Uji varians satu populasi merupakan salah satu uji hipotesis yang digunakan untuk mengetahui apakah suatu populasi memiliki varians dengan nilai sama dengan, lebih dari, atau kurang dari suatu nilai varians tertentu yang diduga/ditetapkan sebelumnya. Pengujian diawali dengan pengambilan sampel dengan ukuran tertentu yang harus diambil secara acak.
Uji varians satu populasi dapat dilakukan dengan menggunakan uji khi-kuadrat (atau uji-$\chi^2$). Notasi $\chi$ merupakan salah satu huruf Yunani, yaitu khi (dalam bahasa Inggris, ditulis chi, dan dibaca: khai).
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Rata-Rata Satu Populasi
Rumusan hipotesis dibagi menjadi dua macam, yaitu hipotesis untuk uji dua arah dan uji satu arah. Parameter populasi yang akan diuji adalah varians populasi $\sigma^2.$ Notasi $\sigma_0^2$ menyatakan varians tertentu yang diduga/ditetapkan sebelumnya.
$$\text{Uji dua arah} \begin{cases} H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2. \\ H_1: \sigma^2 \ne \sigma_0^2. \end{cases}$$ $$\text{Uji satu arah (kiri)} \begin{cases} H_0: \sigma^2 \ge \sigma_0 ^2. \\ H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2. \end{cases}$$ $$\text{Uji satu arah (kanan)} \begin{cases} H_0: \sigma^2 \le \sigma_0^2. \\ H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2. \end{cases}$$
Statistik uji yang digunakan dalam uji-$\chi^2$ adalah
$$\chi^2_{\text{hitung}} = \dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$$dengan $\chi^2_{\text{hitung}}$ adalah nilai-$\chi^2$ hitung, $n$ adalah ukuran sampel, dan $s^2$ adalah varians sampel.
Untuk memutuskan apakah hipotesis yang diajukan ditolak atau tidak, nilai kritis harus ditentukan terlebih dahulu. Untuk uji dua arah, nilai kritisnya adalah $\chi^2_{1-\alpha/2;~\text{dk}}$ dan $\chi^2_{\alpha/2;~\text{dk}}.$
Lebih lanjut, untuk uji satu arah, jika $H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2,$ maka nilai kritisnya adalah $\chi^2_{1-\alpha;~\text{dk}}.$ Sebaliknya, jika $H_1 :\sigma^2 > \sigma_0^2,$ maka nilai kritisnya adalah $\chi^2_{\alpha;~\text{dk}}.$ Dalam hal ini, $\text{dk}$ merupakan derajat kebebasan yang nilainya sama dengan $n-1.$ Nilai dari $\chi^2$ pada taraf signifikansi dan derajat kebebasan tersebut dapat ditentukan dengan melihat tabel-$\chi^2.$ Anda juga akan menyadari bahwa $\chi^2$ selalu bernilai positif.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Selisih Rata-Rata Dua Populasi Bebas
Pengambilan keputusan: Dalam uji dua arah, $H_0$ ditolak jika
$$\chi^2_{\text{hitung}} < \chi^2_{1-\alpha/2;~ \text{dk}}~\text{atau}~\chi^2_{\text{hitung}} > \chi^2_{\alpha/2; ~\text{dk}}.$$Dalam uji satu arah, $H_0$ ditolak jika
$$\begin{cases} \chi^2_{\text{hitung}} < \chi^2_{1-\alpha; ~\text{dk}} && \text{jika}~H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2 \\ \chi^2_{\text{hitung}} > \chi^2_{\alpha; ~\text{dk}} && \text{jika}~H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2. \end{cases}$$
Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Salah satu sumber yang digunakan di antaranya adalah buku “Probability & Statistics for Engineers & Scientists” yang ditulis oleh Ronald E. Walpole dkk. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Uji Hipotesis} & \text{Hypothesis Testing} \\ 2. & \text{Varians} & \text{Variance} \\ 3. & \text{Simpangan Baku} & \text{Standard Deviation} \\ 4. & \text{Galat Baku} & \text{Standard Error} \\ 5. & \text{Uji-}\chi^2 & \chi^2\text{-Test} \\ 6. & \text{Uji Khi-Kuadrat} & \text{Chi-Squared Test} \\ 7. & \text{Nilai Kritis} & \text{Critical Value} \\ 8. & \text{Daerah Kritis} & \text{Critical Region} \\ 9. & \text{Hipotesis Nol} & \text{Null Hypothesis} \\ 10. & \text{Hipotesis Alternatif} & \text{Alternative Hypothesis} \\ 11. & \text{Statistik Uji} & \text{Test Statistic} \\ 12. & \text{Selang Kepercayaan} & \text{Confidence Interval} \\ 13. & \text{Taraf Signifikansi} & \text{Significance Value} \\ 14. & \text{Uji Satu Arah} & \text{One-Tailed Test} \\ 15. & \text{Uji Dua Arah} & \text{Two-Tailed Test} \\ 16. & \text{Derajat Kebebasan} & \text{Degree of Freedom} \\ 17. & \text{Distribusi Khi-Kuadrat} & \text{Chi-Squared Distribution} \\ \hline \end{array}$$
Quote by Mark Twain
Catatan: Hasil perhitungan yang dilakukan dalam setiap soal bisa jadi sedikit berbeda karena masalah pembulatan. Anda seharusnya tidak dianggap salah jika terjadi kasus seperti itu.
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Seorang pengusaha lampu pijar mengatakan bahwa masa hidup lampunya memiliki simpangan baku sekitar $60$ jam. Ada dugaan bahwa simpangan baku dari masa hidup lampunya mengalami perubahan. Untuk itu, diadakan penyelidikan dengan jalan menguji $30$ lampu sebagai sampel. Setelah diperiksa, simpangan baku dari masa hidup $30$ lampu tersebut adalah $55$ jam. Asumsikan populasi berdistribusi normal. Dengan taraf signifikansi $5\%,$ apakah simpangan baku dari masa hidup lampunya mengalami perubahan?
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan masa hidup lampu pijar yang diproduksi oleh pengusaha tersebut. Ini merupakan kasus uji varians satu populasi. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$\chi^2.$
Diketahui ukuran sampel $n=30$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Lebih lanjut, diketahui simpangan baku sampel $s = 55$ dan simpangan baku yang diduga adalah $\sigma_0 = 60.$
Rumusan hipotesis:
Misalkan $\sigma^2$ adalah varians populasi dari masa hidup lampu pijar yang diproduksi oleh pengusaha tersebut. Parameter populasi yang akan diuji adalah $\sigma^2.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \sigma^2 = 60^2. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \sigma^2 \ne 60^2. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$\chi^2_{\text{hitung}} = \dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \dfrac{(30-1)\cdot 55^2}{60^2} \approx 24,\!368.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$\chi^2,$ nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha_1 = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} =n-1=30-1=29$$ adalah $\chi^2_{\text{tabel}} = \chi^2_{0,025; 29} \approx 45,\!722.$ Lebih lanjut, nilai $\chi^2$ dengan $\alpha_2 = 1-\alpha/2 = 0,\!975$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{\text{tabel}} = \chi^2_{0,975; 29} \approx 16,\!047.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $\chi^2 < 16,\!047$ atau $\chi^2 > 45,\!722.$
Keputusan:
Karena $$16,\!047 < \chi^2_{\text{hitung}} = 24,\!368 < 45,\!722,$$disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, bukti tidak cukup untuk mengatakan bahwa simpangan baku dari masa hidup lampu pijar yang diproduksi oleh pengusaha tersebut mengalami perubahan.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Selisih Rata-Rata Dua Populasi Berpasangan
Soal Nomor 2
Suatu meriam didesain sehingga harus memiliki jarak tembak dengan varians minimum. Spesifikasi dari pabrik meriam menyebutkan bahwa simpangan baku maksimum dari jarak tembak meriam jenis tersebut adalah $4$ meter. Untuk menguji hal tersebut, diambil sampel sebanyak $16$ meriam dan diperoleh varians jarak tembaknya sebesar $24$ meter. Asumsikan populasi berdistribusi normal. Ujilah simpangan baku dari spesifikasi tersebut dengan taraf signifikansi $5\%.$
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan jarak tembak meriam (dalam meter). Ini merupakan kasus uji varians satu populasi. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$\chi^2.$
Diketahui ukuran sampel $n=16$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Lebih lanjut, diketahui varians sampel $s^2 = 24$ dan simpangan baku yang diduga adalah $\sigma_0 = 4.$
Rumusan hipotesis:
Misalkan $\sigma^2$ adalah varians populasi dari jarak tembak meriam. Parameter populasi yang akan diuji adalah $\sigma^2.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \sigma^2 \le 4^2. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \sigma^2 > 4^2. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$\chi^2_{\text{hitung}} = \dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \dfrac{(16-1)\cdot 24^2}{4^2} \approx 22,\!5.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji satu arah (kanan). Dengan menggunakan tabel-$\chi^2,$ nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} =n-1=16-1=15$$ adalah $\chi^2_{\text{tabel}} = \chi^2_{0,05; 15} \approx 24,\!996.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $\chi^2 > 24,\!996.$
Keputusan:
Karena $\chi^2_{\text{hitung}} = 22,\!5 < 24,\!996 = \chi^2_{\text{tabel}},$ disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, jarak tembak meriam tersebut tidak memiliki varians minimum sesuai spesifikasi yang ada.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Varians Satu Populasi
Soal Nomor 3
Abu terbang (fly ash) merupakan sisa dari hasil pembakaran batu bara pada pembangkit listrik. Abu terbang mempunyai titik lebur sekitar $1.300^\circ\text{C}$ dan mempunyai kerapatan massa (densitas) sebesar $2,\!0$–$2,\!5$ g/cm3. Proses pembakaran batu bara dikatakan buruk apabila varians dari kerapatan massa abu terbang yang dihasilkan melebihi $1,\!15$ g2/cm6. Sampel acak yang terdiri atas $25$ sampel abu terbang memiliki varians $2,\!03$ g2/cm6. Kerapatan massa abu terbang yang dihasilkan tersebar secara normal. Dengan taraf signifikansi $5\%,$ apakah proses pembakaran batu bara tersebut buruk?
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan kerapatan massa dari abu terbang. Ini merupakan kasus uji varians satu populasi. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$\chi^2.$
Diketahui ukuran sampel $n=25$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Lebih lanjut, diketahui varians sampel $s^2 = 2,\!03$ g2/cm6. dan varians yang ditetapkan adalah $\sigma_0 = 1,\!15$ g2/cm6.
Rumusan hipotesis:
Misalkan $\sigma^2$ adalah varians populasi dari kerapatan massa abu terbang (dalam g2/cm6). Parameter populasi yang akan diuji adalah $\sigma^2.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \sigma^2 \le 1,\!15. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \sigma^2 > 1,\!15. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$\chi^2_{\text{hitung}} = \dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \dfrac{(25-1)\cdot 2,\!03^2}{1,\!15^2} \approx 74,\!784.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji satu arah (kanan). Dengan menggunakan tabel-$\chi^2,$ nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} =n-1=25-1=24$$ adalah $\chi^2_{\text{tabel}} = \chi^2_{0,05; 24} \approx 36,\!415.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $\chi^2 > 36,\!415.$
Keputusan:
Karena $\chi^2_{\text{hitung}} = 74,\!784 > 36,\!415 = \chi^2_{\text{tabel}},$ disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, varians dari kerapatan massa abu terbang yang dihasilkan melebihi $1,\!15$ g2/cm6 sehingga proses pembakaran batu bara tersebut buruk.
Soal Nomor 4
Suatu kapal mengangkut kontainer-kontainer oli. Volume kontainer tersebut berdistribusi normal dengan varians $0,\!03$ liter2. Untuk keperluan penelitian, sebanyak $10$ kontainer dipilih secara acak dan diperoleh volume oli (dalam liter) di dalam kontainer sebagai berikut.
$$\begin{array}{ccccc} \hline 10,\!2 & 9,\!7 & 10,\!1 & 10,\!3 & 10,\!1 \\ 9,\!8 & 9,\!9 & 10,\!4 & 10,\!3 & 9,\!8 \\ \hline \end{array}$$Dengan taraf signifikansi $5\%,$ ujilah hipotesis bahwa $\sigma^2 = 0,\!03$ melawan alternatif bahwa $\sigma^2 \neq 0,\!03.$
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan volume oli di dalam kontainer (dalam liter). Ini merupakan kasus uji varians satu populasi. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$\chi^2.$
Diketahui ukuran sampel $n=10$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Lebih lanjut, dapat dicari simpangan baku sampel sebesar $s \approx 0,\!2459$ dan varians yang diduga adalah $\sigma_0^2 = 0,\!03.$
Rumusan hipotesis:
Misalkan $\sigma^2$ adalah varians populasi dari volume oli di dalam kontainer (dalam liter2). Parameter populasi yang akan diuji adalah $\sigma^2.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \sigma^2 = 0,\!03. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \sigma^2 \ne 0,\!03. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$\chi^2_{\text{hitung}} = \dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \dfrac{(10-1)\cdot (0,\!2459)^2}{0,\!03} \approx 18,\!14.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$\chi^2,$ nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha_1 = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} =n-1=10-1=9$$ adalah $\chi^2_{\text{tabel}} = \chi^2_{0,025; 9} \approx 19,\!023.$ Lebih lanjut, nilai $\chi^2$ dengan $\alpha_2 = 1-\alpha/2 = 0,\!975$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{\text{tabel}} = \chi^2_{0,975; 9} = 2,\!7.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $\chi^2 < 2,\!7$ atau $\chi^2 > 19,\!023.$
Keputusan:
Karena $$2,\!7 < \chi^2_{\text{hitung}} = 18,\!14 < 19,\!023,$$disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, sampel sebanyak $10$ kontainer tidak cukup untuk memutuskan bahwa varians populasi dari volume oli di dalam kontainer tidak sama dengan $0,\!03$ liter2.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Kesamaan Varians dari Dua Populasi
Soal Nomor 5
Penelitian lampau mengindikasikan bahwa waktu yang diperlukan oleh mahasiswa untuk menyelesaikan ujian terstandardisasi merupakan variabel acak yang berdistribusi normal dengan simpangan baku sebesar $6$ menit. Ujilah hipotesis bahwa $\sigma \ge 6$ melawan alternatif bahwa $\sigma < 6$ jika sampel acak dari waktu yang diperlukan oleh $20$ mahasiswa untuk menyelesaikan ujian tersebut memiliki simpangan baku $s = 4,\!51.$ Gunakan taraf signifikansi $5\%.$
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan waktu yang diperlukan oleh mahasiswa untuk menyelesaikan ujian terstandardisasi. Ini merupakan kasus uji varians satu populasi. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$\chi^2.$
Diketahui ukuran sampel $n=20$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Lebih lanjut, diketahui simpangan baku sampel sebesar $s = 4,\!51$ dan simpangan baku yang diduga adalah $\sigma_0 = 6.$
Rumusan hipotesis:
Misalkan $\sigma^2$ adalah varians populasi dari waktu yang diperlukan oleh mahasiswa untuk menyelesaikan ujian terstandardisasi. Parameter populasi yang akan diuji adalah $\sigma^2.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \sigma^2 \ge 6^2. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \sigma^2 < 6^2. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$\chi^2_{\text{hitung}} = \dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \dfrac{(20-1)\cdot (4,\!51)^2}{6^2} \approx 10,\!735.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji satu arah (kiri). Dengan menggunakan tabel-$\chi^2,$ nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha’ = 1-\alpha = 0,\!95$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} =n-1=20-1=19$$ adalah $\chi^2_{\text{tabel}} = \chi^2_{0,95; 19} \approx 10,\!117.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $\chi^2 < 10,\!117.$
Keputusan:
Karena $$\chi^2_{\text{hitung}} = 10,\!735 > 10,\!117,$$disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, tidak cukup bukti untuk mengatakan bahwa simpangan baku dari waktu yang diperlukan oleh mahasiswa untuk menyelesaikan ujian terstandardisasi tersebut kurang dari $6$ menit.
Soal Nomor 6
Aflatoksin yang diproduksi oleh jamur pada tanaman kacang tanah akan diteliti oleh sekelompok biolog. Sampel dari $64$ tumpak (batch) tanaman kacang tanah menunjukkan kandungan aflatoksin sebesar $24,\!17$ bpj (bagian per juta) secara rata-rata dengan varians $4,\!25$ bpj2. Asumsikan populasi berdistribusi normal. Ujilah hipotesis bahwa $\sigma^2 = 4,\!2$ bpj2 melawan alternatif bahwa $\sigma^2 \ne 4,\!2$ bpj² dengan taraf signifikansi $5\%.$
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan kandungan aflatoksin pada tanaman kacang tanah (dalam satuan bpj). Ini merupakan kasus uji varians satu populasi. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$\chi^2.$
Diketahui ukuran sampel $n=64$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Lebih lanjut, diketahui varians sampel sebesar $s^2 = 4,\!25$ bpj2 dan varians yang diduga adalah $\sigma_0^2 = 4,\!2$ bpj2.
Rumusan hipotesis:
Misalkan $\sigma^2$ adalah varians populasi dari kandungan aflatoksin pada tanaman kacang tanah (dalam satuan bpj). Parameter populasi yang akan diuji adalah $\sigma^2.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \sigma^2 = 4,\!2. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \sigma^2 \ne 4,\!2. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$\chi^2_{\text{hitung}} = \dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \dfrac{(64-1)\cdot (4,\!25)}{4,\!2} = 63,\!75.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$\chi^2,$ nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha_1 = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} =n-1=64-1=63$$ adalah $\chi^2_{\text{tabel}} = \chi^2_{0,025; 63} \approx 86,\!83.$ Lebih lanjut, nilai $\chi^2$ dengan $\alpha_2 = 1-\alpha/2 = 0,\!975$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{\text{tabel}} = \chi^2_{0,975; 63} \approx 42,\!95.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $\chi^2 < 42,\!95$ atau $\chi^2 > 86,\!83.$
Keputusan:
Karena $$42,\!95 < \chi^2_{\text{hitung}} = 63,\!75 < 86,\!83,$$disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, varians dari kandungan aflatoksin pada tanaman kacang tanah tidak berbeda secara signifikan dari $4,\!2$ bpj2.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Rata-Rata Satu Populasi
Soal Nomor 7
Suatu mesin dispenser minuman ringan dikatakan di luar kendali (out of control) jika varians dari volumenya melebihi $1,\!15$ desiliter2. Jika sampel acak berupa $25$ botol minuman ringan yang diambil dari mesin dispenser tersebut memiliki varians $2,\!03$ desiliter2, apakah ini menunjukkan bahwa mesin dispenser tersebut di luar kendali (taraf signifikansi $5\%$)?
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan volume minuman ringan tersebut untuk setiap botolnya (dalam desiliter). Ini merupakan kasus uji varians satu populasi. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$\chi^2.$
Diketahui ukuran sampel $n=25$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Lebih lanjut, diketahui varians sampel sebesar $s^2 = 2,\!03$ desiliter2 dan varians yang akan diuji adalah $\sigma_0^2 = 1,\!15$ desiliter2.
Rumusan hipotesis:
Misalkan $\sigma^2$ adalah varians populasi dari volume minuman ringan tersebut untuk setiap botolnya (dalam desiliter2). Parameter populasi yang akan diuji adalah $\sigma^2.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \sigma^2 \le 1,\!15. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \sigma^2 > 1,\!15. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$\chi^2_{\text{hitung}} = \dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \dfrac{(25-1)\cdot (2,\!03)}{1,\!15} = 42,\!365.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji satu arah (kanan). Dengan menggunakan tabel-$\chi^2,$ nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} =n-1=25-1=24$$ adalah $\chi^2_{\text{tabel}} = \chi^2_{0,05; 24} \approx 36,\!415.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $\chi^2 > 36,\!415.$
Keputusan:
Karena $$\chi^2_{\text{hitung}} = 42,\!365 > 36,\!415,$$disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, bukti memadai untuk mengklaim bahwa mesin dispenser tersebut di luar kendali.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Analisis Varians (ANAVA) Satu Jalur