Berikut ini adalah soal ujian akhir semester beserta pembahasan mata kuliah Analisis Real 1 (Real Analysis 1) (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 4 oleh Dr. Sugiatno, M.Pd pada bulan Juli 2018.
Quote by Mahatma Gandhi
Bagian Benar – Salah
(Sertakan alasan mengapa demikian)
Soal Nomor 1
(B – S) Untuk setiap $x \in \mathbb{R}$, berlaku $x^{\frac{6}{2}} = x^3$
Pernyataan benar.
Ini dikarenakan sifat kesamaan nilai pada pangkat bahwa $\dfrac{6}{2} = 3$.
Soal Nomor 2
(B – S) $u$ dan $b \neq 0$ bilangan real dengan $u \cdot b = b$ jika dan hanya jika $u = 1$.
Pernyataan benar.
Akan dibuktikan dalam dua arah ssbagai berikut.
$(\Longrightarrow)$
Jika $u \cdot b = b$, maka $b = 1$.
Perhatikan bahwa,
$$\begin{aligned} u & = u \\ & = u \cdot 1 && (~\text{Eksistensi bilangan satuan}) \\ & = u \cdot \left(b \cdot \dfrac{1}{b} \right) && (\text{Invers perkalian}) \\ & = (u \cdot b) \cdot \dfrac{1}{b} && (\text{Sifat asosiatif perkalian}) \\ & = b. \dfrac{1}{b} && (\text{Asumsi} ~u \cdot b=b) \\ & = 1 && (\text{Invers perkalian}) \end{aligned}$$
$(\Longleftarrow)$
Asumsi dasarnya $u = 1$.
$\begin{aligned} b & = b \\ & = 1 \cdot b && (\text{Eksistensi bilangan satuan}) \\ & = u \cdot \cdot b && (\text{Asumsi}~u = 1) \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa pernyataan biimplikasi di atas bernilai benar.
Soal Nomor 3
(B – S) Jika $v = 1$, maka $v \cdot k=k$ dengan $k$ bilangan real dan $k \neq 0$.
Pernyataan benar.
Pembuktiannya ekuivalen dengan pembuktian pada soal nomor 2 (arah kiri), yaitu dengan mengasumsikan $v = 1$.
$\begin{aligned} k & = k \\ & = 1 \cdot k && (\text{Eksistensi bilangan satuan}) \\ & = v \cdot k && (\text{Asumsi}~v = 1) \end{aligned}$
Karena tanda $=$ bersifat simetris, maka didapat $v \cdot k = k$.
Soal Nomor 4
(B – S) $a$ bilangan real jika dan hanya jika $a \cdot 0 = 0$.
Pernyataan salah.
Pernyataan “Jika $a \in \mathbb{R}$, maka a \cdot 0= 0$” terbukti benar sebagai berikut.
Karena $a \in \mathbb{R}$, maka aksioma lapangan diberlakukan.
$$\begin{aligned} a \cdot 0 & = (a \cdot 0)+0 && (\text{Eksistensi bilangan nol}) \\ & = (a \cdot 0) + (a + (-a)) && (\text{Invers penjumlahan}) \\ & = (a \cdot 0)+(a \cdot 1+(-a)) && (\text{Eksistensi bilangan satuan}) \\ & = (a \cdot 0+a \cdot 1)+(-a) && (\text{Sifat asosiatif penjumlahan}) \\ & = a \cdot (0+1)+(-a) && (\text{Sifat distributif perkalian}) \\ & = a \cdot 1 + (-a) && (\text{Operasi_penjumlahan}) \\ & = a + (-a) && (\text{Eksistensi bilangan satuan}) \\ & = 0 && (\text{Invers penjumlahan}) \end{aligned}$$
Jadi, terbukti bahwa pernyataan di atas benar.
Sedangkan di arah sebaliknya, pernyataan bahwa jika $a \cdot 0 = 0$, maka $a \in \mathbb{R}$ secara trivial tidaklah benar. Ini dikarenakan $a$ bisa saja merupakan bilangan kompleks (tidak harus bilangan real).
Soal Nomor 5
(B – S) $a. b = 0$ jika dan hanya jika $a = 0$ atau $b = 0$.
Pernyataan benar.
Akan dibuktikan dua arah sebagai berikut.
“Jika $a. b=0$, maka $a = 0$ atau $b = 0$”
i) Untuk $a = 0$, berlaku $a \cdot b = 0 \cdot b = 0$. Pernyataan ini bernilai benar.
ii) Untuk $a \neq 0$, berlaku
$\begin{aligned} a \cdot b & = 0 \\ \dfrac{1}{a} \cdot a \cdot b & = \dfrac{1}{a} \cdot 0 \\ 1 \cdot b &= 0 \\ b &=0 \end{aligned}$
Terbukti bahwa jika $a \cdot b=0$, maka $a = 0$ atau $b = 0$.
“Jika $a = 0$ atau $b = 0$, maka $a \cdot b=0$
Misalkan $a = 0$. Ini berarti
$a \cdot b = 0 \cdot b = 0$ (pernyataan ini benar).
Selanjutnya, misalkan $b = 0$. Ini berarti
$a \cdot b = a \cdot 0= 0$ (pernyataan ini benar).
Dari kedua kasus tersebut, terbukti bahwa jika $a = 0$ atau $b = 0$, maka $a \cdot b = 0$. Dengan demikian, pernyataan: $a = 0$ atau $b = 0$ jhj $a \cdot b=0$ terbukti benar.
Soal Nomor 6
(B – S) Semua bilangan real tertutup terhadap operasi penjumlahan, perkalian, dan pengakaran (bentuk akar).
Pernyataan salah.
Semua bilangan real tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, tetapi tidak halnya dengan pengakaran. Sebagai contoh, $-3 \in \mathbb{R}$ bila diakarkan menjadi $\sqrt{-3} \notin \mathbb{R}$.
Bagian Esai
Soal Nomor 7a
Tunjukkan bahwa jika $x = y$, maka $ax = ay$
Hipotesis: $x = y$.
$$\begin{aligned} ax & = ax && (\text{Sifat refleksif tanda kesamaan}) \\ ax & = ay && (\text{Substitusi}~x = y) \end{aligned}$$
(Terbukti) $\blacksquare$
Soal Nomor 7b
Tunjukkan bahwa jika $ax = ay$, maka $x = y$ untuk $a \neq 0$.
Asumsi $a \neq 0$.
$$\begin{aligned} ax & = ay \\ \dfrac{1}{a} (ax) & = \dfrac{1}{a} (ay) && \left(\text{Kalikan kedua ruas dengan}~\dfrac{1}{a}\right) \\ \left(\dfrac{1}{a} \cdot a\right) \cdot x & = \left(\dfrac{1}{a} \cdot a\right) \cdot y && (\text{Sifat asosiatif perkalian}) \\ 1 \cdot x & = 1 \cdot y && (\text{Invers perkalian}) \\ x & = y && (\text{Identitas perkalian}) \end{aligned}$$
Soal Nomor 7c
Periksa kebenaran invers dan kontraposisi dari pernyataan:
jika $x = y$, maka $ax = ay$
Invers: Jika $x \neq y$, maka $ax \neq ay$.
Pernyataan ini salah karena bila diambil $a = 0$, kita dapatkan $0x \neq 0y \Rightarrow 0 \neq 0$.
Kontraposisi: Jika $ax \neq ay$, maka $x \neq y$.
Dengan menggunakan kontradiksi, andaikan $x = y$. Ini berarti,
$\begin{aligned} ax & \neq ay \\ ax & \neq ax && (\text{Substitusi}~x = y) \end{aligned}$
Jelas bahwa $ax \neq ax$ merupakan pernyataan yang salah, sehingga pengandaian harus diingkari. Jadi, $x \neq y$.
Dengan demikian, pernyataan kontraposisi di atas bernilai benar.
Soal Nomor 8
Tunjukkan bahwa $\left(|x-1|^{\frac{6}{2}} \right)^n = |x-1|^{3n}$
untuk $x \in \mathbb{R}$ dan $n \in \mathbb{N}$.
Berdasarkan sifat pangkat/eksponen, $\left(|x-1|^{\frac{6}{2}} \right)^n = |x-1|^{3n}$ berlaku jika $\dfrac{6}{2} \times n = 3n$.
Persamaan ini jelas benar untuk $n \in \mathbb{N}$. Untuk itu, pernyataan di atas terbukti benar. $\blacksquare$
Soal Nomor 9
Selesaikan persamaan dan pertidaksamaan di bawah ini.
a. $1-3x = 1-3x$
b. $3x + 5 \leq 3x + 5$
Jawaban a)
$$\begin{aligned} 1 -3x & = 1 -3x \\ (1 -3x) + 3x & = (1 -3x) + 3x && (\text{Tambahkan kedua ruas dengan}~3x) \\ 1 + (-3x + 3x) & = 1 + (-3x + 3x) && (\text{Sifat asosiatif penjumlahan}) \\ 1 + 0 & = 1 + 0 && (\text{Invers penjumlahan}) \\ 1 & = 1 && (\text{Identitas penjumlahan}) \end{aligned}$$
Diperoleh suatu kesamaan $1 = 1$ yang jelas bernilai benar. Ini berarti, semua $x \in \mathbb{R}$ memenuhi persamaan itu.
Jawaban b)
$$\begin{aligned} 3x + 5 & \leq 3x + 5 \\ – 3x + (3x+5) & \leq – 3x + (3x+5) && (\text{Tambahkan kedua ruas dengan}~-3x) \\ (-3x+3x)+5 & \leq (-3x+3x)+5 && (\text{Sifat asosiatif penjumlahan}) \\ 0 + 5 & \leq 0 + 5 && (\text{Invers penjumlahan}) \\ 5 & \leq 5 && (\text{Identitas penjumlahan}) \end{aligned}$$
Ketaksamaan $5 \leq 5$ jelas bernilai benar, sehingga pertidaksamaan di atas akan selalu benar untuk $x \in \mathbb{R}$.