Berikut ini adalah 5 soal UAS Kalkulus Lanjut (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 11 Januari 2018 oleh Drs. Ade Mirza, M.Pd.
Soal Nomor 1
Buktikan bahwa
Fungsi terdefinisi pada
, dengan
sebagai titik limitnya. Kita akan tunjukkan bahwa:
atau
Analisis:
Untuk ini, kita harus membatasi faktor dan
oleh suatu konstanta real.
Misalkan , maka berlaku
Akibatnya,
sehingga dari pemisalan tersebut, diperoleh
Dengan demikian, (langkah bukti):
Ambil sembarang , pilih
, akibatnya jika
, maka berlaku
Jadi, terbukti bahwa
Catatan : Mengapa harus 1? Untuk mempermudah pembuktian/perhitungan, ambil bilangan bulat positif terkecil, yaitu 1 sebagai batas konstanta real yang dimaksud.
Soal Nomor 2
Gunakan integral ganda dua untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh dan
Soal Nomor 3
Dengan menggunakan integral ganda dua, hitung isi benda yang terletak dalam silinder dan
Klik sini untuk mengetahui representasi geometrik dan penjelasan yang lebih kompleks mengenai Steinmetz Solid (benda ruang yang diperoleh dari pengirisan/perpotongan dua atau lebih silinder)
Batas integrasi diberikan oleh
Jadi, volume bisilinder yang terbentuk ditentukan oleh
Jadi, volume dari perpotongan dua silinder tersebut adalah satuan volume.
Catatan : Angka 2 pada integran didapat karena sifat kesimetrian.
Soal Nomor 4
Hitunglah integral berikut dengan mengubahnya dalam koordinat tabung terlebih dahulu.
Ingat bahwa dalam sistem koordinat tabung, (posisinya menyesuaikan integralnya)
Kita akan mengubah batas integralnya terlebih dahulu.
Integral ketiga memiliki batas yang tidak perlu diubah (untuk variabel )
Integral kedua memiliki batas
Pertidaksamaan itu merupakan pertidaksamaan lingkaran dengan radius , sehingga diperoleh
Jadi,
Jadi, diperoleh
Soal Nomor 5
Perlihatkan dengan integral ganda dua bahwa volume bola berjari-jari adalah
Gunakan integral ganda dua (double integrals) dalam sistem koordinat polar. Persamaan umum bola yang berpusat di titik asal dan berjari-jari adalah
. Jika
dijadikan subjek persamaan, diperoleh
. Dalam koordinat polar, ditulis
. Batas integral yang ditentukan oleh variabel
dan
, yaitu
Karena bola bersifat simetris dengan bagian separuhnya, maka kita dapat menentukan volume bola dengan menghitung volume setengah bola dikali 2, yaitu
(Terbukti)
Selanjutnya, soal berikut merupakan soal UAS tahun-tahun sebelumnya yang diharapkan dapat melengkapi ilmu kita bersama.
Soal Nomor 6
Selidiki apakah fungsi berikut kontinu pada daerah definisinya.
Soal Nomor 7
Tentukan turunan parsial pertama dari
Ingat!!
( adalah fungsi terhadap variabel
)
Akan dicari turunan parsial pertama dari terhadap variabel
dan
.
(Turunan parsial pertama terhadap )
Anggap sebagai variabel dan
sebagai suatu konstanta.
(Turunan parsial pertama terhadap )
Anggap sebagai variabel dan
sebagai suatu konstanta.