Ketika berbicara mengenai penjumlahan suku-suku dari suatu barisan bilangan, kita menggunakan notasi sigma, atau kadang disebut sebagai notasi sumasi (summation notation). Hal ini dilakukan semata-mata untuk mempersingkat penulisan. Berikut kita definisikan notasi tersebut.
Definisi: Notasi Sigma
Misalkan terdapat barisan $a_m, a_{m+1}, a_{m+2}, \cdots, a_n$ untuk suatu bilangan asli $m$ dan $n$ dengan $m \le n.$ Penjumlahan setiap suku dari barisan tersebut dinyatakan oleh
$$a_m + a_{m+1} + a_{m+2} + \cdots + a_n = \displaystyle \sum_{i = m}^n a_i.$$Dalam notasi sigma, $m$ dan $n$ berturut-turut disebut sebagai batas bawah (lower limit) dan batas atas (upper limit).
Perhitungan yang melibatkan notasi sigma selanjutnya disebut sebagai operasi sumasi. Penggunaannya tampak semakin intensif ketika mempelajari matematika tingkat lanjut (advanced mathematics). Sifat-sifat operasi sumasi yang dipakai untuk menyelesaikan soal dapat dilihat di bawah ini.
Sifat 1: Operasi Sumasi
Misalkan $n$ merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari $1.$ Jika $c$ merupakan konstanta (bilangan real), maka $\displaystyle \sum_{i=1}^n c = nc.$
Misalkan $n \ge 1$ merupakan bilangan bulat dan $c$ merupakan bilangan real.
Menurut definisi notasi sigma, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^n c & = \underbrace{c+c+\cdots+c}_{\text{sebanyak}~n} \\ & = nc. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa Sifat 1 benar.
Sifat 2: Operasi Sumasi
Misalkan $n$ merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari $1.$ Jika $c$ merupakan konstanta (bilangan real) dan $a_i$ merupakan suku ke-$i$ dari suatu barisan bilangan, maka $\displaystyle \sum_{i=1}^n ca_i = c\sum_{i=1}^n a_i.$
Misalkan $n \ge 1$ merupakan bilangan bulat. Misalkan juga $c$ merupakan bilangan real dan $a_i$ merupakan suku ke-$i$ dari suatu barisan bilangan.
Menurut definisi notasi sigma, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^n ca_i & = ca_1 + ca_2 + \cdots + ca_n \\ & = c(a_1 + a_2 + \cdots + a_n) \\ & = c \sum_{i=1}^n a_i. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa Sifat 2 benar.
Sifat 3: Operasi Sumasi
Misalkan $n$ merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari $1.$ Jika $a_i$ dan $b_i$ merupakan suku ke-$i$ dari suatu barisan bilangan, maka $\displaystyle \sum_{i=1}^n (a_i \pm b_i ) = \sum_{i=1}^n a_i \pm \sum_{i=1}^n b_i.$
Misalkan $n$ merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari $1.$ Misalkan juga $a_i$ dan $b_i$ merupakan suku ke-$i$ dari suatu barisan bilangan.
Menurut definisi notasi sigma, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^n (a_i \pm b_i ) & = (a_1 \pm b_1) + (a_2 \pm b_2) + \cdots + (a_n \pm b_n) \\ & = (a_1 + a_2 + \cdots + a_n) \pm (b_1 + b_2 + \cdots + b_n) \\ & = \sum_{i=1}^n a_i \pm \sum_{i=1}^n b_i. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa Sifat 3 benar.
Sifat 4: Operasi Sumasi
Misalkan $n$ merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari $1.$ Jika $m$ merupakan bilangan bulat dengan $1 < m < n$ dan $a_i$ merupakan suku ke-$i$ dari suatu barisan bilangan, maka berlaku $\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^m a_i + \sum_{i=m+1}^n a_i.$
Misalkan $n$ merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari $1.$ Misalkan juga $m$ merupakan bilangan bulat dengan $1 < m < n$ dan $a_i$ merupakan suku ke-$i$ dari suatu barisan bilangan.
Menurut definisi notasi sigma, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^n a_i & = a_1 + a_2 + \cdots + a_m + a_{m+1} + a_{m+2} + \cdots + a_n \\ & = (a_1 + a_2 + \cdots + a_m) + (a_{m+1} + a_{m+2} + \cdots + a_n) \\ & = \sum_{i=1}^m a_i + \sum_{i=m+1}^n a_i. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa Sifat 4 benar.
Sifat 5: Operasi Sumasi
Misalkan $n$ merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari $1.$ Jika $m \ge 1$ dan $p \ge 1$ merupakan bilangan bulat serta $a_i$ merupakan suku ke-$i$ dari suatu barisan bilangan, maka $\displaystyle \sum_{i = m}^n a_i = \sum_{i = m+p}^{n+p} a_{i -p}.$
Misalkan $n$ merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari $1.$ Misalkan juga $m \ge 1$ dan $p \ge 1$ merupakan bilangan bulat serta $a_i$ merupakan suku ke-$i$ dari suatu barisan bilangan.
Menurut definisi notasi sigma, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i = m}^n a_i & = a_m + a_{m+1} + a_{m+2} + \cdots + a_n \\ & = a_{(m+p)-p} + a_{(m+p+1)-p} + a_{(m+p+2)-p} + \cdots + a_{(n+p)-p} \\ & = \sum_{i=m+p}^n a_{i-p}. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa Sifat 5 benar.
Beberapa rumus deret yang berkaitan dengan notasi sigma berikut banyak dipakai untuk menyelesaikan soal.
Rumus Deret
Untuk memantapkan pemahaman mengenai notasi sigma, berikut disajikan beberapa soal beserta pembahasannya. Soal juga dapat diunduh melalui tautan berikut: Download (PDF, 164 KB).
Today Quote
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Nilai dari $\displaystyle \sum_{k=1}^4 (k^2+2k) = \cdots \cdot$
A. $30$ D. $60$
B. $40$ E. $80$
C. $50$
Dengan menggunakan sifat operasi sumasi, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^4 (k^2+2k) & = \sum_{k=1}^4 k^2 + \sum_{k=1}^4 2k && (\text{Sifat}~3) \\ & = \sum_{k=1}^4 k^2 + 2 \sum_{k=1}^4 k && (\text{Sifat}~2) \\ & = (1^2+2^2+3^2+4^2) + 2(1+2+3+4) \\ & = (1+4+9+16)+2(10) \\ & = 30+20 = 50. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^4 (k^2+2k) = 50}$
(Jawaban C)
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Sumasi Rangkap
Soal Nomor 2
Nilai dari $\displaystyle \sum_{k=16}^{20} (k-15)(2k-27)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $180$ D. $105$
B. $155$ E. $65$
C. $120$
Jabarkan notasi sigma secara manual.
Diketahui $a_k = (k-15)(2k-27).$
Untuk $k=16$, diperoleh
$\begin{aligned} a_{16} & = (16-15)(2(16)-27) \\ & = 1(5) = 5. \end{aligned}$
Untuk $k=17$, diperoleh
$\begin{aligned} a_{17} & = (17-15)(2(17)-27) \\ & = 2(7) = 14. \end{aligned}$
Untuk $k=18$, diperoleh
$\begin{aligned} a_{18} & = (18-15)(2(18)-27) \\ & = 3(9) = 27. \end{aligned}$
Untuk $k=19$, diperoleh
$\begin{aligned} a_{19} & = (19-15)(2(19)-27) \\ & = 4(11) = 44. \end{aligned}$
Untuk $k=20$, diperoleh
$\begin{aligned} a_{20}& = (20-15)(2(20)-27) \\ & = 5(13) = 65. \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{k=16}^{20} (k-15)(2k-27) \\ & = 5 + 14 + 27 + 44 + 65 = 155. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{k=16}^{20} (k-15)(2k-27) = 155}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 3
Nilai dari $\displaystyle \sum_{i=4}^{51} (4i-5)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5.030$ D. $5.060$
B. $5.040$ E. $5.070$
C. $5.050$
Gunakan sifat/rumus operasi sumasi berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^n c & = cn \\ \sum_{i = 1}^n i & = 1+2+3+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)} {2} \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=4}^{51} (4i-5) & = 4 \sum_{i=4}^{51} i -\sum_{i=4}^{51} 5 \\ & = 4 \left(\sum_{i=1}^{51} i- \sum_{i=1}^3 i\right) -\left(\sum_{i=1}^{51} 5 -\sum_{i=1}^3 5\right) \\ & = 4\left(\dfrac{51 \times \cancelto{26}{52}}{\cancel{2}} -\dfrac{3 \times \cancelto{2}{4}}{\cancel{2}}\right) -[5(51) -5(3)] \\ & = 4(51 \times 26 -3 \times 2) -240 \\ & = 4(1.326 -6) -240 \\ & = 5.040 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{i=4}^{51} (4i-5) = 5.040}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 4
Notasi sigma untuk menyatakan $2-6 + 10-14 + 18-\cdots +$ $130-134$
adalah $\cdots \cdot$
A. $ \displaystyle \sum_{k=1}^{34} (-1)^k2k$
B. $\displaystyle \sum_{k=1}^{34} (-1)^k(2(k+1))$
C. $\displaystyle \sum_{k=1}^{34} (-1)^{k+1} (3k-1)$
D. $\displaystyle \sum_{k=1}^{34} (-2)^k$
E. $\displaystyle \sum_{k=1}^{34}(-1)^{k+1}(4k-2)$
Deret tersebut terbentuk dari barisan aritmetika: $2, 6, 10, 14, 18, \cdots, 134.$
Diketahui suku pertamanya $a=2$ dan beda antarsuku $b = 4$ sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 2 + (n-1)(4) = 4n -2. \end{aligned}$
Banyaknya suku pada barisan itu adalah
$134 = 4n – 2 \Leftrightarrow n = \dfrac{134+2}{4} = 34.$
Barisan baru: $2, -6, 10, -14, \cdots, -134$
Karena untuk setiap suku genap, nilai suku pada barisan bernilai negatif, maka rumus suku ke-$n$ berubah menjadi $\text{U}_n = (-1)^{n+1}(4n-2).$
Dengan demikian, notasi sigma dari deret yang terbentuk adalah $\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^{34} (-1)^{k+1}(4k-2)}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 5
Notasi sigma dari deret $-3-1+1+3+5+7+\cdots+25$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\displaystyle \sum_{n=1}^{30} (2n-5)$ D. $\displaystyle \sum_{n=1}^{22} (2n-3)$
B. $\displaystyle \sum_{n=1}^{15} (2n-5)$ E. $\displaystyle \sum_{n=1}^{20} (2^n-5)$
C. $\displaystyle \sum_{n=1}^{15} (2^n-3)$
Tinjau barisan aritmetika:
$-3, -1, 1, 3, 5, 7, \cdots, 25.$
Diketahui: $a=-3$ dan $b=2.$
Rumus suku ke-$n$ barisan di atas adalah
$\begin{aligned} \text{U}_n &= a + (n-1)b \\ & = -3 + (n-1)(2) \\ & = 2n -5 \end{aligned}$
Banyaknya suku pada barisan tersebut dinyatakan oleh
$25= 2n – 5 \Leftrightarrow n = \dfrac{25+5}{2} = 15.$
Dengan demikian, notasi sigma dari deret $-3-1+1+3+5+7+\cdots+25$ adalah $\boxed{\displaystyle \sum_{n=1}^{15} (2n-5)} $
(Jawaban B)
Soal Nomor 6
Notasi sigma yang ekuivalen dengan $\displaystyle \sum_{k=5}^{9} (2k-5)^2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\displaystyle \sum_{k=1}^{5} (2k-5)^2$
B. $\displaystyle \sum_{k=1}^{5} (2k-3)^2$
C. $\displaystyle \sum_{k=1}^{5} 2k^2 + 5 \sum_{k=1}^5 (2k+1)$
D. $\displaystyle 4 \sum_{k=1}^{5} k^2 + 3 \sum_{k=1}^5 (4k+3)$
E. $\displaystyle 4 \sum_{k=1}^{5} k^2 + \sum_{k=1}^5 (4k+3)$
Gunakan sifat operasi sumasi berikut.
$\boxed{\displaystyle \sum_{i = k}^n f(i) = \sum_{i = k + a}^{n + a} f(i -a)}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=5}^{9} (2k-5)^2 & = \sum_{k=5-4}^{9-4} (2(k+4)-5)^2 \\ & = \sum_{k=1}^5 (2k + 3)^2 \\ & = \sum_{k=1}^5 (4k^2 + 12x + 9) \\ & = \sum_{k=1}^5 (4k^2) + \sum_{k=1}^5 (12x + 9) \\ & = 4 \sum_{k=1}^5 k^2 + 3 \sum_{k=1}^5 (4x+3). \end{aligned}$$Jadi, Notasi sigma yang ekuivalen dengan $\displaystyle \sum_{k=5}^{9} (2k-5)^2$ adalah $\boxed{4 \sum_{k=1}^5 k^2 + 3 \sum_{k=1}^5 (4x+3)}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 7
Diketahui $\displaystyle \sum_{i=6}^{25} p_i = 10$. Nilai $\displaystyle \sum_{i=6}^{25} (2+p_i) = \cdots \cdot$
A. $50$ C. $70$ E. $90$
B. $60$ D. $80$
Gunakan sifat operasi sumasi berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i = m}^n c & = \sum_{i = m-p}^{n-p} c \\ \sum_{i=1}^n c & = cn \end{aligned}}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned}\displaystyle \sum_{i=6}^{25} (2+p_i) & = \sum_{i=6}^{25} 2 + \sum_{i=6}^{25} p_i \\ & = \sum_{i=6-5}^{25-5} 2 + \sum_{i=6}^{25} p_i \\ & = \sum_{i=1}^{20} 2 + \sum_{i=6}^{25} p_i \\ & = 20(2) + 10 = 50. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{i=6}^{25} (2+p_i) = 50}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 8
Diberikan $\displaystyle \sum_{i=1}^{50} U_i = 60$ dan $\displaystyle \sum_{i=1}^{50} k_i = 21$. Nilai dari $\displaystyle \sum_{i=1}^{50} (2U_i-3k_i+4) = \cdots \cdot$
A. $725$ D. $275$
B. $572$ E. $257$
C. $527$
Diketahui:
$\displaystyle \sum_{i=1}^{50} U_i = 60.$
$\displaystyle \sum_{i=1}^{50} k_i = 21.$
Dengan menggunakan sifat $1, 2$ dan $3$ operasi sumasi, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^{50} (2U_i-3k_i+4) & = 2 \sum_{i=1}^{50} U_i-3 \sum_{i=1}^{50} k_i + \sum_{i=1}^{50} 4 \\ & = 2(60)-3(21)+4(50) \\ & = 120-63+200 = 257. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{i=1}^{50} (2U_i-3k_i+4) = 257}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 9
Bentuk $\displaystyle \sum_{n=1}^{10} (n^2-4)$ bila diubah ke dalam notasi sigma dengan batas atas $7$ menjadi $\cdots \cdot$
A. $\displaystyle \sum_{n=2}^{7} (n^2+7)$
B. $\displaystyle \sum_{n=2}^{7} (n^2-7)$
C. $\displaystyle \sum_{n=2}^{7} (n^2-4)$
D. $\displaystyle \sum_{n=2}^{7} (n^2+6n+13)$
E. $\displaystyle \sum_{n=-2}^{7} (n^2+6n+5)$
Gunakan sifat operasi sumasi berikut.
$\boxed{\displaystyle \sum_{i = k}^n f(i) = \sum_{i = k + a}^{n + a} f(i -a)}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{10} (n^2-4) & = \sum_{n=1-3}^{10-3} ((n+3)^2-4) \\ & = \sum_{n=-2}^7 (n^2+6n+5). \end{aligned}$
Jadi, bentuk $\displaystyle \sum_{n=1}^{10} (n^2-4)$ jika diubah dalam bentuk notasi sigma dengan batas atas $7$ akan menjadi $\boxed{\displaystyle \sum_{n=-2}^{7} (n^2+6n+5)}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 10
Nilai $\displaystyle \sum_{k=1}^{p} (4k-15)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4p^2-23p$ D. $2p^2-13p$
B. $4p^2-13p$ E. $2p^2-11p$
C. $2p^2-26p$
Gunakan sifat/rumus operasi sumasi berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^n c & = cn \\ \sum_{i = 1}^n i & = 1+2+3+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)} {2} \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^{p} (4k-15) & = 4 \sum_{k=1}^p k- \sum_{k=1}^p 15 \\ & = \cancelto{2}{4} \cdot \dfrac{p(p+1)} {\cancel{2}} -15p \\ & = 2p(p+1) – 15p \\ & = 2p^2 -13p. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^{p} (4k-15) = 2p^2-13p}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 11
Nilai dari $\displaystyle \sum_{k=1}^a (6k-19)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $a^2-4a$
B. $a^2+8a$
C. $3a^2-16a$
D. $3a^2+16a$
E. $6a^2-32a$
Dengan menggunakan sifat $1, 2$ dan $3$ operasi sumasi serta rumus deret $\displaystyle \sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}$, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^a (6k-19) & = 6 \sum_{k=1}^a k-\sum_{k=1}^a 19 \\ & = \cancelto{3}{6} \cdot \dfrac{a(a+1)}{\cancel{2}}-19a \\ & = 3(a^2+a)-19a \\ & = 3a^2+3a-19a \\ & = 3a^2-16a. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^a (6k-19) = 3a^2-16a}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 12
Diketahui $\displaystyle \sum_{k=10}^{20} k^3 = 42.075$. Nilai dari $\displaystyle \sum_{k=11}^{21} (k^3-3k^2+3k-1)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $126.225$ D. $42.075$
B. $84.150$ E. $14.025$
C. $56.100$
Perhatikan bahwa bentuk $(k^3-3k^2+3k-1)$ dapat difaktorkan menjadi $(k-1)^3$.
Dengan menggunakan fakta ini beserta sifat $5$ operasi sumasi, kita tuliskan
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=10}^{20} k^3 & = 42.075 \\ \sum_{k=10+1}^{20+1} (k-1)^3 & = 42.075 \\ \sum_{k=10+1}^{20+1} (k^3-3k^2+3k-1) & = 42.075. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{k=11}^{21} (k^3-3k^2+3k-1) = 42.075}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 13
Diketahui $\displaystyle \sum_{k=4}^9 (2(k-3)^2+3p) = \sum_{k=24}^{40} 16$. Nilai $p$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $3$ C. $8$ E. $15$
B. $5$ D. $12$
Dengan menggunakan sifat $1, 2, 3, 5$ operasi sumasi serta rumus deret bahwa $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=4}^9 (2(k-3)^2+3p) & = \sum_{k=24}^{40} 16 \\ \sum_{k=4\color{red}{-3}}^{9\color{red}{-3}} (2(k-3\color{red}{+3})^2 + 3p) & = \sum_{k=24-23}^{40-23} 16 \\ \sum_{k=1}^6 (2k^2+3p) & = \sum_{k=1}^{17} 16 \\ 2 \sum_{k=1}^6 k^2 + 3 \sum_{k=1}^6 p & = \sum_{k=1}^{17} 16 \\ 2 \cdot \dfrac{6(6+1)(2(6)+1)}{6} + 3(6p) & = 16(17) \\ 2(7)(13) + 18p & = 272 \\ 182+18p & = 272 \\ 18p & = 90 \\ p & = 5. \end{aligned}$$Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $\boxed{5}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 14
Bentuk lain dari $\displaystyle \sum_{n=1}^{30} (n^2+1) = \cdots \cdot$
A. $\displaystyle \sum_{n=1}^{15} (2n^2+30n+224)$
B. $\displaystyle \sum_{n=1}^{15} (2n^2+30n+225)$
C. $\displaystyle \sum_{n=1}^{15} (2n^2+30n+226)$
D. $\displaystyle \sum_{n=1}^{15} (2n^2+30n+227)$
E. $\displaystyle \sum_{n=1}^{15} (2n^2+30n+230)$
Dengan menggunakan sejumlah sifat-sifat operasi sumasi, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{30} (n^2+1) & = \sum_{n=1}^{15} (n^2+1) + \sum_{n=16}^{30} (n^2+1) \\ & = \sum_{n=1}^{15} (n^2+1) + \sum_{n=1}^{15} [(n+15)^2+1] \\ & = \sum_{n=1}^{15} (n^2+1 + (n+15)^2 + 1) \\ & = \sum_{n=1}^{15} (n^2+1 + (n^2+30n+225) + 1) \\ & = \sum_{n=1}^{15} (2n^2+30n+227). \end{aligned}$$Jadi, bentuk lain dari $\boxed{\displaystyle \sum_{n=1}^{30} (n^2+1) = \sum_{n=1}^{15} (2n^2+30n+227)}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 15
Diketahui bentuk penjumlahan dua buah notasi sigma $\displaystyle \sum_{p=1}^7 \dfrac{p^2+1}{p+1} + \sum_{p=-1}^5 (p+1)$. Jika dituliskan dalam satu buah notasi sigma, maka hasilnya adalah $\cdots \cdot$
A. $\displaystyle \sum_{p=1}^7 \dfrac{2p}{2p^2+1}$
B. $\displaystyle \sum_{p=1}^7 \dfrac{2p}{2p+1}$
C. $\displaystyle \sum_{p=1}^7 \dfrac{2}{p+1}$
D. $\displaystyle \sum_{p=1}^7 \dfrac{2p^2}{p+1}$
E. $\displaystyle \sum_{p=1}^7 \dfrac{2p}{p+1}$
Dengan menggunakan sifat operasi sumasi, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{p=1}^7 \dfrac{p^2+1}{p+1} + \sum_{p=-1}^5 (p+1) \\ & = \sum_{p=1}^7 \dfrac{p^2+1}{p+1} + \sum_{p=-1+2}^{5+2} ((p-2)+1) && (\text{S}5) \\ & = \sum_{p=1}^7 \dfrac{p^2+1}{p+1} + \sum_{p=1}^{7} (p-1) \\ & = \sum_{p=1}^7 \left(\dfrac{p^2+1}{p+1} + (p-1)\right) && (\text{S}3) \\ & = \sum_{p=1}^7 \left(\dfrac{(p^2+1)+(p-1)(p+1)}{p+1}\right) \\ & = \sum_{p=1}^7 \dfrac{(p^2+1)+(p^2-1)}{p+1} \\ & = \sum_{p=1}^7 \dfrac{2p^2}{p+1}. \end{aligned}$$Jadi, bentuk $\displaystyle \sum_{p=1}^7 \dfrac{p^2+1}{p+1} + \sum_{p=-1}^5 (p+1)$ jika dituliskan dalam satu buah notasi sigma adalah $\boxed{\sum_{p=1}^7 \dfrac{2p^2}{p+1}}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 16
Diketahui $S = \displaystyle \sum_{i=1}^n \left(\dfrac{1}{4i^2-1}\right)$.
Nilai $S$ bila dinyatakan dalam $n$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{n}{2n+1}$ D. $\dfrac{n}{2n-1}$
B. $\dfrac{1}{4n^2-1}$ E. $\dfrac{2n-1}{2n+1}$
C. $\dfrac{2n}{2n+1}$
Dekomposisikan bentuk $\dfrac{1}{4i^2-1}$ terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \dfrac{1}{4i^2-1} & = \dfrac{1}{(2i+1)(2i-1)} \\ & = \dfrac{A}{2i+1} + \dfrac{B}{2i-1} \\ & = \dfrac{A(2i-1) + B(2i+1)}{(2i+1)(2i-1)} \end{aligned}$
Dari sini, diperoleh $A(2i-1)+B(2i+1) = 1.$
Misalkan $i = -\dfrac12$ sehingga
$$\begin{aligned} A\left(2\left(-\dfrac12\right)-1\right) + B\left(2\left(-\dfrac12\right)+1\right) & = 1 \\ A(-2) + B(0) & = 1 \\ A & = -\dfrac12. \end{aligned}$$ Misalkan $i = \dfrac12$ sehingga
$$\begin{aligned} A\left(2\left(\dfrac12\right)-1\right) + B\left(2\left(\dfrac12\right)+1\right) & = 1 \\ A(0) + B(2) & = 1 \\ B & = \dfrac12. \end{aligned}$$Untuk itu, dapat ditulis
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{4i^2-1} & = \dfrac{1}{(2i+1)(2i-1)} \\ & = \dfrac{-\frac12}{2i+1} + \dfrac{\frac12}{2i-1} \\ & = \dfrac12 \left(\dfrac{1}{2i-1}- \dfrac{1}{2i+1}\right) \end{aligned}$$Kembali ke dalam bentuk notasi sigma, lalu terapkan Prinsip Teleskopik.
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^n \left(\dfrac{1}{4i^2-1}\right) & = \sum_{i=1}^n \left(\dfrac{1}{(2i+1)(2i-1)}\right) \\ & =\sum_{i=1}^n \dfrac12\left(\dfrac{1}{2i-1}- \dfrac{1}{2i+1}\right) \\ & = \dfrac12\left(\left(1- \cancel{\dfrac13}\right) + \left(\cancel{\dfrac13 – \dfrac15}\right) + \cdots + \left(\cancel{\dfrac{1}{2n-1}} -\dfrac{1}{2n+1}\right)\right) \\ & = \dfrac12 \left(1 -\dfrac{1}{2n+1}\right) \\ & = \dfrac12\left(\dfrac{2n}{2n+1}\right) \\ & = \dfrac{n}{2n+1} \end{aligned}$$Jadi, nilai $S$ bila dinyatakan dalam $n$ adalah $\boxed{\dfrac{n}{2n+1}}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 17
Rata-rata dari nilai $1, 2, 3, \cdots, n$ dengan masing-masing frekuensi $x, 2x, 3x, \cdots, nx$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{n-1}{2}$ D. $\dfrac{2n+1}{6}$
B. $\dfrac{n}{2}$ E. $\dfrac{2n+1}{3}$
C. $\dfrac{n+1}{2}$
Mean (rata-rata) dihitung dengan cara membagi jumlah nilai terhadap total frekuensi. Rata-ratanya dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \overline{x} & = \dfrac{1(x) + 2(2x) + 3(3x) + \cdots + n(nx)}{x+2x+3x+\cdots+nx} \\ & = \dfrac{\cancel{x}(1 + 4 + 9 + \cdots + n^2)}{\cancel{x}(1+2+3+\cdots+n)} \\ & = \dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2}{\displaystyle \sum_{k=1}^n k} \\ & = \dfrac{\bcancel{n(n+1)}(2n+1)}{\cancelto{3}{6}} \times \dfrac{\cancel{2}}{\bcancel{n(n+1)}} \\ & = \dfrac{2n+1}{3}. \end{aligned}$$Jadi, rata-rata dari data yang diberikan itu adalah $\boxed{\dfrac{2n+1}{3}}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 18
Untuk $n$ bilangan asli, deret berhingga $\displaystyle \sum_{k=1}^n (k-50)$ akan bernilai lebih besar dari $50$ jika $\cdots \cdot$
A. $n \geq 100$ D. $1 \leq n \leq 101$
B. $n \geq 101$ E. $1 < n < 101$
C. $n = 100$
Pertidaksamaan berikut diberlakukan.
$\displaystyle \sum_{k=1}^n (k-50) > 50$
Dengan menggunakan sifat operasi sigma, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^n k – \sum_{k=1}^n 50 & > 50 \\ \dfrac{n(n+1)}{2} – 50n & > 50 \\ n^2 + n – 100n & > 100 \\ n^2-99n-100 & > 0 \\ (n + 1)(n -100) & > 0 \end{aligned}$
Pembuat nol dari pertidaksamaan terakhir adalah $n = -1$ atau $n = 100.$ Karena bertanda lebih besar dari, maka penyelesaiannya adalah $n < -1~\text{atau}~n > 100.$
Karena $n$ tidak mungkin bernilai kurang dari $1$ (batas bawah notasi sigma), maka penyelesaiannya menjadi $n > 100$, atau ekuivalen dengan $n \geq 101$, dengan $n$ bilangan bulat.
(Jawaban B)
Soal Nomor 19
Notasi sigma yang ekuivalen dengan $\displaystyle \sum_{k=1}^{10} (2k^2+8k+13)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $50 + 2 \displaystyle \sum_{k=1}^{10} k^2$
B. $60 + \displaystyle \sum_{k=1}^{10} k^2$
C. $50 + \displaystyle \sum_{k=3}^{10} k^2$
D. $50 + 2 \displaystyle \sum_{k=3}^{12} k^2$
E. $60 + 2 \displaystyle \sum_{k=3}^{12} k^2$
Dengan menggunakan sifat $1, 2, 3, 5$ operasi sumasi, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{k=1}^{10} (2k^2+8k+13) \\ & = \sum_{k=3}^{12} (2(k-2)^2+8(k-2)+13) \\ & = \sum_{k=3}^{12} (2(k^2-4k+4)+8k-16+13) \\ & = \sum_{k=3}^{12} (2k^2+5) \\ & = 2 \sum_{k=3}^{12} k^2 + \sum_{k=3}^{12} 5 \\ & = 2 \sum_{k=3}^{12} k^2 + \sum_{k=1}^{10} 5 \\ & = 2 \sum_{k=3}^{12} k^2 + 10(5) \\ & = 50 + 2 \displaystyle \sum_{k=3}^{12} k^2 \end{aligned}$$Jadi, bentuk yang ekuivalen dengan notasi sigma tersebut adalah $\boxed{50 + 2 \displaystyle \sum_{k=3}^{12} k^2}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 20
Notasi sigma yang ekuivalen dengan $\displaystyle 2 \sum_{k=1}^n k(2k+5) +2 \sum_{k=1}^n (k+3) + 3n$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\displaystyle \sum_{k=1}^n (4k^2+12k+3)$
B. $\displaystyle \sum_{k=1}^n (4k^2+10k+3)$
C. $\displaystyle \sum_{k=1}^n k(4k+9)$
D. $\displaystyle \sum_{k=1}^n (4k+3)^2$
E. $\displaystyle \sum_{k=1}^n (2k+3)^2$
Dengan menggunakan sifat operasi sumasi, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle 2 \sum_{k=1}^n k(2k+5) + \sum_{k=1}^n (k+3) + 3n \\ & = \sum_{k=1}^n (4k^2+10k) + \sum_{k=1}^n (2k+6) + \sum_{k=1}^n 3 \\ & = \sum_{k=1}^n ((4k^2+10k)+(2k+6)+3) \\ & = \sum_{k=1}^n (4k^2+12k+9) \\ & = \sum_{k=1}^n (2k+3)^2 \end{aligned}$$Jadi, notasi sigma yang ekuivalen dengan $\displaystyle 2 \sum_{k=1}^n k(2k+5) + 2 \sum_{k=1}^n (k+3) + 3n$ adalah $\boxed{\sum_{k=1}^n (2k+3)^2}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 21
Hasil dari $\displaystyle \sum_{n=4}^5 \dfrac{n^2-5n+6}{n^2-4n+4} + \sum_{n=6}^7 \dfrac{n^2-5n+6}{n^2-4n+4}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{169}{60}$ D. $\dfrac{160}{60}$
B. $\dfrac{166}{60}$ E. $\dfrac{157}{60}$
C. $\dfrac{163}{60}$
Karena rumus barisan pada notasi sigmanya sama, maka bentuk notasinya dapat langsung digabungkan dengan menerapkan sifat operasi sumasi.
$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{n=4}^5 \dfrac{n^2-5n+6}{n^2-4n+4} + \sum_{n=6}^7 \dfrac{n^2-5n+6}{n^2-4n+4} \\ & = \sum_{n=4}^7 \dfrac{n^2-5n+6}{n^2-4n+4} \\ & = \sum_{n=4}^7 \dfrac{\cancel{(n-2)}(n-3)}{\cancel{(n-2)}(n-2)} \\ & = \sum_{n=4}^7 \dfrac{n-3}{n-2} \\ & = \dfrac{4-3}{4-2} + \dfrac{5-3}{5-2} + \dfrac{6-3}{6-2} + \dfrac{7-3}{7-2} \\ & = \dfrac12+\dfrac23+\dfrac34+\dfrac45 \\ & = \dfrac{1(30)+2(20)+3(15)+4(12)}{60} \\ & = \dfrac{163}{60} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \sum_{n=4}^5 \dfrac{n^2-5n+6}{n^2-4n+4} + \sum_{n=6}^7 \dfrac{n^2-5n+6}{n^2-4n+4} = \dfrac{163}{60}}$$(Jawaban C)
Soal Nomor 22
Hasil dari $\displaystyle \sum_{p = 1}^{n} (3p-2)(2p+1)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac14n(4n^2+5n-3)$
B. $\dfrac12n(4n^2+5n-3)$
C. $4n^3+5n^2-3n$
D. $8n^3+10n^2-6n$
E. $16n^3+20n^2-12n$
Gunakan sifat-sifat notasi sigma dan rumus operasi sigma.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{p = 1}^{n} (3p-2)(2p+1) \\ & = \sum_{p=1}^n (6p^2-p-2) \\ & = 6 \sum_{p=1}^n p^2-\sum_{p=1}^n p-\sum_{p=1}^n 2 \\ & =\cancelto{2}{6}\left(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{\cancelto{2}{6}}\right)- \dfrac{n(n+1)}{2} -2n \\ & = \dfrac{2n(2n^2+3n+1)}{2}-\dfrac{n^2+n}{2}-\dfrac{4n}{2} \\ & = \dfrac{4n^3+6n^2+2n-n^2-n-4n}{2} \\ & = \dfrac{4n^3 + 5n^2-3n}{2} \\ & = \dfrac12n(4n^2+5n-3) \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \sum_{p = 1}^{n} (3p-2)(2p+1) = \dfrac12n(4n^2+5n-3)}$$(Jawaban B)
Soal Nomor 23
Nilai $a$ yang memenuhi persamaan $\displaystyle \sum_{k = -2}^1 (2a-3k) = 2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac14$ D. $\dfrac14$
B. $-\dfrac12$ E. $\dfrac12$
C. $0$
Alternatif I: Menggunakan Sifat
Gunakan sifat $1, 2$, dan $3$ operasi sumasi.
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k = -2}^1 (2a-3k) & = 2 \\ 2 \sum_{k = -2}^1 a-3 \sum_{k = -2}^1 k & = 2 \\ 2 \sum_{k = -2+3}^{1+3} a-3 \sum_{k = -2}^1 k & = 2 \\ 2 \sum_{k = 1}^4 a-3\sum_{k = -2}^1 k & = 2 \\ 2(4a)-3(-2-1+0+1) & = 2 \\ 8a-3(-2) & = 2 \\ 8a+6 & = 2 \\ 8a & = -4 \\ a & = -\dfrac12 \end{aligned}$
Alternatif II: Manual
Jabarkan bentuk notasi sigma.
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k = -2}^1 (2a-3k) & = 2 \\ (2a-3(-2)) + (2a-3(-1)) + (2a-3(0)) + (2a-3(1)) & = 2 \\ (2a+6)+(2a+3)+(2a)+(2a-3) & = 2 \\ 8a+6 & = 2 \\ 8a & = -4 \\ a & = -\dfrac12 \end{aligned}$$Catatan: Cara ini dapat dikatakan lebih efektif daripada menggunakan sifat notasi sigma (alternatif I) karena nilai batas bawah dan batas atas notasi sigmanya berdekatan.
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{-\dfrac12}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 24
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\displaystyle \sum_{k = 3-x}^{7-x} (4k+1) = 85$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$ C. $2$ E. $5$
B. $1$ D. $3$
Diketahui $\displaystyle \sum_{k = 3-x}^{7-x} (4k+1) = 85$.
Kunci utama adalah menggunakan sifat $5$ operasi sumasi.
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k = 3-x+\color{red}{x}}^{7-x+\color{red}{x}} (4(k-\color{red}{x})+1) & = 85 \\ \sum_{k = 3}^7 (4k-4x+1) & = 85 \\ 4 \sum_{k = 3}^7 k-4 \sum_{k = 3}^7 x + \sum_{k = 3}^7 1 & = 85 \\ 4(3+4+5+6+7)-4(\color{blue}{5}x) + \color{blue}{5}(1) & = 85 \\ 4(25)-20x+5 & = 85 \\ 105-20x & = 85 \\ 20x & = 20 \\ x & = 1 \end{aligned}$$Catatan: Bilangan $\color{blue}{5}$ di atas didapat dari banyaknya bilangan bulat dari $3$ sampai $7$.
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{1}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 25
Nilai dari $\displaystyle \sum_{k=1}^{40} \dfrac{2k-42}{2k-41}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $10$ C. $25$ E. $40$
B. $20$ D. $30$
Dengan menggunakan sejumlah sifat notasi sigma beserta prinsip deret teleskopik, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^{40} \dfrac{2k-42}{2k-41} & = \sum_{k=1}^{40} \dfrac{(2k-41)-1}{2k-41} \\ & = \sum_{k=1}^{40} \left(1-\dfrac{1}{2k-41}\right) \\ & = \sum_{k=1}^{40} 1-\sum_{k=1}^{40} \dfrac{1}{2k-41} \\ & = 1(40)-\left(\cancel{-\dfrac{1}{39}-\dfrac{1}{37}-\cdots-\dfrac13-1}+\cancel{1+\dfrac13+\cdots+\dfrac{1}{37}+\dfrac{1}{39}}\right) \\ & = 40+0 = 40 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^{40} \dfrac{2k-42}{2k-41} = 40}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 26
Bentuk $\displaystyle \binom{n}{k}$ sama dengan $\dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}.$ Bentuk notasi sigma yang sesuai dengan $\displaystyle \binom{2}{2} + \binom{3}{2} + \binom{4}{2} + \binom{5}{2} + \cdots +$ $\binom{14}{2}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\displaystyle \sum_{i=2}^{14} \dfrac{i^2-i}{2}$
B. $\displaystyle \sum_{i=2}^{14} \dfrac{i^2+i}{2}$
C. $\displaystyle \sum_{i=1}^{14} \dfrac{i^2-i}{2}$
D. $\displaystyle \sum_{i=1}^{14} \dfrac{i^2+i}{2}$
E. $\displaystyle \sum_{i=2}^{14} \dfrac{i^2}{2}$
Pada bentuk tersebut, hanya bagian atasnya yang berubah, dimulai dari $2$ sampai $14$, sedangkan bilangan di bawahnya tetap $2$.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \binom{2}{2} + \binom{3}{2} + \binom{4}{2} + \binom{5}{2} + \cdots + \binom{14}{2} = \sum_{i=2}^{14} \binom{i}{2} \\ & = \sum_{i=2}^{14} \dfrac{i!}{2! \cdot (i-2)!} \\ & = \sum_{i=2}^{14} \dfrac{i(i-1)}{2} = \sum_{i=2}^{14} \dfrac{i^2-i}{2} \end{aligned}$$Jadi, notasi sigmanya berbentuk $\boxed{\displaystyle \sum_{i=2}^{14} \dfrac{i^2-i}{2}}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 27
Nilai dari $\displaystyle \sum_{s=1}^{2.020} \text{FPB}(s, 7)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3.745$ D. $3.748$
B. $3.746$ E. $3.749$
C. $3.747$
Faktor Persekutuan Terbesar dari $s$ dan $7$, ditulis $\text{FPB}(s, 7)$, bernilai $1$ bila $s$ bukan kelipatan $7$ dan bernilai $7$ bila $s$ kelipatan $7$.
Sebagai contoh,
$\begin{aligned} \text{FPB}(13, 7) & = 1 \\ \text{FPB}(35, 7) & = 7 \end{aligned}$
Dari bilangan $1$ sampai $2.020$, bilangan kelipatan $7$ meliputi: $7, 14, 21, \cdots, 2016$.
Bilangan kelipatan $7$ sebanyak $2016 \div 7 = 288$. Berarti, bilangan yang bukan kelipatan $7$ sebanyak $2.020-288 = 1.732$.
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{s=1}^{2.020} \text{FPB}(s, 7) & = \text{FPB}(1, 7) + \text{FPB}(2,7) + \cdots + \text{FPB}(2020, 7) \\ & = \underbrace{(1+1+\cdots+1)}_{\text{sebanyak}~1.732}+\underbrace{(7+7+\cdots+7)}_{\text{sebanyak}~288} \\ & = 1.732 \times 1 + 288 \times 7 \\ & = 1.732 + 2.016 = 3.748 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{s=1}^{2.020} \text{FPB}(s, 7) = 3.748}$
(Jawaban D)
Bagian Esai
Soal Nomor 1
Ubahlah bentuk berikut ke dalam notasi sigma.
a. $x -x^3 + x^5 -x^7 + x^9$
b. $-2 + 5 -8 + 11 -14 + 17 -20$
Jawaban a)
Tampak bahwa perubahan terjadi pada pangkat $x$, dengan pola bilangan ganjil. Dengan kata lain, $1, 3, 5, 7, 9$ merupakan barisan aritmetika dengan $a=1$ dan $b=2$, sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 1 + (n-1)(2) \\ & = 2n -1 \end{aligned}$
Perhatikan juga bahwa suku demi suku bersilang tanda (plus minus plus minus), sehingga dimunculkan bentuk $(-1)^{n+1}$ untuk $n$ ganjil pada suku pertama. Batas bawah notasi sigma bernilai $1$, sedangkan batas atasnya didapat dari banyaknya suku, yaitu $5$ sehingga
$$\boxed{x -x^3 + x^5 -x^7 + x^9 = \displaystyle \sum_{n=1}^5 (-1)^{n+1}x^{2n-1}}$$Jawaban b)
Asumsikan deretnya berbentuk:
$2 + 5 + 8 + 11+14+17+20$
Deret di atas merupakan deret aritmetika dengan $a = 2$ dan $b = 3$, sehingga rumus suku ke-$n$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 2 + (n-1)(3) \\ & = 3n -1 \end{aligned}$
Perhatikan juga bahwa suku demi suku bersilang tanda (minus plus minus plus), sehingga dimunculkan bentuk $(-1)^n$ untuk $n$ ganjil pada suku pertama. Batas bawah notasi sigma bernilai $1$, sedangkan batas atasnya didapat dari banyaknya suku, yaitu $7$ sehingga
$$\boxed{\begin{aligned} -2 + 5 -8 + 11 -& 14 + 17 -20 \\ & = \displaystyle \sum_{n=1}^7 (-1)^n(3n-1) \end{aligned}}$$
Soal Nomor 2
Nyatakan operasi sigma berikut dalam satu notasi sigma.
a. $\displaystyle \sum_{a=1}^n (a^2+1)-\sum_{a=3}^{n+2} (3a-5)$
b. $\displaystyle \sum_{k=4}^n (k+2) + \sum_{k = n+3}^{15} k$
Jawaban a)
Pada bentuk pengurangan dua suku yang melibatkan notasi sigma, notasi sigmanya dapat disatukan apabila batas atas dan batas bawahnya sama.
$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{a=1}^n (a^2+1) -\sum_{a=3}^{n+2} (3a-5) \\ & = \sum_{a=1}^n (a^2+1) -\sum_{a=3-2}^{n+2-2} (3(a+2)-5) \\ & = \sum_{a=1}^n (a^2+1)-\sum_{a=1}^{n} (3a+1) \\ & = \sum_{a=1}^n ((a^2+1) -(3a+1)) \\ & = \sum_{a=1}^n (a^2 -3a) \end{aligned}$
Jadi, bentuk satu notasi sigmanya adalah $\boxed{\displaystyle \sum_{a=1}^n (a^2 -3a)}$
Jawaban b)
Dalam operasi sumasi/sigma, berlaku
$\displaystyle \sum_{k = 1}^n k + \sum_{k = n + 1}^m k = \sum_{k=1}^m k$
Untuk itu, dapat kita tulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{k=4}^n (k+2) + \sum_{k = n+3}^{15} k \\ & = \sum_{k=4}^n (k+2) + \sum_{k = n+3-2}^{15-2} (k+2) \\ & = \sum_{k=4}^n (k+2) + \sum_{k = n+1}^{13} (k+2) \\ & = \sum_{k=4}^{13} (k+2) \end{aligned}$
Jadi, bentuk satu notasi sigmanya adalah $\boxed{\displaystyle \sum_{k=4}^{13} (k+2)}$
Soal Nomor 3
Nyatakan deret berikut dalam notasi sigma.
$$\begin{aligned} & \text{a)}. -2+1+6+13+22+\cdots+397 \\ & \text{b)}. ^a \log \dfrac{1}{x} + ^a \log \dfrac{1}{x^2} + ^a \log \dfrac{1}{x^3} + \cdots + ^a \log \dfrac{1}{x^{15}} \end{aligned}$$
Jawaban a)
Ubah deret ke dalam bentuk barisan, yaitu $-2, 1, 6, 13, 22, \cdots, 397$
Tinjau barisan bilangan kuadrat:
$1, 4, 9, 16, 25, \cdots$
yang memiliki rumus suku ke-$n$
$\text{U}_n = n^2.$
Dengan membandingkan nilai tiap suku pada kedua barisan itu, kita dapatkan bahwa suku pada barisan semula merupakan tiga kurangnya dari suku yang berpadanan pada barisan bilangan kuadrat, sehingga rumus suku ke-$n$ pada barisan
$-2, 1, 6, 13, 22, \cdots, 397$
adalah $\text{U}_n = n^2 -3.$
Suku terakhir adalah suku ke-$20$ karena
$\begin{aligned} 397 & = n^2 -3 \\ 400 & = n^2 \\ n & = \sqrt{400} = 20 \end{aligned}$
Untuk itu, notasi sigma dari deret di atas adalah
$\displaystyle \sum_{n=1}^{20} (n^2-3)$
Jawaban b)
Perhatikanlah bahwa setiap suku pada deret $$^a \log \dfrac{1}{x} + ^a \log \dfrac{1}{x^2} + ^a \log \dfrac{1}{x^3} + \cdots + ^a \log \dfrac{1}{x^{15}}$$ berubah pada nilai pangkat $x$ saja, yakni $1, 2, 3, \cdots, 15$, yang merupakan barisan aritmetika dengan rumus suku ke-$n$: $\text{U}_n = n.$
Dengan demikian, bentuk notasi sigma dari deret tersebut adalah
$\boxed{\displaystyle \sum_{n = 1}^{15} \left(^a \log \dfrac{1}{x^n}\right)}$
Soal Nomor 4
Buktikan bahwa $\displaystyle \sum_{n=1}^9 (2n-3) = 3 \sum_{n=1}^3 (2n+3).$
Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned}\displaystyle \sum_{n=1}^9 (2n-3) & = \sum_{n=1}^3 (2n-3) + \sum_{n=4}^6 (2n-3) + \sum_{n=7}^9 (2n-3) \\ & = \sum_{n=1}^3 (2n-3) + \sum_{n=4-3}^{6-3} (2(n+3)-3) + \sum_{n=7-6}^{9-6} (2(n+6)-3) \\ & = \sum_{n=1}^3 (2n-3) + \sum_{n=1}^3 (2n+3) + \sum_{n=1}^3 (2n+9) \\ & = \sum_{n=1}^3 ((2n-3)+(2n+3)+(2n+9)) \\ & = \sum_{n=1}^3 (6n+9) \\ & = \sum_{n=1}^3 3(2n+3) \\ & = 3 \sum_{n=1}^3 (2n+3) \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\boxed{\displaystyle \sum_{n=1}^9 (2n-3) = 3 \sum_{n=1}^3 (2n+3)}$
Soal Nomor 5
Buktikan bahwa $$\displaystyle \sum_{i=1}^n (2i-1)^2 = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}.$$
Akan dibuktikan bahwa $$\displaystyle \sum_{i=1}^n (2i-1)^2 = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}.$$Gunakan rumus operasi sumasi berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^n k & = \dfrac{n(n+1)}{2} \\ \sum_{k=1}^n k^2 & = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{aligned}}$$Pembuktian dimulai dari ruas kiri.
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^n (2i-1)^2 & = \sum_{i=1}^n (4i^2-4i+1) \\ & = 4 \sum_{i=1}^n i^2-4 \sum_{i=1}^n i + \sum_{i=1}^n 1 \\ & = \cancelto{2}{4} \cdot \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{\cancelto{3}{6}}-\cancelto{2}{4} \cdot \dfrac{n(n+1)}{\cancel{2}} + n \\ & = \dfrac{2n(n+1)(2n+1)}{3}-2n(n+1)+n \\ & = \dfrac{2n(n+1)(2n+1)-6n(n+1)+3n}{3} \\ & \text{Faktorkan}~n~\text{pada pembilang} \\ & = \dfrac{n(2(n+1)(2n+1)-6(n+1)+3)}{3} \\ & = \dfrac{n(2(2n^2+3n+1)-6n-3)}{3} \\ & = \dfrac{n(4n^2-1)}{3} \\ & = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\displaystyle \sum_{i=1}^n (2i-1)^2 = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}.$$
Soal Nomor 6
Buktikan bahwa $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i \cdot 3^i = \dfrac{(2n-1)3^{n+1} + 3}{4}.$$
Misalkan $S = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} i \cdot 3^i.$ Kalikan kedua ruas dengan $3$ dan dengan menggunakan aturan pangkat, diperoleh
$$\begin{aligned} 3S & = 3 \displaystyle \sum_{i=1}^{n} i \cdot 3^i \\ & = \sum_{i=1}^{n} i \cdot 3^{i + 1}. \end{aligned}$$Kurangi persamaan $3S = \cdots$ dengan $S = \cdots$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} 3S-S & = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} i \cdot 3^{i + 1}-\sum_{i=1}^{n} i \cdot 3^i \\ 2S & = \left(\color{red}{1 \cdot 3^2} + \color{blue}{2 \cdot 3^3} + 3 \cdot 3^4 + \cdots + (n-1) \cdot 3^n + n \cdot 3^{n+1}\right)-\left(1 \cdot 3^1 + \color{red}{2 \cdot 3^2} + \color{blue}{3 \cdot 3^3} + \cdots + n \cdot 3^n\right) \\ 2S & = (1-2)3^2 + (2-3)3^3 + \cdots + ((n-(n+1))3^n + n \cdot 3^{n+1}-3 \\ 2S & = -3^2-3^3-\cdots-3^n + n \cdot 3^{n+1}-3 \\ 2S & = -\underbrace{(3^2 + 3^3 + \cdots + 3^n)}_{\text{deret geometri}} + n \cdot 3^{n+1}-3. \end{aligned}$$Ingat bahwa pada deret geometri, jumlah $n$ suku pertama dapat dicari dengan menggunakan $\text{S}_n = \dfrac{a(r^n-1)}{r-1}.$
Deret geometri di atas memiliki suku pertama $a = 3^2,$ rasio $r = 3,$ dan banyak sukunya $(n-1).$ Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} 2S & = -\dfrac{3^2(3^{n-1}-1}{3-1} + n \cdot 3^{n+1}-3 \\ 2S & = -\dfrac{3^{n+1}-9}{2} + n \cdot 3^{n+1}-3 \\ 2S & = -\dfrac{3^{n+1}}{2} + n \cdot 3^{n+1}+\dfrac92-3 \\ 2S & = \left(n-\dfrac12\right)3^{n+1}+\dfrac32 \\ 2S & = \dfrac12(2n-1)3^{n+1} + \dfrac32 \\ S & = \dfrac{2n-1)3^{n+1} + 3}{4}. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i \cdot 3^i = \dfrac{(2n-1)3^{n+1} + 3}{4}.$$
Soal Nomor 7
Tentukan nilai dari $\dfrac{1}{2.015!} + \displaystyle \sum_{k=1}^{2.014} \dfrac{k}{(k+1)!}.$
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!} & = \dfrac{(k+1)!-k!}{k!(k+1)!} \\ & = \dfrac{k!((k+1)-1)}{k!(k+1)!} \\ & = \dfrac{\cancel{k!} \cdot k}{\cancel{k!} \cdot (k+1)!} \\ & = \dfrac{k}{(k+1)!} \end{aligned}$
Dengan menggunakan sifat ini, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{2.015!} + \displaystyle \sum_{k=1}^{2.014} \dfrac{k}{(k+1)!} & = \dfrac{1}{2.015!} + \sum_{k=1}^{2.014} \left(\dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2.015!} + \left(\dfrac{1}{1!}-\dfrac{1}{(1+1)!}\right)+\left(\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{(2+1)!}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{2.014!}-\dfrac{1}{(2.014+1)!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2.015!} + \left(\dfrac{1}{1!}-\cancel{\dfrac{1}{2!}}\right)+\left(\cancel{\dfrac{1}{2!}}-\cancel{\dfrac{1}{3!}}\right)+\cdots+\left(\cancel{\dfrac{1}{2.014!}}-\dfrac{1}{2.015!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2.015!} + \dfrac{1}{1!}-\dfrac{1}{2.015!} = 1 \end{aligned}$$Catatan: Dalam prosedur di atas, kita menerapkan prinsip teleskopik, yaitu suku-sukunya dibuat saling menghilangkan.
Soal Nomor 8
Buktikan bahwa $$\displaystyle \sum_{k=1}^n \left(k^3-(k-1)^3\right) = n^3.$$
Gunakan rumus deret berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^n 1 & = n \\ \sum_{k=1}^n k & = \dfrac{n(n+1)}{2} \\ \sum_{k=1}^n k^2 & = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{aligned}}$$Selanjutnya, akan dibuktikan persamaan di atas dimulai dari ruas kiri.
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^n \left(k^3-(k-1)^3\right) & = \sum_{k=1}^n \left(k^3-(k^3-3k^2+3k-1)\right) \\ & = \sum_{k=1}^n \left(3k^2-3k+1\right) \\ & = 3 \sum_{k=1}^n k^2-3 \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1 \\ & = \cancel{3} \cdot \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{\cancelto{2}{6}}-3 \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} + n \\ & = \dfrac{2n^3 + 3n^2 + n}{2}-\dfrac{3n^2 + 3n}{2} + n \\ & = \dfrac{2n^3-2n}{2} + n \\ & = (n^3-n) + n \\ & = n^3 \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^n \left(k^3-(k-1)^3\right) = n^3}$$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Faktorial