Materi, Soal, dan Pembahasan – Ruang Vektor Umum

Sebelum memasuki materi utama, berikut ini adalah kompetensi dasar yang seharusnya sudah dikuasai pembaca:

  1. Memahami materi himpunan, fungsi, polinomial, vektor, dan matriks.
  2. Memahami prinsip logika matematika (konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, ekuivalensi).
  3. Dapat mereduksi matriks menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE).

Baca : Soal dan Pembahasan- Matriks, Determinan, dan Invers Matriks

Baca : Soal dan Pembahasan- Vektor (Tingkat SMA/Sederajat)

Definisi Ruang Vektor (Vector Space)

Anggap V adalah sembarang himpunan tak kosong dari objek dengan operasi penjumlahan dan operasi perkalian skalarnya telah didefinisikan. Penjumlahan yang dimaksud adalah aturan yang menghubungkan setiap pasangan objek u,vV dengan suatu objek u+v, yang disebut sebagai jumlah dari u dan v. Sementara itu, perkalian skalar adalah aturan yang menghubungkan setiap skalar k dan objek uV dengan objek ku. Jika 10 aksioma berikut terpenuhi oleh semua objek u,v,wV dan skalar k dan m, maka V disebut sebagai ruang vektor dan semua objek di dalamnya disebut vektor
Aksioma 1:
Jika u dan v adalah objek dalam V, maka u+v juga berada dalam V
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat ketertutupan operasi penjumlahan. 
Aksioma 2:
u+v=v+u
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat komutatif penjumlahan. 
Aksioma 3:
u+(v+w)=(u+v)+w
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat asosiatif penjumlahan. 
Aksioma 4:
Ada objek 0 dalam V yang disebut objek nol (selanjutnya vektor nol)  sehingga berlaku 0+u=u+0=u untuk setiap uV.
Catatan 1: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai bentuk identitas penjumlahan.
Catatan 2: Objek 0 yang disebut sebagai “identitas” tidak selalu berarti vektor nol 0=(0,0,,0). Hal ini tergantung dari definisi operasi yang diberikan. Jika diberikan himpunan A, maka untuk aA, haruslah berlaku a0=a.
Prinsip seperti ini sebenarnya sama dengan prinsip pada identitas penjumlahan/perkalian bilangan real, yaitu untuk aR, berlaku a+0=a dan a×1=a. Untuk itu, 0 disebut identitas penjumlahan dan 1 disebut identitas perkalian pada bilangan real.
Aksioma 5:

Untuk setiap uV, ada objek uV yang disebut negatif dari u sehingga berlaku u+(u)=(u)+u=0.
Catatan 1: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai invers penjumlahan.
Catatan 2: u juga tidak selalu sama dengan u=(u1,u2,,uk). Hal ini tergantung dari operasi yang diberikan. Suatu vektor dikatakan invers dari vektor yang lain jika keduanya dioperasikan menghasilkan identitas. Untuk itu, identitasnya harus terlebih dahulu diketahui.

Aksioma 6:
Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah sembarang objek dalam V, maka berlaku kuV.
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat ketertutupan operasi perkalian. 
Aksioma 7:
k(u+v)=ku+kv
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan. 
Aksioma 8:
(k+m)u=ku+mu
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan. 
Aksioma 9:
k(mu)=(km)u
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat asosiatif perkalian. 
Aksioma 10:
1u=u
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai bentuk identitas perkalian.

          Perlu diperhatikan bahwa skalar yang dimaksud di sini adalah BILANGAN (bukan vektor). Umumnya suatu kajian dibatasi hanya sampai bilangan real R saja, tetapi memungkinkan untuk diperluas sampai bilangan kompleks. Bilangan kompleks C adalah gabungan dari bilangan real dan bilangan imajiner (khayal). Bila dalam suatu kasus, tidak ada keterangan yang menyatakan jenis bilangan pada suatu skalar, maka skalar yang dimaksud itu adalah bilangan real.

Teorema Ruang Vektor

Jika V adalah suatu ruang vektor, u adalah vektor dalam V, dan k sembarang skalar, maka
1. 0u=0
2. k0=0
3. (1)u=u
4. Jika ku=0, maka k=0 atau u=0

Definisi Subruang (Subspace) atau Ruang Bagian

Suatu himpunan bagian W dari ruang vektor V disebut subruang/ruang bagian dari V jika W sendiri adalah ruang vektor di bawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V.

Teorema 1: Subruang

Jika Q adalah subruang dari P, maka Q harus memenuhi 2 syarat berikut.

  1. Jika A,BQ, maka A+BQ.
  2. Jika k sembarang skalar dan A vektor sembarang dalam Q, maka kAQ.  

Teorema 2: Subruang

Jika Ax=0 adalah suatu sistem linear homogen dari m persamaan dan n variabel, maka himpunan vektor penyelesaiannya adalah suatu subruang dari Rn
Catatan: Sistem linear homogen adalah sistem persamaan linear dengan konstanta 0 (nol), misalnya
{2x+3y=0x4y=0
Notasi Rn (dibaca: R n, bukan R pangkat n) menyatakan ruang dimensi n.

Definisi Kombinasi Linear

Suatu vektor w disebut kombinasi linear dari vektor-vektor v1,v2,,vr jika dapat dinyatakan dalam bentuk
w=k1v1+k2v2++krvr
dengan k1,k2,,kr sembarang skalar.

Teorema: Hubungan Subruang dan Kombinasi Linear

Jika v1,v2,,vr adalah vektor-vektor dalam ruang vektor V, maka:

  1. Himpunan W yang anggotanya merupakan vektor kombinasi linear dari v1,v2,,vr merupakan subruang dari V
  2. W adalah subruang terkecil dari V yang berisi v1,v2,,vr dalam pengertian bahwa setiap subruang lain dari V yang berisi v1,v2,,vr pasti mengandung W.

Definisi Ruang Terentang (Spanning Space)

Jika S={v1,v2,,vr} adalah himpunan vektor dalam ruang vektor V, maka subruang W dari V yang mengandung semua kombinasi linear dari vektor dalam S disebut ruang terentang oleh v1,v2,,vr dan kita katakan bahwa v1,v2,,vr adalah rentang W. Untuk menunjukkan bahwa W adalah ruang terentang oleh vektor dalam himpunan S, kita tuliskan W=rent(S) atau W=rent{v1,v2,,vr}.
Notasi ini hanya berlaku dalam bahasa Indonesia, sedangkan secara luas (internasional), notasi rentang disimbolkan dengan W=span(S).
Untuk itu, notasi terakhir ini yang akan dipakai pada uraian selanjutnya. 
Catatan: Merentang (spanning) dapat diartikan memanjang, melebar, meluas, dan sebagainya.

Teorema Rentang (Spanning)

Jika S={v1,v2,,vr} dan S={w1,w1,,wr} adalah dua himpunan vektor dalam ruang vektor V, maka
span{v1,v2,,vr}=span{w1,w2,,wr}
jika dan hanya jika setiap vektor dalam S adalah kombinasi linear dari vektor dalam S, begitu juga sebaliknya.

Definisi Kebebasan Linear

Jika S={v1,v2,,vr} adalah himpunan vektor tak kosong, maka persamaan vektor k1v1+k2v2++krvr=0 mempunyai setidaknya satu penyelesaian, yaitu
k1=k2==kr=0.
Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian, maka S disebut himpunan yang bebas linear (linearly independent). Jika ada penyelesaian lain, maka S disebut himpunan yang tidak bebas linear (atau diistilahkan, bergantung linear (linearly dependent)).

Salah satu istilah baru dari definisi ini adalah penyelesaian trivial (trivial solution), yaitu penyelesaian dari suatu sistem linear yang nilai-nilai variabelnya adalah 0.

Teorema 1: Kebebasan Linear

Suatu himpunan dengan dua atau lebih vektor disebut:

  1. tak bebas secara linear jika dan hanya jika paling tidak salah satu vektor dalam S dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor lainnya dalam S
  2. bebas secara linear jika dan hanya jika tidak ada vektor dalam S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor lainnya dalam S.  

Teorema 2: Kebebasan Linear

  1. Suatu himpunan vektor berhingga yang berisi vektor nol pasti tak bebas linear. 
  2. Suatu himpunan dengan tepat 2 vektor dikatakan bebas linear jika dan hanya jika vektor yang satu bukan merupakan penggandaan skalar dari vektor yang lain.

Intepretasi Geometris dari Kebebasan Linear

Dalam R2 atau R3 (ruang dimensi 2 atau ruang dimensi 3), kebebasan linear dapat dijelaskan dengan konsep geometri.

Pada R2 maupun R3, suatu himpunan dua vektor bebas linear jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada garis yang sama bila kedua titik pangkalnya ditempatkan pada titik asal (titik (0,0)),


sedangkan pada R3, suatu himpunan tiga vektor bebas linear jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada bidang yang sama bila ketiga titik pangkalnya ditempatkan di titik asal.

Teorema 3: Kebebasan Linear

Misalkan S={v1,v2,,vr} adalah himpunan vektor dalam Rn. Jika r>n, maka S tidak bebas linear.

Definisi Basis dalam Ruang Vektor

Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S={v1,v2,,vr} adalah himpunan vektor dalam V, maka S disebut basis untuk V jika dua syarat berikut terpenuhi. 
a. S bebas linear;
b. S merentang dalam V.

Teorema Basis dalam Ruang Vektor

Jika S={v1,v2,,vr} adalah suatu basis untuk ruang vektor V, maka setiap vektor v dalam V dapat dinyatakan dalam bentuk c1v1+c2v2++crvr=0 hanya dalam satu cara.

Definisi 1: Dimensi

Suatu ruang vektor tak nol V disebut berdimensi terhingga jika V berisi suatu himpunan vektor terhingga {v1,v2,,vr} yang membentuk suatu basis. Jika tidak ada himpunan yang demikian, maka V disebut berdimensi tak terhingga. Selain itu, didefinisikan ruang vektor nol sebagai dimensi terhingga.

Teorema 1: Dimensi

Jika V adalah ruang vektor berdimensi terhingga dan {v1,v2,,vr} adalah sembarang basis, maka:

  1. Setiap himpunan dengan lebih dari r vektor tak bebas linear. 
  2. Tidak ada himpunan dengan vektor kurang dari r yang merentang V.  

Teorema 2: Dimensi

Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama.

Definisi 2: Dimensi

Dimensi ruang vektor berdimensi terhingga V, yang dinyatakan dalam notasi dim(V), didefinisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis untuk V. Selain itu, didefinisikan juga bahwa ruang vektor nol mempunyai dimensi 0.

Definisi: Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Nol

Jika A adalah matriks berordo m×n, maka subruang dari Rn yang terentang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A dan subruang dari Rm yang terentang oleh vektor-vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A. Ruang penyelesaian dari sistem persamaan homogen Ax=0 yang merupakan subruang dari Rn disebut ruang nol dari A.

Teorema 1: Ruang Kolom

Suatu SPL Ax=b konsisten (memiliki penyelesaian) jika dan hanya jika b berada dalam ruang kolom dari A.

Teorema 2: Hubungan Antara Ruang Penyelesaian Ax=0 dan Ax=b

Jika x0 menyatakan sembarang penyelesaian tunggal dari suatu sistem linear tak homogen yang konsisten, yaitu Ax=b, dan jika {v1,v2,,vr} membentuk suatu basis untuk ruang nol dari A (ruang penyelesaian dari sistem homogen Ax=0), maka setiap penyelesaian dari Ax=b dapat dinyatakan dalam bentuk x=x0+c1v1+c2v2++crvr dan sebaliknya dengan skalar c1,c2,,cr, sedangkan vektor x dalam rumus ini merupakan penyelesaian dari Ax=b.

Soal Nomor 1

Apakah himpunan semua pasangan tiga bilangan real (x,y,z) dengan operasi
(x,y,z)+(x,y,z)=(x+x,y+y,z+z) dan k(x,y,z)=(kx,y,z) merupakan ruang vektor?

Pembahasan

Soal Nomor 2

Diketahui himpunan V={(a,b) | a,bR} dengan operasi:
(a,b)+(a,b)=(a+a+aa,b+b+bb) dan k(a,b)=(a,kb).
Apakah V dengan operasi tersebut merupakan ruang vektor?

Pembahasan

Soal Nomor 3

Diketahui 
P={[abcd] | a,b,c,dR}
dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar matriks merupakan ruang vektor. 
Tunjukkan bahwa 
Q={[0bc0] | b,cR} 
merupakan subruang dari ruang vektor P.

Pembahasan

Soal Nomor 4

Diketahui P={[abcd] | a,b,c,dR} dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar matriks merupakan ruang vektor. 
Tunjukkan bahwa 
R={[abcd] | a,b,c,dR,a+d=0}
merupakan subruang dari ruang vektor P.

Pembahasan

Soal Nomor 5

Selidiki apakah semua polinomial a0+a1x+a2x2+a3x3 dengan a0+a1+a2+a3=0 merupakan subruang dari P3 (himpunan polinomial berderajat 3).

Pembahasan

Soal Nomor 6

Selidiki apakah semua polinomial a0+a1x dengan a0 dan a1 adalah anggota bilangan bulat. merupakan subruang dari P3 (himpunan polinomial berderajat 3).

Pembahasan

Soal Nomor 7

Selidiki apakah semua matriks A berukuran n×n dengan tr(A)=0 merupakan subruang dari Mnn.

Pembahasan

Soal Nomor 8

Selidiki apakah w=(4,1,8) merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor u=(1,2,1) dan v=(6,4,2) dalam R3.

Pembahasan

Soal Nomor 9

Selidiki apakah w=(9,2,7) merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor u=(1,2,1) dan v=(6,4,2) dalam R3.

Pembahasan

Soal Nomor 10

Manakah dari pilihan berikut yang bukan merupakan kombinasi linear dari u=(0,2,2) dan v=(1,3,1)
a) (2,2,2)                 c) (0,4,5)
b) (3,1,5)                 d) (0,0,0)

Pembahasan

Soal Nomor 11

Jika v1=(2,1,0,3), v2=(1,2,5,1), dan v3=(7,1,5,8), tentukan apakah vektor-vektor S={v1,v2,v3} bebas linear.

Pembahasan

Soal Nomor 12

Diketahui v1=(1,2,1),v2=(2,9,0), dan v3=(3,3,4). Tunjukkan bahwa S={v1,v2,v3} adalah himpunan vektor yang bebas linear.

Pembahasan

Soal Nomor 13

Anggap v1,v2, dan v3 adalah vektor-vektor dalam R3 yang titik-titik pangkalnya di titik asal. Apakah ketiga vektor v1=(2,2,0),v2=(6,1,4),v3=(2,0,4) berada pada satu bidang?

Pembahasan

Soal Nomor 14

Anggap v1,v2, dan v3 adalah vektor-vektor dalam R3 yang titik-titik pangkalnya di titik asal. Apakah ketiga vektor v1=(6,7,2),v2=(3,2,4),v3=(4,1,2) berada pada satu bidang?

Pembahasan

Soal Nomor 15

Tentukan nilai λ (baca: lambda) agar vektor-vektor berikut membentuk himpunan yang tak bebas secara linear dalam R3.
v1=(λ,12,12)v2=(12,λ,12)v3=(12,12,λ)

Pembahasan

Soal Nomor 16

Tentukan vektor-vektor yang membangun himpunan semua vektor di garis x=3t,y=2t, dan z=2t. Apakah vektor-vektor tersebut bebas linear? Jelaskan!

Pembahasan

Soal Nomor 17

Tentukan vektor-vektor yang membangun himpunan semua vektor di bidang 2x+3yz=0. Apakah vektor-vektor tersebut bebas linear? Jelaskan!

Pembahasan

Soal Nomor 18

Tunjukkan apakah v1=(1,2,1),v2=(2,9,0), dan v3=(3,3,4) merentang di R3.

Pembahasan

Soal Nomor 19

Misalkan f=cos2x dan g=sin2x. Manakah dari pilihan berikut ini yang redaksinya terletak pada ruang yang terentang oleh f dan g
a. cos2x
b. 3+x2
c. 1

Pembahasan

Soal Nomor 20

Tentukan persamaan bidang yang terentang oleh u=(1,1,1) dan v=(3,4,4).

Pembahasan

Soal Nomor 21

Diketahui v1=(1,2,1),v2=(2,9,0), dan v3=(3,3,4). Tunjukkan bahwa S={v1,v2,v3} merupakan suatu basis dalam ruang vektor R3.

Pembahasan

Soal Nomor 22

Diketahui 
W={a+bx+cx2 | a=b+c, dengan a,b,cR} 
dan W merupakan subruang polinom orde dua P2. Tentukan basis dan dimensi dari W.

Pembahasan

Soal Nomor 23

Tentukan dimensi untuk penyelesaian dari sistem linear berikut.
{2x1+2x2x3+x5=0x1x2+x33x4x5=0x1+x22x3x5=0x3+x4+x5=0

Pembahasan

Soal Nomor 24

Tentukan apakah polinomial berikut ini merentangkan P2 (polinomial berderajat 2). 
p1(x)=1+xp2(x)=1x+x2p3(x)=2+x2p4(x)=3+x+x2

Pembahasan

Soal Nomor 25

Tentukan apakah polinomial berikut ini merentangkan P2 (polinomial berderajat 2). 
p1=1x+2x2p2=5x+4x2p3=3+xp4=22x+2x2

Pembahasan

Soal Nomor 26

Gunakan Teorema: Rentang untuk menunjukkan bahwa
v1=(1,6,4),v2=(2,4,1),v3=(1,2,5)
dan
w1=(1,2,5),w2=(0,8,9)
merentangkan subruang yang sama dari R3.

Pembahasan

Soal Nomor 27

Diberikan U dan W adalah ruang bagian dari Rn dan UW. Jika dim(W)=1, tunjukkan bahwa U={0} dan U=W.

Pembahasan

Today Quote

Jika sebuah rencana gagal, ubahlah rencananya, jangan ubah tujuannya.