Aksioma Lapangan – Mathcyber1997

Berikut ini adalah soal ujian akhir semester beserta pembahasan (menyusul) mata kuliah Analisis Real 1 (Real Analysis 1) (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 4 oleh Dr. Sugiatno, M.Pd pada bulan Juli 2018.

Bagian Benar – Salah

(Sertakan alasan mengapa demikian)
Soal Nomor 1
(B – S) Untuk setiap $x \in \mathbb{R}$ , berlaku $x^{\frac{6}{2}} = x^3$

Penyelesaian

Pernyataan benar.
Ini dikarenakan sifat kesamaan nilai pada pangkat bahwa $\dfrac{6}{2} = 3$ .

[collapse]

Soal Nomor 2
(B – S) $u$ dan $b \neq 0$ bilangan real dengan $u. b = b$ jika dan hanya jika $u = 1$ .

Penyelesaian

Pernyataan benar.
Akan dibuktikan dalam dua arah ssbagai berikut.
$(\Longrightarrow)$
Jika $u.b = b$ , maka $b = 1$ .
Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} u & = u \\ & = u. 1 && (~\text{Eksistensi bilangan satuan}) \\ & = u. \left(b.\dfrac{1}{b} \right) && (\text{Invers perkalian}) \\ & = (u. b). \dfrac{1}{b} && (\text{Sifat asosiatif perkalian}) \\ & = b. \dfrac{1}{b} && (\text{Asumsi} ~u. b=b) \\ & = 1 && (\text{Invers perkalian}) \end{aligned}$
$(\Longleftarrow)$
Asumsi dasarnya $u = 1$ .
$\begin{aligned} b & = b \\ & = 1.b && (\text{Eksistensi bilangan satuan}) \\ & = u. b && (\text{Asumsi}~u = 1) \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa pernyataan biimplikasi di atas bernilai benar.

[collapse]

Soal Nomor 3
(B – S) Jika $v = 1$ , maka $v. k=k$ dengan $k$ bilangan real dan $k \neq 0$ .

Penyelesaian

Pernyataan benar.
Pembuktiannya ekuivalen dengan pembuktian pada soal nomor 2 (arah kiri), yaitu dengan mengasumsikan $v = 1$ .
$\begin{aligned} k & = k \\ & = 1.k && (\text{Eksistensi bilangan satuan}) \\ & = v. k && (\text{Asumsi}~v = 1) \end{aligned}$
Karena tanda $=$ bersifat simetris, maka didapat $v. k = k$ .

[collapse]

Soal Nomor 4
(B – S) $a$ bilangan real jika dan hanya jika $a. 0 = 0$ .

Penyelesaian

Pernyataan salah.
Pernyataan “Jika $a \in \mathbb{R}$ , maka $a. 0= 0$ ” terbukti benar sebagai berikut.
Karena $a \in \mathbb{R}$ , maka aksioma lapangan diberlakukan.
$\begin{aligned} a. 0 & = (a. 0)+0 && (\text{Eksistensi bilangan nol}) \\ & = (a. 0) + (a + (-a)) && (\text{Invers penjumlahan}) \\ & = (a. 0)+(a. 1+(-a)) && (\text{Eksistensi bilangan satuan}) \\ & = (a. 0+a. 1)+(-a) && (\text{Sifat asosiatif penjumlahan}) \\ & = a. (0+1)+(-a) && (\text{Sifat distributif perkalian}) \\ & = a. 1 + (-a) && (\text{Operasi penjumlahan}) \\ & = a + (-a) && (\text{Eksistensi bilangan satuan}) \\ & = 0 && (\text{Invers penjumlahan}) \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa pernyataan di atas benar.
Sedangkan di arah sebaliknya, pernyataan bahwa jika $a. 0 = 0$ , maka $a \in \mathbb{R}$ secara trivial tidaklah benar. Ini dikarenakan $a$ bisa saja merupakan bilangan kompleks (tidak harus bilangan real).

[collapse]

Soal Nomor 5
(B – S) $a. b = 0$ jika dan hanya jika $a = 0$ atau $b = 0$ .

Penyelesaian

Pernyataan benar.
Akan dibuktikan dua arah sebagai berikut.
“Jika $a. b=0$ , maka $a = 0$ atau $b = 0$ “
i) Untuk $a = 0$ , berlaku $a.b = 0.b = 0$ . Pernyataan ini bernilai benar.
ii) Untuk $a \neq 0$ , berlaku
$\begin{aligned} a. b & = 0 \\ \dfrac{1}{a}.a. b & = \dfrac{1}{a}. 0 \\ 1.b &= 0 \\ b &=0 \end{aligned}$
Terbukti bahwa jika $a. b=0$ , maka $a = 0$ atau $b = 0$ .
“Jika $a = 0$ atau $b = 0$ , maka $a. b=0$
Misalkan $a = 0$ . Ini berarti
$a. b = 0.b = 0$ (pernyataan ini benar).
Selanjutnya, misalkan $b = 0$ . Ini berarti
$a. b = a. 0= 0$ (pernyataan ini benar).
Dari kedua kasus tersebut, terbukti bahwa jika $a = 0$ atau $b = 0$ , maka $a. b = 0$ . Dengan demikian, pernyataan: $a = 0$ atau $b = 0$ jhj $a. b=0$ terbukti benar.

[collapse]

Soal Nomor 6
(B – S) Semua bilangan real tertutup terhadap operasi penjumlahan, perkalian, dan pengakaran (bentuk akar).

Penyelesaian

Pernyataan salah.
Semua bilangan real tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, tetapi tidak halnya dengan pengakaran. Sebagai contoh, $-3 \in \mathbb{R}$ bila diakarkan menjadi $\sqrt{-3} \notin \mathbb{R}$ .

[collapse]

Bagian Esai

Soal Nomor 7a
Tunjukkan bahwa jika $x = y$ , maka $ax = ay$

Penyelesaian

Hipotesis: $x = y$ .
$\begin{aligned} ax & = ax && (\text{Sifat refleksif tanda kesamaan}) \\ ax & = ay && (\text{Substitusi}~x = y) \end{aligned}$
(Terbukti) $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 7b
Tunjukkan bahwa jika $ax = ay$ , maka $x = y$ untuk $a \neq 0$ .

Penyelesaian

Asumsi $a \neq 0$ .
$\begin{aligned} ax & = ay \\ \dfrac{1}{a} (ax) & = \dfrac{1}{a} (ay) && \left(\text{Kalikan kedua ruas dengan}~\dfrac{1}{a}\right) \\ \left(\dfrac{1}{a}.a\right). x & = \left(\dfrac{1}{a}.a\right). y && (\text{Sifat asosiatif perkalian}) \\ 1.x & = 1.y && (\text{Invers perkalian}) \\ x & = y && (\text{Identitas perkalian}) \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 7c
Periksa kebenaran invers dan kontraposisi dari pernyataan:
jika $x = y$ , maka $ax = ay$

Penyelesaian

Invers: Jika $x \neq y$ , maka $ax \neq ay$ .
Pernyataan ini salah karena bila diambil $a = 0$ , kita dapatkan $0x \neq 0y \Rightarrow 0 \neq 0$ .
Kontraposisi: Jika $ax \neq ay$ , maka $x \neq y$ .
Dengan menggunakan kontradiksi, andaikan $x = y$ . Ini berarti,
$\begin{aligned} ax & \neq ay \\ ax & \neq ax && (\text{Substitusi}~x = y) \end{aligned}$
Jelas bahwa $ax \neq ax$ merupakan pernyataan yang salah, sehingga pengandaian harus diingkari. Jadi, $x \neq y$ .
Dengan demikian, pernyataan kontraposisi di atas bernilai benar.

[collapse]

Soal Nomor 8
Tunjukkan bahwa $\left(|x-1|^{\frac{6}{2}} \right)^n = |x-1|^{3n}$
untuk $x \in \mathbb{R}$ dan $n \in \mathbb{N}$ .

Penyelesaian

Berdasarkan sifat pangkat/eksponen, $\left(|x-1|^{\frac{6}{2}} \right)^n = |x-1|^{3n}$ berlaku jika $\dfrac{6}{2} \times n = 3n$ .
Persamaan ini jelas benar untuk $n \in \mathbb{N}$ . Untuk itu, pernyataan di atas terbukti benar. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 9
Selesaikan persamaan dan pertidaksamaan di bawah ini.
a. $1-3x = 1-3x$
b. $3x + 5 \leq 3x + 5$

Penyelesaian

Jawaban a)
$\begin{aligned} 1 - 3x & = 1 -3x \\ (1 - 3x) + 3x & = (1 - 3x) + 3x && (\text{Tambahkan kedua ruas dengan}~3x) \\ 1 + (-3x + 3x) & = 1 + (-3x + 3x) && (\text{Sifat asosiatif penjumlahan}) \\ 1 + 0 & = 1 + 0 && (\text{Invers penjumlahan}) \\ 1 & = 1 && (\text{Identitas penjumlahan}) \end{aligned}$
Diperoleh suatu kesamaan $1 = 1$ yang jelas bernilai benar. Ini berarti, semua $x \in \mathbb{R}$ memenuhi persamaan itu.
Jawaban b)
$\begin{aligned} 3x + 5 & \leq 3x + 5 \\ - 3x + (3x+5) & \leq - 3x + (3x+5) && (\text{Tambahkan kedua ruas dengan}~-3x) \\ (-3x+3x)+5 & \leq (-3x+3x)+5 && (\text{Sifat asosiatif penjumlahan}) \\ 0 + 5 & \leq 0 + 5 && (\text{Invers penjumlahan}) \\ 5 & \leq 5 && (\text{Identitas penjumlahan}) \end{aligned}$
Ketaksamaan $5 \leq 5$ jelas bernilai benar, sehingga pertidaksamaan di atas akan selalu benar untuk $x \in \mathbb{R}$ .

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Tag: Aksioma Lapangan

Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Analisis Real 1 (Versi C) – Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan