Analogi Logika Matematika pada Rangkaian Listrik

Putus alirnya arus listrik pada rangkaian listrik ditentukan oleh alat yang disebut sebagai sakelar listrik.

Saklar atau Sakelar? 

Dalam bentuk diagram, rangkaian listrik dapat digambarkan seperti berikut.

1. Jika sakelar $p$ dalam keadaan tertutup, maka arus listrik mengalir pada jaringan.
2. Jika sakelar $p$ dalam keadaan terbuka (seperti gambar di atas), maka arus listrik terputus pada jaringan.

Untuk suatu rangkaian listrik yang terdiri dari lebih dari satu sakelar, maka sakelar yang ada dapat disusun secara seri (berturut) atau paralel (bercabang).

Rangkaian listrik seperti gambar di atas mungkin tidak asing lagi, karena sudah dipelajari dalam fisika.

Rangkaian listrik dan sakelarnya dapat dianalogikan dengan pernyataan yang bernilai benar (B) atau salah (S). Nilai B identik dengan sakelar tertutup (arus listrik mengalir), sedangkan nilai S identik dengan sakelar terbuka (arus listrik terputus). Rangkaian listrik dengan dua sakelar yang disusun secara seri identik dengan konjungsi dari dua pernyataan. Perhatikan gambar rangkaian listrik berikut.

Dari gambar, tampak bahwa apabila ada satu saja sakelar yang terbuka, maka arus listrik akan terputus dalam jaringan. Ini sesuai dengan nilai kebenaran pada pernyataan konjungsi yang menyatakan bahwa akan bernilai BENAR jika kedua pernyataan tunggal juga BENAR, seperti yang ditunjukkan dalam tabel kebenaran konjungsi di bawah.
Apabila sakelar pada rangkaian listrik disusun secara paralel seperti gambar di bawah, maka hal itu identik dengan disjungsi dua pernyataan.

Dari gambar, tampak bahwa satu sakelar tertutup sudah cukup untuk membuat arus listrik mengalir dalam jaringan. Ini sesuai dengan nilai kebenaran pada pernyataan disjungsi yang menyatakan bahwa akan bernilai BENAR jika setidaknya ada satu pernyataan tunggal bernilai BENAR, seperti yang ditunjukkan dalam tabel kebenaran disjungsi di bawah.
Perlu diketahui juga bahwa operasi konjungsi dan disjungsi dalam logika matematika bersifat komutatif (dibolak-balik tidak mengubah hasil akhirnya). Secara matematis, ditulis
$$\boxed{\begin{aligned} p \,\land q & \equiv q \, \land p \\ p \lor q & \equiv q \lor p \end{aligned}}$$Ini penting untuk diketahui karena notasi logika yang identik dengan rangkaian listrik tertentu hanya melibatkan kedua operasi ini sehingga tidak perlu mempermasalahkan ketika penulisannya terbalik atau tertukar.
Sekarang, akan dijelaskan cara menentukan notasi konjungsi dan disjungsi dari susunan rangkaian listrik yang diberikan.

Baca Juga: Syarat Cukup dan Syarat Perlu dalam Matematika

Contoh a:

Tampak bahwa sakelar $q$ dan $r$ disusun secara paralel, sehingga ditulis $q \lor r$. Sakelar $p$ disusun seri dengan $qr$. Secara keseluruhan, notasi logika yang sesuai adalah $\boxed{p \, \land (q \lor r)}$
Contoh b:

1. Sakelar $q$ dan $r$ seri, ditulis $q \, \land r.$
2. Sakelar $qr$ dan $s$ paralel, ditulis $(q \, \land r) \lor s.$
3. Sakelar $p$, $qrs$, dan $t$ disusun seri, ditulis $p \, \land ((q \, \land r) \lor s) \, \land t.$

Jadi, notasi logika yang sesuai adalah $\boxed{p \, \land ((q \, \land r) \lor s) \, \land t}$
Contoh c:

 

1. Sakelar $p$ dan $r$ paralel, ditulis $p \lor r.$
2. Sakelar $q$ dan $r$ juga paralel, ditulis $q \lor r.$
3. Sakelar $pr$ dan $qr$ seri, ditulis $(p \lor r) \, \land (q \lor r).$

Jadi, notasi logika yang sesuai adalah $\boxed{(p \lor r) \, \land (q \lor r)}$
Contoh d:

Pada rangkaian bagian atas:

1. Sakelar $p$ dan $q$ paralel, ditulis $p \lor q.$
2. Sakelar $pq$ dan $r$ seri, ditulis $(p \lor q) \, \land r.$

Pada rangkaian bagian bawah:

1. Sakelar $r$ dan $q$ paralel, ditulis $r \lor q.$
2. Sakelar $p$ dan $qr$ seri, ditulis $p \, \land (r \lor q).$

Susunan rangkaian atas dan bawah paralel sehingga diperoleh notasi logika yang tepat, yakni $\boxed{((p \lor q) \, \land r) \lor (p \, \land (r \lor q))}$

Berikut disajikan beberapa soal sebagai bahan latihan yang juga telah disertai dengan pembahasannya. 

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Gerbang Logika

Today Quote

Soal Nomor 1

Tuliskan notasi logika dari rangkaian listrik di bawah.

Soal Nomor 2

Tuliskan notasi logika dari rangkaian listrik di bawah.

Soal Nomor 3

Tuliskan notasi logika dari rangkaian listrik di bawah.

Baca Juga: Pembuktian dengan Menggunakan Kontradiksi 

Soal Nomor 4

Gambarkan rangkaian listrik dari notasi logika berikut.
a. $(p \lor q) \, \land (p \lor q \lor r)$
b. $p \, \land ((q \lor r) \lor (s \, \land p))$