Tag: Analisis Real

Ubah bentuk pemetaan linearnya menjadi $f(X)=AX$ dengan $A$ matriks berordo $2\times 2$, yakni $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$
Pada pemetaan linear:
$f\left(\left[\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$
dapat kita tuliskan sebagai
$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$
Selanjutnya, kita peroleh suatu sistem linear:
$\{\begin{array}{l}4a+b=1\\ 4c+d=1\end{array}$
Pada pemetaan linear:
$f\left(\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right]$
dapat kita tuliskan sebagai
$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right]$
Selanjutnya, kita peroleh sistem linear yang lain:
$\{\begin{array}{l}a+b=3\\ c+d=-2\end{array}$
Sistem linear $\{\begin{array}{l}4a+b=1\\ a+b=3\end{array}$ memiliki penyelesaian $a=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ dan $b={\displaystyle \frac{11}{3}}$.
Sistem linear $\{\begin{array}{l}4c+d=1\\ c+d=-2\end{array}$ memiliki penyelesaian $c=1$ dan $d=-3$.
Ini berarti, pemetaan linear $f$ dirumuskan oleh
$f(X)=\left[\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{11}{3}}\\ 1& -3\end{array}\right]X$
Untuk $X=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$, diperoleh
$f\left(\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{11}{3}}\\ 1& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{11}{3}}\\ -3\end{array}\right]$
Jadi, hasil dari $\boxed{{\displaystyle f\left(\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{11}{3}}\\ -3\end{array}\right]}}$

Misalkan $A=\left(\begin{array}{ccc}1-\alpha & 2& 3\\ 4& 2-\alpha & -1\\ 2& 5& 6-\alpha \end{array}\right).$ Perhatikan bahwa $A^{-1}$ dinyatakan oleh ${\displaystyle \frac{1}{det(A)}}\cdot \text{Adj}(A).$
Determinan dari matriks $A$ dapat ditentukan dengan berbagai cara, misalnya dengan menggunakan aturan Sarrus sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}det(A)& =(1-\alpha )(2-\alpha )(6-\alpha )+2(-1)(2)+(3)(4)(5)\\ & -(2)(2-\alpha )(3)-5(-1)(1-\alpha )-(6-\alpha )(4)(2)\\ & =(12-20\alpha +9{\alpha }^2-{\alpha }^3)-4+60\\ & -(12-6\alpha )-(-5+5\alpha )-(48-8\alpha )\\ & =-{\alpha }^3+9{\alpha }^2-11\alpha +13\end{array}$$Karena yang ditanyakan pada soal adalah entri baris ke-2 kolom ke-3 dari $A^{-1}$, kita hanya perlu mencari minor transposnya, yakni minor entri baris ke-3 kolom ke-2, yaitu
$\begin{array}{rl}{M}_{32}& =\left|\begin{array}{cc}1-\alpha & 3\\ 4& -1\end{array}\right|\\ & =-1(1-\alpha )-3(4)=\alpha -13.\end{array}$
Kofaktor baris ke-3 kolom ke-2 adalah
$K_{32}=(-1{)}^{3+2}{M}_{32}=-\alpha +13.$
Dengan demikian, entri baris ke-2 kolom ke-3 adjoin $A$ adalah kofaktor baris ke-3 kolom ke-2, karena adjoin merupakan transpos dari matriks kofaktor.
Ini berarti, entri baris ke-2 kolom ke-3 dari $A^{-1}$ adalah
$$\begin{array}{rl}det(A)\times K_{32}& =(-{\alpha }^3+9{\alpha }^2-11\alpha +13)(-\alpha +13)\\ & ={\alpha }^4-22{\alpha }^3+128{\alpha }^2-156\alpha +169.\end{array}$$

Langkah pertama adalah menentukan identitas $(G,\ast )$. Misalkan $(a,b)$ adalah elemen identitasnya sehingga berlaku $(a,b)\ast (c,d)=(c,d).$
Dengan menggunakan definisi operasi $\ast$, didapat $(ac,b+d)=(c,d).$
Dari sini, diperoleh $ac=c$ dan $b+d=d$ yang mengimplikasikan $a=1$ dan $b=0.$ 
Jadi, elemen identitas $(G,\ast )$ adalah $(1,0).$
Langkah berikutnya adalah menentukan unsur berorde dua di $G$. 
Misalkan $(a,b)$ berorde dua di $G$, berarti
$(a,b)\ast (a,b)=\text{Identitas}=(1,0).$
Dengan menggunakan definisi operasi $\ast$, didapat $(a^2,2b)=(1,0).$
Dari sini, diperoleh $a^2=1$ dan $2b=0$ yang mengimplikasikan $a=\pm 1$ dan $b=0.$ 
Jadi, satu-satunya elemen di $G$ yang berorde dua selain elemen identitas adalah $\boxed{{\displaystyle (-1,0)}}.$

Diketahui bahwa
$a\star b=b\star a^{-1}$
untuk setiap $a,b\in G$. Karena $G$ grup, setiap anggota $G$ memiliki invers di $G$. Dalam kasus ini, $a$ memiliki invers, yaitu $a^{-1}\in G.$
Jadi, berlaku
$a\star a^{-1}=a^{-1}\star a^{-1}.$
Dengan menggunakan hukum kanselasi kanan, diperoleh
$\begin{array}{rl}a\star \cancel{a^{-1}}& =a^{-1}\star \cancel{a^{-1}}\\ a& =a^{-1}.\end{array}$
Diperoleh bahwa invers anggota $G$ adalah dirinya sendiri. Menurut definisi grup, berlaku
$\begin{array}{rl}a\star a^{-1}& =e\\ a\star a& =e\\ a^2& =e.\end{array}$
Jadi, unsur identitas $G$ adalah $a^2$ untuk $a\in G.$ Dengan demikian,
$\boxed{{\displaystyle a^4=(a^2{)}^2=e^2=e}}$ dan $\boxed{{\displaystyle b^4=(b^2{)}^2=e^2=e}}$

Elemen ring ${\mathbb{Z}}_{16}$ adalah $\{0,1,2,\cdots ,15\}.$
Perhatikanlah bahwa faktor dari 16 adalah $1,2,4,8,$ dan $16$ sehingga ${\mathbb{Z}}_i$ dengan $i=1,2,4,8,16$ merupakan subring dari ${\mathbb{Z}}_{16}$ yang memuat identitas. Ini menunjukkan bahwa subring dengan orde terbesar (elemen terbanyak) dari ring ${\mathbb{Z}}_{16}$ adalah ${\mathbb{Z}}_{16}$ (dirinya sendiri). Struktur tersebut memiliki elemen sebanyak $|{\mathbb{Z}}_{16}|=16.$

Diketahui banyak elemen dalam ring ${\mathbb{Z}}_{24}$ adalah $|{\mathbb{Z}}_{24}|=24$, yaitu $\{[0],[1],[2],\cdots ,[23]\},$ sedangkan $I$ jelas memiliki elemen sebanyak $|I|=3.$
Berdasarkan teorema Lagrange, banyaknya elemen ${\mathbb{Z}}_{24}/I$ dinyatakan oleh
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{|{\mathbb{Z}}_{24}|}{|I|}}={\displaystyle \frac{24}{3}}=8}}$

Deret $1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +n(n+1)$ dapat dituliskan dalam notasi sigma, kemudian disederhanakan seperti berikut.
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k(k+1)}& =\sum _{k=1}^n(k^2+k)\\ & =\sum _{k=1}^n{k}^2+\sum _{k=1}^{n}k\\ & ={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}+{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}+{\displaystyle \frac{3n(n+1)}{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{(2n+1+3)(n)(n+1)}{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{3}}\end{array}$$
Langkah selanjutnya adalah mengubah bentuk terakhir dalam kombinasi.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{3}}& =2\cdot {\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{6}}\\ & =2\cdot {\displaystyle \frac{(n+2)!}{(n-1)!\cdot 3!}}\\ & =2\cdot {\displaystyle \frac{(n+2)!}{(n+2-3)!\cdot 3!}}\\ & =2{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{3})}\end{array}$
Jadi, deret $1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +n(n+1)$ bila ditulis dalam bentuk kombinasi adalah $\boxed{{\displaystyle 2{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{3})}}}$

Ekspansi binomial dari bentuk $(1-x{)}^n$ adalah ${\displaystyle 1+\sum _{k=1}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k.}$
Turunkan terhadap $x$ sehingga dapat ditulis
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}}(1-x{)}^n& ={\displaystyle \sum _{k=1}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k{x}^{k-1}}\\ -n(1-x{)}^{n-1}& =\sum _{k=1}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k{x}^{k-1}.\end{array}$
Untuk $x=1$, kita peroleh
$\begin{array}{rl}-n(1-1{)}^{n-1}& ={\displaystyle \sum _{k=1}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k(1{)}^{k-1}}\\ 0& ={\displaystyle \sum _{k=1}^n(-1{)}^{k}k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}).}\end{array}$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \sum _{k=1}^n(-1{)}^{k}k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=0}}}$

Dengan menggunakan definisi integral Riemann, diperoleh
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{n+k}}}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{n}}\left(\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{1+\frac{k}{n}}}\right)\\ & ={\int }_0^1{\displaystyle \frac{\text{d}x}{1+x}}\end{array}$ 
Jadi, bentuk integral tentu dari ${\displaystyle \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^N{\displaystyle \frac{1}{N+k}}}$ adalah $\boxed{{\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{\text{d}x}{1+x}}}}$

Perhatikan bahwa $f^{\prime }(x)>0$ yang artinya fungsi $f$ monoton naik pada selang $[0,1].$ Luas di bawah kurva $f(x)$ pada selang $[0,1]$ terhadap sumbu-$X$ dinyatakan oleh $A={\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)\text{d}x={\displaystyle \frac{1}{3}}.}$
$B={\displaystyle {\int }_0^1{f}^{-1}(y)\text{d}y}$ menyatakan luas daerah yang dibatasi oleh kurva $f(x)$ dan sumbu-$Y$ pada selang $[0,1]$. Untuk menentukan nilai $B$, kita hanya perlu mengurangi luas persegi $1$ satuan terhadap $A$, yaitu
$B=\text{Lua}\text{s pers}\text{egi}-A=1-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}.$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^1{f}^{-1}(y)\text{d}y={\displaystyle \frac{2}{3}}}}}$

Fungsi $f(x)=x^{\frac{1}{x}}$ dapat dicari nilai maksimumnya saat $f^{\prime }(x)=0$ dengan $f^{\prime }(x)$ menyatakan turunan pertama dari $f(x).$ Oleh karena itu, akan ditentukan turunan pertama dari $f(x)$. Sebelum itu, perhatikan beberapa aturan turunan (diferensial) berikut.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}& [u(x{)}^{v(x)}{]}^{‘}=u(x{)}^{v(x)}\cdot [\ln (u(x))\cdot v(x){]}^{\prime }\\ & {\left[{\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}\right]}^{\prime }={\displaystyle \frac{u^{\prime }(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v^{\prime }(x)}{v(x{)}^2}}\\ & [\ln x{]}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{x}}\end{array}}}$
Jadi, dapat ditulis
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}}\left[x^{\frac{1}{x}}\right]& =x^{\frac{1}{x}}\cdot {\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}}[\ln (x)\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}]\\ & ={\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}}\left[{\displaystyle \frac{\ln (x)}{x}}\right]\cdot x^{\frac{1}{x}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}}[\ln (x)]\cdot x-\ln (x)\cdot {\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}}[x]}{x^2}}\cdot x^{\frac{1}{x}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}\cdot x-\ln (x)\cdot 1}{x^2}}\cdot x^{\frac{1}{x}}\\ & ={\displaystyle \frac{1-\ln (x)}{x^2}}\cdot x^{\frac{1}{x}}\\ & =x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln (x)).\end{array}$$Selanjutnya,
$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =0\\ x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln (x))& =0.\end{array}$
Perhatikan bahwa bentuk $x^{\frac{1}{x}-2}$ tidak akan bernilai $0$ untuk setiap nilai $x$ sehingga satu-satunya kemungkinan mengharuskan
$1-\ln (x)=0\iff \ln (x)=1\iff x=e.$
Jadi, nilai maksimum dari $f(x)=x^{\frac{1}{x}}$ tercapai saat $x=e$, yakni $\boxed{{\displaystyle f_{\text{max}}=e^{\frac{1}{e}}}}$

Terapkan dalil L’Hospital sehingga dapat ditulis
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{{\int }_0^x\sqrt{1+4t^2}\text{d}t}{x^2+4}}}& \stackrel{\text{L’H}}{=}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{1+4x^2}}{2x}}\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{{\displaystyle \frac{1+4x^2}{x^2}}}}{{\displaystyle \frac{2x}{x}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{4}}{2}}=1.\end{array}$
Jadi, hasil dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{{\int }_0^x\sqrt{1+4t^2}\text{d}t}{x^2+4}}=1}}}$

Perhatikan bahwa
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+a)& =\cos a\\ \cos x& ={\displaystyle \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\\ e^{\ln x}& =x.\end{array}}}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{array}{rl}& \sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+i\ln (\pi +\sqrt{{\pi }^2-1}))\\ =& \cos (i\ln (\pi +\sqrt{{\pi }^2-1}))\\ =& {\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{i(i\ln (\pi +\sqrt{{\pi }^2-1}))}+e^{(-i)i\ln (\pi +\sqrt{{\pi }^2-1})})\\ =& {\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{-\ln (\pi +\sqrt{{\pi }^2-1})}+e^{\ln (\pi +\sqrt{{\pi }^2-1})})\\ =& {\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{\ln (\pi +(\sqrt{{\pi }^2-1}{)}^{-1})}+e^{\ln (\pi +\sqrt{{\pi }^2-1})})\\ =& {\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{\pi +\sqrt{{\pi }^2-1}}}+(\pi +\sqrt{{\pi }^2-1}))\\ & \text{Rasionalkan pecahannya}\\ =& {\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{\pi \bcancel{-\sqrt{{\pi }^2-1}}}{\cancel{{\pi }^2}-(\cancel{{\pi }^2}+1)}}+(\pi +\bcancel{\sqrt{{\pi }^2-1}}))\\ =& {\displaystyle \frac{1}{2}}(2\pi )=\pi .\end{array}$
Jadi, nilai dari $\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+i\ln (\pi +\sqrt{{\pi }^2-1}))$ adalah $\boxed{{\displaystyle \pi }}$

Misalkan $z=1+i$. Dengan demikian,
$\tan \theta ={\displaystyle \frac{1}{1}}=1\Rightarrow \theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$
dan
$r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.$
Dengan menggunakan dalil de Moivre, diperoleh
$$\begin{array}{rl}{z}^{2019}& =r(\cos 2019\theta +i\sin 2019\theta )\\ & =\sqrt{2}(\cos (2019\times {\displaystyle \frac{\pi }{4}})+i\sin (2019\times {\displaystyle \frac{\pi }{4}}))\\ & =\sqrt{2}(\cos (504\times 2\pi +{\displaystyle \frac{3}{4}}\pi )+i\sin (504\times 2\pi +{\displaystyle \frac{3}{4}}\pi ))\\ & =\sqrt{2}(\cos {\displaystyle \frac{3}{4}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{3}{4}}\pi )\\ & =\sqrt{2}(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2})\\ & =0.\end{array}$$
Jadi, nilai dari $(1+i{)}^{2019}$ adalah $\boxed{{\displaystyle 0}}$

Karena $85$ merupakan bilangan ganjil, satu-satunya kemungkinan dua bilangan prima yang dimaksud harus meliputi bilangan genap dan bilangan ganjil. Bilangan genap yang prima hanya ada $1$, yaitu $2$ sehingga dua bilangan itu haruslah $2$ dan $83.$
Hasil kalinya adalah $\boxed{{\displaystyle 2\times 83=166}}$

Perhatikan bahwa
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}& ={\displaystyle \frac{1}{2019}}\\ {\displaystyle \frac{a+b}{ab}}& ={\displaystyle \frac{1}{2019}}\\ ab& =2019a+2019b\\ b(a-2019)& =2019a\\ b& ={\displaystyle \frac{2019a}{a-2019}}\\ b& ={\displaystyle \frac{2019(a-2019)+{2019}^2}{a-2019}}\\ b& =2019+{\displaystyle \frac{{2019}^2}{a-2019}}.\end{array}$
Perhatikan bahwa $b$ akan bernilai bulat positif jika $a-2019$ membagi habis ${2019}^2.$ Dengan kata lain, $a-2019$ merupakan faktor dari ${2019}^2=3^2\times {673}^2,$ yang banyak faktornya ada $(2+1)\times (2+1)=9.$
Akibatnya, akan ada $9$ nilai $a$, begitu juga $b.$
Jadi, ada $\boxed{{\displaystyle 9}}$ pasangan bilangan bulat positif $(a,b)$ yang memenuhi
${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}={\displaystyle \frac{1}{2019}}$