-rata nilai kelompok $3$ ditambah dua kali median nilai kelompok $2$ sama dengan empat kali median gabungan nilai kelompok $1$ dan kelompok $2$ ditambah satu, diperoleh
$$\begin{aligned} 3 \cdot \dfrac{17+z}{4} + 2(7) & = 4(7) + 1 \\ \dfrac{3}{4}(17+z) & = 15 \\ 17+z & = 15 \cdot \dfrac43 \\ 17+z & = 20 \\ z & = 3. \end{aligned}$$Berikutnya, mari periksa kebenaran pernyataan yang diberikan.
Pernyataan (1): $z = 4.$
Pernyataan (1) salah karena perhitungan sebelumnya menunjukkan bahwa $z = 3.$
Pernyataan (2): Rata-rata nilai kelompok $3$ kurang dari $z.$
Karena $z = 3,$ rata-rata nilai kelompok $3$ adalah $\dfrac{17+3}{4} = 5.$ Ini berarti, rata-rata nilai kelompok $3$ tidak kurang dari $z.$ Dengan demikian, Pernyataan (2) salah.
Pernyataan (3): Median gabungan nilai kelompok $1$ dan $3$ adalah $z.$
Median nilai kelompok $1$ adalah $7.$ Sementara itu, median nilai kelompok $3$ adalah $\dfrac{3+6}{2} = 4,\!5.$ Ini berarti, median gabungannya menjadi $\dfrac{7+4}{2} = 5,\!5 \neq 4 = 3.$ Dengan demikian, Pernyataan (3) salah.
Jadi, tidak ada pernyataan yang benar.
(Jawaban A) 

Misalkan kedua peserta tersebut mendapatkan nilai $a$ dan $b.$ Diketahui jumlah nilai $80$ peserta mula-mula adalah $80 \cdot 60 = 4.800.$ Karena rata-ratanya nilai $78$ peserta tersisa sama dengan $61,$ diperoleh
$$\begin{aligned} 61 & = \dfrac{4.800-(a+b)}{78} \\ 4758 & = 4.800-(a+b) \\ a+b & = 42. \end{aligned}$$Dengan demikian, nilai rata-rata kedua peserta tersebut adalah $\dfrac{42}{2} = 21.$
(Jawaban A)

Mari periksa kebenaran pernyataan yang diberikan berdasarkan data yang disajikan pada tabel di atas.
Pernyataan (1): Menurut keperluannya, mengakses konten hiburan paling banyak dipilih oleh siswa dengan persentase sebesar $86,\!65\%,$ kemudian diikuti oleh bermedia sosial dan mengakses berita berturut-turut sebesar $66,\!68\%$ dan $61,\!39\%.$
Berdasarkan tabel, baris yang diberi nomor $1, 2,$ dan $3$ secara eksplisit mengonfirmasi kebenaran Pernyataan (1). Dengan demikian, Pernyataan (1) benar.
Pernyataan (2): Lebih dari $\dfrac14$ dari jumlah siswa yang disurvei menggunakan internet untuk melakukan pembelajaran daring.
Berdasarkan tabel, baris yang diberi nomor $4$ menunjukkan persentase banyaknya siswa yang menggunakan internet untuk keperluan pembelajaran daring sebesar $27,\!46\% > 25\%.$ Dengan kata lain, lebih dari $\dfrac14$ dari mereka menggunakan internet untuk keperluan tersebut. Dengan demikian, Pernyataan (2) benar.
Pernyataan (3): Sebanyak $24,\!55\%$ siswa pasti menggunakan internet untuk keperluan pembelian barang/jasa atau pengiriman surel.
Berdasarkan tabel, baris yang diberi nomor $6$ dan $7$ berturut-turut menunjukkan persentase banyaknya siswa yang menggunakan internet untuk keperluan pembelian barang/jasa dan pengiriman surel, yaitu sebesar $13,\!70\%$ dan $10,\!87\%.$ Namun, persentase tersebut tidak seharusnya dijumlahkan jika hendak mencari total persentase dari keduanya. Hal ini lantaran survei tersebut secara implisit memperbolehkan siswa memilih lebih dari satu pilihan. Dengan demikian, Pernyataan (3) salah.
Pernyataan (4): Kurang dari $10\%$ siswa yang menggunakan internet untuk membuka aplikasi lokapasar (e-commerce).
Tabel secara implisit menunjukkan bahwa pencarian informasi barang/jasa, pembelian barang/jasa, dan penjualan barang/jasa melibatkan penggunaan aplikasi lokapasar. Ini berarti, persentasenya tentu tidak kurang dari $10\%.$ Dengan demikian, Pernyataan (4) salah.
Jadi, pernyataan yang benar adalah (1) dan (2).
(Jawaban A)

Misalkan banyak siswa yang memperoleh nilai $80$ adalah $x.$ Karena rata-rata nilainya $70,$ diperoleh
$$\begin{aligned} 70 & = \dfrac{1\cdot 40 + 6 \cdot 50 + 3 \cdot 60 + 4 \cdot 70 + 80x + 5 \cdot 90}{1+6+3+4+x+5} \\ 70 & = \dfrac{40 + 300 + 180 + 280 + 80x + 450}{19+x} \\ 70(19+x) & = 1.250 + 80x \\ 1.330+70x & = 1.250+80x \\ 10x & = 80 \\ x & = 8. \end{aligned}$$Dengan demikian, banyak siswa yang memperoleh nilai $80$ adalah $8$ orang.
Mari periksa kebenaran pernyataan yang diberikan.
Pernyataan (1): Banyak siswa yang mendapatkan nilai $80$ adalah $2$ orang.
Dari perhitungan sebelumnya, banyak siswa yang memperoleh nilai $80$ adalah $8$ orang, bukan $2$ orang. Dengan demikian, Pernyataan (1) salah.
Pernyataan (2): Median data tersebut adalah $70.$
Banyak siswa seluruhnya adalah $$1+6+3+4+8+5=27$$orang. Ini berarti, median ditentukan oleh datum ke-$\dfrac{27+1}{2} = 14,$ yaitu $70.$ Dengan demikian, Pernyataan (2) benar.
Pernyataan (3): Terdapat $13$ orang siswa yang tuntas.
Sebanyak $8$ orang siswa mendapatkan nilai $80,$ sedangkan $5$ orang siswa mendapatkan nilai $90.$ Karena nilai tersebut tidak kurang dari $75,$ dapat dikatakan bahwa sebanyak $8+5=13$ orang siswa tuntas. Dengan demikian, Pernyataan (3) benar.
Pernyataan (4): Banyak siswa yang tuntas sama dengan banyak siswa yang nilainya di bawah rata-rata.
Dari perhitungan sebelumnya, banyak siswa yang tuntas adalah $13$ orang. Sementara itu, banyak siswa yang nilainya di bawah rata-rata, yaitu di bawah $70,$ ada $1+6+3=10.$ orang. Dengan demikian, Pernyataan (4) salah.
Jadi, pernyataan yang benar adalah (2 dan (3).
(Jawaban D) 

Diketahui rata-rata tinggi badan siswa kelas IX di suatu sekolah adalah $148$ cm. Mari periksa kebenaran pernyataan yang diberikan.
Pernyataan (1): Jika ada siswa dengan tinggi kurang dari $148$ cm, pasti ada siswa yang tinggi badannya lebih dari $148$ cm.
Misalkan ada siswa yang tingginya kurang dari $148$ cm. Agar rata-ratanya tidak berubah (tetap $148$ cm), pasti terdapat siswa yang tinggi badannya lebih dari $148$ cm. Dengan demikian, Pernyataan (1) benar.
Pernyataan (2): Sebagian besar siswa di kelas tersebut pasti memiliki tinggi badan $148$ cm.
Saat rata-rata tinggi badan siswa $148$ cm, tidak ada jaminan bahwa sebagian besar dari mereka memiliki tinggi badan $148$ cm. Hal ini karena rata-rata didapat dari jumlah tinggi siswa dibagi banyaknya siswa, sementara jumlah tinggi siswa dapat disamakan, meskipun tinggi siswa diubah-ubah. Sebagai ilustrasi sederhananya, misalkan terdapat data $1, 2, 3, 4, 5.$ Data tersebut memiliki rata-rata $3,$ tetapi bilangan $3$ justru hanya muncul sekali pada data tersebut. Dengan demikian, Pernyataan (2) salah.
Pernyataan (3): Jika ada dua siswa baru dengan tinggi badan $151$ cm dan $145$ cm, rata-rata tinggi keseluruhan siswa tidak berubah.
Perhatikan bahwa $151-148 = 3$ cm dan $145-148 = -3$ cm. Karena $3 + (-3) = 0,$ rata-rata tinggi keseluruhan siswa tidak berubah. Dengan demikian, Pernyataan (3) benar.
Pernyataan (4): Jika diurutkan dari terkecil ke terbesar, median data tinggi badan siswa tidak mungkin sama dengan $148$ cm.
Median data tinggi badan siswa seharusnya mungkin sama dengan $148$ cm. Sebagai contoh, saat semua siswa memiliki tinggi yang sama, yaitu $148$ cm, mediannya justru $148$ cm. Dengan demikian, Pernyataan (4) salah.
Jadi, pernyataan yang benar adalah (1) dan (3).
(Jawaban B)

Mari periksa kebenaran pernyataan yang diberikan.
Pernyataan (1): Suhu rata-rata bulan Januari–September tahun 2023 lebih tinggi dibandingkan tahun 1991–2020.
Grafik menunjukkan bahwa garis yang mewakili suhu rata-rata bulan Januari–September tahun 2023 (garis berwarna merah) selalu di atas garis yang mewakili suhu rata-rata bulan Januari–September tahun 1991–2020 (garis berwarna hitam). Ini berarti, tanpa melihat angkanya, dapat dikatakan bahwa suhu rata-rata bulan Januari–September tahun 2023 lebih tinggi dibandingkan tahun 1991–2020.
Dengan demikian, Pernyataan (1) benar.
Pernyataan (2): Perubahan suhu tertinggi pada bulan yang sama antara tahun 2023 dan tahun 1991–2020 terjadi di bulan Mei.
Perhatikan bahwa perubahan suhu pada bulan Juli sebesar $26,\!7-26,\!1 = 0,\!6^\circ\text{C},$ lebih tinggi dibandingkan perubahan suhu pada bulan Mei, yaitu sebesar $27,\!4-27,\!0 = 0,\!4^\circ\text{C}.$ Dengan demikian, Pernyataan (2) salah.
Pernyataan (3): Kenaikan suhu terbesar pada tahun 2023 terjadi saat bulan Maret–April.
Perhatikan bahwa kenaikan suhu pada tahun 2023 saat bulan Maret-April sebesar $27,\!1-26,\!7=0,\!5^\circ\text{C}.$ Ini merupakan kenaikan tertinggi selama $9$ bulan pertama pada tahun yang bersangkutan. Dengan demikian, Pernyataan (3) benar.
Pernyataan (4): Jika perubahan suhu pada bulan yang sama antara tahun 2023 dan tahun 1991–2020 relatif stabil, suhu terendah pada tahun 2023 terjadi pada bulan Juli.
Dari tren yang ditunjukkan pada grafik, suhu rata-rata bulan Oktober hingga Desember akan naik. Ini berarti, suhu terendah pada tahun 2023 terjadi pada bulan Februari, yaitu sebesar $26,\!4^\circ\text{C},$ bukan Juli yang suhu rata-ratanya lebih tinggi, yaitu $26,\!7^\circ\text{C}.$ Dengan demikian, Pernyataan (4) salah.
Jadi, pernyataan yang benar adalah (1) dan (3).
(Jawaban B)