Soal dan Pembahasan – Analisis Faktor dan Kelipatan Bilangan

Agar $\dfrac{18}{n}$ bilangan asli, $n$ harus merupakan faktor positif dari $18,$ yaitu $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Faktor 18} &n & \dfrac{18}{n} \\ \hline 1 & 1 & 18 \\ 2 & 2 & 9 \\ 3 & 3 & 6 \\ 6 & 6 & 3 \\ 9 & 9 & 2 \\ 18 & 18 & 1 \\ \hline \end{array}$$Jadi, ada $\boxed{6}$ bilangan asli $n$ yang menyebabkan $\dfrac{18}{n}$ juga bilangan asli, yaitu $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}.$
(Jawaban D)

Agar $\dfrac{n}{25}$ bilangan asli, $n$ harus merupakan kelipatan dari $25,$ yaitu $\{25, 50, 75, 100, \cdots, 375\}.$ Untuk setiap $n$ yang kita pilih tersebut, $\dfrac{n}{25}$ pasti bilangan asli. Ini menunjukkan bahwa banyak bilangan asli $n < 400$ yang menyebabkan $\dfrac{n}{25}$ juga bilangan asli sama dengan banyak bilangan kelipatan $25$ yang kurang dari $400,$ yaitu $\boxed{\dfrac{375}{25} = 15}$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa kita dapat menyatakan bentuk $\dfrac{n+4}{n-2}$ dalam bentuk yang lain.
$$\begin{aligned} \dfrac{n+4}{n-2} & = \dfrac{(n-2) + 6}{n-2} \\ & = \dfrac{n-2}{n-2} + \dfrac{6}{n-2} \\ & = 1 + \dfrac{6}{n-2} \end{aligned}$$Agar menghasilkan bilangan asli, $(n-2)$ harus merupakan faktor positif dari $6,$ yaitu $\{1, 2, 3, 6\}.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Faktor 6} & n & 1 + \dfrac{6}{n-2} \\ \hline 1 & 3 & 7 \\ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 3 \\ 6 & 8 & 2 \\ \hline \end{array}$$Jadi, anggota $A$ ada empat, yaitu $\{2,3,4,7\}$ sehingga jumlah anggotanya adalah $\boxed{2+3+4+7=16}$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa kita dapat menyatakan bentuk $\dfrac{6n}{n+3}$ dalam bentuk yang lain.
$$\begin{aligned} \dfrac{6n}{n+3} & = \dfrac{6(n+3)-18}{n+3} \\ & = \dfrac{6\cancel{(n+3)}}{\cancel{n+3}}-\dfrac{18}{n+3} \\ & = 6-\dfrac{18}{n+3} \end{aligned}$$Agar menghasilkan bilangan asli, $(n+3)$ harus merupakan faktor positif dari $18,$ yaitu $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$ serta $\dfrac{18}{n+3}$ bernilai kurang dari $6.$ Kita mulai dari yang paling besar, yakni $18.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Faktor 18} & n & 6-\dfrac{18}{n+3} \\ \hline 18 & 15 & 5 \\ 9 & 6 & 4 \\ 6 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & – \\ \hline \end{array}$$Analisis kita hentikan karena nilai $n$ bukan bilangan asli lagi. Jadi, anggota $H$ ada tiga, yaitu $\{3, 4, 5\}$ sehingga hasil kali anggotanya adalah $\boxed{3 \cdot 4 \cdot 5 = 60}$
(Jawaban A)

Perhatikan bahwa kita dapat menyatakan bentuk $\dfrac{n-2}{n}$ dalam bentuk yang lain.
$$\begin{aligned} \dfrac{n-2}{n} & = \dfrac{n}{n}-\dfrac{2}{n} \\ & = 1-\dfrac{2}{n} \end{aligned}$$Agar menghasilkan bilangan bulat, $n$ harus merupakan faktor dari $2,$ yaitu $\{\pm 1, \pm 2\}.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Faktor 2} & n & 1-\dfrac{2}{n} \\ \hline 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \\ -2 & -2 & 2 \\ \hline \end{array}$$Jadi, ada $4$ nilai $n$ yang memenuhi untuk membuat $\dfrac{n-2}{n}$ menjadi bilangan bulat, yaitu $\{\color{blue}{-2}, -1, \color{blue}{1}, 2\}.$
Selanjutnya, kita dapat menyatakan bentuk $\dfrac{2n}{n+1}$ dalam bentuk yang lain.
$$\begin{aligned} \dfrac{2n}{n+1} & = \dfrac{2(n+1)-2}{n+1} \\ & = \dfrac{2\cancel{(n+1)}}{\cancel{n+1}}-\dfrac{2}{n+1} \\ & = 2-\dfrac{2}{n+1} \end{aligned}$$Agar menghasilkan bilangan bulat, $(n+1)$ harus merupakan faktor dari $2,$ yaitu $\{\pm 1, \pm 2\}.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Faktor 2} & n & 2-\dfrac{2}{n+1} \\ \hline 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & 4 \\ -2 & -3 & 3 \\ \hline \end{array}$$Jadi, ada $4$ nilai $n$ yang memenuhi untuk membuat $\dfrac{2n}{n+1}$ menjadi bilangan bulat, yaitu $\{-3, \color{blue}{-2}, 0, \color{blue}{1}\}.$
Sekarang, dapat kita simpulkan bahwa nilai $n$ yang membuat kedua bentuk tersebut berupa bilangan bulat adalah $\{-2, 1\}.$ Dengan kata lain, ada $\boxed{2}$ nilai $n$ yang memenuhi kondisi tersebut.
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa kita dapat menyatakan bentuk $\dfrac{n^2-2n+4}{n+1}$ dalam bentuk yang lain.
$$\begin{aligned} \dfrac{n^2-2n+4}{n+1} & = \dfrac{(n+1)^2-4n+3}{n+1} \\ & = \dfrac{(n+1)^2}{n+1}+\dfrac{-4n+3}{n+1} \\ & = (n+1)+\dfrac{-4(n+1)+7}{n+1} \\ & = (n+1)+\dfrac{-4\cancel{(n+1)}}{\cancel{n+1}} + \dfrac{7}{n+1} \\ & = (n+1)-4+\dfrac{7}{n+1} \\ & = n-3+\dfrac{7}{n+1} \end{aligned}$$Agar menghasilkan bilangan asli, $(n+1)$ harus merupakan faktor positif dari $7,$ yaitu $\{1, 7\}.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Faktor 7} & n & n-3+\dfrac{7}{n+1} \\ \hline 1 & 0 & – \\ 7 & 6 & 4 \\ \hline \end{array}$$Perhatikan bahwa $n$ harus merupakan bilangan asli. Jika kita memilih $1$ sebagai faktor dari $7,$ maka itu berakibat $n = 0$ (bukan bilangan asli).
Jadi, anggota $D$ hanya ada satu, yaitu $\{4\}.$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa kita dapat menyatakan bentuk $\dfrac{10n^2+25}{n+2}$ dalam bentuk yang lain.
$$\begin{aligned} \dfrac{10n^2+25}{n+2} & = \dfrac{10(n+2)^2-40n-15}{n+2} \\ & = \dfrac{10(n+2)^2}{n+2}-\dfrac{40n+15}{n+2} \\ & = 10(n+2)-\dfrac{40(n+2)-65}{n+2} \\ & = 10(n+2)-\dfrac{40\cancel{(n+2)}}{\cancel{n+2}}+\dfrac{65}{n+2} \\ & = 10(n+2)-40+\dfrac{65}{n+2} \\ & = 10n-20+\dfrac{65}{n+2} \end{aligned}$$Agar menghasilkan bilangan asli, $(n+2)$ harus merupakan faktor positif dari $65,$ yaitu $\{1, 5, 13, 65\}.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Faktor 65} &n & 10n-20+\dfrac{65}{n+2} \\ \hline 1 & -1 & – \\ 5 & 3 & 23 \\ 13 & 11 & 95 \\ 65 & 63 & 611 \\ \hline & \text{Jumlah} & 729 \\ \hline \end{array}$$Jadi, anggota $H$ ada tiga, yaitu $\{23, 95, 611\}$ sehingga jumlah anggotanya adalah $\boxed{23+95+611=729}$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{n+7}{\sqrt{n-1}} & = \dfrac{(n-1) + 8}{\sqrt{n-1}} \\ & = \dfrac{n-1}{\sqrt{n-1}} + \dfrac{8}{\sqrt{n-1}} \\ & = \sqrt{n-1} + \dfrac{8}{\sqrt{n-1}}. && n > 1 \\ \end{aligned}$$Agar diperoleh bilangan bulat, $\sqrt{n-1}$ harus merupakan faktor (positif) dari $8,$ yaitu $\{1, 2, 4, 8\}.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \sqrt{n-1} & n-1 & n \\ \hline 1 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 5 \\ 4 & 16 & 17 \\ 8 & 64 & 65 \\ \hline \end{array}$$Dari tabel di atas, diperoleh $4$ nilai $n$ yang mungkin, yaitu $n_1 = 2,$ $n_2 = 5,$ $n_3 = 17,$ dan $n_4 = 65$ sehingga hasil penjumlahannya adalah $\boxed{2+5+17+65 = 89}$
(Jawaban C)