Materi, Soal, dan Pembahasan – Vektor dalam Fisika

Diketahui $F_1 = 5\sqrt3$ N dan $F_2 = 5$ N serta $\theta = 90^\circ$ (siku-siku). Besar resultan kedua vektor tersebut dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} F_R & = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta} \\ & = \sqrt{(5\sqrt3)^2 + (5)^2 + 2(5\sqrt3)(5) \cos 90^\circ} \\ & = \sqrt{75 + 25 + 2(5\sqrt3)(5)(0) } \\ & = \sqrt{100} \\ & = 10~\text{N}. \end{aligned}$$Jadi, besar resultan kedua vektor tersebut adalah $\boxed{10}$ N. Sementara itu, arahnya dinyatakan oleh
$$\tan \alpha = \dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{5}{5\sqrt3} = \dfrac13\sqrt3$$sehingga $\alpha = 30^\circ.$ Jadi, arah resultan kedua vektor tersebut adalah $\boxed{30^\circ}.$
(Jawaban B)

Misalkan kedua vektor tersebut dinotasikan oleh $F_1 = 8$ N dan $F_2 = 4$ N serta $\theta = 120^\circ.$ Besar resultan kedua vektor tersebut dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} F_R & = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta} \\ & = \sqrt{(8)^2 + (4)^2 + 2(8)(4) \cos 120^\circ} \\ & = \sqrt{64 + 16 + 2(8)(4) \cdot \left(-\dfrac12\right)} \\ & = \sqrt{80-32} \\ & = \sqrt{48} \\ & = 4\sqrt{3}~\text{N}. \end{aligned}$$Jadi, besar resultan kedua vektor tersebut adalah $\boxed{4\sqrt3}$ N.
(Jawaban D) 

Misalkan kedua vektor kecepatan tersebut dinotasikan oleh $F_1 = 20$ m/s dan $F_2 = 40$ m/s serta $\theta = 60^\circ.$ Selisih kedua vektor tersebut dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} F_S & = \sqrt{F_1^2 + F_2^2-2F_1F_2 \cos \theta} \\ & = \sqrt{(20)^2 + (40)^2 -2(20)(40) \cos 60^\circ} \\ & = \sqrt{400 + 1.600- 2(20)(40) \cdot \dfrac12 } \\ & = \sqrt{2.000-800} \\ & = \sqrt{1.200} \\ & = 20\sqrt{3}~\text{m/s}. \end{aligned}$$Jadi, selisih kedua vektor tersebut adalah $\boxed{20\sqrt3}$ m/s
(Jawaban C)

Diketahui gaya tim Slebew adalah $F_w = 800$ N ke arah timur, sedangkan gaya tim Skibidi adalah $F_i = 720$ N ke arah barat. Karena kedua gaya saling berlawanan, resultan gayanya dihitung dengan cara mencari selisihnya, yaitu
$$F_R = F_w-F_i = 800-720 = 80~\text{N}.$$Dalam hal ini, tim Slebew memenangkan perlombaan karena gayanya lebih besar.
(Jawaban B)

Gambar berikut mengilustrasikan situasi yang dideskripsikan pada soal.
Diketahui $v = 10$ m/s dan $\theta = 60^\circ.$ Dengan menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku yang terbentuk, besar vektor uraiannya pada sumbu-$X$ adalah
$$\begin{aligned} v_x& = v \cdot \cos \theta \\ & = 10 \cdot \cos 60^\circ \\ & = 10 \cdot \dfrac12 = 5~\text{m/s}. \end{aligned}$$Sementara itu, besar vektor uraiannya pada sumbu-$Y$ adalah
$$\begin{aligned} v_y& = v \cdot \sin \theta \\ & = 10 \cdot \sin 60^\circ \\ & = 10 \cdot \dfrac12\sqrt3 = 5\sqrt3~\text{m/s}. \end{aligned}$$Jadi, besar masing-masing vektor uraiannya berturut-turut pada sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$ adalah $5$ m/s dan $5\sqrt3$ m/s.
(Jawaban B)

Gambar berikut mengilustrasikan situasi yang dideskripsikan pada soal.
Diketahui $v = 40$ km/jam dan $\theta = 30^\circ.$ Dengan menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku yang terbentuk, besar vektor uraiannya pada sumbu-$X$ adalah
$$\begin{aligned} v_x& = v \cdot \cos \theta \\ & = 40 \cdot \cos 30^\circ \\ & = 40 \cdot \dfrac12\sqrt3 = 20\sqrt3~\text{km/jam}. \end{aligned}$$Sementara itu, besar vektor uraiannya pada sumbu-$Y$ adalah
$$\begin{aligned} v_y& = v \cdot \sin \theta \\ & = 40 \cdot \sin 30^\circ \\ & = 40 \cdot \dfrac12 = 20~\text{km/jam}. \end{aligned}$$Jadi, besar komponen vektor kecepatan tersebut pada sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$ berturut-turut adalah $20\sqrt3~\text{km/jam}$ dan $20~\text{km/jam}.$
(Jawaban D)

Uraikan ketiga vektor gaya tersebut terhadap sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$ seperti gambar berikut.
Karena setiap petak mewakili ukuran $1$ N, masing-masing besar vektor hasil uraiannya dapat ditentukan seperti yang tampak pada tabel berikut. Sebagai informasi, disepakati bahwa besar vektor ke kanan dan ke atas bertanda positif, sebaliknya berarti negatif.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Vektor Gaya} & \text{Sumbu-}X & \text{Sumbu-}Y \\ \hline F_1 & F_{1x} = -3 & F_{1y} = 8 \\ F_2 & F_{2x} = 4 & F_{2y} = 6 \\ F_3 & F_{3x} = 11 & F_{3y} = -5 \\ \hline \text{Total} & F_x = 12 & F_y = 9 \\ \hline \end{array}$$Dengan demikian, resultannya dapat dihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras.
$$\begin{aligned} F_R & = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} \\ & = \sqrt{12^2 + 9^2} \\ & = \sqrt{225} = 15. \end{aligned}$$Jadi, resultan ketiga vektor gaya tersebut adalah $\boxed{15}$ N.
(Jawaban E)

Beri nama setiap vektor gaya yang ada pada gambar dengan $F_1, F_2,$ dan $F_3,$ kemudian uraikan vektornya terhadap sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$ seperti gambar berikut.
Berikutnya, akan dicari besar vektor uraian tersebut satu per satu.
$$\begin{aligned} F_{1x} & = F_1 \cos 60^\circ = 6 \cdot \dfrac12 = 3~\text{N} \\ F_{2x} & = F_2 = -6~\text{N} \\ F_{3x} & = F_3 \cos 60^\circ = 12 \cdot \dfrac12 = 6~\text{N} \\ F_{1y} & = F_1 \sin 60^\circ = 6 \cdot \dfrac12\sqrt3 = 3\sqrt3~\text{N} \\ F_{2y} & = 0~\text{N} \\ F_{3y} & = -F_3 \sin 60^\circ = -12 \cdot \dfrac12\sqrt3 = -6\sqrt3~\text{N} \end{aligned}$$Catatan: Besar $F_{2y} = 0$ N karena vektor $F_2$ sejajar dengan sumbu-$X.$ Tanda negatif muncul ketika arah vektornya ke kiri atau bawah.
Dengan demikian, total besar vektor untuk sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$ adalah
$$\begin{aligned} F_x & = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} \\ & = 3- 6 + 6 = 3~\text{N} \\ F_y & = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} \\ & = 3\sqrt3 + 0- 6\sqrt3 = -3\sqrt3~\text{N}. \end{aligned}$$Besar resultan ketiga vektor gaya tersebut adalah
$$\begin{aligned} F_R & = \sqrt{(F_x)^2 + (F_y)^2} \\ & = \sqrt{(3)^2 + (-3\sqrt3)^2} \\ & = \sqrt{9 + 27} \\ & = 6. \end{aligned}$$Jadi, besar resultan ketiga vektor gaya pada gambar di atas adalah $\boxed{6}$ N.
(Jawaban B)

Resultan kedua vektor tersebut jika menggunakan metode segitiga dan jajaran genjang dapat dilihat pada gambar ini.

Misalkan kedua vektor kecepatan tersebut dinotasikan oleh $F_1 = 5$ m/s dan $F_2 = 3$ m/s serta resultannya $F_R = 7$ m/s. Misalkan juga sudut apitnya adalah $\theta.$ Dengan menggunakan aturan kosinus untuk mencari resultan vektor, diperoleh
$$\begin{aligned} F_R^2 & = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta \\ 7^2 & = 5^2 + 3^2 + 2(5)(3) \cos \theta \\ 49 & = 25 + 9 + 30 \cos \theta \\ \cos \theta & = \dfrac{15}{30} = \dfrac12 \\ \theta & = \arccos \dfrac12 = 60^\circ. \end{aligned}$$Jadi, sudut apit kedua vektor kecepatan tersebut adalah $\boxed{60^\circ}.$

Misalkan besar kedua vektor tersebut dinotasikan oleh $F_1$ dan $F_2$ dengan sudut apit $\theta.$ Karena selisih dan jumlah (resultan) vektornya sama besar, diperoleh
$$\begin{aligned} F_S & = F_R \\ \sqrt{F_1^2 + F_2^2-2F_1F_2 \cos \theta} & = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta} \\ \cancel{F_1^2} + \cancel{F_2^2}-2F_1F_2 \cos \theta & = \cancel{F_1^2} + \cancel{F_2^2} +2F_1F_2 \cos \theta \\ -2F_1F_2 \cos \theta & = 2F_1F_2 \cos \theta \\ 4F_1F_2 \cos \theta & = 0. \end{aligned}$$Karena $F_1$ dan $F_2$ tidak mungkin bernilai $0,$ diperoleh $\cos \theta = 0.$ Akibatnya, $\theta = 90^\circ.$
Jadi, sudut apit kedua vektor tersebut adalah $\boxed{90^\circ}.$

Gambar berikut menunjukkan ilustrasi vektor gaya tersebut.
Jawaban a)
Besar komponen gaya searah sumbu-$X$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} F_x & = F \cdot \cos 60^\circ \\ & = 100 \cdot \dfrac12 \\ &  = 50~\text{N}. \end{aligned}$$Jawaban b)
Besar komponen gaya searah sumbu-$Y$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} F_y & = F \cdot \sin 60^\circ \\ & = 100 \cdot \dfrac12\sqrt3 \\ &  = 50\sqrt3~\text{N}. \end{aligned}$$

Misalkan kedua vektor tersebut dinotasikan oleh $F_1 = 5$ satuan dan $F_2 = 12$ satuan.
Jawaban a) 
Karena kedua vektornya searah, resultannya adalah hasil penjumlahan dari besar kedua vektor tersebut, yaitu $F_R = F_1 + F_2 = 5 + 12 = 17$ satuan.
Jawaban b)
Karena kedua vektornya berlawanan arah, resultannya adalah hasil pengurangan dari besar kedua vektor tersebut, yaitu $F_R = F_2-F_1 = 12-5=7$ satuan (arah vektor resultannya sama dengan arah vektor $v_2$).
Jawaban c)
Karena kedua vektornya saling tegak lurus, diperoleh sudut apitnya $\theta = 90^\circ.$ Dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh
$$\begin{aligned} F_R & = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta} \\ & = \sqrt{(5)^2 + (12)^2 + 2(5)(12) \cos 90^\circ} \\ & = \sqrt{25 + 144 + 2(5)(12)(0)} \\ & = \sqrt{169} = 13. \end{aligned}$$Jadi, besar resultan vektornya adalah $13$ satuan.
Jawaban d)
Diketahui sudut apitnya $\theta = 60^\circ.$ Dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh
$$\begin{aligned} F_R & = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta} \\ & = \sqrt{(5)^2 + (12)^2 + 2(5)(12) \cos 60^\circ} \\ & = \sqrt{25 + 144 + 2(5)(12) \cdot \dfrac12} \\ & = \sqrt{229}. \end{aligned}$$Jadi, besar resultan vektornya adalah $\sqrt{229}$ satuan.

Uraikan vektornya terhadap sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$ seperti gambar berikut.
Berikutnya, akan dicari besar vektor uraian tersebut satu per satu dengan informasi bahwa jarak satu petak senilai $1$ N.
$$\begin{aligned} F_{1x} & = F_1 = 6~\text{N} \\ F_{2x} & = 3~\text{N} \\ F_{1y} & = 0~\text{N} \\ F_{2y} & = 6~\text{N} \end{aligned}$$Catatan: Besar $F_{1y} = 0$ N karena vektor $F_1$ sejajar dengan sumbu-$X.$
Dengan demikian, total besar vektor untuk sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$ adalah
$$\begin{aligned} F_x & = F_{1x} + F_{2x} \\ & = 6+3 = 9~\text{N} \\ F_y & = F_{1y} + F_{2y} \\ & = 0+6 = 6~\text{N}. \end{aligned}$$Besar resultan kedua vektor gaya tersebut adalah
$$\begin{aligned} F_R & = \sqrt{(F_x)^2 + (F_y)^2} \\ & = \sqrt{(9)^2 + (6)^2} \\ & = \sqrt{81 + 36} \\ & = \sqrt{117}~\text{N}. \end{aligned}$$Jadi, besar resultan kedua vektor gaya pada gambar di atas adalah $\boxed{\sqrt{117}}$ N.
Sementara itu, arahnya dinyatakan oleh
$$\tan \alpha = \dfrac{F_y}{F_x} = \dfrac{6}{9} = \dfrac23$$sehingga $\alpha = \arctan \dfrac23.$ Jadi, arah resultan kedua vektor tersebut adalah $\boxed{\arctan \dfrac23}.$