Tag: Aljabar

Dimisalkan bahwa $x = |AB|, y = |BC|, z = |AC|$ dalam satuan cm (notasi garis tegak menyatakan panjang).
Diketahui keliling segitiga $ABC$ $70$ cm. Keliling adalah jumlah dari semua panjang sisi-sisi bangun datar. Untuk itu, kita peroleh persamaan
$\boxed{x + y + z = 70}$
Panjang $AC$ $(z)$ adalah $2$ cm lebihnya dari panjang $AB$ $(x)$. Secara matematis, ditulis
$\boxed{z = x + 2 \Leftrightarrow x-z =-2}$
Panjang $BC$ $(y)$ adalah $6$ cm kurangnya dari panjang $AC$ $(z)$. Secara matematis, ditulis
$\boxed{y = z-6 \Leftrightarrow y-z = -6}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} x+y+z & = 70 \\ x-z & = -2 \\ y-z & = -6 \end{cases}$
(Jawaban E)

Dimisalkan bahwa $x, y, z$ berturut-turut menyatakan banyak lembar uang lima ribuan, sepuluh ribuan, dan dua puluh ribuan.
Jumlah uang Bu Sari adalah Rp160.000,00. Secara matematis, ditulis
$$5.000x + 10.000y + 20.000z = 160.000$$dan disederhanakan menjadi
$\boxed{x + 2y + 4z = 32}$
Uang pecahan sepuluh ribuan $6$ lembar lebih banyak daripada uang pecahan lima ribuan. Secara matematis, ditulis
$\boxed{y = x + 6 \Leftrightarrow x-y = -6}$
Banyak lembar uang pecahan dua puluh ribuan dua kali banyak lembar uang pecahan lima ribuan. Secara matematis, ditulis
$\boxed{z = 2x \Leftrightarrow 2x-z = 0}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} x+2y+4z & = 32 \\ x-y & = -6 \\ 2x-z & = 0 \end{cases}$
(Jawaban B)

Dimisalkan $x, y, z$ berturut-turut menyatakan banyak spidol biru, merah, dan hitam.
Perbandingan antara banyak spidol biru $(x)$ dan spidol merah $(y)$ adalah $3 : 4$. Secara matematis, ditulis
$\boxed{\dfrac{x}{y} = \dfrac34 \Leftrightarrow x = \dfrac34y}$
Perbandingan antara banyak spidol merah $(y)$ dan spidol hitam $(z)$ adalah $4 : 5$. Secara matematis, ditulis
$\boxed{\dfrac{y}{z} = \dfrac45 \Leftrightarrow y = \dfrac45z}$
Jumlah ketiga jenis spidol tersebut adalah $430$ buah. Secara matematis, ditulis
$\boxed{x + y + z = 430}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} x & = \frac34y \\ y & = \frac45z \\ x + y + z & = 430 \end{cases}$
(Jawaban A)

Misalkan umur Deksa, Elisa, dan Firda sekarang berturut-turut dinotasikan dengan $D, E$, dan $F$.
Diketahui Deksa $4$ tahun lebih tua dari Elisa. Secara matematis, ditulis
$\boxed{D = E + 4}$
Diketahui juga bahwa Elisa $3$ tahun lebih tua dari Firda. Secara matematis, ditulis
$\boxed{E = F + 3}$
Jumlah umur Deksa, Elisa, dan Firda adalah $58$ tahun sehingga ditulis
$\boxed{D + E + F = 58}$
Sekarang, kita memperoleh SPLTV
$\begin{cases} D & = E + 4 && (\cdots 1) \\ E & = F + 3 && (\cdots 2) \\ D + E + F & = 58 && (\cdots 3) \end{cases}$
Substitusi persamaan $(2)$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} D & = \color{red}{E} + 4 \\ D & = (F + 3)+4 = F + 7 && (\cdots 4) \end{aligned}$
Substitusi persamaan $(2)$ dan $(4)$ pada persamaan $(3)$.
$\begin{aligned} \color{blue}{D}+\color{red}{E}+F & = 58 \\ (F+7)+(F+3)+F & = 58 \\ 3F+10&=58 \\ 3F & = 48 \\ F & = 16 \end{aligned}$
Karena $F = 16$, maka
$D = \color{red}{16} + 7 = 23$
Jadi, jumlah umur Deksa dan Firda adalah $\boxed{D+F=23+16=39~\text{tahun}}$
(Jawaban D)

Misalkan harga salak, jambu, dan kelengkeng per kilogram berturut-turut dinotasikan dengan $S, J$, dan $K$. Dari keterangan yang diberikan, dapat dibuat SPLTV
$\begin{cases} 4S + J + 2K & = 54.000 && (\cdots 1) \\ S + 2J + 2K & = 43.000 && (\cdots 2) \\ 3S + J + K & = 37.750 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $K$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4S + J + 2K & = 54.000 \\ S + 2J + 2K & = 43.000 \end{aligned} \\ \rule{4.2 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} 3S-J & = 11.000 && (\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $K$ dari persamaan $(1)$ dan $(3)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4S+J+2K & = 54.000 \\ 3S + J + K & = 37.750 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~4S+J+2K& = 54.000 \\~6S+2J+2K& = 75.500 \end{aligned} \\ & \rule{4.6 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 2S + J & = 21.500 && (\cdots 5) \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $S$ dari persamaan $(4)$ dan $(5)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3S-J & = 11.000 \\ 2S + J & = 21.500 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~6S-2J& = 22.000 \\ 6S+3J& =64.500 \end{aligned} \\ & \rule{3.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -5J & = -42.500 \\ J & = 8.500 \end{aligned} \end{aligned}$$Jadi, harga $1$ kg jambu adalah Rp8.500,00.
(Jawaban C)

Misalkan $x, y, z$ berturut-turut menyatakan bilangan pertama, kedua, dan ketiga.
Jumlah tiga bilangan itu adalah $75$. Secara matematis, ditulis
$\boxed{x + y + z = 75}$
Bilangan pertama lima lebihnya dari jumlah dua bilangan lain. Secara matematis, ditulis
$\boxed{x = (y + z) + 5 \Leftrightarrow x-y-z = 5}$
Bilangan kedua sama dengan $\dfrac14$ dari jumlah dua bilangan lain. Secara matematis, ditulis
$\boxed{y = \dfrac14(x+z) \Leftrightarrow x-4y+z = 0}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} x+y+z & = 75 && (\cdots 1) \\ x-y-z & = 5 && (\cdots 2) \\ x-4y+z & = 0 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dan $z$ sekaligus dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+y+z & = 75 \\ x-y-z & = 5 \end{aligned} \\ \rule{2.8 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 2x & = 80 \\ x & = 40 \end{aligned} \end{aligned}$
Jadi, bilangan pertamanya adalah $\boxed{40}$
(Jawaban E)

SPLTV yang sesuai dengan permasalahan di atas adalah
$\begin{cases} x+y & = 10 && (\cdots 1) \\ x-z & = 5 && (\cdots 2) \\ y-z & = 3 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $x$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+y & = 10 \\ x-z & = 5 \end{aligned} \\ \rule{2.2 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} y + z & = 5~~~(\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $z$ dari persamaan $(3)$ dan $(4)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} y-z & = 3 \\ y+z & = 5 \end{aligned} \\ \rule{2.2 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 2y & = 8 \\ y & = 4 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $\color{red}{y=4}$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} x + \color{red}{y} & = 10 \\ x + 4 & = 10 \\ x & = 6 \end{aligned}$
Substitusi $\color{red}{y=4}$ pada persamaan $(3)$.
$\begin{aligned} \color{red}{y}-z & = 3 \\ 4-z & = 3 \\ z & = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{xyz = 6(4)(1) = 24}$
(Jawaban A)

Misalkan $x, y, z$ berturut-turut menyatakan banyaknya kelereng merah, biru, dan hijau.
Perbandingan antara banyak kelereng merah $(x)$ dan biru $(y)$ adalah $3 : 4$. Secara matematis, ditulis
$\boxed{\dfrac{x}{y} = \dfrac34 \Leftrightarrow 4x-3y = 0}$
Jumlah kelereng merah $(x)$ dan hijau $(z)$ adalah $27$. Secara matematis, ditulis
$\boxed{x + z = 27}$
Dua kali banyak kelereng biru $(y)$ ditambah banyak kelereng hijau $(z)$ sama dengan $37$. Secara matematis, ditulis
$\boxed{2y + z = 37}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} 4x-3y & = 0 && (\cdots 1) \\ x + z & = 27 && (\cdots 2) \\ 2y + z & = 37 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $x$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4x-3y & = 0 \\ x+z & = 27 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 4 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~4x-3y & = 0 \\ 4x+4z & = 108 \end{aligned} \\ & \rule{3.3 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 3y + 4z & = 108 && (\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $z$ dari persamaan $(3)$ dan $(4)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2y + z & = 37 \\ 3y+4z & = 108 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 4 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~8y+4z & = 148 \\ 3y+4z & = 108 \end{aligned} \\ & \rule{3.3 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 5y & = 40 \\ y & = 8 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $\color{red}{y = 8}$ pada persamaan $(3)$.
$\begin{aligned} 2\color{red}{y} + z & = 37 \\ 2(8) + z & = 37 \\ 16+z & = 37 \\ z & = 21 \end{aligned}$
Substitusi $\color{blue}{z = 21}$ pada persamaan $(2).$
$\begin{aligned} x + \color{blue}{z} & = 27 \\ x + 21 & = 27 \\ x & = 6 \end{aligned}$
Jadi, banyaknya kelereng merah, biru, dan hijau berturut-turut adalah $\boxed{6, 8,~\text{dan}~21}$
(Jawaban D)

Misalkan $x, y, z$ berturut-turut menyatakan harga $1$ buku tulis, pensil, dan bolpoin dalam rupiah.
SPLTV yang sesuai dengan permasalahan di atas adalah
$\begin{cases} 3x+2y+3z & = 15.700 && (\cdots 1) \\ 2x + 3y & = 9.200 && (\cdots 2) \\ 4y + 3z & = 11.000 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $x$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x+2y+3z & = 15.700 \\ 2x + 3y & = 9.200 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~6x+4y+6z & = 31.400 \\ 6x+9y & = 27.600 \end{aligned} \\ & \rule{4.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -5y+6z & = 3.800 && (\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $z$ dari persamaan $(3)$ dan $(4)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4y+3z & = 11.000 \\ -5y + 6z & = 3.800 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~8y + 6z & = 22.000 \\ -5y + 6z & = 3.800 \end{aligned} \\ & \rule{3.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 13y & = 18.200 \\ y & = 1.400 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $\color{red}{y = 1.400}$ pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 2x + 3\color{red}{y} & = 9.200 \\ 2x + 3(1.400) & = 9.200 \\ 2x + 4.200 & = 9.200 \\ 2x & = 5.000 \\ x & = 2.500 \end{aligned}$
Substitusi $\color{red}{y = 1.400}$ pada persamaan $(3)$.
$\begin{aligned} 4\color{red}{y} + 3z & = 11.000 \\ 4(1.400) + 3z & = 11.000 \\ 5.600 + 3z & = 11.000 \\ 3z & = 5.400 \\ z & = 1.800 \end{aligned}$
Jadi, harga $1$ buku tulis, pensil, dan bolpoin berturut-turut adalah Rp2.500,00; Rp1.400,00; dan Rp1.800,00.
Seorang siswa membeli $2$ buku, $1$ pensil, dan $1$ bolpoin. Uang yang harus dibayar olehnya adalah
$$\begin{aligned} 2x+y+z & = 2(2.500)+1.400+1.800 \\ & = \text{Rp}8.200,00 \end{aligned}$$(Jawaban C)

Misalkan $M, U, K$ berturut-turut menyatakan panjang pita merah, ungu, dan kuning dalam satuan cm.
Jumlah panjang ketiga pita hias tersebut adalah $275$ cm. Secara matematis, ditulis
$\boxed{M + U + K = 275}$
Panjang pita ungu $5$ cm kurangnya dari panjang pita kuning. Secara matematis, ditulis
$\boxed{U = K-5}$
Panjang pita kuning $20$ cm lebihnya dari panjang pita merah. Secara matematis, ditulis
$\boxed{K = M+20 \Leftrightarrow M = K-20}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} M + U + K & = 275 && (\cdots 1) \\ U & = K-5 && (\cdots 2) \\ M & = K-20 && (\cdots 3) \end{cases}$
Substitusi persamaan $(2)$ dan $(3)$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} \color{red}{M} + \color{blue}{U} + K & = 275 \\ (K-20)+(K-5)+K & = 275 \\ 3K-25 & = 275 \\ 3K & = 300 \\ K & = 100 \end{aligned}$
Jadi, panjang pita kuning adalah $100$ cm. Karena dipakai sepanjang $35$ cm, maka panjang sisa pita kuning adalah $\boxed{65~\text{cm}}$
(Jawaban C)

Misalkan usia Hengki, Vio, dan Sunarti (dalam satuan tahun) sekarang berturut-turut dinotasikan dengan $H, V$, dan $S.$
Tiga tahun lalu, jumlah usia Hengki, Vio, dan Sunarti adalah $33$ tahun. Secara matematis, ditulis
$\begin{aligned} (H-3)+(V-3)+(S-3) & = 33 \\ H+V+S-9 & = 33 \\ H+V+S & = 42. \end{aligned}$
Jadi, diperoleh persamaan $\boxed{H+V+S = 42}$
Sekarang, usia Hengki $2$ tahun kurangnya dari usia Vio. Secara matematis, ditulis
$\boxed{H = V-2 \Leftrightarrow V = H+2}$
Jumlah usia Vio dan Sunarti adalah $30$ tahun. Secara matematis, ditulis
$\boxed{V + S = 30}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} H+V+S & = 42 && (\cdots 1) \\ V & = H+2 && (\cdots 2) \\ V+S & = 30 && (\cdots 3) \end{cases}$
Substitusi persamaan $(2)$ pada persamaan $(3)$.
$\begin{aligned} \color{red}{V}+S & = 30 \\ (H+2)+S & = 30 \\ S & = 28-H && (\cdots 4) \end{aligned}$
Substitusi persamaan $(2)$ dan $(4)$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} H+V+S & = 42 \\ H+(\cancel{H}+2)+(28-\cancel{H}) & = 42 \\ H + 30 & = 42 \\ H & = 12 \end{aligned}$
Jadi, usia Hengki sekarang adalah $12$ tahun. Jika sekarang tahun $2020$, maka Hengki lahir pada tahun $\boxed{2008}$
(Jawaban B)

Misalkan $S, D, W$ berturut-turut menyatakan umur Sukardi, Dennis, dan Willy sekarang (dalam satuan tahun).
Empat tahun mendatang, jumlah umur Sukardi, Dennis, dan Willy adalah $52$ tahun. Secara matematis, ditulis
$\begin{aligned} (S+4)+(D+4)+(W+4) & = 52 \\ S+D+W+12 & = 52 \\ S+D+W & = 40. \end{aligned}$
Diperoleh persamaan $\boxed{S+D+W=40}$
Enam tahun yang lalu, perbandingan umur Sukardi dan Dennis adalah $1 : 3.$
Secara matematis, ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{S-6}{D-6} & = \dfrac13 \\ 3(S-6) & = D-6 \\ 3S-18 & = D-6 \\ 3S-D & = 12 \end{aligned}$
Diperoleh persamaan $\boxed{3S-D=12}$
Enam tahun yang lalu, umur Dennis dan Willy berbanding $3 : 7.$
Secara matematis, ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{D-6}{W-6} & = \dfrac37 \\ 7(D-6) & = 3(W-6) \\ 7D-42 & = 3W-18 \\ 7D-3W & = 24. \end{aligned}$
Diperoleh persamaan $\boxed{7D-3W = 42}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} S+D+W & = 40 && (\cdots 1) \\ 3S-D & = 12 && (\cdots 2) \\ 7D-3W & = 24 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $S$ dari persamaan $(1)$ dan $(2).$
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} S+D+W & = 40 \\ 3S-D & = 12 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~3S+3D+3W & = 120 \\~3S-D & = 12\end{aligned} \\ & \rule{4.3 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 4D+3W & = 108 && (\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $D$ dari persamaan $(3)$ dan $(4).$
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 7D-3W & = 24 \\ 4D+3W & = 108 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 4 \\ \times 7 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~28D-12W & = 96 \\~28D+21W & = 756 \end{aligned} \\ & \rule{3.8cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -33W & = -660 \\ W & = 20 \end{aligned} \end{aligned}$$Jadi, umur Willy sekarang adalah $\boxed{20~\text{tahun}}$
(Jawaban E)

Perhatikan bahwa $a, b, c$ menyatakan variabel yang mewakili banyaknya lembaran uang tertentu.
Pak Sukardi mempunyai uang Rp150.000,00 yang terdiri atas $a$ lembar uang lima ribuan, $b$ lembar uang sepuluh ribuan, dan $c$ lembar uang dua puluh ribuan.
Secara matematis, ditulis
$$5.000a + 10.000b + 20.000c = 150.000$$dan dapat disederhanakan menjadi
$\boxed{a + 2b + 4c = 30}$
Pak Sintan mempunyai uang Rp330.000,00 yang terdiri atas $b$ lembar uang dua puluh ribuan dan $c$ lembar uang lima puluh ribuan.
Secara matematis, ditulis
$20.000b + 50.000c = 330.000$
dan dapat disederhanakan menjadi
$\boxed{2b + 5c = 33}$
Pak Ridwan mempunyai uang Rp600.000,00 yang terdiri atas $a$ lembar uang lima puluh ribuan dan $c$ lembar uang seratus ribuan.
Secara matematis, ditulis
$50.000a + 100.000c = 600.000$
dan dapat disederhanakan menjadi
$\boxed{a + 2c = 12}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} a + 2b + 4c & = 30 && (\cdots 1) \\ 2b + 5c & = 33 && (\cdots 2) \\ a + 2c & = 12 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $b$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a+2b+4c & = 30 \\ 2b+5c & = 33 \end{aligned} \\ \rule{3.1 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} a-c & = -3~~(\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $a$ pada persamaan $(3)$ dan $(4)$ untuk mendapatkan nilai $c$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a+2c & = 12 \\ a-c & = -3 \end{aligned} \\ \rule{2.7 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} 3c & = 15 \\ c & = 5 \end{aligned} \end{aligned}$
Jika Pak Akwila hanya mempunyai $c$ lembar uang seratus ribuan, maka ini berarti uang Pak Akwila sebanyak $$\boxed{100.000c = 100.000(5) = \text{Rp}500.000,00}$$(Jawaban B)

Misalkan $x, y, z$ berturut-turut menyatakan besar sudut terkecil, sudut menengah, dan sudut terbesar (dalam satuan derajat) pada segitiga $ABC$.
Diketahui segitiga $ABC$ dengan besar sudut terkecil $(x)$ sama dengan besar $\dfrac13$ sudut menengah $(y)$. Secara matematis, ditulis
$\boxed{x = \dfrac13y \Leftrightarrow 3x-y = 0}$
Besar sudut terbesarnya $(z)$ dua kali jumlah besar dua sudut lainnya. Secara matematis, ditulis
$\boxed{z = 2(x + y) \Leftrightarrow 2x+2y-z = 0}$
Ingat bahwa jumlah sudut dalam segitiga adalah $180^{\circ}$. Untuk itu, ditulis
$\boxed{x + y + z = 180}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} 3x-y & = 0 && (\cdots 1) \\ 2x+2y-z & = 0 && (\cdots 2) \\ x+y+z & = 180 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dan $z$ dari persamaan $(2)$ dan $(3)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+2y-z & = 0 \\ x +y+z & = 180 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2x+2y-z& = 0 \\ 2x+2y+2z & = 360 \end{aligned} \\ & \rule{3.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -3z & = -360 && \\ z & = 120 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $\color{red}{z = 120}$ pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 2x+2y-\color{red}{z} & = 0 \\ 2x+2y-120 & = 0 \\ 2x + 2y & = 120 \\ x + y & = 60 && (\cdots 4) \end{aligned}$
Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(4)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x-y & = 0 \\ x+y& = 60 \end{aligned} \\ \rule{2.3 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 4x & = 60 \\ x & = 15 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $\color{blue}{x=15}$ pada persamaan $(4)$.
$\begin{aligned} \color{blue}{x}+y & = 60 \\ 15+y & = 60 \\ y & = 45 \end{aligned}$
Jadi, besar sudut pada segitiga $ABC$ dimulai dari sudut terkecilnya adalah $15^{\circ}, 45^{\circ}$, dan $120^{\circ}$.
(Jawaban B)

Misalkan harga masing-masing tiket dewasa, remaja, dan anak-anak adalah $D, R$, dan $A$.
Diketahui harga tiket dewasa Rp33.000,00, tiket remaja Rp24.000,00, dan tiket anak-anak Rp9.000,00 dan hasil penjualan tiket seluruhnya Rp89.820.000,00. Secara matematis, ditulis
$\begin{aligned} 33.000D & + 24.000R + 9.000A \\ & = 89.820.000. \end{aligned}$
Sederhanakan (bagi $1.000$) sehingga diperoleh
$\boxed{33D+24R+9A = 89.820}$
Jumlah tiket anak-anak dan remaja yang terjual $30$ lebih banyak dari $\dfrac12$ jumlah tiket dewasa yang terjual. Secara matematis, ditulis
$A+R = \dfrac12 D + 30$
yang ekuivalen dengan
$\boxed{-D+2R+2A = 60}$
Jumlah tiket remaja yang terjual $5$ lebih banyak dari $4$ kali jumlah tiket anak-anak yang terjual. Secara matematis, ditulis
$\boxed{R = 4A + 5 \Leftrightarrow R-4A = 5}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$$\begin{cases} 33D+24R+9A & = 89.820 && (\cdots 1) \\ -D+2R+2A & = 60 && (\cdots 2) \\ R-4A & = 5 && (\cdots 3) \end{cases}$$Eliminasi $D$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 33D+24R+9A & = 89.820 \\ -D+2R+2A & = 60 \end{aligned} \left| \begin{aligned} \times 1 \\ \times 33 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~33D+24R+9A& = 89.820 \\ -33D+66R+66A & = 1.980 \end{aligned} \\ & \rule{5.3 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 90R + 75A & =91.800 \\ 6R + 5A & = 6.120 && (\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $A$ dari persamaan $(3)$ dan $(4)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} R-4A & = 5 \\ 6R+5A & = 6.120 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 5 \\ \times 4 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~5R-20A& = 25 \\ 24R+20A & = 24.480 \end{aligned} \\ & \rule{4.1 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 29R & = 24.505 \\ R & = 845 \end{aligned} \end{aligned}$$Jadi, remaja yang menonton pertunjukan pada hari pembukaan sebanyak $\boxed{845}$ orang.
(Jawaban B)

Jawaban a)
Dimisalkan bahwa $x, y, z$ berturut-turut menyatakan banyaknya kendaraan yang terparkir di lahan pertama, kedua, dan ketiga.
Jumlah kendaraan di lahan pertama dan kedua $110$ unit. Secara matematis, ditulis
$\boxed{x + y = 110}$
Banyak kendaraan di lahan pertama $22$ kurangnya dari banyak kendaraan di lahan ketiga. Secara matematis, ditulis
$\boxed{x = z-22 \Leftrightarrow x-z = -22}$
Jika seperenam dari banyak kendaraan di lahan ketiga telah pergi (berarti tersisa $\frac56$), banyak kendaraan di lahan kedua dan lahan ketiga menjadi sama banyak. Secara matematis, ditulis
$\boxed{y = \dfrac56z \Leftrightarrow 6y-5z = 0}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} x + y & = 110 && (\cdots 1) \\ x-z & = -22 && (\cdots 2) \\ 6y-5z & = 0 && (\cdots 3) \end{cases}$
Jawaban b)
Eliminasi $x$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+y & = 110 \\ x-z& = -22 \end{aligned} \\ \rule{2.6 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} y+z & = 132~~(\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $y$ pada persamaan $(3)$ dan $(4)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 6y-5z & = 0 \\ y+z & = 132 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 6 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~6y-5z& = 0 \\~6y+6z & = 792 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -11z & = -792 \\ z & = 72 \end{aligned} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} x + y + z & = \color{red}{(x + y)} + z \\ & = 110 + 72 = 182 \end{aligned}$
Jadi, jumlah kendaraan yang diparkir adalah $\boxed{182}$ unit.

Dimisalkan bahwa $x, y, z$ berturut-turut menyatakan banyaknya mobil, sepeda motor roda tiga, dan sepeda motor roda dua.
Jumlah roda ketiga jenis kendaraan adalah $63$. Mobil $(x)$ ada $4$ roda, sepeda motor roda tiga $(y)$ ada $3$ roda, dan sepeda motor roda dua $(z)$ ada $2$. Secara matematis, ditulis
$\boxed{4x + 3y + 2z = 63}$
Jumlah mobil dan sepeda motor roda tiga sebanyak $11$ unit. Secara matematis, ditulis
$\boxed{x + y = 11}$
Jumlah mobil dan sepeda motor roda dua $18$ unit. Secara matematis, ditulis
$\boxed{x + z = 18}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} 4x + 3y + 2z & = 63 && (\cdots 1) \\ x+y & = 11 && (\cdots 2) \\ x+z & = 18 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4x+3y+2z & = 63 \\ x + y & = 11 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~4x+3y+2z& = 63 \\ 3x+3y & = 33 \end{aligned} \\ & \rule{3.7 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} x+2z & = 30 && (\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $x$ dari persamaan $(3)$ dan $(4)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+z & = 18 \\ x+2z& = 30 \end{aligned} \\ \rule{2.4 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} z & = 12 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $\color{red}{z=12}$ pada persamaan $(3).$
$\begin{aligned} x + \color{red}{z} & = 18 \\ x + 12 & = 18 \\ x & = 6 \end{aligned}$
Substitusi $\color{blue}{x=6}$ pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} \color{blue}{x} + y & = 11 \\ 6+y & = 11 \\ y & = 5 \end{aligned}$
Jadi, banyak mobil sebanyak $6$ unit, banyak sepeda motor roda tiga sebanyak $5$ unit, dan banyak sepeda motor roda dua ada $12$ unit.

Dimisalkan bahwa $a, b, c$ berturut-turut menyatakan banyaknya lensa yang dihasilkan oleh mesin A, B, dan C dalam waktu seminggu.
Jika ketiganya bekerja, maka $5.700$ lensa dapat dihasilkan dalam waktu satu minggu. Secara matematis, ditulis
$\boxed{a + b + c = 5.700}$
Jika hanya mesin $A$ dan $B$ yang bekerja, maka $3.400$ lensa dapat dihasilkan dalam satu minggu. Secara matematis, ditulis
$\boxed{a + b = 3.400}$
Jika hanya mesin $A$ dan $C$ yang bekerja, maka $4.200$ lensa dapat dihasilkan dalam satu minggu. Secara matematis, ditulis
$\boxed{a + c = 4.200}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} a+b+c & = 5.700 && (\cdots 1) \\ a+b & = 3.400 && (\cdots 2) \\ a+c & = 4.200 && (\cdots 3) \end{cases}$
Substitusi persamaan $(3)$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} (\color{red}{a+c})+b & = 5.700 \\ 4.200 + b & = 5.700 \\ b & = 1.500 \end{aligned}$
Substitusi persamaan $(2)$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} (\color{red}{a+b})+c & = 5.700 \\ 3.400 + c & = 5.700 \\ c & = 2.300 \end{aligned}$
Substitusi $c = 2.300$ pada persamaan $(3)$.
$\begin{aligned} a + \color{red}{c} & = 4.200 \\ a + 2.300 & = 4.200 \\ a & = 1.900 \end{aligned}$
Jadi, banyak lensa yang dihasilkan oleh mesin A, B, dan C berturut-turut adalah $1.900$, $1.500$, dan $2.300$ lensa.

Misalkan bilangan itu ditulis sebagai $\overline{xyz}$.
Bilangan ini terdiri dari tiga angka berjumlah $9$ sehingga ditulis $x + y + z = 9$.
Angka satuannya, yaitu $z$, tiga lebihnya dari angka puluhan $(y)$, ditulis $z = y + 3$.
Karena angka ratusan $(x)$ dan puluhan $(y)$ ditukar tetap menghasilkan bilangan yang sama, maka ini berarti $x = y$.
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} x + y + z & = 9 && (\cdots 1) \\ z & = y + 3 && (\cdots 2) \\ x & = y && (\cdots 3) \end{cases}$
Substitusi persamaan $(2)$ dan $(3)$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} x + y + z & = 9 \\ \Rightarrow y + y + (y + 3) & = 9 \\ 3y & = 6 \\ y & = 2 \end{aligned}$
Didapat $y = \color{red}{2}$ sehingga $x = 2$ dan $z = \color{red}{2} + 3 = 5$.
Jadi, bilangan itu adalah $\boxed{\overline{xyz} = 225}$

Misalkan besar modal untuk investasi berupa tabungan, deposito, dan surat obligasi berturut-turut adalah $x, y$, dan $z$, dalam satuan jutaan rupiah.
Jumlah modal yang dimiliki adalah Rp420.000.000. Penulisan nominal uang ini kita singkat menjadi $420$. Diperoleh persamaan
$\boxed{x + y + z = 420}$
Bentuk investasinya berupa tabungan dengan suku bunga $5\%$, deposito berjangka dengan suku bunga $7\%$, dan surat obligasi dengan pembayaran $9\%$, serta total pendapatan tahunannya $26$ juta rupiah. Secara matematis, ditulis
$\dfrac{5}{100}x + \dfrac{7}{100}y + \dfrac{9}{100}z = 26$
dan disederhanakan menjadi
$\boxed{5x + 7y + 9z = 2.600}$
Diketahui juga bahwa pendapatan dari investasi tabung lebih Rp2.000.000,00 dari total pendapatan dua investasi lainnya. Secara matematis, ditulis
$\dfrac{5}{100}x = \dfrac{7}{100}y + \dfrac{9}{100}z-2$
dan disederhanakan menjadi
$\boxed{5x-7y-9z = 200}$
Sekarang, kita memperoleh SPLTV
$\begin{cases} x+y+z & = 420 && (\cdots 1) \\ 5x+7y+9z & = 2.600 && (\cdots 2) \\ 5x-7y-9z & = 200 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dan $z$ dari persamaan $(2)$ dan $(3)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5x+7y+9z & = 2.600 \\ 5x-7y-9z & = 200 \end{aligned} \\ \rule{3.7 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 10x & = 2.800 \\ x & = 280 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $x = 280$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} \color{red}{x}+y+z & = 420 \\ \Rightarrow 280+y+z & = 420 \\ y & = 140-z && (\cdots 4) \end{aligned}$
Substitusi persamaan $(4)$ pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 5x+7y+9z & = 2.600 \\ \Rightarrow 5(280) + 7(140-z) + 9z & = 2.600 \\ 1.400 + 980-7z+9z & = 2.600 \\ 2z & = 220 \\ z & = 110 \end{aligned}$
Ini berarti, $y = 140-\color{red}{110} = 30$.
Jadi, besar modal untuk investasi berupa tabungan, deposito, dan surat obligasi berturut-turut adalah Rp280 juta rupiah, Rp30 juta rupiah, dan Rp110 juta rupiah.

Misalkan $x, y, z$ berturut-turut menyatakan volume $1$ botol kecil, botol sedang, dan botol besar.
Volume $2$ botol kecil dan $3$ botol sedang adalah $3.450$ ml. Secara matematis, ditulis
$\boxed{2x + 3y = 3.450}$
Volume $3$ botol kecil dan $4$ botol besar adalah $7.800$ ml. Secara matematis, ditulis
$\boxed{3x + 4z = 7.800}$
Volume $2$ botol sedang dan $3$ botol besar adalah $6.000$ ml. Secara matematis, ditulis
$\boxed{2y + 3z = 6.000}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} 2x + 3y & = 3.450 && (\cdots 1) \\ 3x + 4z & = 7.800 && (\cdots 2) \\ 2y + 3z & = 6.000 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $x$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 3.450 \\ 3x + 4z & = 7.800 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~6x+9y & = 10.350 \\ 6x + 8z & = 15.600 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 9y-8z & = -5.250 && (\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $y$ dari persamaan $(3)$ dan $(4)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2y + 3z & = 6.000 \\ 9y-8z & = -5.250 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 9 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~18y + 27z & = 54.000 \\ 18y-16z & = -10.500 \end{aligned} \\ & \rule{4.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 43z & = 64.500 \\ z & = 1.500 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $\color{red}{z = 1.500}$ pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 3x + 4\color{red}{z} & = 7.800 \\ 3x + 4(1.500) & = 7.800 \\ 3x + 6.000 & = 7.800 \\ 3x & = 1.800 \\ x & = 600 \end{aligned}$
Substitusi $\color{blue}{x = 600}$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 2\color{blue}{x} + 3y & = 3.450 \\ 2(600) + 3y & = 3.450 \\ 1.200 + 3y & = 3.450 \\ 3y & = 2.250 \\ y & = 750 \end{aligned}$
Jadi, volume botol kecil $600$ ml, botol sedang $750$ ml, dan botol besar $1.500$ ml.

Jawaban a)
Berdasarkan konsep rataan, diperoleh persamaan-persamaan berikut.
$$\begin{aligned} t_1 & = \dfrac{100 + t_2}{2} \\ t_2 & = \dfrac{t_1+t_3}{2} \\ t_3 & = \dfrac{t_2 + 50}{2} \end{aligned}$$Bentuklah persamaannya sehingga diperoleh bentuk umum SPLTV.
$$\begin{cases} 2t_1-t_2 & = 100 && (\cdots 1) \\ t_1-2t_2+t_3 & = 0 && (\cdots 2) \\ t_2-2t_3 & = -50 && (\cdots 3) \end{cases}$$Jawaban b)
Perhatikan kembali SPL di atas. Persamaan $(2)$ ekuivalen dengan $2t_1-4t_2+2t_3 = 0$. Dari persamaan $(2)$ dan $(3)$, gunakan metode eliminasi untuk mendapatkan persamaan baru.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned}2t_1-4t_2+2t_3 & = 0 \\ t_2-2t_3 & = -50 \end{aligned} \\ \rule{3.8 cm}{0.6pt} + \\ 2t_1-3t_2 = -50~~~~~& (\cdots 4) \end{aligned}$$Selanjutnya, dari persamaan $(1)$ dan $(4)$, akan diperoleh $t_1$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2t_1-3t_2 & = -50 \\ 2t_1-t_2 & = 100 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2t_1-3t_2 & = -50 \\ 6t_1-3t_2 & = 300 \end{aligned} \\ & \rule{3.2 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -4t_1 & = -350 \\ t_1 & = 87,5 \end{aligned} \end{aligned}$$Jadi, suhu pada $t_1$ adalah $\boxed{87,5^\circ\text{C}}$

Perhatikan sketsa gambar balok berikut.
Sisi pada balok berbentuk persegi panjang. Diketahui keliling alas balok $76$ cm sehingga
$\boxed{2(a + b) = 76 \Leftrightarrow a + b = 38}$
Diketahui keliling sisi tegak depan balok $80$ cm sehingga
$\boxed{2(a + c) = 80 \Leftrightarrow a + c = 40}$
Diketahui keliling sisi samping kanan balok $68$ cm sehingga
$\boxed{2(b + c) = 68 \Leftrightarrow b + c = 34}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} a+b & = 38 && (\cdots 1) \\ a + c & = 40 && (\cdots 2) \\ b + c & = 34 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $a$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a+b & = 38 \\ a+c & = 40 \end{aligned} \\ \rule{2 cm}{0.6pt} – \\ b-c = -2~~&(\cdots 4) \end{aligned}$
Eliminasi $c$ dari persamaan $(3)$ dan $(4)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} b+c & = 34 \\ b-c & = -2 \end{aligned} \\ \rule{2.7 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 2b & = 32 \\ b & = 16 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $\color{red}{b=16}$ pada persamaan $(3)$.
$\begin{aligned} \color{red}{b} + c & = 34 \\ \Rightarrow 16+c & = 34 \\ c & = 18 \end{aligned}$
Substitusi $\color{red}{b=16}$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} a + \color{red}{b} & = 38 \\ \Rightarrow a+16 & = 38 \\ a & = 22 \end{aligned}$
Volume balok dapat dihitung dengan mengalikan panjang, lebar, dan tingginya.
$$\boxed{V = abc = 22 \times 16 \times 18 = 6.336~\text{cm}^3}$$ 

Misalkan $x, y, z$ berturut-turut menyatakan lamanya waktu (dalam satuan jam kerja) yang dibutuhkan Joni, Deni, dan Ari untuk menyelesaikan pengecatan rumah (bila dikerjakan sendiri-sendiri).
Mereka bertiga dapat menyelesaikan pengecatan bagian eksterior rumah selama $10$ jam kerja sehingga kita tulis
$\boxed{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{10}}$
Deni dan Ari pernah bersama-sama mengecat rumah yang serupa dalam waktu 15 jam kerja. Secara matematis, kita tulis
$\boxed{\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{15}}$
Suatu hari, ketiga tukang cat ini bekerja mengecat rumah serupa selama $4$ jam kerja (masih ada waktu $6$ jam atau $60\%$ untuk menyelesaikan pengecatan). Setelah itu, Ari pergi karena ada keperluan mendadak. Joni dan Doni memerlukan tambahan waktu $8$ jam kerja lagi (sisa pengecatannya masih $60\%$) untuk menyelesaikan pengecatan rumah.
Apabila Joni dan Doni dianggap mengerjakan $100\%$ pengecatannya, maka lama waktu yang dibutuhkan adalah $\dfrac{100}{60} \times 8 = \dfrac{40}{3}~\text{jam}.$
Dengan demikian, diperoleh persamaan
$\boxed{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{\frac{40}{3}} = \dfrac{3}{40}}$
Sekarang, kita telah memperoleh SPLTV
$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} & = \dfrac{1}{10} && (\cdots 1) \\ \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} & = \dfrac{1}{15} && (\cdots 2) \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} & = \dfrac{3}{40} && (\cdots 3) \end{cases}$
Substitusi persamaan $(2)$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} \dfrac{1}{x} + \color{red}{\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} & = \dfrac{1}{10} \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{15} & = \dfrac{1}{10} \\ \dfrac{1}{x} & = \dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{15} = \dfrac{1}{30} \\ x & = 30 \end{aligned}$
Substitusi persamaan $(3)$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} \color{red}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} + \dfrac{1}{z} & = \dfrac{1}{10} \\ \dfrac{3}{40} + \dfrac{1}{z} & = \dfrac{1}{10} \\ \dfrac{1}{z} & = \dfrac{1}{10}-\dfrac{3}{40} = \dfrac{1}{40} \\ z & = 40 \end{aligned}$
Selanjutnya, substitusi $z = 40$ pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} \dfrac{1}{y} + \color{red}{\dfrac{1}{z}} & = \dfrac{1}{15} \\ \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{40} & = \dfrac{1}{15} \\ \dfrac{1}{y} & = \dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{40} = \dfrac{5}{120} \\ y & = \dfrac{120}{5} = 24 \end{aligned}$
Jadi, waktu yang dibutuhkan Joni, Deni, dan Ari jika masing-masing bekerja sendirian berturut-turut adalah $30$ jam, $24$ jam, dan $40$ jam.