Soal dan Pembahasan – Faktorial

Gunakan prinsip faktorial.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{100!\times 2}{99!}}& ={\displaystyle \frac{100\times \cancel{99!}\times 2}{\cancel{99!}}}\\ & =100\times 2=200\end{array}$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{100!\times 2}{99!}}=200}}.$
(Jawaban D)

Dengan menggunakan definisi faktorial dan sifat distributif bilangan, kita akan memperoleh
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{11!-10!}{9!}}& ={\displaystyle \frac{11\cdot 10!-10!}{9!}}\\ & ={\displaystyle \frac{(11-1)\cdot 10!}{9!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\cdot 10\cdot \cancel{9!}}{\cancel{9!}}}\\ & =10\cdot 10=100.\end{array}$
(Jawaban D)

Gunakan definisi faktorial dan sifat distributif bilangan.
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{15!-14!}{8!-7!}}& ={\displaystyle \frac{15\cdot 14!-14!}{8\cdot 7!-7!}}\\ & ={\displaystyle \frac{(15-1)\cdot 14!}{(8-1)\cdot 7!}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\cancel{14}}^2\cdot 14!}{\cancel{7}\cdot 7!}}\\ & ={\displaystyle \frac{2\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot \cancel{7!}}{\cancel{7!}}}\\ & =14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 2\end{array}$$(Jawaban D)

Perhatikan bahwa semua basis pada ekspresi di atas merupakan hasil perpangkatan dari $2$. Jadi, kita ubah semuanya menjadi berbasis $2$, lalu sederhanakan menggunakan sifat-sifat eksponen.
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{{32}^{9!}}{8^{8!}}}÷({16}^{9!}\cdot {64}^{8!})& ={\displaystyle \frac{(2^5{)}^{9!}}{(2^3{)}^{8!}}}÷((2^4{)}^{9!}\cdot (2^6{)}^{8!})\\ & =2^{5\cdot 9!-3\cdot 8!}÷(2^{4\cdot 9!+6\cdot 8!}\\ & =2^{5\cdot 9!-3\cdot 8!-4\cdot 9!-6\cdot 8!}\\ & =2^{(5-4)9!-(3+6)8!}\\ & =2^{1\cdot 9!-9\cdot 8!}\\ & =2^{9!-9!}=2^0=1\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{{32}^{9!}}{8^{8!}}}÷({16}^{9!}\cdot {64}^{8!})=1}}.$
(Jawaban B)

Berdasarkan definisi faktorial, diperoleh
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{(n-1)!}{n!}}& ={\displaystyle \frac{\cancel{(n-1)!}}{n\cdot \cancel{(n-1)!}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{n}}\end{array}$
Jadi, hasil dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{(n-1)!}{n!}}={\displaystyle \frac{1}{n}}}}.$
(Jawaban A)

Berdasarkan definisi faktorial, diperoleh
$\begin{array}{rl}(n+3)!& =10(n+2)!\\ (n+3)\times \cancel{(n+2)!}& =10\cancel{(n+2)!}\\ n+3& =10\\ n& =7\end{array}$
Jadi, nilai $n$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 7}}.$
(Jawaban B)

Pertama, kita akan mencari nilai $n$ dengan menyelesaikan persamaan ${\displaystyle \frac{n!}{(n-2)!}}=20$ menggunakan definisi faktorial.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{n\times (n-1)\times \cancel{(n-2)!}}{\cancel{(n-2)!}}}& =20\\ n(n-1)& =20\\ n^2-n-20& =0\\ (n-5)(n+4)& =20\end{array}$
Diperoleh $n=5$ atau $n=-4$.
Karena $n=-4$ mengakibatkan $n!$ tidak terdefinisi, maka kita ambil $n=5$.
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle n^2+5n-3=(5{)}^2+5(5)-3=47}}.$
(Jawaban D)

Berdasarkan definisi faktorial, diperoleh
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n-2)!}}& ={\displaystyle \frac{n!}{(n-4)!}}\\ {\displaystyle \frac{(n+1)\times \bcancel{n!}}{(n-2)\times (n-3)\times \cancel{(n-4)!}}}& ={\displaystyle \frac{\bcancel{n!}}{\cancel{(n-4)!}}}\\ {\displaystyle \frac{n+1}{(n-2)(n-3)}}& =1\\ n+1& =(n-2)(n-3)\\ n+1& =n^2-5n+6\\ n^2-6n+5& =0\\ (n-5)(n-1)& =0\end{array}$$Diperoleh $n=5$ atau $n=1$.
Karena $n=1$ mengakibatkan ekspresi $(n-2)!$ tidak terdefinisi, maka kita ambil $n=5$. Pernyataan yang benar adalah $n=5$ merupakan bilangan prima.
(Jawaban A)

Perhatikan bahwa
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{k}{(k+1)!}}& ={\displaystyle \frac{k+1}{(k+1)!}}-{\displaystyle \frac{1}{(k+1)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{\cancel{k+1}}{\cancel{(k+1)}\times k!}}-{\displaystyle \frac{1}{(k+1)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{k!}}-{\displaystyle \frac{1}{(k+1)!}}\end{array}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{1}{2!}}+{\displaystyle \frac{2}{3!}}+{\displaystyle \frac{3}{4!}}+{\displaystyle \frac{4}{5!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{99}{100!}}\\ & =({\displaystyle \frac{1}{1!}}-\cancel{{\displaystyle \frac{1}{2!}}})+(\cancel{{\displaystyle \frac{1}{2!}}}-\cancel{{\displaystyle \frac{1}{3!}}})+\cdots +(\cancel{{\displaystyle \frac{1}{99!}}}-{\displaystyle \frac{1}{100!}})\\ & =1-{\displaystyle \frac{1}{100!}}\end{array}$$Catatan: Prinsip pencoretan (kanselasi) sehingga suku-sukunya saling menghilangkan seperti di atas dikenal dengan istilah Prinsip Teleskopik.
Jadi, bentuk sederhananya adalah $\boxed{{\displaystyle 1-{\displaystyle \frac{1}{100!}}}}.$
(Jawaban A)

Tiga digit terakhir dari $N$ sama dengan tiga digit terakhir dari
$Q=(1!{)}^3+(2!{)}^3+(3!{)}^3+(4!{)}^3.$
Ini terjadi karena untuk $m>4$, berlaku $10|m!$, artinya $m!$ habis dibagi $10$. Akibatnya, $1000|(m!{)}^3$.
Dengan kata lain, tiga digit terakhir dari $(5!{)}^3,(6!{)}^3$, dan seterusnya adalah $000$.
Sekarang, perhatikan bahwa
$\begin{array}{rl}Q& =(1!{)}^3+(2!{)}^3+(3!{)}^3+(4!{)}^3\\ & =(1{)}^3+(2{)}^3+(6^3)+({24}^3)\\ & =1+8+216+13.824=14.049\end{array}$
Jadi, tiga digit terakhir dari $N$ adalah $\overline{abc}=049$ sehingga $\boxed{{\displaystyle a+b+c=0+4+9=13}}.$
(Jawaban E)

Misalkan:
$$\begin{array}{rl}x& =1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+\cdots +99\cdot 99!+100\cdot 100!\\ y& =2\cdot 1!+3\cdot 2!+4\cdot 3!+\cdots +100\cdot 99!+101\cdot 100!\end{array}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}y-x& =(2-1)\cdot 1!+(3-2)\cdot 2!+(4-3)\cdot 3!+\cdots +(100-99)\cdot 99!+(101-100)\cdot 100!\\ & =1\cdot 1!+1\cdot 2!+1\cdot 3!+\cdots +1\cdot 99!+1\cdot 100!\\ & =1!+2!+3!+\cdots +99!+100!\end{array}$$Perhatikan bahwa $y$ juga dapat ditulis dalam ekspresi lain, yaitu
$y=2!+3!+4!+\cdots +100!+101!$
Sekarang, substitusi ekspresi $y$ ini ke persamaan sebelumnya (mengganti nilai $y$ yang diberi warna merah di atas).
$$\begin{array}{rl}y-x& =1!+2!+3!+\cdots +99!+100!\\ (2!+3!+4!+\cdots +100!+101!)-x& =1!+2!+3!+\cdots +99!+100!\\ x& =(\cancel{2!+3!+4!+\cdots +100!}+101!)-(1!+\cancel{2!+3!+\cdots +99!+100!})\\ x& =101!-1\end{array}$$Perhatikan bahwa $101!$ jelas habis dibagi $101$ karena memuat faktor $101$. Ketika dikurangi $1$, maka sisa pembagiannya menjadi $101-1=100$.
Jadi, sisa pembagian $1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!$ $+\cdots +99\cdot 99!+100\cdot 100!$ oleh $101$ adalah $\boxed{{\displaystyle 100}}.$
(Jawaban E)

Misalkan $$P=1^2\cdot 2!+2^2\cdot 3!+3^2\cdot 4!+\cdots +{2.025}^2\cdot 2.026!.$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rl}P& ={\displaystyle \sum _{k=1}^{2.025}{k}^2(k+1)!}\\ & =\sum _{k=1}^{2.025}[(k+2{)}^2-4(k+1)](k+1)!\\ & =\sum _{k=1}^{2.025}(k+2{)}^2(k+1)!-\sum _{k=1}^{2.025}4(k+1)(k+1)!\\ & =\sum _{k=1}^{2.025}(k+2)(k+2)!-4\sum _{k=1}^{2.025}(k+1)(k+1)!\\ & =\sum _{k=3}^{2.027}k\cdot k!-4\sum _{k=2}^{2.026}k\cdot k!\\ & =(\sum _{k=1}^{2.027}k\cdot k!-1\cdot 1!-2\cdot 2!)-4(\sum _{k=1}^{2.026}k\cdot k!-1\cdot 1!).\end{array}$$Dengan menggunakan fakta bahwa ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k\cdot k!=(n+1)!-1}$ (dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi), didapat
$$\begin{array}{rl}P& =((2.028!-1)-5)-4((2.027!-1)-1)\\ & =2.028!-4\cdot 2.027!+2.\end{array}$$Dari bentuk terakhir, dapat dengan mudah diketahui bahwa sisa hasil bagi $P$ oleh $2.027$ adalah $\boxed{{\displaystyle 2}}.$ Hal ini terjadi karena $2.028!$ dan $4\cdot 2.027!$ keduanya memuat faktor $2.027$ sehingga $2.027$ membagi keduanya.
(Jawaban B)

Gunakan sifat faktorial berikut.
$\boxed{{\displaystyle n!=n(n-1)!}}$
Perhatikan bahwa $5!=120$.
Kita peroleh
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{(120!+1)!-(120!)!}{(120!-1)!}}& ={[(a!)!]}^b\\ {\displaystyle \frac{(120!+1)(120!)\cancel{(120!-1)!}-(120!)\cancel{(120!-1)!}}{\cancel{(120!-1)!}}}& ={[(a!)!]}^b\\ (120!+1)!(120!)-120!& ={[(a!)!]}^b\\ 120!((120!+1)-1)& ={[(a!)!]}^b\\ 120!(120!)& ={[(a!)!]}^b\\ (120!{)}^2=((5!)!{)}^2& ={[(a!)!]}^b\end{array}$$Diperoleh $a=5$ dan $b=2$ sehingga $\boxed{{\displaystyle (a-b)!=(5-2)!=3!=6}}$
(Jawaban E)

Jika $P=10\cdot (9!{)}^{\frac{1}{2}}$, maka $P^2={10}^2\cdot 9!=10\cdot 10!$.
Jika $Q=9\cdot (10!{)}^{\frac{1}{2}}$, maka $Q^2=9^2\cdot 10!=82\cdot 10!$.
Jika $R=(11!{)}^{\frac{1}{2}}$, maka $R^2=11!=11\cdot 10!$.
Dengan demikian, $Q^2>R^2>P^2$, mengimplikasikan bahwa $\boxed{{\displaystyle P<R<Q}}.$
(Jawaban E)

Gunakan definisi faktorial untuk memperoleh
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{((3!)!)!}{3!}}& ={\displaystyle \frac{(6!)!}{6}}={\displaystyle \frac{720!}{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{720\cdot 719!}{6}}\\ & =120\cdot 719!=k\cdot n!.\end{array}$
Jelas kita tidak dapat membuat nilai $n$ lebih besar lagi karena $k$ harus tetap merupakan bilangan bulat.
—–
Catatan: Jika $k$ tidak harus bulat, maka kita bisa tuliskan menjadi
$\begin{array}{rl}120\cdot 719!& ={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot 720\cdot 719!\\ & ={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot 720!.\end{array}$
Dalam hal ini, kita dapat membuat nilai $n$ membesar.
—–
Jadi, diperoleh $k=120$ dan $n=719$ sehingga $\boxed{{\displaystyle k+n=120+719=839}}.$
(Jawaban D)

Angka nol terakhir pada suatu bilangan ditentukan oleh banyaknya faktor bilangan $10$ yang dimuat oleh bilangan tersebut. Perhatikan bahwa faktor $10$ sendiri adalah $2$ dan $5$.
Bilangan $320!$ memuat banyak sekali faktor $2$, tetapi tidak untuk faktor $5$.
Jadi, kita hanya perlu menghitung banyaknya faktor $5$ pada bilangan $320!$.
$320!$ memiliki ${\displaystyle \lfloor {\displaystyle \frac{320}{5}}\rfloor =64}$ suku yang habis dibagi oleh $5^1$, yaitu $5,10,15,20,\cdots ,320.$
$320!$ memiliki ${\displaystyle \lfloor {\displaystyle \frac{320}{25}}\rfloor =12}$ suku yang habis dibagi $5^2$, yaitu $25,50,75,\cdots ,300.$
$320!$ memiliki ${\displaystyle \lfloor {\displaystyle \frac{320}{125}}\rfloor =2}$ suku yang habis dibagi $5^3$, yaitu $125$ dan $250$.
Banyaknya faktor $5$ secara keseluruhan adalah $64+12+2=78$ dan tentunya banyaknya faktor $2$ lebih dari ini.
Jadi, bilangan $320!$ dapat ditulis menjadi
$2^{78}\times 5^{78}\times \cdots ={10}^{78}\times \cdots$
Dengan kata lain, ada $\boxed{{\displaystyle 78}}$ angka nol terakhir pada bilangan $320!$.
(Jawaban D)

Kita akan mencari banyaknya faktor $3$ pada bilangan $75!$.
Banyaknya faktor $3$ pada bilangan $75!$ dinyatakan oleh
$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \lfloor {\displaystyle \frac{75}{3}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{75}{9}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{75}{27}}\rfloor }\\ & =25+8+2=35.\end{array}$
Jadi, $75!$ dapat ditulis menjadi $a\times 3^{35}$ sehingga nilai maksimum dari $b$ adalah $\boxed{{\displaystyle 35}}.$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa $4^b=2^{2b}$.
Kita akan mencari banyaknya faktor $2$ pada bilangan $100!$.
Banyaknya faktor $2$ pada bilangan $100!$ dinyatakan oleh
$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \lfloor {\displaystyle \frac{100}{2}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{100}{4}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{100}{8}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{100}{16}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{100}{32}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{100}{64}}\rfloor }\\ & =50+25+12+6+3+1=97.\end{array}$$Jadi, $100!$ dapat ditulis menjadi $a\times 2^{97}$, sedangkan $2^{97}=2^{2\cdot 48+1}=4^{48}\times 2$.
Dengan demikian, nilai maksimum dari $b$ adalah $\boxed{{\displaystyle 48}}.$
(Jawaban E)

Perhatikan bahwa $100$ bilangan ganjil pertama dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{array}{rl}& 1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots 197\cdot 199\\ & ={\displaystyle \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots 199\cdot 200}{2\cdot 4\cdot 6\cdots 198\cdot 200}}\\ & ={\displaystyle \frac{200!}{2^{100}\cdot 100!}}\end{array}$
Jelas bahwa $2^{100}$ tidak memuat faktor $3$.
Dengan demikian, kita akan mencari banyaknya faktor $3$ pada $200!$, dikurangi dengan banyaknya faktor $3$ pada $100!$.
Banyaknya faktor $3$ pada bilangan $200!$ dinyatakan oleh
$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \lfloor {\displaystyle \frac{200}{3}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{200}{9}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{200}{27}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{200}{81}}\rfloor }\\ & =66+22+7+2=97.\end{array}$
Banyaknya faktor $3$ pada bilangan $100!$ dinyatakan oleh
$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \lfloor {\displaystyle \frac{100}{3}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{100}{9}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{100}{27}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{100}{81}}\rfloor }\\ & =33+11+3+1=48.\end{array}$
Jadi, banyaknya faktor $3$ pada hasil kali $100$ bilangan ganjil pertama adalah $\boxed{{\displaystyle 97-48=49}},$ yang menunjukkan bahwa hasil kalinya habis dibagi oleh $3^{49}.$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa
${12}^k=(2^2\cdot 3{)}^k=2^{2k}\cdot 3^k$.
Kita akan mencari banyaknya faktor $2$ pada bilangan $66!$.
Banyaknya faktor $2$ pada bilangan $66!$ dinyatakan oleh
$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \lfloor {\displaystyle \frac{66}{2}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{66}{4}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{66}{8}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{66}{16}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{66}{32}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{66}{64}}\rfloor }\\ & =33+16+8+4+2+1=64.\end{array}$$Selanjutnya, kita akan mencari banyaknya faktor $3$ pada bilangan $66!$, yaitu
$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \lfloor {\displaystyle \frac{66}{3}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{66}{9}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{66}{27}}\rfloor }\\ & =22+7+2=31.\end{array}$
Jadi, disimpulkan bahwa $66!$ memuat faktor berikut.
$\begin{array}{rl}{2}^{64}\cdot 3^{31}& =4^{32}\cdot 3^{31}\\ & =4\cdot 4^{31}\cdot 3^{31}\\ & =4\cdot {12}^{31}\end{array}$
Jadi, bilangan bulat positif terbesar $k$ sehingga ${12}^k$ membagi $66!$ adalah $\boxed{{\displaystyle 31}}.$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}& 1!\cdot 2!\cdot 3!\cdots 10!\\ & =1!\cdot (1\cdot 2)\cdot (1\cdot 2\cdot 3)\cdots (1\cdot 2\cdots 10)\\ & =2^9\cdot 3^8\cdot 4^7\cdot 5^6\cdot 6^5\cdot 7^4\cdot 8^3\cdot 9^2\cdot 10\\ & =2^9\cdot 3^8\cdot 2^{14}\cdot 5^6\cdot (2^5\cdot 3^5)\cdot 7^4\cdot 2^9\cdot 3^4\cdot (2\cdot 5)\\ & =2^{38}\cdot 3^{17}\cdot 5^7\cdot 7^4\\ & =2^2\cdot (2^3{)}^{12}\cdot 3^2\cdot (3^3{)}^5\cdot 5\cdot (5^3{)}^2\cdot 7\cdot 7^3\end{array}$$Tinjau bilangan pangkat yang ditandai dengan warna merah di atas.
Pada $(2^3{)}^{12}$, akan ada $12+1=13$ bilangan kubik yang membagi habis bilangan tersebut.
Pada $(3^3{)}^5$, akan ada $5+1=6$ bilangan kubik yang membagi habis bilangan tersebut.
Pada $(5^3{)}^2$, akan ada $2+1=3$ bilangan kubik yang membagi habis bilangan tersebut.
Pada $7^3$, akan ada $1+1=2$ bilangan kubik yang membagi habis bilangan tersebut.
Catatan: Selalu ditambah $1$ karena setiap bilangan di atas pasti habis dibagi oleh satu bilangan kubik yang tetap, yakni $1^3=1$.
Secara keseluruhan, ada $\boxed{{\displaystyle 13\times 6\times 3\times 2=468}}.$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa $720=6!$.
Dengan demikian, $(x,y)=(6,0)$ dan $(x,y)=(6,1)$ memenuhi persamaan faktorial tersebut.
Selain itu, ${\displaystyle \frac{720!}{719!}}=720$.
sehingga $(x,y)=(720,719)$ juga memenuhi persamaan.
Selain itu, $720=10\times 9\times 8$. Dengan demikian,
$720={\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7!}{7!}}={\displaystyle \frac{10!}{7!}}$
sehingga $(x,y)=(10,7)$ memenuhi persamaan.
Secara keseluruhan, ada $\boxed{{\displaystyle 4}}$ pasangan nilai $(x,y)$ yang memenuhi persamaan tersebut.
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa ${\displaystyle \frac{1}{{}^a\log b}}{=}^b\log a$.
Dengan menggunakan sifat logaritma tersebut beserta sifat penjumlahan logaritma, diperoleh
$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{1}{{}^2\log 100!}}+{\displaystyle \frac{1}{{}^3\log 100!}}+{\displaystyle \frac{1}{{}^4\log 100!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{{}^{100}\log 100!}}\\ & {=}^{100!}\log 2{+}^{100!}\log 3{+}^{100!}\log 4+\cdots {+}^{100!}\log 100\\ & {=}^{100!}\log (2\cdot 3\cdot 4\cdots 100)\\ & {=}^{100!}\log 100!=1\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\displaystyle \frac{1}{{}^2\log 100!}}+{\displaystyle \frac{1}{{}^3\log 100!}}+{\displaystyle \frac{1}{{}^4\log 100!}}$ $+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{{}^{100}\log 100!}}$ sama dengan $\boxed{{\displaystyle 1}}.$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa untuk setiap $n\ge 5,$ digit terakhir dari $n!$ bernilai $0$.
Bilangan prima meliputi: $2,3,5,7,11,\cdots$ sehingga jumlah faktorial dari $2.020$ bilangan prima pertama dinyatakan oleh
$\underset{\text{ada}2.020\text{suku}}{\underbrace{2!+3!+5!+7!+11!+\cdots }}$
Digit terakhir selain $2!$ dan $3!$ adalah $0$. Karena $2!=2$ dan $3!=6$, maka digit terakhir dari penjumlahan faktorial tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 2+6+0+\cdots +0=8}}.$
(Jawaban E)

Supaya $b$ bernilai terbesar, maka $n$ harus dibuat sebesar mungkin, berakibat $a$ juga demikian. Jadi, kita ambil $a=6$, artinya $5^6$ merupakan faktor dari $n!$.
Untuk $n=5$, salah satu faktornya adalah $5$.
Untuk $n=10$, salah satu faktornya adalah $5^2$.
Begitu seterusnya sampai untuk $n=25=5^2$, salah satu faktornya adalah $5^{5+1}=5^6$. Dengan kata lain, $25!$ memiliki faktor $5^6$. Sebagai informasi, $n=26,27,28,29$ juga memiliki faktor $5^6.$ Sekarang, $7^b$ adalah faktor dari $25!$. Kelipatan $7$ yang kurang dari atau sama dengan $25$ (ataupun bilangan $26,27,28,29$) adalah $7,14,$ dan $21$. Jadi, $25!$ memiliki faktor $7^3$. Oleh karena itu, nilai $b$ terbesar adalah $\boxed{{\displaystyle 3}}.$
(Jawaban A)

Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{r}98!+99!+100!=98!(1+99+9.900)=98!\cdot 10.000.\end{array}$$Berikutnya, kita perlu mencari banyaknya faktor $5$ yang dimiliki oleh $98!$ dan $10.000.$ Pertama, banyaknya faktor $5$ yang dimiliki oleh $98!$ adalah
$$\lfloor {\displaystyle \frac{98}{5}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{98}{25}}\rfloor =19+3=22.$$Kedua, banyaknya faktor $5$ yang dimiliki oleh $10.000$ dapat dilihat dengan mencari faktorisasi prima dari $10.000$ sebagai berikut.
$$10.000={100}^2=(2^2\cdot 5^2{)}^2=2^4\cdot 5^4.$$Ini berarti, $10.000$ memiliki $4$ faktor $5.$ Secara keseluruhan, banyaknya faktor $5$ yang dimiliki oleh $98!$ dan $10.000$ adalah $22+4=26.$
Jadi, bilangan asli $n$ terbesar sehingga $5^n$ merupakan faktor dari hasil penjumlahan $98!+99!+100!$ adalah $\boxed{{\displaystyle 26}}.$
(Jawaban D)

Jawaban a)
$\begin{array}{rl}3!+2!+1!& =(3\cdot 2\cdot 1)+(2\cdot 1)+1\\ & =6+2+1=9\end{array}$
Jawaban b)
Perhatikan bahwa $4!=24$ dan $3!=6$.
$$\begin{array}{rl}4!-(3!-2!)!+3!& =24-(6-2)!+6\\ & =24-4!+6\\ & =24-24+6=6\end{array}$$Jawaban c)
$\begin{array}{rl}4!\times 3!+3!\times 4& =24\times 6+6\times 4\\ & =144+24=168\end{array}$
Jawaban d)
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{9!}{8!}}+{\displaystyle \frac{5!}{3!}}& ={\displaystyle \frac{9\times \cancel{8!}}{\cancel{8!}}}+{\displaystyle \frac{5\times 4\times \cancel{3!}}{\cancel{3!}}}\\ & =9+(5\times 4)=29\end{array}$

Jawaban a)
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{10!}{7!}}& =n(n-1)(n-2)\\ {\displaystyle \frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot \cancel{7!}}{\cancel{7!}}}& =n(n-1)(n-2)\\ 10\cdot 9\cdot 8& =n(n-1)(n-2)\end{array}$
Dari sini, disimpulkan bahwa $\boxed{{\displaystyle n=10}}$ memenuhi persamaan tersebut.
Jawaban b)
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{9!}{3!}}& =5!(n-1)(n)(n+1)\\ {\displaystyle \frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot \bcancel{6}\cdot \cancel{5!}}{\bcancel{3\cdot 2}}}& =\cancel{5!}(n-1)(n)(n+1)\\ 9\cdot 8\cdot 7& =(n+1)(n)(n-1)\end{array}$$Dari sini, disimpulkan bahwa $\boxed{{\displaystyle n=8}}$ memenuhi persamaan tersebut.