Kategori: Kalkulus Lanjut

Diketahui $f(x) = y = x^3-3x^2+3x-2$.
Nilai-nilai stasioner $f(x)$ didapat ketika $f'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} f'(x) & = 0 \\ 3x^2-6x+3 & = 0 \\ 3(x^2-2x+1) & = 0 \\ 3(x-1)^2 & = 0 \\ x & = 1 \end{aligned}$$Untuk $x = 1$, diperoleh nilai stasioner $$\begin{aligned} f(1) & = (1)^3-3(1)^2+3(1)-2 \\ & = 1-3+3-2 \\ &  = -1 \end{aligned}$$Jadi, nilai stasioner fungsi tersebut adalah $\boxed{ y = -1}$
(Jawaban E)

Diketahui $f(x) = \dfrac13x^3-\dfrac12x^2+10$.
Nilai-nilai stasioner $f(x)$ didapat ketika $f'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} f'(x) & = 0 \\ x^2-x & = 0 \\ x(x-1) & = 0 \\ x = 0~\text{atau}&~x = 1 \end{aligned}$$Jadi, fungsi $f(x) = \dfrac13x^3-\dfrac12x^2+10$ akan stasioner pada saat nilai $x$ sama dengan $\boxed{0~\text{atau}~1}$
(Jawaban D)

Diketahui $g(x) = x^3-3x+3$.
Titik stasioner dicari saat $g'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} g'(x) & = 0 \\ 3x^2-3 & = 0 \\ 3(x^2-1) & = 0 \\ 3(x+1)(x-1) & = 0 \\ x = -1~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Untuk $x = -1$, diperoleh $$\begin{aligned} f(-1) & = (-1)^3-3(-1)+3 \\ & = -1+3+3 = 5 \end{aligned}$$sehingga titik stasionernya adalah $(-1, 5)$.
Untuk $x = 1$, diperoleh
$\begin{aligned} f(1) & = (1)^3-3(1)+3 \\ & = 1-3+3 = 1 \end{aligned}$
sehingga titik stasionernya adalah $(1, 1)$.
Jadi, fungsi $g$ memiliki dua titik stasioner, yaitu $\boxed{(-1, 5)~\text{dan}~(1,1)}$
(Jawaban B)

Diketahui $p(x) = 2x^3-9x^2+12x$.
Titik stasioner dicari saat $p'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} p'(x) & = 0 \\ 6x^2-18x + 12 & = 0 \\ 6(x^2-3x+2) & = 0 \\ 6(x-2)(x-1) & = 0 \\ x = 1~\text{atau}~x & = 2 \end{aligned}$$Untuk $x = 1$, diperoleh
$\begin{aligned} p(1) & = 2(1)^3-9(1)^2+12(1) \\ & = 2-9+12 = 5 \end{aligned}$
sehingga titik stasionernya adalah $(1, 5)$.
Untuk $x = 2$, diperoleh
$\begin{aligned} p(2) & = 2(2)^3-9(2)^2+12(2) \\ & = 16-36+24=4 \end{aligned}$
sehingga titik stasionernya adalah $(2,4)$.
Jadi, fungsi $p$ memiliki dua titik stasioner, yaitu $\boxed{(1, 5)~\text{dan}~(2, 4)}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(t) = -2t^2+t+3$.
Titik stasioner dicari saat $f'(t) = 0$.
$$\begin{aligned} f'(t) & = 0 \\ -4t + 1 & = 0 \\ t & = \dfrac14 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua $f(t)$ adalah $f^{\prime \prime}(t) = -4$, sehingga untuk $t = \dfrac14$, diperoleh $f^{\prime \prime}\left(\dfrac14\right) = -4 < 0$. Ini artinya, nilai balik maksimum $f$ tercapai saat $t = \dfrac14$, yaitu
$$\begin{aligned}f\left(\dfrac14\right) & = -2\left(\dfrac14\right)^2+\dfrac14+3 \\ & = -\dfrac18 + \dfrac14 + 3 \\ & = \dfrac18+3 = 3,125 \end{aligned}$$Jadi, fungsi $f(t) = -2t^2+t+3$ mempunyai nilai balik maksimum, yaitu $y = 3,125$.
(Jawaban C)

Diketahui $y = \dfrac{t^2 + 6t + 9}{3t^2}$. Persamaan fungsi itu dapat diubah bentuknya sebagai berikut.
$$\begin{aligned} y & = \dfrac{t^2}{3t^2} + \dfrac{6t}{3t^2} + \dfrac{9}{3t^2} \\ & = \dfrac13 + \dfrac{2}{t} + \dfrac{3}{t^2} \\ & = \dfrac13 + 2t^{-1} + 3t^{-2} \end{aligned}$$Turunan pertamanya adalah
$$\begin{aligned} y’ & = 0 + (-2)t^{-2} + (-6)t^{-3} \\ & = -2t^{-2}-6t^{-3} \end{aligned}$$Titik stasioner dicari saat $y’ = 0$.
$$\begin{aligned} y’ & = 0 \\ -2t^{-2}-6t^{-3} & = 0 \\ \text{Kedua ruas}~&\text{dikalikan}~t^2 \\ -2-6t^{-1} & = 0 \\ t^{-1} & = -\dfrac13 \\ t & = -3 \end{aligned}$$Substitusi $t = 3$ pada $y$, kita peroleh
$$\begin{aligned} y & = \dfrac{t^2 + 6t + 9}{3t^2} \\ \Rightarrow y & = \dfrac{(-3)^2 + 6(-3) + 9}{3(-3)^2} \\ & = \dfrac{9-18+9}{27} = 0 \end{aligned}$$Jadi, titik baliknya adalah $(-3, 0$).
Untuk menentukan titik baliknya maksimum atau minimum, gunakan turunan kedua.
$$\begin{aligned} y^{\prime \prime} & = 4t^{-3} + 18t^{-4} \\ \Rightarrow y^{\prime \prime} & = 4(-3)^{-3} + 18(-3)^{-4} \\ & = \dfrac{4}{-27} + \dfrac{18}{81} \\ & = -\dfrac{4}{27} + \dfrac{6}{27} \\ & = \dfrac{2}{27} > 0 \end{aligned}$$Karena nilainya positif, maka itu berarti $(-3, 0)$ adalah titik balik minimum.
(Jawaban B)

Diketahui $y = t^2-5t+6$.
Titik stasioner dicari saat $y’ = 0$.
$$\begin{aligned} 2t-5 & = 0 \\ 2t & = 5 \\ t & = \dfrac52 \end{aligned}$$Substitusi $t = \dfrac52$ pada $y$, kita peroleh
$$\begin{aligned} y & = \left(\dfrac52\right)^2-5\left(\dfrac52\right)+6 \\ & = \dfrac{25}{4}-\dfrac{25}{2}+6 \\ & = \dfrac{25-50+24}{4} = -\dfrac14 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua $y$ adalah $y^{\prime \prime}(t) = 2$, sehingga untuk $t = \dfrac52$, diperoleh $f^{\prime \prime}\left(\dfrac52\right) = 2 > 0$. Ini artinya, fungsi tersebut memiliki nilai ekstrem minimum di $y = -\dfrac14$.
(Jawaban B)

Diketahui $f(x) = \dfrac14x^4-2x^2$.
Titik stasioner dicari saat $f'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} x^3-4x & = 0 \\ x(x^2-4) & = 0 \\ x(x+2)(x-2) & = 0 \\ x = 0~\text{atau}~x & = -2~\text{atau}~x = 2 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua fungsi $f$ adalah $f^{\prime \prime}(x) = 3x^2-4$.
Substitusi $x = 0$ menghasilkan $f^{\prime \prime}(0) = 3(0)^2-4 = -4 < 0$.
Substitusi $x = -2$ menghasilkan $f^{\prime \prime}(-2) = 3(-2)^2-4 = 8 > 0$.
Substitusi $x = 2$ menghasilkan $f^{\prime \prime}(2) = 3(2)^2-4 = 8 > 0$.
Karena $f^{\prime \prime}(0)$ bernilai negatif, maka itu berarti titik $x = 0$ merupakan absis titik balik maksimum
Substitusi $x = 0$ pada $f(x)$, kita peroleh
$$\begin{aligned} f(x) & = \dfrac14x^4-2x^2 \\ \Rightarrow f(0) & = \dfrac14(0)^4-2(0)^2 = 0 \end{aligned}$$Jadi, titik balik maksimum fungsi $f$ adalah $\boxed{(0,0)}$
(Jawaban C)

Diketahui $f(x) = 4x^3-18x^2+15x-20.$
Akan dicari nilai $x$ saat $f$ stasioner.
$$\begin{aligned} f'(x) & = 0 \\ 12x^2-36x+15 & = 0 \\ 3(4x^2-12x+5) & = 0 \\ 3(2x-1)(2x-5) & = 0 \\ x = \dfrac12~\text{atau}~x & = \dfrac52 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa turunan kedua fungsi $f$ adalah $f^{\prime \prime}(x) = 24x-36$.
Sekarang, uji nilai turunan kedua $f$ untuk $x = \dfrac12$ dan $x = \dfrac52$.
$$\begin{aligned} f^{\prime \prime}\left(\dfrac12\right) & = 24\left(\dfrac12\right)-36 = -24 < 0 \\ f^{\prime \prime}\left(\dfrac52\right) & = 24\left(\dfrac52\right)-36 = 24 > 0 \end{aligned}$$Karena $f^{\prime \prime}\left(\dfrac12\right)$ bernilai negatif, maka itu berarti nilai fungsi $f$ mencapai maksimum saat nilai $\boxed{x=\dfrac12=0,5}$
(Jawaban E)

Diketahui $f(t) = t + \sqrt{a-2t}$.
Turunan pertama fungsi $f$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} f'(t) & = 1+\dfrac12 \cdot (a-2t)^{-1/2} \cdot (-2) \\ & = 1-\dfrac{1}{\sqrt{a-2t}} \end{aligned}$$Fungsi $f$ maksimum ketika $f'(t) = 0$, sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} 1-\dfrac{1}{\sqrt{a-2t}} & = 0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{a-2t}} & = 1 \\ \sqrt{a-2t} & = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat $f_{\text{maks}}(t) = t + 1 = 10$, berarti $t = 9$.
Karena itu,
$$\begin{aligned} \sqrt{a-2(\color{red}{9})} & = 1 \\ a-18 & = 1 \\ a & = 19 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{a=19}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x) = x^3-6x^2+12x+5$.
Turunan pertama dan keduanya berturut-turut adalah
$$\begin{aligned} f'(x) & = 3x^2-12x+12 \\ f^{\prime \prime}(x) & = 6x-12 \end{aligned}$$Titik belok grafik fungsi dicari ketika $f^{\prime \prime}(x) = 0$, yaitu $6x-12 = 0$, sehingga diperoleh $x = 2$.
Substitusi $x = 2$ pada $f(x)$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} f(2) & = (2)^3-6(2)^2+12(2)+5 \\ & = 8-24+24+5 = 13 \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik beloknya adalah $\boxed{(2, 13)}$
(Jawaban E)

Diketahui $f(x) = \dfrac14x^4-2x^2$. Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} f'(x) & = x^3-4x \\ f^{\prime \prime}(x) & = 3x^2-4 \end{aligned}$$Titik belok kurva fungsi $f$ dicapai saat $f^{\prime \prime}(x) = 0$.
Kita peroleh
$$\begin{aligned} 3x^2-4 & = 0 \\ x^2 & = \dfrac43 \\ x & = \pm \sqrt{\dfrac43} \\ x & = \pm \dfrac{2}{\sqrt3} = \pm \dfrac23\sqrt3 \end{aligned}$$Selanjutnya, substitusikan dua nilai $x$ tersebut pada $f(x)$.
$$\begin{aligned} f(x) & = \dfrac14x^4-2x^2 \\ \Rightarrow f\left(\dfrac23\sqrt3\right) & = \dfrac14 \cdot \left(\dfrac43\right)^2-2 \cdot \dfrac43 \\ & = \dfrac49-\dfrac83 = -\dfrac{20}{9} \\ f\left(-\dfrac23\sqrt3\right) & = \dfrac14 \cdot \left(\dfrac43\right)^2-2 \cdot \dfrac43 \\ & = \dfrac49-\dfrac83 = -\dfrac{20}{9} \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik belok fungsi $f$ adalah $\boxed{\left(-\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right)}$ dan $\boxed{\left(\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right)}$
(Jawaban D)

Diketahui $f(x) = x^3+3x^2-9x$.
Akan dicari nilai $x$ sehingga $f$ stasioner.
$$\begin{aligned} f'(x) & = 0 \\ 3x^2+6x-9 & = 0 \\ 3(x^2+2x-3) & = 0 \\ 3(x+3)(x-1) & = 0 \\ x = -3~\text{atau}~x&=1 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua fungsi $f$ adalah $f^{\prime \prime}(x) = 6x + 6$.
Substitusi $x = -3$ menghasilkan $f^{\prime \prime}(-3) = 6(-3) + 6 = -12 < 0$.
Substitusi $x = 1$ menghasilkan $f^{\prime \prime}(1) = 6(1) + 6 = 12 > 0$.
Ini berarti, fungsi $f$ minimum ketika $x = 1$, yaitu $\boxed{f(1) = (1)^3+3(1)^2-9 = -5}$
(Jawaban D)

Diketahui $f(x) = \dfrac13x^3+\dfrac12x^2-2x+5.$
Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} f'(x) & = x^2+x-2 \\ f^{\prime \prime}(x) & = 2x+1 \end{aligned}$$Absis titik stasioner dicari ketika $f'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} x^2+x-2 & = 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \\ x = -2~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Selanjutnya, uji dua nilai $x$ tersebut pada $f^{\prime \prime}(x) = 2x+1$.
$$\begin{aligned} f^{\prime \prime}(-2) & = 2(-2) + 1 = -3 < 0 \\ f^{\prime \prime}(1) & = 2(1)+1 = 3 > 0 \end{aligned}$$Dapat disimpulkan bahwa fungsi $f$ mencapai nilai maksimum di $x = -2$ dan mencapai nilai minimum di $x = 1$.
$$\begin{aligned} f(-2) & = \dfrac13(-2)^3+\dfrac12(-2)^2-2(-2) + 5 \\ & = -\dfrac83 + 2+4+5 = \dfrac{25}{3} && (\text{maksimum}) \\ f(1) & = \dfrac12(1)^3 + \dfrac13(1)^2-2(1) + 5 \\ & = \dfrac13 + \dfrac12-2+5 = \dfrac{23}{6} && (\text{minimum}) \end{aligned}$$Dengan demikian, selisih nilai maksimum dan minimum fungsi $f$ adalah $$\boxed{\dfrac{25}{3}-\dfrac{23}{6} = \dfrac{27}{6} = \dfrac92}$$(Jawaban E)

Diketahui $f(x) = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+9.$
Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} f'(x) & = x^2-3x \\ f^{\prime \prime}(x) & = 2x-3 \end{aligned}$$Absis titik stasioner dicari ketika $f'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} x^2-3x & = 0 \\ x(x-3) & = 0 \\ x = 0~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Uji kedua nilai $x$ tersebut pada $f^{\prime \prime}(x) = 2x-3$.
$$\begin{aligned} f^{\prime \prime}(0) & = 2(0)-3= -3 < 0 \\ f^{\prime \prime}(3) & = 2(3)-3 = 3 > 0 \end{aligned}$$Ini berarti, nilai maksimum lokal fungsi $f$ tercapai saat $x = 0$ karena $f^{\prime \prime}(0)$ bernilai negatif.
Substitusi $x = 0$ pada $f(x)$, diperoleh $f(0) = \dfrac13(0)^3-\dfrac32(0)^2+9=9.$ Jadi, nilai maksimum dari fungsi $f(x) = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+9$ pada interval $0 \leq x \leq 3$ adalah $\boxed{9}$
(Jawaban A)

Diketahui $f(x) = 4x^3 + px^2 + 15x-20.$
Turunan pertama fungsi $f$ adalah sebagai berikut.
$$f'(x) = 12x^2+2px + 15$$Karena diketahui bahwa $x = \dfrac12$ membuat nilai fungsi $f$ maksimum, maka substitusi $x = \dfrac12$ harus membuat $f’\left(\dfrac12\right) = 0$.
$$\begin{aligned} 12\left(\dfrac12\right)^2 + 2p \cdot \left(\dfrac12\right) + 15 & = 0 \\ 3 + p + 15 & = 0 \\ p & = -18 \end{aligned}$$Sekarang,
$f(x) = 4x^3-18x^2+15x-20.$
Turunan pertama dan keduanya adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} f'(x) & = 12x^2-36x +15 \\ f^{\prime \prime}(x) & = 24x-36 \end{aligned}$$Akan dicari nilai $x$ sehingga $f$ stasioner, yaitu ketika $f'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} 12x^2-36x+15 & = 0 \\ 3(4x^2-12x+5) & = 0 \\ 3(2x-1)(2x-5) & = 0 \\ x = \dfrac12~\text{atau}~x & = \dfrac52 \end{aligned}$$Nilai $x = \dfrac12$ diketahui membuat nilai $f$ maksimum. Sekarang, akan dicek untuk $x = \dfrac52$ dengan cara substitusi pada $f^{\prime \prime}(x) = 24x-36$.
$$\begin{aligned} f^{\prime \prime}\left(\dfrac52\right) & = 24\left(\dfrac52\right)-36 = 24 > 0 \end{aligned}$$Karena nilainya positif, maka $x = \dfrac52$ membuat nilai $f$ minimum.
(Jawaban D)

Diketahui $y = \dfrac13(n-2)^2x^3 + x^2-5nx.$
Substitusi $x = 3$ dan $y = -27$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} -27 & = \dfrac13(n-2)^2(3)^3 + 3^2-5n(3) \\ -27 & = \dfrac13(n^2-4n+4)(27) + 9-15n \\ -27 & = 9(n^2-4n+4) + 9-15n \\ 0 & = 9n^2-51n+72 \\ 0 & = 3n^2-17n+24 \\ 0 & = (3n -8)(n-3) \end{aligned}$$Diperoleh dua nilai $n$, yaitu $n = \dfrac83$ atau $n = 3$.
Periksa bahwa jika kita pilih $n = 3$, maka
$$\begin{aligned} y & = \dfrac13(3-2)^2x^3 + x^2-5(3)x \\ & = \dfrac13x^3+x^2-15x \end{aligned}$$sehingga turunan pertama dan keduanya adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} y’ & = x^2+2x-15 \\ y^{\prime \prime} & = 2x+2 \end{aligned}$$Nilai $x$ yang membuat $f$ stasioner dicari ketika $y’ = 0$.
$$\begin{aligned} x^2+2x-15 & = 0 \\ (x+5)(x-3) & = 0 \\ x = -5~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Substitusi $x = 3$ pada $y^{\prime \prime} = 2x+2$, sehingga diperoleh $y^{\prime \prime} = 2(3)+2 = 8 > 0.$ Berarti nilai $f$ minimum tercapai saat $x = 3$. Jadi, nilai $n$ adalah $\boxed{3}$

Diketahui $f(x) = ax^2+bx+4.$
Karena grafik melalui titik $(1, -1)$, maka substitusikan $x=1$ dan $y=-1$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} a(1)^2+b(1)+4 & = -1 \\ a+b & = -5 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Nilai $x = 1$ diketahui membuat $f$ stasioner, dicari ketika $f'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} f'(x) & = 2ax +b \\ 0 & = 2a(1)+b \\ b & = -2a && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh $a = 5$ dan $b = -10$, sehingga nilai $\boxed{ab = 5(-10) = -50}$

Diketahui $f(x) = a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}}.$
Karena $(4, 13)$ dilalui oleh grafik fungsi tersebut, maka substitusikan $x = 4$ dan $y = 13$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} 13 & = a\sqrt{4} + \dfrac{b}{\sqrt4} \\ 13 & = 2a + \dfrac{b}{2} \\ \text{Kalikan}~&\text{kedua ruas dengan}~2 \\ 26 & = 4a + b && (\cdots 1) \end{aligned}$$Nilai $x = 4$ diketahui membuat $f$ stasioner, dicari ketika $f'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} f(x) & = ax^{\frac12} + bx^{-1/2} \\ \Rightarrow f'(x) & = \dfrac12ax^{-\frac12}-\dfrac12bx^{-\frac32} \\ f'(x) & = \dfrac{a}{2\sqrt{x}}-\dfrac{b}{2x\sqrt{x}} \\ 0 & = \dfrac{a}{2\sqrt4}-\dfrac{b}{2(4)\sqrt4} \\ 0 & = \dfrac{a}{4}-\dfrac{b}{16} \\ \text{Kalikan}~&\text{kedua ruas dengan}~16 \\ 0 & = 4a-b && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh $a=\dfrac{13}{3}$ dan $b=13$.

Diketahui $f(x)=x^2+x^{-2}$.
Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} f'(x) & = 2x-2x^{-3} \\ f^{\prime \prime}(x) & = 2+6x^{-4} \end{aligned}$$Nilai $x$ yang membuat $f$ stasioner dapat dicari ketika $f'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} 2x-2x^{-3} & = 0 \\ \text{Kalikan kedua}&~\text{ruas dengan}~x^3 \\ 2x^4-2 & = 0 \\ x^4 & = 1 \\ x & = \pm 1 \end{aligned}$$Substitusi dua nilai $x$ ini pada $f^{\prime \prime}(x) = 2+6x^{-4}$.
$$\begin{aligned} f^{\prime \prime}(-1) & = 2+6(-1)^{-4} = 2+6 = 8 > 0 \\ f^{\prime \prime}(1) & = 2+6(-1)^{-4} = 2+6 = 8>0 \end{aligned}$$Karena keduanya bernilai positif, maka $x = -1$ dan $x = 1$ membuat $f$ mencapai minimum. Nilai minimumnya dapat dicari dengan melakukan substitusi kedua nilai tersebut pada $f(x) = x^2+x^{-2}$.
$$\begin{aligned} f(-1) & = (-1)^2+(-1)^{-2} = 1+1 = 2 \\ f(1) & = (1)^2 + (1)^{-2} = 1+1= 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai minimum fungsi $f$ adalah $\boxed{2}$, sedangkan nilai maksimumnya tidak ada. Grafik fungsi $f$ dapat dilihat pada gambar di bawah.

Diketahui $f(x) = ax^2+bx+c$.
Turunan pertama fungsi kuadrat tersebut adalah $f'(x) = 2ax + b$. $f$ stasioner ketika $f'(x) = 0$, sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} 2ax + b & = 0 \\ 2ax & = -b \\ x & = -\dfrac{b}{2a} \end{aligned}$$Substitusikan $x = -\dfrac{b}{2a}$ pada $f(x)$, diperoleh
$$\begin{aligned} f\left(-\dfrac{b}{2a}\right) & = a\left(-\dfrac{b}{2a}\right)^2 + b \cdot \left(-\dfrac{b}{2a}\right) + c \\ & = \dfrac{b^2}{4a}-\dfrac{b^2}{2a} + c \\ & = \dfrac{b^2-2b^2+4ac}{4a} \\ & = \dfrac{-b^2+4ac}{4a} \\ & = -\dfrac{b^2-4ac}{4a} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa setiap fungsi kuadrat mempunyai tepat satu titik kritis, yaitu $\boxed{\left(-\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right)}$