Tag: Vektor

Persamaan $x^2+4x+4 = 0$ dapat dicari penyelesaiannya dengan beberapa cara, yaitu:
1. Pemfaktoran
Perhatikan bahwa $x^2+4x+4 = (x+2)(x+2) = (x+2)^2$ sehingga persamaan $x^2+4x+4=0$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (x+2)^2 & = 0 \\ x+2 & = 0 \\ x & = -2 \end{aligned}$
Jadi, HP-nya adalah $\{-2\}$.
2. Rumus Kuadrat (ABC)
Diketahui $x^2+4x+4=0$ dengan $a=1$, $b=4$, dan $c = 4$ sehingga dengan menggunakan rumus ABC diperoleh
$\begin{aligned} x_{1, 2} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-4 \pm \sqrt{(4)^2-4(1)(4)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{2} \\ & = \dfrac{-4 \pm 0}{2} \\ & = \dfrac{-4}{2} = -2 \end{aligned}$
Jadi, HP-nya adalah $\{-2\}$.
3. Metode Kuadrat Sempurna
Persamaan $x^2+4x+4 = 0$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} \left[(x+2)^2-\bcancel{4}\right] + \bcancel{4} & = 0 \\ (x+2)^2 & = 0 \\ x+2 & = 0 \\ x & = -2 \end{aligned}$
Catatan: Bentuk $x^2+4x+4$ sudah dalam bentuk kuadrat sempurna.
Jadi, HP-nya adalah $\{-2\}$.
(Jawaban C)

Persamaan kuadrat dengan akar-akarnya $\alpha$ dan $\beta$ adalah $(x-\alpha)(x-\beta) = 0$.
Untuk $\alpha = -4$ dan $\beta = 2$, diperoleh
$\begin{aligned} (x-(-4))(x-2) & = 0 \\ (x+4)(x-2) & = 0 \\ x^2-2x+4x-8 & = 0 \\ x^2+2x-8 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $\boxed{x^2+2x-8=0}$
(Jawaban B)

Diketahui $2x^2+8x-12=0$.
Bagi kedua ruas dengan $2$ untuk memperoleh $x^2+4x-6=0$.
Sifat akar persamaan kuadrat dilihat dari diskriminannya dengan ketentuan berikut.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Diskri}\text{minan} & \text{Sifat Akar} \\ \hline D > 0 & \text{Real berlainan} \\ \hline D = 0 & \text{Real sama/kembar} \\ \hline D < 0 & \text{Imajiner/khayal} \\ \hline \end{array}$
Dari persamaan $x^2+4x-6 = 0$, diketahui $a =1$, $b=4$, dan $c=-6$. Diskriminannya adalah $D = b^2-4ac$.
$\begin{aligned} D & = (4)^2-4(1)(-6) \\ & = 16+24 = 40 \end{aligned}$
Karena diskriminannya positif, maka sifat akarnya adalah real berlainan (lihat tabel di atas).
(Jawaban D)

Diketahui $x^2+x-6=0$ dengan akar-akar $a$ dan $b$.
Jumlah akar, yaitu $a+b$, dapat ditentukan dengan menegatifkan koefisien $x$, lalu dibagi dengan koefisien $x^2$. Kita tuliskan
$a + b = -\dfrac{1}{1} = -1$.
Jadi, nilai $\boxed{a+b=-1}$
(Jawaban B)

Diketahui $x^2+5x+6=0$.
Jumlah akarnya adalah
$\color{red}{x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{5}{1} = -5}$
Hasil kali akarnya adalah
$\color{blue}{x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{6}{1}=6}$
Dengan demikian, jumlah akar persamaan kuadrat yang baru adalah
$\begin{aligned} \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} & = \dfrac{\color{red}{x_1 + x_2}}{\color{blue}{x_1x_2}} \\ & = \dfrac{-5}{6} \end{aligned}$
Hasil kali akar persamaan kuadrat yang baru adalah
$\dfrac{1}{x_1} \cdot \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{1}{\color{blue}{x_1x_2}} = \dfrac16$
Persamaan kuadrat yang baru itu dinyatakan oleh
$\begin{aligned} x^2-\text{JA}x + \text{HKA} & = 0 \\ x^2-\left(\dfrac{-5}{6}\right)+\dfrac16 & = 0 \\ \text{Kalikan 6 di kedua}~&\text{ruas} \\ 6x^2+5x+1 & = 0 \end{aligned}$
(Jawaban D)

Fungsi kuadrat $f(x) = ax^2+bx+c$ memiliki persamaan sumbu simetri $x = -\dfrac{b}{2a}$.
Diketahui $f(x)=4+3x-x^2$ dengan $a=-1$ dan $b = 3$.
Persamaan sumbu simetri fungsi $f(x)$ adalah
$x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{3}{2(-1)} = \dfrac32 = 1\dfrac12$
(Jawaban E)

Diketahui $y=x^2-4x-12$ dengan $a=1$, $b=-4$, dan $c=-12$.
Absis titik balik ditentukan oleh
$x_p =-\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2(1)} = 2$
Ordinat titik baliknya dapat ditentukan dengan mensubstitusi $x = 2$ pada fungsi kuadrat.
$\begin{aligned} y & = x^2-4x-12 \\ y_p & = (2)^2-4(2)-12 \\ & = 4-8-12 =-16 \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik baliknya adalah $(2, -16)$.
(Jawaban B)

Jika grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu-$X$ (dengan kata lain, memotong sumbu-$X$ di satu titik saja), maka diskriminannya haruslah $0$ (akar persamaan kuadratnya kembar), ditulis $\boxed{D=0}$
(Jawaban C)

Diketahui $y = x^2-3x+2$.
Ketika grafik fungsi memotong sumbu-$X$, nilai $y$ adalah $0$. Untuk itu, kita tuliskan
$\begin{aligned} 0 & = x^2-3x+2 \\ 0 & = (x-2)(x-1) \\ x-2 & = 0~\text{atau}~x-1 = 0 \\ x & = 2~\text{atau}~x=1 \end{aligned}$
Jadi, titik potong grafik fungsi itu terhadap sumbu-$X$ adalah $(1, 0)$ dan $(2, 0)$.
(Jawaban B)

Persamaan kuadrat $2x^2-8x+16=0$ dapat disederhanakan menjadi $x^2-4x+8=0$ dengan membagi kedua ruas dengan $2$.
Misal akarnya adalah $p$ dan $q$.
Diketahui jumlah akarnya adalah
$p+q = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{(-4)}{1} = 4$
dan hasil kali akarnya
$pq = \dfrac{c}{a} = \dfrac{8}{1}=8$.
Persamaan kuadrat yang baru memiliki akar-akar $2p$ dan $2q$ dengan jumlah akarnya:
$\begin{aligned} 2p+2q & = 2(p+q) \\ & = 2(4) = 8 \end{aligned}$
dan hasil kali akarnya:
$\begin{aligned} 2p \cdot 2q & = 4(pq) \\ & = 4(8) = 32 \end{aligned}$
Dengan demikian, persamaan kuadrat yang baru itu adalah
$\begin{aligned} x^2-\text{JA}x+\text{HKA} & = 0 \\ x^2-8x+32 & = 0 \end{aligned}$
(Jawaban E)

Fungsi kuadrat yang memotong sumbu-$X$ di $(x_1,0)$ dan $(x_2,0)$ serta melalui titik tertentu berkoordinat $(x,y)$ adalah $\boxed{y=a(x-x_1 )(x-x_2)}$ dengan $a \in \mathbb{R}$ dan $a$ bukan nol.
(Jawaban A)

Fungsi kuadrat dengan titik balik $(x_p, y_p)$ dan melalui titik $(x, y)$ dinyatakan oleh $\boxed{y= a(x-x_p)^2 + y_p}$
Untuk $x_p = 1$, $y_p=2$, $x=0$, dan $y=4$, kita akan mencari nilai $a$.
$\begin{aligned} 4 & = a(0-1)^2+2 \\ 4-2 & = a(-1)^2 \\ 2 & = a(1) \\ a & = 2 \end{aligned}$
Untuk $x_p = 1$, $y_p=2$, dan $a=2$, kita peroleh fungsi kuadrat:
$\begin{aligned} y & = 2(x-1)^2+2 \\ & = 2(x^2-2x+1)+2 \\ & = 2x^2-4x+2+2 \\ & = 2x^2-4x+4 \end{aligned}$
Jadi, fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik $(1,2)$ dan melalui titik $(0,4)$ adalah $\boxed{y=2x^2-4x+4}$
(Jawaban E)

Panjang kawat akan menjadi keliling persegi panjang sehingga dapat kita tulis
$\begin{aligned} \text{keli}\text{ling} & = 400 \\ 2(p+l) & = 400 \\ p+l & = 200 \\ p & = 200-l \end{aligned}$
Luas tanah (dalam artian di sini adalah luas persegi panjang) dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L & = p \times l \\ & = (200-l) \times l \\ & = 200l-l^2 \end{aligned}$
Kita peroleh suatu fungsi kuadrat $L = 200l-l^2$.
Persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat ini adalah
$l = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{200}{2(-1)} = 100$
Ini artinya, luas akan maksimum jika lebarnya $100$ m.
$\begin{aligned} L_{\text{maks}} & = 200(100)-(100)^2 \\ & = 20.000-10.000=10.000 \end{aligned}$
Jadi, luas tanah maksimum sehingga kawat dapat memagari tanah tersebut adalah $\boxed{10.000~\text{met}\text{er pers}\text{egi}}$
(Jawaban C)

Diketahui:
$\begin{aligned} f(x) & = x^2+3x-4 \\ g(x) & = 5x-3 \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} (f-g)(x) & = f(x)-g(x) \\ & = (x^2+3x-4)-(5x-3) \\ & = x^2+3x-4-5x+3 \\ & = x^2-2x-1 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{(f-g)(x) = x^2-2x-1}$
(Jawaban C)

Diketahui:
$\begin{aligned} f(x) & = x^2-4 \\ g(x) & = 2x+1 \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} (f \cdot g)(x) & = f(x) \cdot g(x) \\ & = (x^2-4)(2x+1) \\ & = 2x^3+x^2-8x-4 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{(f \cdot g)(x) = 2x^3+x^2-8x-4}$
(Jawaban D)

$(f \circ g)(x)$ menyatakan komposisi dari dua buah fungsi, yaitu fungsi $f$ dan fungsi $g$.
(Jawaban B)

Diketahui:
$\begin{aligned} f(x) & = x^2-4x+6 \\ g(x) & = 2x-3 \end{aligned}$
Untuk itu,
$$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f(2x-3) \\ & = (2x-3)^2-4(2x-3)+6 \\ & = (4x^2-12x+9)-8x+12+6 \\ & = 4x^2-20x+27 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{(f \circ g)(x) = 4x^2-20x+27}$
(Jawaban C)

Diketahui:
$\begin{aligned} f(x) & = x^2-2x+1 \\ g(x) & = x-3 \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} (g \circ f)(3) & = g(f(3)) \\ & = g((\color{red}{3})^2-2(\color{red}{3})+1) \\ & = g(4) = \color{red}{4}-3 = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{(g \circ f)(3)=1}$
(Jawaban E)

Diketahui:
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & =21x-10 \\ f(x) & = 7x+4 \end{aligned}$
Kita akan mencari rumus fungsi $g(x)$ dimulai dari komposisi fungsinya.
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & =21x-10 \\ f(g(x)) &=21x-10 \\ 7g(x) + 4 & = 21x-10 \\ 7g(x) & = 21x-14 \\ g(x)&= \dfrac{21x-14}{7} = 3x-2 \end{aligned}$
Jadi, rumus fungsi $g(x)$ adalah $\boxed{g(x) = 3x-2}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x)=x-5$. 
Misalkan $f(x) = y$, maka kita dapat tulis menjadi
$\begin{aligned} y & = x-5 \\ y+5 & = x \\ y+5 & = f^{-1}(y) \\ f^{-1}(x) & = x + 5 \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{f^{-1}(x) = x+5}$
(Jawaban A)

Cara 1: Manual
Diketahui $f(x)=\dfrac{3x+6}{3x+1}$.
Misalkan $f(x) = y$ sehingga dapat kita tuliskan
$\begin{aligned} y & = \dfrac{3x+6}{3x+1} \\ y(3x+1) & = 3x+6 \\ 3xy+y-3x & = 6 \\ x(3y-3) & = 6-y \\ x & = \dfrac{6-y}{3y-3} \\ f^{-1}(y) & = \dfrac{6-y}{3y-3} \\ f^{-1}(x) & = \dfrac{-x+6}{3x-3}, x \neq 1 \end{aligned}$
Perhatikan bahwa agar invers fungsi $f$ terdefinisi, penyebutnya tidak boleh bernilai $0$, artinya $3x-3 \neq 0$ menghasilkan $x \neq 1$.
Cara 2: Kilat
Jika $f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}$, maka $f^{-1}(x) = \dfrac{-dx+b}{cx-a}$.
Karena $f(x)=\dfrac{3x+6}{3x+1}$, maka dengan menggunakan formula di atas, inversnya adalah $f^{-1}(x) = \dfrac{-x+6}{3x-3} = \dfrac{6-x}{3x-3}$.
(Jawaban C)

Diketahui:
$\begin{aligned} f(x) & = 2x+3 \\ g(x) & = 2x \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f(2x) \\ & = 2(\color{red}{2x})+3 = 4x+3 \end{aligned}$
Misalkan $y = (f \circ g)(x)$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{aligned} y & = 4x+3 \\ y-3 & = 4x \\ x & = \dfrac{y-3}{4} \\ (f \circ g)^{-1}(y) & = \dfrac{y-3}{4} \\ (f \circ g)^{-1}(x) & = \dfrac{x-3}{4} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{(f \circ g)^{-1} (x) = \dfrac{x-3}{4}}$
(Jawaban B)

Diketahui:
$\begin{aligned} f(x) & =x-1 \\ g(x) & = x \end{aligned}$
Komposisi fungsi $f$ bundaran $g$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f(x) = x-1 \end{aligned}$
Karena $(f \circ g)(x) = x-1$, maka berdasarkan definisi invers fungsi, kita peroleh $(f \circ g)^{-1}(x-1) = x$.
Substitusi $x = 4$ dan kita akan mendapatkan $\boxed{(f \circ g)^{-1}(3) = 4}$
(Jawaban D)

Persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b)$ dan berjari-jari $r$ adalah $\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}$
(Jawaban C)

Persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b)$ dan berjari-jari $r$ adalah $\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}$
Untuk $a = 1$ dan $b = 2$, serta $r = 2$, diperoleh persamaan lingkaran
$\begin{aligned} (x-1)^2+(y-2)^2 & = 2^2 \\ (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4) & = 4 \\ x^2+y^2-2x-4y+1 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x^2+y^2-2x-4y+1 = 0}$
(Jawaban A)

Diketahui $(x_p, y_p) = (2, 3)$. Garis singgungnya adalah $3x-4y-4 = 0$. Ini berarti,
$\begin{aligned} \text{Koef}\text{isien}~x & = a = 3 \\ \text{Koef}\text{isien}~y & = b = -4 \\ \text{Konst}\text{anta} & = c = -4 \end{aligned}$
Jari-jarinya ditentukan oleh rumus berikut.
$\begin{aligned} r & = \dfrac{|ax_p+by_p+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ & = \dfrac{|3(2)+(-4)(3)+(-4)|}{\sqrt{(3)^2+(-4)^2}} \\ & = \dfrac{|6-12+(-4)|}{\sqrt{9+16}} \\ & = \dfrac{10}{5} = 2 \end{aligned}$
Persamaan lingkaran yang berpusat di $(2, 3)$ dan berjari-jari $2$ adalah
$\begin{aligned} (x-2)^2+(y-3)^2 & = 2^2 \\ (x^2-4x+4)+(y^2-6y+9) & = 4 \\ x^2+y^2-4x-6y+9 & = 0 \end{aligned}$
(Jawaban B)

Substitusi $x = 2$ dan $y = -3$ pada bentuk di ruas kiri persamaan lingkaran tersebut, yaitu $x^2+y^2+2x-3y-29$.
$\begin{aligned} & (2)^2+(-3)^2+2(2)-3(-3)-29 \\ & = 4+9+4+9-29 = -3 < 0 \end{aligned}$
Karena hasilnya kurang dari $0$, maka dapat disimpulkan bahwa titik $A(2,-3)$ berada di dalam lingkaran $x^2+y^2+2x-3y-29=0$.
(Jawaban A)

$\begin{aligned} \vec{a}-2\vec{b}+\vec{c} & = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}-2\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix} \\ & =  \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4-0+(-5) \\ 1-6+2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Vektor posisi dari $\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c}$ selanjutnya dinyatakan oleh $\boxed{-\vec{i}-3\vec{j}}$
(Jawaban B)

Diketahui $\vec{a} = \begin{pmatrix} 7 \\ 24 \end{pmatrix}$.
Panjang vektor $\vec{a}$ dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{aligned} |\vec{a}| & = \sqrt{7^2+24^2} \\ & = \sqrt{49+576} = \sqrt{625} = 25 \end{aligned}$
Jadi, vektor $\vec{a}$ memiliki panjang $\boxed{25}$
(Jawaban B)

Diketahui $\vec{a} = \begin{pmatrix} 8 \\ 15 \end{pmatrix}$.
Panjang vektor $\vec{a}$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} |\vec{a}| & = \sqrt{8^2+15^2} \\ & = \sqrt{64+225} = \sqrt{289} = 17 \end{aligned}$
Vektor satuan dari $\vec{a}$ adalah vektor yang setiap komponennya dibagi dengan panjang vektor tersebut sehingga panjangnya menjadi $1$. Ini berarti, vektor satuan dari $\vec{a}$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} 8/17 \\ 15/17 \end{pmatrix}}$
(Jawaban A)