Soal dan Pembahasan – Homomorfisma Grup dan Kernel (Struktur Aljabar)

Perhatikan pemasangan (pemetaan) oleh $\psi$ berikut ini dengan $a, b \in G.$
$a \to \psi(a) = 2^a$
$b \to \psi(b) = 2^b$
$a + b \to \psi(a+b)$
dengan
$\psi(a+b) = 2^{a+b} = 2^a \times 2^b$
$ = \psi(a) \times \psi(b).$
Karena $\forall a,b \in G, \psi(a+b) = \psi(a) \times \psi(b)$, maka $\psi$ terbukti merupakan homomorfisma dari $G$ ke $H.$

Jawaban a)
Ambil sembarang $x,y \in G$ sehingga muncul pemetaan
$x \to \psi(x) = 2x$
$y \to \psi(y) = 2y$
$x + y \to \psi(x+y) = 2(x+y) $
$ = 2x + 2y = \psi(x) + \psi(y)$
Jadi, diperoleh $\psi(x+y) = \psi(x) + \psi(y).$
Ini berarti $\psi$ homomorfisma (terbukti).
Jawaban b)
Untuk menunjukkan bahwa $\psi$ isomorfisma (homomorfisma yang bijektif), maka harus ditunjukkan bahwa $\psi$ monomorfisma (homomorfisma yang injektif) dan epimorfisma (homomorfisma yang surjektif).
Langkah pertama, kita akan menunjukkan bahwa $\psi$ monomorfisma.
Ambil sembarang $x, y \in G.$
Jika $\psi(x) = \psi(y)$, maka diperoleh
$2x = 2y \Leftrightarrow x = y.$
Jadi, $\psi(x) = \psi(y) \Rightarrow x = y.$
Ini berarti $\psi$ injektif (monomorfisma).
Langkah kedua, kita akan menunjukkan bahwa $\psi$ epimorfisma.
Ambil sembarang $x’ \in G’$. pilih $x \in G$ sehingga $\psi(x) = x’$. Ambil juga $x = \dfrac{1}{2}x’$, maka $\psi(x) = 2\left(\dfrac{1}{2}x’\right) = x’$. Jadi, untuk semua $x’ \in G’$, ada $x \in G$ dengan $x = \dfrac{1}{2}x’ \ni \psi(x) = x’.$
Ini berarti $\psi$ surjektif (epimorfisma).
Dari kedua ini, terbukti bahwa $\psi$ isomorfisma.

Ambil sembarang $x, y \in G.$ Kita akan membagi ini dalam 4 kasus berbeda.
Kasus I: $x, y > 0$
Karena $x > 0$ dan $y > 0$, maka $x \times y > 0$ sehingga
$\psi(x) = 1$
$\psi(y) = 1$
$\psi(x \times y) = 1$
Jadi, $\psi(x \times y) = \psi(x) \times \psi(y).$
Kasus II: $x > 0$ dan $y < 0$
Karena $x > 0$ dan $y < 0$, maka $x \times y < 0$ sehingga
$\psi(x) = 1$
$\psi(y) = -1$
$\psi(x \times y) = -1$
Jadi, $\psi(x \times y) = \psi(x) \times \psi(y).$
Kasus III: $x < 0$ dan $y > 0$
Karena $x < 0$ dan $y > 0$, maka $x \times y < 0$ sehingga
$\psi(x) = -1$
$\psi(y) = 1$
$\psi(x \times y) = -1$
Jadi, $\psi(x \times y) = \psi(x) \times \psi(y).$
Kasus IV: $x, y < 0$
Karena $x < 0$ dan $y < 0$, maka $x \times y > 0$ sehingga
$\psi(x) = -1$
$\psi(y) = -1$
$\psi(x \times y) = 1$
Jadi, $\psi(x \times y) = \psi(x) \times \psi(y).$
Dari kasus I sampai kasus IV, $\psi(x \times y) = \psi(x) \times \psi(y), x,y \in G.$

(Jawaban a)
Ambil sembarang $x, y \in B$ sehingga
$\psi(x) = 2x$
$\psi(y) = 2y$
$\begin{aligned} \psi(x+y) & = 2(x+y) \\ & = 2x + 2y \\ & = \psi(x) + \psi(y). \end{aligned}$
Jadi, $\psi(x+y) = \psi(x) + \psi(y), \forall x,y \in B.$
Ini berarti $\psi$ homomorfisma. Karena pemetaannya ke diri sendiri, yaitu $\psi: B \to B$, maka $\psi$ endomorfisma (terbukti).
(Jawaban b)
Ambil sembarang $x, y \in B$ sehingga
$\theta(x) = -x$
$\theta(y) = -y$
$\begin{aligned} \theta(x + y) & = -(x + y) \\ &  = (-x) + (-y) \\ & = \theta(x) + \theta(y). \end{aligned}$
Jadi, $\theta(x + y) = \theta(x) + \theta(y), \forall x,y \in B.$
Artinya, $\theta$ homomorfisma.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa $\theta$ injektif (monomorfisma).
Ambil sembarang $x,y \in B.$
Jika $\theta(x) = \theta(y)$, maka diperoleh
$-x = -y$, yang ekuivalen dengan $x = y.$
Jadi, $\theta(x) = \theta(y) \Rightarrow x = y.$
Artinya, $\theta$ injektif.
Terakhir, akan ditunjukkan bahwa $\theta$ surjektif (epimorfisma)
Ambil sembarang $x’ \in B’$. pilih $x \in B$ sehingga $\theta(x) = x’.$
Ambil $x = -x’$, maka $\theta(x) = -(-x’) = x’.$
Jadi, $\forall x’ \in B’, \exists x \in B, x = -x’ \ni \theta(x) = x’.$
Artinya, $\theta$ surjektif.
Dapat disimpulkan bahwa $\theta$ merupakan endomorfisma yang bijektif atau istilah presisinya disebut automorfisma (terbukti).

Akan ditunjukkan bahwa $\phi$ homomorfisma terlebih dahulu.
Ambil sembarang $x, y \in G$ sehingga
$\phi(x) = \log x$
$\phi(y) = \log y$
$\begin{aligned} \phi(x \times y) & = \log xy \\ &= \log x + \log y = \phi(x) + \phi(y). \end{aligned}$
Jadi, $\phi(x \times y) = \phi(x) + \phi(y).$
Artinya, $\phi$ homomorfisma.
Sekarang, akan ditunjukkan bahwa $\phi$ injektif (monomorfisma).
Ambil sembarang $x, y \in G.$
Jika $\phi(x) = \phi(y)$, maka $\log x = \log y \Leftrightarrow x = y.$
Jadi, $\phi(x) = \phi(y) \Rightarrow x = y.$
Artinya, $\phi$ injektif.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa $\phi$ surjektif (epimorfisma).
Ambil sembarang $x’ \in G’$. pilih $x \in G$ sehingga $\phi(x) = x’$. Ambil $x = 10^{x’}$, maka $\phi(x) = ^{10}\log 10^{x’} = x’.$
Jadi, $\forall x’ \in G’, \exists x \in G, x = 10^{x’} \ni \phi(x) = x’.$
Ini berarti $\phi$ surjektif.
Dapat disimpulkan bahwa $\phi$ merupakan isomorfisma (hormomorfisma yang bijektif).

Ambil sembarang $x, y \in G$ sehingga
$x \to \phi(x) = x^2$
$y \to \phi(y) = y^2$
$x \times y \to \phi(x \times y) = (x \times y)^2$
$ = x^2 \times y^2 = \phi(x) \times \phi(y).$
Jadi, $\phi(x \times y) = \phi(x) \times \phi(y).$
Artinya, $\phi$ homomorfisma.
Elemen identitas dari $G’$, yaitu e’ adalah $1$ sehingga kernel dari $\phi$ adalah
$K_e = \{x \in G | \phi(x) = e’\}$
$K_e = \{x \in G | x^2 = 1\}$
$K_e = \{-1, 1\}.$
Jadi, kernel dari $\phi$ adalah $\{-1, 1\}$

Ambil sembarang $x, y \in G$ sehingga
$x \to \phi(x) = 2^x$
$y \to \phi(y) = 2^y$
$x \times y \to \phi(x \times y) = 2^{x \times y}$
$ \neq 2^x \times 2^y \neq \phi(x) \times \phi(y)$
Jadi, $\phi(x \times y) \neq \phi(x) \times \phi(y).$
Artinya, $\phi$ bukan homomorfisma.

Ambil sembarang $x, y \in G$ sehingga
$x \to \phi(x) = x + 1$
$y \to \phi(y) = y + 1$
$x + y \to \phi(x + y) = (x + y) + 1$
$ \neq (x + 1) + (y + 1) \neq \phi(x) + \phi(y).$
Jadi, $\phi(x + y) \neq \phi(x) + \phi(y).$
Artinya, $\phi$ bukan homomorfisma.

Ambil sembarang $x, y \in G$ sehingga
$x \to \phi(x) = 13x$
$y \to \phi(y) = 13y$
$x + y \to \phi(x + y) = 13(x + y) $
$ = 13x + 13y = \phi(x) + \phi(y).$
Jadi, $\phi(x + y) = \phi(x) + \phi(y).$
Artinya, $\phi$ homomorfisma.
Elemen identitas dari $G’$, yaitu e’ adalah $0$ sehingga kernel dari $\phi$ adalah
$K_e = \{x \in G | \phi(x) = e’\}$
$K_e = \{x \in G | 13x = 0\}$
$K_e = \{0\}.$
Jadi, kernel dari $\phi$ adalah $\{0\}.$

Ambil sembarang $x, y \in G$ sehingga
$x \to \phi(x) = x^5$
$y \to \phi(y) = y^5$
$x \star y \to \phi(x \star y) = (x \star y)^5.$
Karena G grup abelian, maka berlaku
$x^5 \star y^5 = \phi(x) \star \phi(y).$
Jadi, $\phi$ homomorfisma.
Identitas $G’$ adalah $e’$ sehingga kernel dari $\phi$ adalah
$K_e = \{x \in G| x^5 = e’\}.$

Karena grup yang kita temui ini merupakan grup hingga (grup yang anggotanya terbatas), maka kita perlu menggunakan bantuan tabel Cayley yang disajikan sebagai berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline +_2 & 0 & 1 \\ \hline 0 & \color{red}{0} & \color{blue}{1}  \\ \hline 1 & \color{blue}{1} & \color{red}{0} \\ \hline \end{array}$$
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \times & -1 & 1 \\ \hline -1 & \color{red}{1} & \color{blue}{-1}  \\ \hline 1 & \color{blue}{-1} & \color{red}{1} \\ \hline \end{array}$$
Tabel Cayley di atas menunjukkan bahwa kedua grup itu tidak sama, tetapi memiliki kemiripan satu dengan yang lain. Perhatikan bahwa hasil penjumlahan modulo $2$ pada setiap anggota $G$ berkorespondensi satu-satu terhadap hasil perkalian setiap anggota $G’$ (perhatikan tulisan yang diberi warna merah dan biru). Artinya, kedua grup itu memiliki struktur yang sama.
Dari tabel itu, kita peroleh hasil pemetaan oleh $\phi$, yaitu
$\phi(0) = 1$ dan $\phi(1) = -1.$
Kita akan melakukan pemeriksaan apakah $\phi$ homomorfisma.
Ambil $0, 1 \in G.$
$\phi(0 +_2 0) = \phi(0) \times \phi(0) = 1 (\text{benar})$
$\phi(0 +_2 1) = \phi(0) \times \phi(1)  = -1 (\text{benar})$
$\phi(1 +_2 0) = \phi(1) \times \phi(0) = -1 (\text{benar})$
$\phi(1 +_2 1) = \phi(1) \times \phi(1) = 1 (\text{benar})$
Jadi, jelas bahwa $\phi$ homomorfisma.

Ambil sembarang
$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ dan $B = \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}$
dengan $A, B \in M_2(\mathbb{R}).$
Hasil pemetaan $\phi$ adalah
$A \to \phi(A) = a + b – c – d$
$B \to \phi(B) = e + f – g – h$
$A + B \to \phi(A + B).$
Perhatikan bahwa
$\phi(A+B) = \phi\left(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}\right)$
$ = \phi\left(\begin{bmatrix} a + e& b + f\\ c + g & d + h\end{bmatrix}\right)$
$ = (a + e) + (b + f) – (c + g) – ( d + h)$
$ = (a + b – c – d) + (e + f – g – h)$
$ = \phi(A) + \phi(B).$
Jadi, $\phi$ homomorfisma.
—–Menentukan Kernel—–
Diketahui bahwa identitas $(\mathbb{R}, +)$ adalah $e’ = 0$ sehingga kernel dari $\phi$ adalah
$K = \left\{x \in M_2(\mathbb{R})~|~\phi(x) = e’\right\}.$
$$K = \left\{\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}~|~a, b, c, d \in \mathbb{R}, a + b-c-d = 0\right\}.$$

Karena $G$ dan $G’$ merupakan grup hingga, kita perlu menggunakan tabel Cayley yang disajikan sebagai berikut.

Tabel Cayley di atas menunjukkan bahwa $(G, +_4)$ dan $(G’, \times)$ jelas berbeda, tetapi perhatikan bahwa hasil penjumlahan modulo $4$ dari sembarang anggota $G$ berkorespondensi satu-satu dengan hasil perkalian setiap anggota sembarang pada $G’$ pada sel yang bersesuaian (lihat sel yang diberi shading biru, kuning, merah, dan oren). Dari tabel itu, diperoleh hasil pemetaan
$\phi(0) = 1$
$\phi(1) = i$
$\phi(2) = -1$
$\phi(3) = -i.$
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa $\phi$ homomorfisma. Ambil $0, 1, 2, 3 \in G.$ Pembuktiannya untuk masing-masing kombinasi anggota $G$ (ada $16$), tapi dapat disingkat dengan menggunakan sifat komutatif pada $(G, +_4)$ dan $(G, \times)$ dengan
$\phi(a +_4 b) = \phi(b +_4 a)$
dan
$\phi(a) \times \phi(b) = \phi(b) \times \phi(a).$
Pembuktian yang dimaksud adalah sebagai berikut.
$\phi(0 +_4 0) = \phi(0) \times \phi(0) = 1 (\text{benar})$
$\phi(1 +_4 0) = \phi(1) \times \phi(0) = i (\text{benar})$
$\phi(2 +_4 0) = \phi(2) \times \phi(0) = -1 (\text{benar})$
$\phi(3 +_4 0) = \phi(3) \times \phi(0) = -i (\text{benar})$
$\phi(1 +_4 1) = \phi(1) \times \phi(1) = -1 (\text{benar})$
$\phi(2 +_4 2) = \phi(2) \times \phi(2) = 1 (\text{benar})$
$\phi(3 +_4 3) = \phi(3) \times \phi(3) = -1 (\text{benar})$
$\phi(2 +_4 1) = \phi(2) \times \phi(1) = -i (\text{benar})$
$\phi(3 +_4 1) = \phi(3) \times \phi(1) = 1 (\text{benar})$
$\phi(2 +_4 3) = \phi(2) \times \phi(3) = i (\text{benar})$
Jadi, dapat disimpulkan bahwa $\phi$ homomorfisma.