Sebelum memasuki materi utama, berikut ini adalah kompetensi dasar yang seharusnya sudah dikuasai pembaca:
- Memahami materi himpunan, fungsi, polinomial, vektor, dan matriks.
- Memahami prinsip logika matematika (konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, ekuivalensi).
- Dapat mereduksi matriks menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE).
Baca : Soal dan Pembahasan- Matriks, Determinan, dan Invers Matriks
Baca : Soal dan Pembahasan- Vektor (Tingkat SMA/Sederajat)
Definisi Ruang Vektor (Vector Space)
Anggap adalah sembarang himpunan tak kosong dari objek dengan operasi penjumlahan dan operasi perkalian skalarnya telah didefinisikan. Penjumlahan yang dimaksud adalah aturan yang menghubungkan setiap pasangan objek dengan suatu objek , yang disebut sebagai jumlah dari dan Sementara itu, perkalian skalar adalah aturan yang menghubungkan setiap skalar dan objek dengan objek . Jika 10 aksioma berikut terpenuhi oleh semua objek dan skalar dan , maka disebut sebagai ruang vektor dan semua objek di dalamnya disebut vektor.
Aksioma 1:
Jika dan adalah objek dalam , maka juga berada dalam .
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat ketertutupan operasi penjumlahan.
Aksioma 2:
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat komutatif penjumlahan.
Aksioma 3:
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat asosiatif penjumlahan.
Aksioma 4:
Ada objek dalam yang disebut objek nol (selanjutnya vektor nol) sehingga berlaku untuk setiap
Catatan 1: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai bentuk identitas penjumlahan.
Catatan 2: Objek yang disebut sebagai “identitas” tidak selalu berarti vektor nol Hal ini tergantung dari definisi operasi yang diberikan. Jika diberikan himpunan maka untuk , haruslah berlaku
Prinsip seperti ini sebenarnya sama dengan prinsip pada identitas penjumlahan/perkalian bilangan real, yaitu untuk , berlaku dan Untuk itu, disebut identitas penjumlahan dan disebut identitas perkalian pada bilangan real.
Aksioma 5:
Untuk setiap , ada objek yang disebut negatif dari sehingga berlaku
Catatan 1: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai invers penjumlahan.
Catatan 2: juga tidak selalu sama dengan Hal ini tergantung dari operasi yang diberikan. Suatu vektor dikatakan invers dari vektor yang lain jika keduanya dioperasikan menghasilkan identitas. Untuk itu, identitasnya harus terlebih dahulu diketahui.
Aksioma 6:
Jika adalah sembarang skalar dan adalah sembarang objek dalam , maka berlaku
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat ketertutupan operasi perkalian.
Aksioma 7:
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Aksioma 8:
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Aksioma 9:
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat asosiatif perkalian.
Aksioma 10:
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai bentuk identitas perkalian.
Perlu diperhatikan bahwa skalar yang dimaksud di sini adalah BILANGAN (bukan vektor). Umumnya suatu kajian dibatasi hanya sampai bilangan real saja, tetapi memungkinkan untuk diperluas sampai bilangan kompleks. Bilangan kompleks adalah gabungan dari bilangan real dan bilangan imajiner (khayal). Bila dalam suatu kasus, tidak ada keterangan yang menyatakan jenis bilangan pada suatu skalar, maka skalar yang dimaksud itu adalah bilangan real.
Teorema Ruang Vektor
Jika adalah suatu ruang vektor, adalah vektor dalam , dan sembarang skalar, maka
1.
2.
3.
4. Jika , maka atau
Definisi Subruang (Subspace) atau Ruang Bagian
Suatu himpunan bagian dari ruang vektor disebut subruang/ruang bagian dari jika sendiri adalah ruang vektor di bawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada .
Teorema 1: Subruang
Jika adalah subruang dari , maka harus memenuhi 2 syarat berikut.
- Jika , maka .
- Jika sembarang skalar dan vektor sembarang dalam , maka .
Teorema 2: Subruang
Jika adalah suatu sistem linear homogen dari persamaan dan variabel, maka himpunan vektor penyelesaiannya adalah suatu subruang dari .
Catatan: Sistem linear homogen adalah sistem persamaan linear dengan konstanta 0 (nol), misalnya
Notasi (dibaca: R n, bukan R pangkat n) menyatakan ruang dimensi .
Definisi Kombinasi Linear
Suatu vektor disebut kombinasi linear dari vektor-vektor jika dapat dinyatakan dalam bentuk
dengan sembarang skalar.
Teorema: Hubungan Subruang dan Kombinasi Linear
Jika adalah vektor-vektor dalam ruang vektor , maka:
- Himpunan yang anggotanya merupakan vektor kombinasi linear dari merupakan subruang dari .
- adalah subruang terkecil dari yang berisi dalam pengertian bahwa setiap subruang lain dari yang berisi pasti mengandung .
Definisi Ruang Terentang (Spanning Space)
Jika adalah himpunan vektor dalam ruang vektor , maka subruang dari yang mengandung semua kombinasi linear dari vektor dalam disebut ruang terentang oleh dan kita katakan bahwa adalah rentang . Untuk menunjukkan bahwa adalah ruang terentang oleh vektor dalam himpunan , kita tuliskan atau
Notasi ini hanya berlaku dalam bahasa Indonesia, sedangkan secara luas (internasional), notasi rentang disimbolkan dengan
Untuk itu, notasi terakhir ini yang akan dipakai pada uraian selanjutnya.
Catatan: Merentang (spanning) dapat diartikan memanjang, melebar, meluas, dan sebagainya.
Teorema Rentang (Spanning)
Jika dan adalah dua himpunan vektor dalam ruang vektor , maka
jika dan hanya jika setiap vektor dalam adalah kombinasi linear dari vektor dalam , begitu juga sebaliknya.
Definisi Kebebasan Linear
Jika adalah himpunan vektor tak kosong, maka persamaan vektor mempunyai setidaknya satu penyelesaian, yaitu
Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian, maka disebut himpunan yang bebas linear (linearly independent). Jika ada penyelesaian lain, maka disebut himpunan yang tidak bebas linear (atau diistilahkan, bergantung linear (linearly dependent)).
Salah satu istilah baru dari definisi ini adalah penyelesaian trivial (trivial solution), yaitu penyelesaian dari suatu sistem linear yang nilai-nilai variabelnya adalah 0.
Teorema 1: Kebebasan Linear
Suatu himpunan dengan dua atau lebih vektor disebut:
- tak bebas secara linear jika dan hanya jika paling tidak salah satu vektor dalam dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor lainnya dalam .
- bebas secara linear jika dan hanya jika tidak ada vektor dalam yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor lainnya dalam .
Teorema 2: Kebebasan Linear
- Suatu himpunan vektor berhingga yang berisi vektor nol pasti tak bebas linear.
- Suatu himpunan dengan tepat 2 vektor dikatakan bebas linear jika dan hanya jika vektor yang satu bukan merupakan penggandaan skalar dari vektor yang lain.
Intepretasi Geometris dari Kebebasan Linear
Dalam atau (ruang dimensi 2 atau ruang dimensi 3), kebebasan linear dapat dijelaskan dengan konsep geometri.

Pada maupun , suatu himpunan dua vektor bebas linear jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada garis yang sama bila kedua titik pangkalnya ditempatkan pada titik asal (titik ),

sedangkan pada , suatu himpunan tiga vektor bebas linear jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada bidang yang sama bila ketiga titik pangkalnya ditempatkan di titik asal.
Teorema 3: Kebebasan Linear
Misalkan adalah himpunan vektor dalam . Jika , maka tidak bebas linear.
Definisi Basis dalam Ruang Vektor
Jika adalah sembarang ruang vektor dan adalah himpunan vektor dalam , maka disebut basis untuk jika dua syarat berikut terpenuhi.
a. bebas linear;
b. merentang dalam .
Teorema Basis dalam Ruang Vektor
Jika adalah suatu basis untuk ruang vektor , maka setiap vektor dalam dapat dinyatakan dalam bentuk hanya dalam satu cara.
Definisi 1: Dimensi
Suatu ruang vektor tak nol disebut berdimensi terhingga jika berisi suatu himpunan vektor terhingga yang membentuk suatu basis. Jika tidak ada himpunan yang demikian, maka disebut berdimensi tak terhingga. Selain itu, didefinisikan ruang vektor nol sebagai dimensi terhingga.
Teorema 1: Dimensi
Jika adalah ruang vektor berdimensi terhingga dan adalah sembarang basis, maka:
- Setiap himpunan dengan lebih dari vektor tak bebas linear.
- Tidak ada himpunan dengan vektor kurang dari yang merentang .
Teorema 2: Dimensi
Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama.
Definisi 2: Dimensi
Dimensi ruang vektor berdimensi terhingga , yang dinyatakan dalam notasi , didefinisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis untuk . Selain itu, didefinisikan juga bahwa ruang vektor nol mempunyai dimensi .
Definisi: Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Nol
Jika adalah matriks berordo , maka subruang dari yang terentang oleh vektor-vektor baris dari disebut ruang baris dari dan subruang dari yang terentang oleh vektor-vektor kolom dari disebut ruang kolom dari . Ruang penyelesaian dari sistem persamaan homogen yang merupakan subruang dari disebut ruang nol dari .
Teorema 1: Ruang Kolom
Suatu SPL konsisten (memiliki penyelesaian) jika dan hanya jika berada dalam ruang kolom dari .
Teorema 2: Hubungan Antara Ruang Penyelesaian dan
Jika menyatakan sembarang penyelesaian tunggal dari suatu sistem linear tak homogen yang konsisten, yaitu , dan jika membentuk suatu basis untuk ruang nol dari (ruang penyelesaian dari sistem homogen ), maka setiap penyelesaian dari dapat dinyatakan dalam bentuk dan sebaliknya dengan skalar , sedangkan vektor dalam rumus ini merupakan penyelesaian dari
Soal Nomor 1
Apakah himpunan semua pasangan tiga bilangan real dengan operasi
dan merupakan ruang vektor?
Pembahasan
Misalkan adalah himpunan semua pasangan tiga bilangan real atau ditulis
Jika adalah ruang vektor, maka harus memenuhi 10 aksioma sesuai definisi ruang vektor.
(Aksioma 1)
Ambil sembarang . Misalkan dan , dengan , sehingga
Karena , maka juga adalah bilangan real karena operasi penjumlahan bilangan real bersifat tertutup (hasil operasinya tetap merupakan bilangan real). Ini berarti memenuhi syarat keanggotaan dan oleh karenanya, memenuhi aksioma pertama.
(Aksioma 2)
Ambil sembarang . Misalkan dan , dengan , sehingga
Karena terpenuhi, berarti memenuhi aksioma kedua.
Catatan: Ekspresi ini berlaku karena adanya sifat asosiatif pada penjumlahan bilangan real.
(Aksioma 3)
Ambil sembarang . Misalkan , dan , dengan , sehingga
Karena terpenuhi, berarti memenuhi aksioma ketiga.
Catatan: Ekspresi ini berlaku karena adanya sifat asosiatif penjumlahan pada bilangan real.
(Aksioma 4)
Ambil sembarang dengan dan ada unsur identitas dalam , yaitu , sehingga
Ini berarti, terpenuhi, sehingga memenuhi aksioma keempat.
(Aksioma 5)
Misalkan , dengan dan ada , sehingga
Ini berarti, terpenuhi, sehingga memenuhi aksioma kelima.
(Aksioma 6)
Misalkan sembarang skalar (bilangan real) dan , dengan , sehingga
Karena , maka memenuhi syarat keanggotaan sehingga memenuhi aksioma keenam.
(Aksioma 7)
Misalkan sembarang skalar (bilangan real), dan , dengan , sehingga
Karena berlaku , maka memenuhi aksioma ketujuh.
(Aksioma 8)
Misalkan sembarang skalar (bilangan real) dan , dengan , sehingga
Ini berarti, sehingga tidak memenuhi aksioma kedelapan.
(Aksioma 9)
Misalkan sembarang skalar (bilangan real) dan , dengan , sehingga
Ini berarti, sehingga memenuhi aksioma kesembilan.
(Aksioma 10)
Misalkan , dengan , sehingga
Ini berarti, sehingga memenuhi aksioma kesepuluh.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa bukanlah ruang vektor karena ada satu aksioma yang tidak terpenuhi, yaitu aksioma .
[collapse]
Soal Nomor 2
Diketahui himpunan dengan operasi:
dan
Apakah dengan operasi tersebut merupakan ruang vektor?
Pembahasan
Jika adalah ruang vektor, maka harus memenuhi 10 aksioma sesuai definisi ruang vektor.
(Aksioma 1)
Ambil sembarang . Misalkan
dan , dengan , sehingga
Karena , maka juga adalah bilangan real karena operasi penjumlahan maupun perkalian bilangan real bersifat tertutup (hasil operasinya tetap merupakan bilangan real). Ini berarti memenuhi syarat keanggotaan dan oleh karenanya, memenuhi aksioma pertama.
(Aksioma 2)
Ambil sembarang . Misalkan dan , dengan , sehingga
Karena terpenuhi, berarti memenuhi aksioma kedua.
Catatan: Ekspresi ini berlaku karena adanya sifat asosiatif pada penjumlahan dan perkalian bilangan real.
(Aksioma 3)
Ambil sembarang . Misalkan , dan , dengan , sehingga
Karena terpenuhi, berarti memenuhi aksioma ketiga.
(Aksioma 4)
Ambil sembarang dengan dan ada unsur identitas dalam , yaitu , sehingga
Ini berarti, terpenuhi, sehingga memenuhi aksioma keempat.
(Aksioma 5)
Misalkan , dengan dan ada invers , yaitu , sehingga
dan
Ini berarti, terpenuhi, sehingga memenuhi aksioma kelima.
Catatan: Langkah mencari invers dari bisa diperhatikan pada uraian berikut.
Misalkan invers adalah , sehingga
Akan dicari nilai dan , sedemikian sehingga
Dengan mengikuti definisi dari operasi vektor yang diberikan persamaan di atas dapat ditulis menjadi
Dengan demikian, diperoleh
Jadi, invers dari adalah
(Aksioma 6)
Misalkan sembarang skalar (bilangan real) dan , dengan , sehingga
Karena , maka memenuhi syarat keanggotaan sehingga memenuhi aksioma keenam.
(Aksioma 7)
Misalkan sembarang skalar (bilangan real), dan , dengan , sehingga
Karena , maka tidak memenuhi aksioma ketujuh.
(Aksioma 8)
Misalkan sembarang skalar (bilangan real) dan , dengan , sehingga
Ini berarti, sehingga tidak memenuhi aksioma kedelapan.
Catatan: Cobalah selidiki dengan menggunakan teknik backtrack (alur mundur).
(Aksioma 9)
Misalkan sembarang skalar (bilangan real) dan , dengan , sehingga
Ini berarti, sehingga memenuhi aksioma kesembilan.
(Aksioma 10)
Misalkan , dengan , sehingga
Ini berarti, sehingga memenuhi aksioma kesepuluh.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa bukanlah ruang vektor karena ada dua aksioma yang tidak terpenuhi, yaitu aksioma dan aksioma .
[collapse]
Soal Nomor 3
Diketahui
dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar matriks merupakan ruang vektor.
Tunjukkan bahwa
merupakan subruang dari ruang vektor .
Pembahasan
Gunakan Teorema 1: Subruang.
(Menunjukkan bahwa Q memenuhi syarat pertama)
Misalkan dengan
Akibatnya,
Ternyata karena entrinya memenuhi syarat keanggotaan (perhatikanlah bahwa dan adalah bilangan real). Dengan demikian, memenuhi syarat pertama teorema tersebut.
(Menunjukkan bahwa memenuhi syarat kedua)
Misalkan sembarang skalar (bilangan real) dan matriks sembarang dalam , dengan
Ini berarti,
Ternyata diperoleh karena entrinya memenuhi sifat keanggotaan (perhatikanlah bahwa dan merupakan bilangan real). Dengan demikian, memenuhi syarat kedua teorema tersebut.
Dapat disimpulkan bahwa adalah subruang dari ruang vektor (terbukti).
[collapse]
Soal Nomor 4
Diketahui dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar matriks merupakan ruang vektor.
Tunjukkan bahwa
merupakan subruang dari ruang vektor
Pembahasan
Gunakan Teorema 1: Subruang.
(Menunjukkan bahwa memenuhi syarat pertama)
Misalkan , dengan
dan
Akibatnya,
Ternyata didapat karena dan sehingga sesuai dengan syarat keanggotaan . Ini berarti, memenuhi syarat pertama teorema tersebut.
(Menunjukkan bahwa memenuhi syarat kedua)
Misalkan sembarang skalar (bilangan real) dan adalah matriks sembarang dalam dengan
Ini berarti,
Ternyata didapat karena dan sehingga sesuai dengan syarat keanggotaan himpunan . Dengan demikian, memenuhi syarat kedua teorema tersebut.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa merupakan subruang dari ruang vektor (terbukti).
Catatan: Bedakan notasi dan . menyatakan himpunan matriks yang telah didefinisikan pada soal, sedangkan menyatakan himpunan bilangan real.
[collapse]
Soal Nomor 5
Selidiki apakah semua polinomial dengan merupakan subruang dari (himpunan polinomial berderajat 3).
Pembahasan
Gunakan Teorema 1: Subruang.
(Menunjukkan bahwa dengan memenuhi syarat pertama)
Misalkan , dengan
dan
serta
dan
sehingga
Ternyata karena
sehingga sesuai dengan syarat keanggotaan . Ini berarti, memenuhi syarat pertama teorema tersebut.
(Menunjukkan bahwa memenuhi syarat kedua)
Misalkan sembarang skalar (bilangan real) dan , dengan
dan
sehingga
Ternyata karena
sehingga sesuai dengan syarat keanggotaan . Ini berarti, memenuhi syarat kedua teorema tersebut.
Jadi, merupakan subruang dari .
[collapse]
Soal Nomor 6
Selidiki apakah semua polinomial dengan dan adalah anggota bilangan bulat. merupakan subruang dari (himpunan polinomial berderajat 3).
Pembahasan
Gunakan Teorema 1: Subruang.
(Menunjukkan bahwa , dengan dan bilangan bulat memenuhi syarat pertama)
Misalkan , , dengan merupakan bilangan bulat, sehingga
Ternyata karena dan merupakan bilangan bulat (ingat bahwa bilangan bulat tertutup terhadap operasi penjumlahan), sehingga sesuai dengan syarat keanggotaan . Berarti, memenuhi syarat pertama teorema tersebut.
(Menunjukkan bahwa , dan bilangan bulat memenuhi syarat kedua)
Misalkan sembarang skalar (bilangan real) dan , dan anggota bilangan bulat, sehingga
Ternyata karena dan adalah bilangan real (perkalian bilangan real dengan bilangan bulat, hasilnya adalah bilangan real), sehingga tidak sesuai dengan syarat keanggotaan . Berarti, tidak memenuhi syarat kedua teorema tersebut.
Jadi, bukan subruang dari .
[collapse]
Soal Nomor 7
Selidiki apakah semua matriks berukuran dengan merupakan subruang dari
Pembahasan
Gunakan Teorema 1: Subruang.
Perlu diperhatikan bahwa notasi (trace dari matriks ) menyatakan jumlah dari entri pada diagonal utama matriks , sedangkan menyatakan matriks berukuran .
(Menunjukkan bahwa dengan memenuhi syarat pertama)
Misalkan , dengan
, , , dan , sehingga
Ternyata didapat karena
sehingga sesuai dengan syarat keanggotaan . Ini berarti, memenuhi syarat pertama.
(Menunjukkan bahwa dengan memenuhi syarat kedua)
Misalkan , dengan
, dan sembarang skalar sehingga
Ternyata didapat karena
sehingga sesuai dengan syarat keanggotaan himpunan . Ini berarti, memenuhi syarat kedua.
Jadi, merupakan subruang dari
[collapse]
Soal Nomor 8
Selidiki apakah merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor dan dalam
Pembahasan
Agar menjadi suatu kombinasi linear dari dan , haruslah ada skalar dan sedemikian sehingga , ditulis
atau
,
Dengan menyamakan komponen yang bersesuaian, diperoleh SPLDV (dengan 3 persamaan) sebagai berikut.
Setelah diproses, kita mendapatkan bahwa SPLDV tersebut tidak konsisten (tidak memiliki penyelesaian). Secara geometris, ketiga garis yang terbentuk dari masing-masing persamaan itu tidak memiliki titik potong pada satu titik. Dengan demikian, bukan kombinasi linear dari dan .
[collapse]
Soal Nomor 9
Selidiki apakah merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor dan dalam .
Pembahasan
Agar menjadi suatu kombinasi linear dari dan , haruslah ada skalar dan sedemikian sehingga , ditulis
atau
Dengan menyamakan komponen yang bersesuaian, diperoleh SPLDV (dengan 3 persamaan) sebagai berikut.
Setelah diproses, kita mendapatkan bahwa SPLDV tersebut memiliki penyelesaian, yaitu dan . Secara geometris, ketiga garis yang terbentuk dari masing-masing persamaan itu memiliki titik potong pada satu titik. Dengan demikian, adalah kombinasi linear dari dan .
[collapse]
Soal Nomor 10
Manakah dari pilihan berikut yang bukan merupakan kombinasi linear dari dan ?
a) c)
b) d)
Pembahasan
Pilihan a)
Nyatakan dalam bentuk
SPLDV yang terbentuk adalah
Penyelesaian dari SPLDV di atas adalah . Ini berarti, merupakan kombinasi linear dari dan .
Pilihan b)
Nyatakan dalam bentuk
SPLDV yang terbentuk adalah
Penyelesaian dari SPLDV di atas adalah dan . Ini berarti, merupakan kombinasi linear dari dan .
Pilihan c)
Nyatakan dalam bentuk
SPLDV yang terbentuk adalah
SPLDV tersebut tidak konsisten (tidak memiliki penyelesaian). Ini berarti, bukan kombinasi linear dari dan .
Pilihan d)
Nyatakan dalam bentuk
SPLDV yang terbentuk adalah
Penyelesaian dari SPLDV di atas adalah . Ini berarti, merupakan kombinasi linear dari dan . Dalam kasus ini, kita dengan jelas mengetahui bahwa vektor nol akan selalu menjadi kombinasi linear dari sejumlah vektor yang diberikan.
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa bukan kombinasi linear dari dan .
[collapse]
Soal Nomor 11
Jika , , dan , tentukan apakah vektor-vektor bebas linear.
Pembahasan
Untuk menentukan kebebasan linearnya, tuliskan himpunan vektor tersebut dalam bentuk persamaan vektor dan komponennya:
kemudian substitusikan vektor-vektor yang bersangkutan untuk mendapatkan
Lakukan perkalian skalar dan penjumlahan pada komponen yang bersesuaian dari bentuk di atas untuk memperoleh
Jika ditulis dalam bentuk SPLTV, diperoleh
Penyelesaian dari sistem di atas adalah , dan . Ini berarti, ada penyelesaian lain pada sistem selain .
Jadi, merupakan himpunan vektor yang tidak bebas linear.
[collapse]
Soal Nomor 12
Diketahui , dan . Tunjukkan bahwa adalah himpunan vektor yang bebas linear.
Pembahasan
Persamaan vektor dalam bentuk komponen-komponennya adalah
Lakukan perkalian skalar dan penjumlahan pada komponen yang bersesuaian dari bentuk di atas untuk memperoleh
Jika ditulis dalam bentuk SPLTV, diperoleh
Satu-satunya penyelesaian dari sistem di atas adalah .
Jadi, merupakan himpunan vektor yang bebas linear.
[collapse]
Soal Nomor 13
Anggap , dan adalah vektor-vektor dalam yang titik-titik pangkalnya di titik asal. Apakah ketiga vektor berada pada satu bidang?
Pembahasan
Ketiga vektor itu akan berada pada satu bidang jika himpunan vektor yang terbentuk tidak bebas linear (alias bergantung linear).
Tuliskan ketiga vektor tersebut dalam bentuk kombinasi linear berikut.
Lakukan perkalian skalar dan penjumlahan pada komponen yang bersesuaian dari bentuk di atas untuk memperoleh
Jika ditulis dalam bentuk SPLTV, diperoleh
Satu-satunya penyelesaian dari sistem di atas adalah .
Jadi, himpunan yang anggotanya ketiga vektor tersebut bebas linear. Artinya, ketiga vektor itu tidak berada pada satu bidang.
[collapse]
Soal Nomor 14
Anggap , dan adalah vektor-vektor dalam yang titik-titik pangkalnya di titik asal. Apakah ketiga vektor berada pada satu bidang?
Pembahasan
Ketiga vektor itu akan berada pada satu bidang jika himpunan vektor yang terbentuk tidak bebas linear (alias bergantung linear).
Tuliskan ketiga vektor tersebut dalam bentuk kombinasi linear berikut.
Lakukan perkalian skalar dan penjumlahan pada komponen yang bersesuaian dari bentuk di atas untuk memperoleh
Jika ditulis dalam bentuk SPLTV, diperoleh
Penyelesaian dari sistem di atas (selain penyelesaian trivial) adalah , dan dengan .
Jadi, himpunan yang anggotanya ketiga vektor tersebut tidak bebas linear. Artinya, ketiga vektor itu berada pada satu bidang.
[collapse]
Soal Nomor 15
Tentukan nilai (baca: lambda) agar vektor-vektor berikut membentuk himpunan yang tak bebas secara linear dalam
Pembahasan
Tuliskan ketiga vektor tersebut dalam persamaan
kemudian substitusikan vektor-vektor bersangkutan menjadi
Lakukan perkalian skalar dan penjumlahan pada komponen yang bersesuaian dari bentuk di atas untuk memperoleh
Jika ditulis dalam bentuk SPLTV, diperoleh
Agar vektor-vektor tersebut membentuk himpunan yang tak bebas secara linear, penyelesaian dari sistem di atas haruslah tidak trivial. Artinya, ada penyelesaian lain selain Kita dapat membuktikannya dengan menunjukkan bahwa determinan matriks koefisiennya bernilai .
Agar matriks koefisien itu bernilai , maka nilai adalah atau . Dengan nilai demikian, maka sistem di atas memiliki penyelesaian tak trivial, sehingga himpunan yang terbentuk tak bebas secara linear.
[collapse]
Soal Nomor 16
Tentukan vektor-vektor yang membangun himpunan semua vektor di garis , dan . Apakah vektor-vektor tersebut bebas linear? Jelaskan!
Pembahasan
Vektor-vektor yang membangun himpunan semua vektor di ketiga garis tersebut adalah untuk .
Apabila diambil sepasang vektor darinya, maka sepasang vektor tersebut pasti bergantung linear, karena berlaku persamaan
jelas memiliki solusi nontrivial untuk suatu .
Jadi, vektor-vektor tersebut tidak bebas linear, atau diistilahkan bergantung linear.
[collapse]
Soal Nomor 17
Tentukan vektor-vektor yang membangun himpunan semua vektor di bidang . Apakah vektor-vektor tersebut bebas linear? Jelaskan!
Pembahasan
Bidang tersebut dapat ditulis dalam notasi himpunan sebagai berikut.
Ini berarti, setiap vektor dalam bidang tersebut bisa dituliskan dalam bentuk kombinasi linear dari vektor dan .
Sekarang, perhatikan bahwa himpunan yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut bebas linear, karena
untuk suatu skalar terpenuhi jika dan hanya jika (solusi trivial).
[collapse]
Soal Nomor 18
Tunjukkan apakah , dan merentang di .
Pembahasan
Kita harus memperlihatkan apakah vektor sembarang pada dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear
dari vektor-vektor , dan .
Dengan menyamakan dalam bentuk komponen-komponen yang bersesuaian, diperoleh
atau ditulis
Tuliskan dalam bentuk SPLTV:
Matriks koefisien SPLTV di atas adalah . Dengan menggunakan Aturan Sarrus (perhatikan skema di bawah)

diperoleh determinannya .
Berdasarkan teorema determinan bahwa suatu SPL konsisten (memiliki penyelesaian) jika determinan matriks koefisiennya tidak nol, maka dapat disimpulkan bahwa SPLTV tersebut konsisten. Jadi, , dan merentang di
[collapse]
Soal Nomor 19
Misalkan dan . Manakah dari pilihan berikut ini yang redaksinya terletak pada ruang yang terentang oleh dan ?
a.
b.
c.
Pembahasan
Misalkan sehingga . Jadi, dalam hal ini akan diselidiki mana dari 3 pilihan itu yang menjadi anggota . Ini berarti, kita perlu menentukan apakah masing-masing pilihan itu merupakan kombinasi linear dari dan atau bukan.
Pilihan a)
Perhatikan bahwa
Dari persamaan di atas, kita peroleh bahwa dan . Ini berarti, merupakan kombinasi linear dari dan sehingga merupakan anggota dari . Dengan kata lain, terletak pada ruang yang terentang oleh dan .
Pilihan b)
Perhatikan bahwa
Persamaan di atas mengimplikasikan bahwa tidak ada satu pun nilai dan yang memenuhi, karena jelas bahwa bentuk trigonometri dan eksponensial tidak mungkin sama. Ini berarti, bukan kombinasi linear dari dan sehingga bukan anggota dari . Dengan kata lain, tidak terletak pada ruang yang terentang oleh dan .
Pilihan c)
Perhatikan bahwa
Dari persamaan di atas, diperoleh . Ini berarti, merupakan kombinasi linear dari dan sehingga merupakan anggota dari . Dengan kata lain, terletak pada ruang yang terentang oleh dan .
Catatan:
Identitas trigonometri berikut dipakai pada pilihan a dan c di atas.
[collapse]
Soal Nomor 20
Tentukan persamaan bidang yang terentang oleh dan
Pembahasan
Nyatakan dan dalam bentuk kombinasi linear:
Diperoleh sistem linear
Dari persamaan dan , kita dapat menarik suatu kesimpulan bahwa untuk setiap dan , nilai dan selalu sama. Jadi, persamaan bidang yang terentang oleh dan adalah .
[collapse]
Soal Nomor 21
Diketahui , dan . Tunjukkan bahwa merupakan suatu basis dalam ruang vektor .
Pembahasan
Syarat suatu himpunan vektor dikatakan sebagai basis pada ruang vektor adalah himpunan vektor itu harus bebas linear dan merentang dalam ruang vektor .
Syarat pertama)
telah terbukti bebas linear berdasarkan soal nomor 13 di atas.
Syarat kedua)
telah terbukti merentang di berdasarkan soal nomor 17 di atas.
Ini berarti, merupakan himpunan vektor yang bebas linear dan merentang di . Dapat disimpulkan bahwa membentuk basis dalam ruang vektor tersebut.
[collapse]
Soal Nomor 22
Diketahui
dan merupakan subruang polinom orde dua . Tentukan basis dan dimensi dari .
Pembahasan
Anggota dari himpunan polinom bergantung pada nilai , yang mengikuti persamaan . Persamaan ini melibatkan 3 variabel. Oleh karena itu, akan ada 2 variabel yang menjadi parameter. Misalkan dan dengan adalah parameter. Dengan demikian, diperoleh . Untuk itu, dapat ditulis
Ini menunjukkan bahwa polinom dan merentang . Karena dan keduanya tidak saling berkelipatan satu sama lain, maka dan saling bebas linear. Jadi, adalah basis bagi (syarat basis: merentang dan bebas linear), sedangkan dimensi adalah , dinotasikan , karena ada 2 polinom basis, yaitu dan .
Catatan: Variabel dan parameter adalah istilah yang berbeda. Misalnya, diberi persamaan kuadrat . Dalam hal ini, dan adalah variabel, sedangkan adalah parameter. Nilai dapat diganti berapa saja (dengan syarat ) karena persamaannya akan tetap berbentuk persamaan kuadrat. Jadi, parameter berfungsi sebagai patokan yang memberikan hasil berbeda jika nilainya diubah-ubah.
[collapse]
Soal Nomor 23
Tentukan dimensi untuk penyelesaian dari sistem linear berikut.
Pembahasan
Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL di atas adalah
Dengan mereduksi matriks tersebut menjadi matriks eselon baris, diperoleh
Sistem persamaan linear yang bersesuaian dari matriks diperbesar di atas adalah
Penyelesaian dari sistem di atas adalah , dan .
Vektor-vektor penyelesaiannya dapat ditulis sebagai berikut.
Hal ini menyatakan bahwa
dan merentang ruang penyelesaiannya.
Karena dan juga bebas linear (karena tidak saling berkelipatan), maka membentuk basis untuk ruang penyelesaian. Jadi, ruang penyelesaiannya berdimensi dua (karena vektor basisnya ada dua).
[collapse]
Soal Nomor 24
Tentukan apakah polinomial berikut ini merentangkan (polinomial berderajat 2).
Pembahasan
Untuk menyelidiki apakah polinomial tersebut merentangkan , nyatakan sembarang polinom sebagai kombinasi linear dari , dan .
Substitusikan polinomial yang dimaksud sebagai berikut.
Selanjutnya, kelompokkan suku yang mengandung , , dan hanya sebuah konstanta.
Dengan membandingkan koefisien suku sejenis pada kedua ruas, diperoleh SPL
Buat matriks diperbesar dari sistem linear tersebut dan reduksikan dengan menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE).
Perhatikan bahwa sistem ini akan konsisten jika dan hanya jika yang ternyata bertentangan dengan pernyataan “sembarang” polinom . Jika , maka sistem ini tidak memiliki penyelesaian, artinya ada yang tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
Dengan demikian, keempat polinom itu tidak merentang/membangun .
[collapse]
Soal Nomor 25
Tentukan apakah polinomial berikut ini merentangkan (polinomial berderajat 2).
Pembahasan
Nyatakan sembarang sebagai kombinasi linear dari , dan .
Substitusikan polinomial yang dimaksud sebagai berikut.
Selanjutnya, kelompokkan suku yang mengandung , , dan hanya sebuah konstanta.
Diperoleh sistem linear:
Buat matriks diperbesar dari sistem linear tersebut dan reduksikan dengan operasi baris elementer sampai terbentuk matriks eselon baris.
Diperoleh matriks berbentuk eselon baris dengan satu baris yang semua entrinya nol (baris ke-). Ini berarti, sistem linear tersebut tidak konsisten untuk semua nilai . Dengan kata lain, polinomial-polinomial yang dimaksud tersebut tidak merentangkan .
[collapse]
Soal Nomor 26
Gunakan Teorema: Rentang untuk menunjukkan bahwa
dan
merentangkan subruang yang sama dari .
Pembahasan
Penyelesaiannya dapat Anda lihat pada gambar berikut.


[collapse]
Soal Nomor 27
Diberikan dan adalah ruang bagian dari dan . Jika , tunjukkan bahwa dan .
Pembahasan
Jika subruang dari dan , maka berlaku . Karena diketahui , maka dapat ditulis bahwa . Ini artinya, dimensi dari yang mungkin adalah 0 atau 1. Jika , maka (ruang dengan himpunan vektor yang berisi vektor nol, sehingga dimensinya juga nol), sedangkan jika , maka itu berarti , sehingga (terbukti).
[collapse]
Today Quote
Jika sebuah rencana gagal, ubahlah rencananya, jangan ubah tujuannya.