Kondisi suatu grafik fungsi $y = f(x)$ mempunyai tiga keadaan, yaitu keadaan naik (kurva fungsi naik), keadaan turun (kurva fungsi turun), dan keadaan diam (kurva fungsi stasioner). Kali ini, kita akan membahas mengenai kondisi suatu fungsi ketika dalam keadaan diam (stasioner) beserta perluasannya.
Nilai Stasioner dan Titik Stasioner
Jenis-jenis Ekstrem Suatu Fungsi
Penentuan jenis-jenis ekstrem suatu fungsi dapat dilakukan dalam dua cara, yaitu uji turunan pertama dan uji turunan kedua.
a. Uji turunan pertama
Jika $f'(c) = 0$, maka $f(c)$ adalah nilai stasioner $f$ pada $x=c$. Nilai stasioner mungkin saja merupakan nilai balik maksimum, nilai balik minimum, atau titik belok horizontal pada grafik fungsi $f$. Jenis nilai-nilai stasioner ini dapat ditentukan dengsn memperhatikan tanda kepositivan $f'(x)$ di sekitar $x=c$.
- $f(x)$ mempunyai nilai balik maksimum $f(c)$ jika $f'(x)$ berganti tanda dari positif menjadi negatif saat melalui nol.
- $f(x)$ mempunyai nilai balik minimum $f(c)$ jika $f'(x)$ berganti tanda dari negatif menjadi positif saat melalui nol.
- $f(x)$ mempunyai titik belok horizontal pada $c$ jika $f'(x)$ tidak berganti tanda saat melalui nol.
Tafsiran geometri dari uji turunan pertama untuk menentukan jenis ekstrem fungsi dapat dilihat di bawah.
1) $f(x)$ mempunyai nilai balik maksimum $f(c)$ dan titik ekstrem $(c, f(c))$.
2) $f(x)$ mempunyai nilai balik minimum $f(c)$ dan titik ekstrem $(c, f(c))$.
3) $f(x)$ mempunyai titik belok horizontal pada $c$ dengan titik belok $(c, f(c))$. Dalam hal ini, $f(c)$ bukan nilai ekstrem fungsi.
b. Uji turunan kedua
Uji turunan kedua sangat diperlukan untuk menentukan titik belok kurva suatu fungsi. Uji turunan kedua pada penentuan jenis ekstrem fungsi juga didasari pada pengamatan tanda kepositivan $f'(c)$ di sekitar $x=c$ yang diperoleh dari $f'(x) = 0$. Uji turunan kedua diperlukan untuk fungsi polinomial berderajat tiga atau lebih.
Misalkan fungsi $f$ kontinu dan diferensiabel (dapat diturunkan) dalam interval $I$ yang memuat $x=c$. Turunan pertamanya adalah $f'(x)$, sedangkan turunan keduanya adalah $f^{\prime \prime}(x)$ pada interval $I$, serta $f'(c) = 0$ dengan $f(c)$ adalah nilai stasioner.
- Jika $f^{\prime \prime}(c) < 0$, maka $f(c)$ adalah nilai balik maksimum fungsi $f$.
- Jika $f^{\prime \prime}(c) > 0$, maka $f(c)$ adalah nilai balik minimum fungsi $f$.
- Jika $f^{\prime \prime}(c) = 0$, maka $f(c)$ bukan nilai ekstrem fungsi dan titik $(c, f(c))$ adalah titik belok kurva fungsi $f$.
Untuk memantapkan pemahaman, berikut ini telah disajikan sejumlah soal dan pembahasan terkait masalah nilai maksimum dan minimum menggunakan turunan (diferensial). Semoga bermanfaat.
Today Quote
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Fungsi $y = x^3-3x^2+3x-2$ mempunyai nilai stasioner $\cdots \cdot$
A. $x=0$ D. $y=0$
B. $x=1$ E. $y=-1$
C. $y=1$
Diketahui $f(x) = y = x^3-3x^2+3x-2$.
Nilai-nilai stasioner $f(x)$ didapat ketika $f'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} f'(x) & = 0 \\ 3x^2-6x+3 & = 0 \\ 3(x^2-2x+1) & = 0 \\ 3(x-1)^2 & = 0 \\ x & = 1 \end{aligned}$$Untuk $x = 1$, diperoleh nilai stasioner $\begin{aligned} f(1) & = (1)^3-3(1)^2+3(1)-2 \\ & = 1-3+3-2 \\ & = -1 \end{aligned}$
Jadi, nilai stasioner fungsi tersebut adalah $\boxed{ y = -1}$
(Jawaban E)
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Soal Nomor 2
Fungsi $f(x) = \dfrac13x^3-\dfrac12x^2+10$ akan stasioner pada saat nilai $x$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $-1$ D. $0$ atau $1$
B. $0$ E. $-1$ atau $1$
C. $1$
Diketahui $f(x) = \dfrac13x^3-\dfrac12x^2+10$.
Nilai-nilai stasioner $f(x)$ didapat ketika $f'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} f'(x) & = 0 \\ x^2-x & = 0 \\ x(x-1) & = 0 \\ x = 0~\text{atau}&~x = 1 \end{aligned}$$Jadi, fungsi $f(x) = \dfrac13x^3-\dfrac12x^2+10$ akan stasioner pada saat nilai $x$ sama dengan $\boxed{0~\text{atau}~1}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 3
Titik stasioner dari fungsi $g(x) = x^3-3x+3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(1,1)$ dan $(-1,-5)$
B. $(1,1)$ dan $(-1,5)$
C. $(1,1)$ dan $(1,-5)$
D. $(-1,1)$ dan $(1, 5)$
E. $(-1, -1)$ dan $(1, 5)$
Diketahui $g(x) = x^3-3x+3$.
Titik stasioner dicari saat $g'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} g'(x) & = 0 \\ 3x^2-3 & = 0 \\ 3(x^2-1) & = 0 \\ 3(x+1)(x-1) & = 0 \\ x = -1~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Untuk $x = -1$, diperoleh $f(-1) = (-1)^3-3(-1)+3 = -1+3+3 = 5$, sehingga titik stasionernya adalah $(-1, 5)$.
Untuk $x = 1$, diperoleh
$\begin{aligned} f(1) & = (1)^3-3(1)+3 \\ & = 1-3+3 = 1 \end{aligned}$
sehingga titik stasionernya adalah $(1, 1)$.
Jadi, fungsi $g$ memiliki dua titik stasioner, yaitu $\boxed{(-1, 5)~\text{dan}~(1,1)}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 4
Fungsi $p(x) = 2x^3-9x^2+12x$ mempunyai titik stasioner $\cdots \cdot$
A. $(1, 5)$ dan $(4, 2)$
B. $(1, 5)$ dan $(2, 4)$
C. $(-5, 1)$ dan $(2, 4)$
D. $(5, 1)$ dan $(2, 4)$
E. $(5, 1)$ dan $(4, 2)$
Diketahui $p(x) = 2x^3-9x^2+12x$.
Titik stasioner dicari saat $p'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} p'(x) & = 0 \\ 6x^2-18x + 12 & = 0 \\ 6(x^2-3x+2) & = 0 \\ 6(x-2)(x-1) & = 0 \\ x = 1~\text{atau}~x & = 2 \end{aligned}$$Untuk $x = 1$, diperoleh
$\begin{aligned} p(1) & = 2(1)^3-9(1)^2+12(1) \\ & = 2-9+12 = 5 \end{aligned}$
sehingga titik stasionernya adalah $(1, 5)$.
Untuk $x = 2$, diperoleh
$\begin{aligned} p(2) & = 2(2)^3-9(2)^2+12(2) \\ & = 16-36+24=4 \end{aligned}$
sehingga titik stasionernya adalah $(2,4)$.
Jadi, fungsi $p$ memiliki dua titik stasioner, yaitu $\boxed{(1, 5)~\text{dan}~(2, 4)}$
(Jawaban B)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Aljabar
Soal Nomor 5
Fungsi $f(t) = -2t^2+t+3$ mempunyai $\cdots \cdot$
A. nilai balik maksimum, $y = 0,25$
B. nilai balik minimum, $y = -\dfrac14$
C. nilai balik maksimum, $y = 3,125$
D. nilai balik minimum, $y = -3,125$
E. nilai balik maksimum, $y = 0,5$
Diketahui $f(t) = -2t^2+t+3$.
Titik stasioner dicari saat $f'(t) = 0$.
$$\begin{aligned} f'(t) & = 0 \\ -4t + 1 & = 0 \\ t & = \dfrac14 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua $f(t)$ adalah $f^{\prime \prime}(t) = -4$, sehingga untuk $t = \dfrac14$, diperoleh $f^{\prime \prime}\left(\dfrac14\right) = -4 < 0$. Ini artinya, nilai balik maksimum $f$ tercapai saat $t = \dfrac14$, yaitu
$$\begin{aligned}f\left(\dfrac14\right) & = -2\left(\dfrac14\right)^2+\dfrac14+3 \\ & = -\dfrac18 + \dfrac14 + 3 \\ & = \dfrac18+3 = 3,125 \end{aligned}$$Jadi, fungsi $f(t) = -2t^2+t+3$ mempunyai nilai balik maksimum, yaitu $y = 3,125$.
(Jawaban C)
Soal Nomor 6
Kurva fungsi $y = \dfrac{t^2 + 6t + 9}{3t^2}$ mempunyai titik balik $\cdots \cdot$
A. maksimum di $(-3, 0)$
B. minimum di $(-3, 0)$
C. maksimum di $\left(\dfrac23, \dfrac13\right)$
D. minimum di $\left(3, \dfrac43\right)$
E. maksimum di $(3, 0)$
Diketahui $y = \dfrac{t^2 + 6t + 9}{3t^2}$. Persamaan fungsi itu dapat diubah bentuknya sebagai berikut.
$$\begin{aligned} y & = \dfrac{t^2}{3t^2} + \dfrac{6t}{3t^2} + \dfrac{9}{3t^2} \\ & = \dfrac13 + \dfrac{2}{t} + \dfrac{3}{t^2} \\ & = \dfrac13 + 2t^{-1} + 3t^{-2} \end{aligned}$$Turunan pertamanya adalah
$$\begin{aligned} y’ & = 0 + (-2)t^{-2} + (-6)t^{-3} \\ & = -2t^{-2}-6t^{-3} \end{aligned}$$Titik stasioner dicari saat $y’ = 0$.
$$\begin{aligned} y’ & = 0 \\ -2t^{-2}-6t^{-3} & = 0 \\ \text{Kedua ruas}~&\text{dikalikan}~t^2 \\ -2-6t^{-1} & = 0 \\ t^{-1} & = -\dfrac13 \\ t & = -3 \end{aligned}$$Substitusi $t = 3$ pada $y$, kita peroleh
$$\begin{aligned} y & = \dfrac{t^2 + 6t + 9}{3t^2} \\ \Rightarrow y & = \dfrac{(-3)^2 + 6(-3) + 9}{3(-3)^2} \\ & = \dfrac{9-18+9}{27} = 0 \end{aligned}$$Jadi, titik baliknya adalah $(-3, 0$).
Untuk menentukan titik baliknya maksimum atau minimum, gunakan turunan kedua.
$$\begin{aligned} y^{\prime \prime} & = 4t^{-3} + 18t^{-4} \\ \Rightarrow y^{\prime \prime} & = 4(-3)^{-3} + 18(-3)^{-4} \\ & = \dfrac{4}{-27} + \dfrac{18}{81} \\ & = -\dfrac{4}{27} + \dfrac{6}{27} \\ & = \dfrac{2}{27} > 0 \end{aligned}$$Karena nilainya positif, maka itu berarti $(-3, 0)$ adalah titik balik minimum.
(Jawaban B)
Soal Nomor 7
Fungsi $y = t^2-5t+6$ mempunyai nilai ekstrem $\cdots \cdot$
A. maksimum di $y = -\dfrac14$
B. minimum di $y = -\dfrac14$
C. maksimum di $y = 2$
D. minimum di $y = 2$
E. minimum di $y = 6$
Diketahui $y = t^2-5t+6$.
Titik stasioner dicari saat $y’ = 0$.
$$\begin{aligned} 2t-5 & = 0 \\ 2t & = 5 \\ t & = \dfrac52 \end{aligned}$$Substitusi $t = \dfrac52$ pada $y$, kita peroleh
$$\begin{aligned} y & = \left(\dfrac52\right)^2-5\left(\dfrac52\right)+6 \\ & = \dfrac{25}{4}-\dfrac{25}{2}+6 \\ & = \dfrac{25-50+24}{4} = -\dfrac14 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua $y$ adalah $y^{\prime \prime}(t) = 2$, sehingga untuk $t = \dfrac52$, diperoleh $f^{\prime \prime}\left(\dfrac52\right) = 2 > 0$. Ini artinya, fungsi tersebut memiliki nilai ekstrem minimum di $y = -\dfrac14$.
(Jawaban B)
Soal Nomor 8
Titik balik maksimum dari kurva $f(x) = \dfrac14x^4-2x^2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(-2, -4)$ D. $(2, -4)$
B. $(-2, 4)$ E. $(2, 4)$
C. $(0, 0)$
Diketahui $f(x) = \dfrac14x^4-2x^2$.
Titik stasioner dicari saat $f'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} x^3-4x & = 0 \\ x(x^2-4) & = 0 \\ x(x+2)(x-2) & = 0 \\ x = 0~\text{atau}~x & = -2~\text{atau}~x = 2 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua fungsi $f$ adalah $f^{\prime \prime}(x) = 3x^2-4$.
Substitusi $x = 0$ menghasilkan $f^{\prime \prime}(0) = 3(0)^2-4 = -4 < 0$.
Substitusi $x = -2$ menghasilkan $f^{\prime \prime}(-2) = 3(-2)^2-4 = 8 > 0$.
Substitusi $x = 2$ menghasilkan $f^{\prime \prime}(2) = 3(2)^2-4 = 8 > 0$.
Karena $f^{\prime \prime}(0)$ bernilai negatif, maka itu berarti titik $x = 0$ merupakan absis titik balik maksimum
Substitusi $x = 0$ pada $f(x)$, kita peroleh
$$\begin{aligned} f(x) & = \dfrac14x^4-2x^2 \\ \Rightarrow f(0) & = \dfrac14(0)^4-2(0)^2 = 0 \end{aligned}$$Jadi, titik balik maksimum fungsi $f$ adalah $\boxed{(0,0)}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 9
Fungsi $f(x) = 4x^3-18x^2+15x-20$ akan mencapai maksimum saat nilai $x = \cdots \cdot$
A. $3,0$ D. $1,5$
B. $2,5$ E. $0,5$
C. $2,0$
Diketahui $f(x) = 4x^3-18x^2+15x-20.$
Akan dicari nilai $x$ saat $f$ stasioner.
$$\begin{aligned} f'(x) & = 0 \\ 12x^2-36x+15 & = 0 \\ 3(4x^2-12x+5) & = 0 \\ 3(2x-1)(2x-5) & = 0 \\ x = \dfrac12~\text{atau}~x & = \dfrac52 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa turunan kedua fungsi $f$ adalah $f^{\prime \prime}(x) = 24x-36$.
Sekarang, uji nilai turunan kedua $f$ untuk $x = \dfrac12$ dan $x = \dfrac52$.
$$\begin{aligned} f^{\prime \prime}\left(\dfrac12\right) & = 24\left(\dfrac12\right)-36 = -24 < 0 \\ f^{\prime \prime}\left(\dfrac52\right) & = 24\left(\dfrac52\right)-36 = 24 > 0 \end{aligned}$$Karena $f^{\prime \prime}\left(\dfrac12\right)$ bernilai negatif, maka itu berarti nilai fungsi $f$ mencapai maksimum saat nilai $\boxed{x=\dfrac12=0,5}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 10
Fungsi $f(x) = nx^2-4x+n+2$ mempunyai nilai minimum $1$ apabila $n = \cdots \cdot$
A. $4$ D. $2$
B. $4$ atau $-1$ E. $-2$
C. $4$ atau $1$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Menggunakan Limit
Soal Nomor 11
Nilai maksimum dari fungsi $f(t) = t + \sqrt{a-2t}$ adalah $10$. Nilai $a$ adalah $\cdots \cdot$
A. $23$ C. $17$ E. $12$
B. $19$ D. $14$
Soal Nomor 12
Koordinat titik belok dari fungsi $f(x) = \dfrac14x^4-2x^2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(-2, -4)$ dan $(2, 4)$
B. $(2, 4)$ dan $(-2, 4)$
C. $(-2, -4)$ dan $(2, -4)$
D. $\left(-\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right)$ dan $\left(\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right)$
E. $\left(\dfrac13\sqrt3, 4\right)$ dan $\left(-\dfrac12\sqrt3, -4\right)$
Diketahui $f(x) = \dfrac14x^4-2x^2$. Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} f'(x) & = x^3-4x \\ f^{\prime \prime}(x) & = 3x^2-4 \end{aligned}$$Titik belok kurva fungsi $f$ dicapai saat $f^{\prime \prime}(x) = 0$.
Kita peroleh
$$\begin{aligned} 3x^2-4 & = 0 \\ x^2 & = \dfrac43 \\ x & = \pm \sqrt{\dfrac43} \\ x & = \pm \dfrac{2}{\sqrt3} = \pm \dfrac23\sqrt3 \end{aligned}$$Selanjutnya, substitusikan dua nilai $x$ tersebut pada $f(x)$.
$$\begin{aligned} f(x) & = \dfrac14x^4-2x^2 \\ \Rightarrow f\left(\dfrac23\sqrt3\right) & = \dfrac14 \cdot \left(\dfrac43\right)^2-2 \cdot \dfrac43 \\ & = \dfrac49-\dfrac83 = -\dfrac{20}{9} \\ f\left(-\dfrac23\sqrt3\right) & = \dfrac14 \cdot \left(\dfrac43\right)^2-2 \cdot \dfrac43 \\ & = \dfrac49-\dfrac83 = -\dfrac{20}{9} \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik belok fungsi $f$ adalah $\boxed{\left(-\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right)}$ dan $\boxed{\left(\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right)}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 13
Nilai minimum fungsi $f(x) = x^3 + 3x^2-9x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $27$ D. $-5$
B. $5$ E. $-27$
C. $0$
Diketahui $f(x) = x^3+3x^2-9x$.
Akan dicari nilai $x$ sehingga $f$ stasioner.
$$\begin{aligned} f'(x) & = 0 \\ 3x^2+6x-9 & = 0 \\ 3(x^2+2x-3) & = 0 \\ 3(x+3)(x-1) & = 0 \\ x = -3~\text{atau}~x&=1 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua fungsi $f$ adalah $f^{\prime \prime}(x) = 6x + 6$.
Substitusi $x = -3$ menghasilkan $f^{\prime \prime}(-3) = 6(-3) + 6 = -12 < 0$.
Substitusi $x = 1$ menghasilkan $f^{\prime \prime}(1) = 6(1) + 6 = 12 > 0$.
Ini berarti, fungsi $f$ minimum ketika $x = 1$, yaitu $\boxed{f(1) = (1)^3+3(1)^2-9 = -5}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 14
Selisih nilai maksimum dan minimum dari fungsi $f(x) = \dfrac13x^3+\dfrac12x^2-2x+5$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac12$ C. $\dfrac52$ E. $\dfrac92$
B. $\dfrac32$ D. $\dfrac72$
Diketahui $f(x) = \dfrac13x^3+\dfrac12x^2-2x+5.$
Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} f'(x) & = x^2+x-2 \\ f^{\prime \prime}(x) & = 2x+1 \end{aligned}$$Absis titik stasioner dicari ketika $f'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} x^2+x-2 & = 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \\ x = -2~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Selanjutnya, uji dua nilai $x$ tersebut pada $f^{\prime \prime}(x) = 2x+1$.
$$\begin{aligned} f^{\prime \prime}(-2) & = 2(-2) + 1 = -3 < 0 \\ f^{\prime \prime}(1) & = 2(1)+1 = 3 > 0 \end{aligned}$$Dapat disimpulkan bahwa fungsi $f$ mencapai nilai maksimum di $x = -2$ dan mencapai nilai minimum di $x = 1$.
$$\begin{aligned} f(-2) & = \dfrac13(-2)^3+\dfrac12(-2)^2-2(-2) + 5 \\ & = -\dfrac83 + 2+4+5 = \dfrac{25}{3} && (\text{maksimum}) \\ f(1) & = \dfrac12(1)^3 + \dfrac13(1)^2-2(1) + 5 \\ & = \dfrac13 + \dfrac12-2+5 = \dfrac{23}{6} && (\text{minimum}) \end{aligned}$$Dengan demikian, selisih nilai maksimum dan minimum fungsi $f$ adalah $$\boxed{\dfrac{25}{3}-\dfrac{23}{6} = \dfrac{27}{6} = \dfrac92}$$(Jawaban E)
Soal Nomor 15
Nilai maksimum dari fungsi $f(x) = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+9$ pada interval $0 \leq x \leq 3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $9$ C. $\dfrac92$ E. $\dfrac32$
B. $4$ D. $\dfrac{23}{6}$
Diketahui $f(x) = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+9.$
Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} f'(x) & = x^2-3x \\ f^{\prime \prime}(x) & = 2x-3 \end{aligned}$$Absis titik stasioner dicari ketika $f'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} x^2-3x & = 0 \\ x(x-3) & = 0 \\ x = 0~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Uji kedua nilai $x$ tersebut pada $f^{\prime \prime}(x) = 2x-3$.
$$\begin{aligned} f^{\prime \prime}(0) & = 2(0)-3= -3 < 0 \\ f^{\prime \prime}(3) & = 2(3)-3 = 3 > 0 \end{aligned}$$Ini berarti, nilai maksimum lokal fungsi $f$ tercapai saat $x = 0$ karena $f^{\prime \prime}(0)$ bernilai negatif.
Substitusi $x = 0$ pada $f(x)$, diperoleh $f(0) = \dfrac13(0)^3-\dfrac32(0)^2+9=9.$ Jadi, nilai maksimum dari fungsi $f(x) = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+9$ pada interval $0 \leq x \leq 3$ adalah $\boxed{9}$
(Jawaban A)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Garis Singgung Menggunakan Turunan
Soal Nomor 16
Nilai maksimum fungsi $$f(x) = 4x^3 + px^2 + 15x-20$$ dicapai oleh $x = \dfrac12$, maka nilai minimum $f(x)$ dicapai pada $x = \cdots \cdot$
A. $1$ C. $2$ E. $3$
B. $\dfrac35$ D. $\dfrac52$
Diketahui $f(x) = 4x^3 + px^2 + 15x-20.$
Turunan pertama fungsi $f$ adalah sebagai berikut.
$$f'(x) = 12x^2+2px + 15$$Karena diketahui bahwa $x = \dfrac12$ membuat nilai fungsi $f$ maksimum, maka substitusi $x = \dfrac12$ harus membuat $f’\left(\dfrac12\right) = 0$.
$$\begin{aligned} 12\left(\dfrac12\right)^2 + 2p \cdot \left(\dfrac12\right) + 15 & = 0 \\ 3 + p + 15 & = 0 \\ p & = -18 \end{aligned}$$Sekarang,
$f(x) = 4x^3-18x^2+15x-20.$
Turunan pertama dan keduanya adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} f'(x) & = 12x^2-36x +15 \\ f^{\prime \prime}(x) & = 24x-36 \end{aligned}$$Akan dicari nilai $x$ sehingga $f$ stasioner, yaitu ketika $f'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} 12x^2-36x+15 & = 0 \\ 3(4x^2-12x+5) & = 0 \\ 3(2x-1)(2x-5) & = 0 \\ x = \dfrac12~\text{atau}~x & = \dfrac52 \end{aligned}$$Nilai $x = \dfrac12$ diketahui membuat nilai $f$ maksimum. Sekarang, akan dicek untuk $x = \dfrac52$ dengan cara substitusi pada $f^{\prime \prime}(x) = 24x-36$.
$$\begin{aligned} f^{\prime \prime}\left(\dfrac52\right) & = 24\left(\dfrac52\right)-36 = 24 > 0 \end{aligned}$$Karena nilainya positif, maka $x = \dfrac52$ membuat nilai $f$ minimum.
(Jawaban D)
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Turunan Fungsi Implisit
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Fungsi $y = \dfrac13(n-2)^2x^3 + x^2-5nx$ mempunyai nilai minimum $-27$ untuk $x=3.$ Tentukan nilai $n$.
Diketahui $y = \dfrac13(n-2)^2x^3 + x^2-5nx.$
Substitusi $x = 3$ dan $y = -27$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} -27 & = \dfrac13(n-2)^2(3)^3 + 3^2-5n(3) \\ -27 & = \dfrac13(n^2-4n+4)(27) + 9-15n \\ -27 & = 9(n^2-4n+4) + 9-15n \\ 0 & = 9n^2-51n+72 \\ 0 & = 3n^2-17n+24 \\ 0 & = (3n -8)(n-3) \end{aligned}$$Diperoleh dua nilai $n$, yaitu $n = \dfrac83$ atau $n = 3$.
Periksa bahwa jika kita pilih $n = 3$, maka
$$\begin{aligned} y & = \dfrac13(3-2)^2x^3 + x^2-5(3)x \\ & = \dfrac13x^3+x^2-15x \end{aligned}$$sehingga turunan pertama dan keduanya adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} y’ & = x^2+2x-15 \\ y^{\prime \prime} & = 2x+2 \end{aligned}$$Nilai $x$ yang membuat $f$ stasioner dicari ketika $y’ = 0$.
$$\begin{aligned} x^2+2x-15 & = 0 \\ (x+5)(x-3) & = 0 \\ x = -5~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Substitusi $x = 3$ pada $y^{\prime \prime} = 2x+2$, sehingga diperoleh $y^{\prime \prime} = 2(3)+2 = 8 > 0.$ Berarti nilai $f$ minimum tercapai saat $x = 3$. Jadi, nilai $n$ adalah $\boxed{3}$
Soal Nomor 2
Fungsi kuadrat $f(x) = ax^2+bx+4$ mempunyai koordinat titik balik maksimum di $(1, -1)$. Hitunglah nilai $ab$.
Diketahui $f(x) = ax^2+bx+4.$
Karena grafik melalui titik $(1, -1)$, maka substitusikan $x=1$ dan $y=-1$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} a(1)^2+b(1)+4 & = -1 \\ a+b & = -5 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Nilai $x = 1$ diketahui membuat $f$ stasioner, dicari ketika $f'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} f'(x) & = 2ax +b \\ 0 & = 2a(1)+b \\ b & = -2a && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh $a = 5$ dan $b = -10$, sehingga nilai $\boxed{ab = 5(-10) = -50}$
Soal Nomor 3
Tentukan nilai $a$ dan $b$ sedemikian sehingga $f(x) = a\sqrt{x} + \dfrac{b}{\sqrt{x}}$ mempunyai titik balik $(4, 13)$.
Diketahui $f(x) = a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}}.$
Karena $(4, 13)$ dilalui oleh grafik fungsi tersebut, maka substitusikan $x = 4$ dan $y = 13$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} 13 & = a\sqrt{4} + \dfrac{b}{\sqrt4} \\ 13 & = 2a + \dfrac{b}{2} \\ \text{Kalikan}~&\text{kedua ruas dengan}~2 \\ 26 & = 4a + b && (\cdots 1) \end{aligned}$$Nilai $x = 4$ diketahui membuat $f$ stasioner, dicari ketika $f'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} f(x) & = ax^{\frac12} + bx^{-1/2} \\ \Rightarrow f'(x) & = \dfrac12ax^{-\frac12}-\dfrac12bx^{-\frac32} \\ f'(x) & = \dfrac{a}{2\sqrt{x}}-\dfrac{b}{2x\sqrt{x}} \\ 0 & = \dfrac{a}{2\sqrt4}-\dfrac{b}{2(4)\sqrt4} \\ 0 & = \dfrac{a}{4}-\dfrac{b}{16} \\ \text{Kalikan}~&\text{kedua ruas dengan}~16 \\ 0 & = 4a-b && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh $a=\dfrac{13}{3}$ dan $b=13$.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan (Diferensial)
Soal Nomor 4
Carilah (jika mungkin) nilai-nilai maksimum dan minimum dari fungsi $f(x) = x^2 + x^{-2}$.
Diketahui $f(x)=x^2+x^{-2}$.
Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} f'(x) & = 2x-2x^{-3} \\ f^{\prime \prime}(x) & = 2+6x^{-4} \end{aligned}$$Nilai $x$ yang membuat $f$ stasioner dapat dicari ketika $f'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} 2x-2x^{-3} & = 0 \\ \text{Kalikan kedua}&~\text{ruas dengan}~x^3 \\ 2x^4-2 & = 0 \\ x^4 & = 1 \\ x & = \pm 1 \end{aligned}$$Substitusi dua nilai $x$ ini pada $f^{\prime \prime}(x) = 2+6x^{-4}$.
$$\begin{aligned} f^{\prime \prime}(-1) & = 2+6(-1)^{-4} = 2+6 = 8 > 0 \\ f^{\prime \prime}(1) & = 2+6(-1)^{-4} = 2+6 = 8>0 \end{aligned}$$Karena keduanya bernilai positif, maka $x = -1$ dan $x = 1$ membuat $f$ mencapai minimum. Nilai minimumnya dapat dicari dengan melakukan substitusi kedua nilai tersebut pada $f(x) = x^2+x^{-2}$.
$$\begin{aligned} f(-1) & = (-1)^2+(-1)^{-2} = 1+1 = 2 \\ f(1) & = (1)^2 + (1)^{-2} = 1+1= 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai minimum fungsi $f$ adalah $\boxed{2}$, sedangkan nilai maksimumnya tidak ada. Grafik fungsi $f$ dapat dilihat pada gambar di bawah.
Soal Nomor 5
Buktikan bahwa setiap fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$, dengan $a \neq 0$, mempunyai tepat satu titik kritis.
Diketahui $f(x) = ax^2+bx+c$.
Turunan pertama fungsi kuadrat tersebut adalah $f'(x) = 2ax + b$. $f$ stasioner ketika $f'(x) = 0$, sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} 2ax + b & = 0 \\ 2ax & = -b \\ x & = -\dfrac{b}{2a} \end{aligned}$$Substitusikan $x = -\dfrac{b}{2a}$ pada $f(x)$, diperoleh
$$\begin{aligned} f\left(-\dfrac{b}{2a}\right) & = a\left(-\dfrac{b}{2a}\right)^2 + b \cdot \left(-\dfrac{b}{2a}\right) + c \\ & = \dfrac{b^2}{4a}-\dfrac{b^2}{2a} + c \\ & = \dfrac{b^2-2b^2+4ac}{4a} \\ & = \dfrac{-b^2+4ac}{4a} \\ & = -\dfrac{b^2-4ac}{4a} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa setiap fungsi kuadrat mempunyai tepat satu titik kritis, yaitu $\boxed{\left(-\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right)}$