Materi, Soal, dan Pembahasan – Kurva Indiferens

Diketahui persamaan kurva indiferens $xy+5x+2y=a-10$. Jumlah maksimum barang $y$ tercapai ketika $x=0$. Karena tingkat kepuasan $a=50$, maka dengan substitusi diperoleh
$$\begin{array}{rl}xy+5x+2y& =a-10\\ \Rightarrow 0y+5(0)+2y& =50-10\\ 2y& =40\\ y& =20\end{array}$$Jadi, jumlah maksimum barang $y$ yang dapat dikonsumsi bila tingkat kepuasannya sebesar $50$ adalah $\boxed{{\displaystyle 20}}$ unit.
(Jawaban B)

Diketahui persamaan kurva indiferens $x+y-\sqrt{2xy}=a.$
Karena $x=3$ dan $a=15$, maka dengan substitusi diperoleh
$$\begin{array}{rl}x+y-\sqrt{2xy}& =a\\ 3+y-\sqrt{6y}& =15\\ y-12& =\sqrt{6y}\\ \text{Kuadratkan}& \text{kedua ruas}\\ (y-12{)}^2& =(\sqrt{6y}{)}^2\\ y^2-24y+144& =6y\\ y^2-30y+144& =0\\ (y-24)(y-6)& =0\\ y=24\text{atau}y& =6\end{array}$$Bila tidak ada barang $x$ yang dikonsumsi, jumlah barang $y$ yang harus dikonsumsi agar tingkat kepuasannya tetap $15$ satuan adalah $y=15$. Oleh karena itu, pada tingkat kepuasan yang sama, tidak mungkin ia mengonsumsi sebanyak $24$ unit (tidak mungkin melebihi $15$). Jadi, kita simpulkan bahwa jumlah barang $y$ yang harus dikonsumsi adalah $\boxed{{\displaystyle 6}}$ unit.
(Jawaban B)

Diketahui persamaan garis anggaran (budget line equation) dinyatakan oleh $2x+y=6$, ekuivalen dengan $y=6-2x$. Sekarang, substitusikan nilai $y$ ini pada persamaan kurva indiferens.
$$\begin{array}{rl}3x^2-2xy+2y^2& =a\\ 3x^2-2x(6-2x)+2(6-2x{)}^2-a& =0\\ 3x^2-12x+4x^2+2(36-24x+4x^2)-a& =0\\ 15x^2-60x+(72-a)& =0\end{array}$$Persamaan garis anggaran dan kurva indiferens akan bersinggungan ketika persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan $D=0$.
$$\begin{array}{rl}{b}^2-4ac& =0\\ {(-60)}^2-4(15)(72-a)& =0\\ 3.600-4.320+60a& =0\\ -720+60a& =0\\ 60a& =720\\ a& =12\end{array}$$Jadi, persamaan kuadratnya berbentuk
$$\begin{array}{rl}15x^2-60x+(72-12)& =0\\ 15x^2-60x+60& =0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& (15)\\ x^2-4x+4& =0\\ (x-2)(x-2)& =0\\ x& =2\end{array}$$Untuk $x=2$, diperoleh
$$\begin{array}{rl}y& =6-2x\\ & =6-2(2)=2\end{array}$$Jadi, jumlah barang $x$ dan $y$ yang dibeli oleh konsumen adalah $\boxed{{\displaystyle x=2,y=2}}$
(Jawaban A)

Cek Pernyataan A:
Kurva indiferens yang berbentuk lengkungan dapat direpresentasikan oleh persamaan elips dan lingkaran, khususnya pada bagian lengkungan dengan arah kemiringan negatif (bagian kiri bawah). Perlu diketahui bahwa lingkaran adalah elips khusus, yaitu elips yang sumbu mayor minornya sama panjang (yang selanjutnya disebut sebagai jari-jari). Jadi, pernyataan pada opsi A benar.
Cek Pernyataan B:
Kurva indiferens memiliki arah kemiringan (slope) yang bernilai negatif. Ini artinya kurvanya akan cekung terhadap titik asal (titik pusat koordinat). Jadi, pernyataan pada opsi B salah.
Cek Pernyataan C:
Mengubah parameter $a$ pada persamaan kurva indiferens tidak akan menghasilkan kurva yang saling memotong satu sama lain. Jadi, pernyataan pada opsi C salah.
Cek Pernyataan D:
Menurut definisinya, kurva indiferens adalah kurva yang menghubungkan titik-titik kombinasi dari sejumlah barang tertentu yang dikonsumsi dan memberikan tingkat kepuasan yang sama, atau keadaan di mana konsumen berada dalam keadaan indiferen dalam mengkonsumsi berbagai jenis barang. Jadi, pernyataan pada opsi D salah.
Cek Pernyataan E:
Kurva indiferens umumnya berbentuk lengkungan yang cekung terhadap titik pusat koordinat. Ada juga kurva indiferens yang bentuknya garis lurus. Hal ini terjadi ketika konsumen hanya memperhatikan total dari banyaknya dua barang yang ada, tanpa memperhatikan utilitas masing-masing barang.
Dengan demikian, kurva indiferens tidak selalu berbentuk garis lurus. Jadi, pernyataan pada opsi E salah.
(Jawaban A)

Karena persamaan garis anggaran (budget line equation) dinyatakan oleh $5y+6x=60$, maka dapat kita tuliskan menjadi
$$\begin{array}{rl}5y& =60-6x\\ y& ={\displaystyle \frac{60-6x}{5}}\end{array}$$Sekarang, substitusikan nilai $y$ ini pada persamaan kurva indiferens.
$$\begin{array}{rl}xy& =a\\ x\cdot {\displaystyle \frac{60-6x}{5}}& =a\\ \text{Kedua ruas dikali}& 5\\ x(60-6x)& =5a\\ -6x^2+60x-5a& =0\end{array}$$Persamaan garis anggaran dan kurva indiferens akan bersinggungan ketika persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan $D=0$.
$$\begin{array}{rl}{b}^2-4ac& =0\\ {(60)}^2-4(-6)(-5a)& =0\\ 3600-120a& =0\\ 120a& =3600\\ a& =30\end{array}$$Jadi, persamaan kuadratnya berbentuk
$$\begin{array}{rl}-6x^2+60x-5(30)& =0\\ -6x^2+60x-150& =0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& (-6)\\ x^2-10x+25& =0\\ (x-5)(x-5)& =0\\ x& =5\end{array}$$Untuk $x=5$, diperoleh
$$\begin{array}{rl}y& ={\displaystyle \frac{60-6x}{5}}\\ & ={\displaystyle \frac{60-6(5)}{5}}\\ & =6\end{array}$$Jadi, jumlah barang $x$ yang dikonsumsi sebanyak $5$ unit, sedangkan jumlah barang $y$ yang dikonsumsi sebanyak $6$ unit.
Grafik kurva indiferens $xy=30$ dan garis anggaran $5y+6x=60$ dapat dilihat dari gambar berikut. Tampak bahwa kedua grafik bersinggungan di titik $(5,6)$.

Diketahui $(x+2)(y+1)=a.$
Telah kita ketahui bahwa kurva indiferens selalu melengkung dari kiri atas menuju kanan bawah. Kemudian untuk mencari titik potongnya terhadap sumbu-$X$, asumsikan nilai $y=0.$
Jadi, diperoleh
$$\begin{array}{rl}(x+2)(0+1)& =a\\ x+2& =a\\ x& =a-2\end{array}$$Dengan demikian, kita dapatkan
$$\begin{array}{rl}a=8& \Rightarrow x=8-2=6\\ a=10& \Rightarrow x=10-2=8\\ a=20& \Rightarrow x=20-2=18\end{array}$$Jadi, titik potong kurva indiferens terhadap sumbu-$X$ adalah $(6,0)$, $(8,0)$, dan $(18,0)$.
Berikutnya, untuk mencari titik potongnya terhadap sumbu-$Y$, asumsikan nilai $x=0.$
Jadi, diperoleh
$$\begin{array}{rl}(0+2)(y+1)& =a\\ y+1& ={\displaystyle \frac{a}{2}}\\ y& ={\displaystyle \frac{a}{2}}-1\end{array}$$Dengan demikian, kita dapatkan
$$\begin{array}{rl}a=8& \Rightarrow y={\displaystyle \frac{8}{2}}-1=3\\ a=10& \Rightarrow y={\displaystyle \frac{10}{2}}-1=4\\ a=20& \Rightarrow y={\displaystyle \frac{20}{2}}-1=9\end{array}$$Jadi, titik potong kurva indiferens terhadap sumbu-$Y$ adalah $(0,3)$, $(0,4)$, dan $(0,9)$.
Jadi, sketsa kurva indiferens dapat dilihat seperti gambar.

Diketahui persamaan kurva indiferens $xy+y+6x=a-6$.
Jawaban a)
Karena tingkat kepuasan $a=30$, maka dengan substitusi kita peroleh
$$\begin{array}{r}xy+y+6x=30-6\\ xy+y+6x+6& =30\\ y(x+1)+6(x+1)& =30\\ (y+6)(x+1)& =30\end{array}$$Diperoleh titik pusat hiperbola, yakni $(-1,-6)$.
Jawaban b)
Jumlah maksimum barang $x$ yang dapat dikonsumsi dapat dicari ketika $y=0$.
Kita peroleh
$$\begin{array}{rl}xy+y+6x& =a-6\\ \Rightarrow x(0)+0+6x& =30-6\\ 6x& =24\\ x& =4\end{array}$$Jadi, jumlah maksimum barang $x$ yang dapat dikonsumsi adalah $\boxed{{\displaystyle 4}}$ unit.

Diketahui persamaan kurva indiferens $(x+2)(y+1)=a$.
Pertama, akan dicari persamaan garis anggaran dulu.
Apabila konsumen membelanjakan seluruh uangnya hanya untuk membeli barang $x$, maka ia akan memperoleh ${\displaystyle \frac{130}{4}}={\displaystyle \frac{65}{2}}$ unit. Diperoleh titik $A({\displaystyle \frac{65}{2}},0)$.
Apabila konsumen membelanjakan seluruh uangnya hanya untuk membeli barang $y$, maka ia akan memperoleh ${\displaystyle \frac{130}{6}}={\displaystyle \frac{65}{3}}$ unit. Diperoleh titik $B(0,{\displaystyle \frac{65}{3}})$.
Persamaan garis anggaran melalui kedua titik tersebut. Dengan menggunakan skema seperti berikut, kita peroleh bentuk persamaannya.
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{65}{2}}y& =-{\displaystyle \frac{65}{3}}x+{\displaystyle \frac{4225}{6}}\\ \text{Kedua}& \text{ruas dikali}{\displaystyle \frac{6}{65}}\\ 3y& =-2x+65\end{array}$$Dari persamaan kurva indiferens, substitusikan $3y=-2x+65$.
$$\begin{array}{rl}(x+2)(y+1)& =a\\ (x+2)(3y+3)& =3a\\ (x+2)((-2x+65)+3)& =3a\\ (x+2)(-2x+68)& =3a\\ -2x^2+64x+(136-3a)& =0\end{array}$$Persamaan garis anggaran dan kurva indiferens akan bersinggungan ketika persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan $D=0$.
$$\begin{array}{rl}{b}^2-4ac& =0\\ {(64)}^2-4(-2)(136-3a)& =0\\ 4.096+1.088-24a& =0\\ 5.184-24a& =0\\ 24a& =5.184\\ a& =216\end{array}$$Jadi, persamaan kuadratnya berbentuk
$$\begin{array}{rl}-2x^2+64x+(136-3(216))& =0\\ -2x^2+64x-512& =0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& (-2)\\ x^2-32x+256& =0\\ (x-16)(x-16)& =0\\ x& =16\end{array}$$Untuk $x=16$, diperoleh
$$\begin{array}{rl}3y& =-2x+65\\ 3y& =-2(16)+65\\ 3y& =33\\ y& =11\end{array}$$Jadi, jumlah barang $x$ dan $y$ yang harus dikonsumsi agar mendapatkan kepuasan maksimum berturut-turut adalah $\boxed{{\displaystyle 16}}$ unit dan $\boxed{{\displaystyle 11}}$ unit.