Tag: Aturan Hasil Bagi

Gunakan aturan turunan dasar.
$\begin{array}{rl}f(x)& =x^2-{\displaystyle \frac{1}{x}}+1\\ & =x^2-x^{-1}+1\\ f^{\prime }(x)& =2x^{2-1}-(-1)x^{-1-1}+0\\ & =2x+x^{-2}\end{array}$
Jadi, hasil dari $\boxed{{\displaystyle f^{\prime }(x)=2x+x^{-2}}}$
(Jawaban E)

Gunakan aturan turunan dasar.
$$\begin{array}{rl}g(x)& ={\displaystyle \frac{1}{x}}+x^3-\sqrt{2x}\\ & =x^{-1}+x^3-\sqrt{2}{x}^{1/2}\\ g^{\prime }(x)& =-1x^{-1-1}+3x^{3-1}-\sqrt{2}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{1/2-1}\\ & =-x^{-2}+3x^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2}{x}^{-1/2}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}+3x^2-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{x}}}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}+3x^2-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x}}}\end{array}$$Catatan: ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$
Jadi, hasil dari $\boxed{{\displaystyle g^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}+3x^2-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x}}}}}$
(Jawaban A)

Diketahui
$\begin{array}{rl}R(t)& =t\sqrt{t}+{\displaystyle \frac{1}{t\sqrt{t}}}=t\cdot t^{1/2}+{\displaystyle \frac{1}{t\cdot t^{1/2}}}\\ & =t^{3/2}+t^{-3/2}\end{array}$
Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{d}R(t)}{\text{d}t}}& ={\displaystyle \frac{3}{2}}{t}^{3/2-1}-{\displaystyle \frac{3}{2}}{t}^{-3/2-1}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{2}}{t}^{1/2}-{\displaystyle \frac{3}{2}}{t}^{-5/2}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{t}-{\displaystyle \frac{3}{2t^2\sqrt{t}}}\end{array}$
Jadi, hasil dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\text{d}R(t)}{\text{d}t}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{t}-{\displaystyle \frac{3}{2t^2\sqrt{t}}}}}$
(Jawaban C)

Gunakan aturan turunan dasar untuk mencari turunan pertama dari fungsi $f(x)$.
$$\begin{array}{rl}f(x)& ={\displaystyle \frac{4}{x-3}}-{\displaystyle \frac{6}{x}}\\ & =4(\underset{u}{\underbrace{x-3}}{)}^{-1}-6x^{-1}\\ f^{\prime }(x)& =4(-1)(x-3{)}^{-2}\cdot \underset{u^{\prime }}{\underbrace{1}}-6(-1)x^{-2}\\ & =-{\displaystyle \frac{4}{(x-3{)}^2}}+{\displaystyle \frac{6}{x^2}}\end{array}$$Substitusi $x=1$ dan kita akan peroleh
$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(1)& =-{\displaystyle \frac{4}{((1)-3{)}^2}}+{\displaystyle \frac{6}{{(1)}^2}}\\ & =-{\displaystyle \frac{4}{4}}+{\displaystyle \frac{6}{1}}\\ & =-1+6=5\end{array}$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle f^{\prime }(1)=5}}$
(Jawaban D)

Diketahui
$\begin{array}{rl}H(x)& =x^{2/3}(4x-5)\\ & =4x^{2/3}\cdot x-5x^{2/3}\\ & =4x^{5/3}-5x^{2/3}.\end{array}$
Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{array}{rl}{H}^{\prime }(x)& =4\cdot {\displaystyle \frac{5}{3}}\cdot x^{5/3-1}-5\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot x^{2/3-1}\\ & ={\displaystyle \frac{20}{3}}{x}^{2/3}-{\displaystyle \frac{10}{3}}{x}^{-1/3}\\ & ={\displaystyle \frac{20\sqrt[3]{x^2}}{3}}-{\displaystyle \frac{10}{3\sqrt[3]{x}}}.\end{array}$
Jadi, turunan pertama dari $H(x)$ adalah $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{20\sqrt[3]{x^2}}{3}}-{\displaystyle \frac{10}{3\sqrt[3]{x}}}}}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(r)=2r^{\frac{3}{2}}-2r^{\frac{1}{2}}.$
Dengan menggunakan aturan turunan dasar, turunan pertama fungsi $f(r)$ adalah
$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(r)& =2\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}{r}^{\frac{3}{2}-1}-2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^{\frac{1}{2}-1}\\ & =3r^{\frac{1}{2}}-r^{-\frac{1}{2}}\\ & =3\sqrt{r}-{\displaystyle \frac{1}{r}}.\end{array}$
Untuk $r=1$, didapat
$\boxed{{\displaystyle f^{\prime }(1)=3\sqrt{1}-{\displaystyle \frac{1}{1}}=3-1=2}}$
(Jawaban C)

Diketahui $y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+2x-6.$
Turunan pertama dari $y$ adalah
$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& ={\displaystyle \frac{1}{3}}(3)x^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}(2)x+2-0\\ & =x^2-3x+2.\end{array}$
Misalkan $y^{\prime }=0$ sehingga diperoleh
$\begin{array}{rl}{x}^2-3x+2& =0\\ (x-2)(x-1)& =0\\ x=2\text{atau}& x=1.\end{array}$
Jadi, nilai $x$ yang membuat $y^{\prime }=0$ adalah $1$ atau $2$.
(Jawaban D)

Diketahui
$\begin{array}{rl}f(m)& =4+\sqrt[4]{m^3}+3\sqrt[3]{m^2}\\ & =4+m^{3/4}+3m^{2/3}.\end{array}$
Turunan pertama dari $f(m)$ adalah
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(m)& =0+{\displaystyle \frac{3}{4}}{m}^{3/4-1}+\cancel{3}\cdot {\displaystyle \frac{2}{\cancel{3}}}{m}^{2/3-1}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{4}}{m}^{-1/4}+2m^{-1/3}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{4\sqrt[4]{m}}}+{\displaystyle \frac{2}{\sqrt[3]{m}}}.\end{array}$$Untuk $m=1$, diperoleh
$f^{\prime }(1)={\displaystyle \frac{3}{4\sqrt[4]{1}}}+{\displaystyle \frac{2}{\sqrt[3]{1}}}={\displaystyle \frac{3}{4}}+2={\displaystyle \frac{11}{4}}.$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle f^{\prime }(1)={\displaystyle \frac{11}{4}}}}$
(Jawaban A)

Diketahui
$\begin{array}{rl}y& =(x^2+1)(x^3-1)\\ & =x^5-x^2+x^3-1.\end{array}$
Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =5x^{5-1}-2x^{2-1}+3x^{3-1}-0\\ & =5x^4-2x+3x^2\\ & =5x^4+3x^2-2x.\end{array}$
Karena itu, kita peroleh $a=5$, $b=3$, dan $c=-2$.
Catatan: $\mathbb{Z}$ menyatakan simbol untuk himpunan bilangan bulat.
Jadi, $\boxed{{\displaystyle abc=5(3)(-2)=-30}}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x)=x^2(3x-1{)}^3.$
Gunakan aturan turunan dasar (terutama aturan hasil kali) dan aturan rantai.
Misalkan
$$\begin{array}{rl}u& =x^2⟹u^{\prime }=2x\\ v& =(\underset{p}{\underbrace{3x-1}}{)}^3⟹v^{\prime }=3(3x-1{)}^2(\underset{p^{\prime }}{\underbrace{3}})=9(3x-1{)}^2.\end{array}$$Dengan aturan hasil kali dalam turunan, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ & =(2x)(3x-1{)}^3+(x^2)(9(3x-1{)}^2)\\ & =(3x-1{)}^2(2x(3x-1)+9x^2)\\ & =(3x-1{)}^2(6x^2-2x+9x^2)\\ & =(3x-1{)}^2(15x^2-2x)\\ & =x(15x-2)(3x-1{)}^2.\end{array}$$Jadi, turunan pertama dari $f(x)$ adalah $\boxed{{\displaystyle x(15x-2)(3x-1{)}^2}}$
(Jawaban B)

Diketahui
$\begin{array}{rl}y& =x\sqrt{2x^2+3}\\ & =\sqrt{x^2(2x^2+3)}\\ & =\sqrt{2x^4+3x^2}\\ & =(\underset{u}{\underbrace{2x^4+3x^2}}{)}^{1/2}\end{array}$
Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh turunan pertama $y$, yaitu
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}& ={\displaystyle \frac{1}{2}}(2x^4+3x^2{)}^{-1/2}\cdot (\underset{u^{\prime }}{\underbrace{8x^3+6x}})\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}(2(4x^3+3x))(2x^4+3x^2{)}^{-1/2}\\ & =(4x^3+3x)(2x^4+3x^2{)}^{-1/2}\\ & =x(4x^2+3)\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}(2x^2+3{)}^{-1/2}\\ & =(4x^2+3)(2x^2+3{)}^{-1/2}\end{array}$$Jadi, hasil dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}=(4x^2+3)(2x^2+3{)}^{-1/2}}}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x)=\sqrt{\underset{p}{\underbrace{{\displaystyle \frac{x+2}{x-1}}}}}.$
Pertama, kita akan mencari turunan dari $p$ terlebih dahulu menggunakan aturan hasil bagi. Misalkan:
$u=x+2⟹u^{\prime }=1$
$v=x-1⟹v^{\prime }=1$
Turunan dari $p$ adalah
$\begin{array}{rl}{p}^{\prime }& ={\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{1(x-1)-(x+2)(1)}{(x-1{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{x-1-x-2}{(x-1{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{-3}{(x-1{)}^2}}.\end{array}$
Sekarang, akan dicari turunan $f(x)$ menggunakan aturan rantai.
$$\begin{array}{rl}f(x)& ={\left(\underset{p}{\underbrace{{\displaystyle \frac{x+2}{x-1}}}}\right)}^{1/2}\\ ⟹f^{\prime }(x)& ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{x+2}{x-1}}\right)}^{-1/2}\cdot \underset{p^{\prime }}{\underbrace{{\displaystyle \frac{-3}{(x-1{)}^2}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{x-1}{x+2}}}\cdot {\displaystyle \frac{-3}{(x-1{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{-3}{2(x-1{)}^{3/2}\sqrt{x+2}}}\end{array}$$Jadi, $\boxed{{\displaystyle f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{-3}{2(x-1{)}^{3/2}\sqrt{x+2}}}}}$
(Jawaban B)

Diketahui $y=f(x)=|x|.$
Akan dicari turunan dari $y$.
$\begin{array}{rl}y& =|x|\\ \text{Kuadratkan}& \text{kedua ruas}\\ y^2& =x^2\\ 2y{\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}& =2x\\ {\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}& ={\displaystyle \frac{x}{y}}={\displaystyle \frac{x}{|x|}}\end{array}$
Untuk $x=999$, diperoleh
$\boxed{{\displaystyle f^{\prime }(999)={\displaystyle \frac{999}{|999|}}=1}}$
(Jawaban B)

Diketahui $y=(2x+1{)}^5(x+1).$
Gunakan aturan turunan dasar (terutama aturan hasil kali) dan aturan rantai.
$$\begin{array}{rl}u& =(\underset{p}{\underbrace{2x+1}}{)}^5⟹u^{\prime }=5(2x+1{)}^4(\underset{p^{\prime }}{\underbrace{2}})=10(2x+1{)}^4\\ v& =x+1⟹v^{\prime }=1\end{array}$$Dengan aturan hasil kali dalam turunan, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ & =10(2x+1{)}^4(x+1)+(2x+1{)}^5(1)\\ & =(2x+1{)}^4(10(x+1)+(2x+1))\\ & =(2x+1{)}^4(10x+10+2x+1)\\ & =(2x+1{)}^4(12x+11)\end{array}$$Karena diketahui $y^{\prime }={\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}=(ax+b{)}^4(cx+d)$, didapat $a=2$, $b=1$, $c=12$, dan $d=11$ sehingga $$\boxed{{\displaystyle a+b+c+d=2+1+12+11=26}}$$(Jawaban C)

Diketahui $f(x)={\displaystyle \frac{x-1}{2}}$.
Pertama, akan dicari invers fungsi $f(x)$ terlebih dahulu.
Misalkan $f(x)=y$.
$\begin{array}{rl}y& ={\displaystyle \frac{x-1}{2}}\\ 2y& =x-1\\ 2y+1& =x\\ 2y+1& =f^{-1}(y)\\ 2x+1& =f^{-1}(x)\end{array}$
Jadi, invers fungsi $f(x)$ adalah $f^{-1}(x)=2x+1$.
Turunan pertamanya dapat dicari dengan menggunakan aturan dasar turunan, yaitu $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\text{d}{f}^{-1}(x)}{\text{d}x}}=2}}$
(Jawaban E)

Diketahui $f(x)=3x^2+4x-2.$
Pertama, kita akan mencari turunan pertamanya dulu.
$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =3(2)x^{2-1}+4(1)x^{1-1}-0\\ & =6x+4\end{array}$
Selanjutnya, kita akan mencari invers dari $f^{\prime }(x)=6x+4$.
Misalkan $f^{\prime }(x)=y$ sehingga
$\begin{array}{rl}y& =6x+4\\ y-4& =6x\\ x& ={\displaystyle \frac{y-4}{6}}\\ f^{-1\prime }(y)& ={\displaystyle \frac{y-4}{6}}\\ f^{-1\prime }(x)& ={\displaystyle \frac{x-4}{6}}.\end{array}$
Jadi, invers dari turunan pertama $f(x)$ adalah $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{x-4}{6}}}}$
(Jawaban A)

Diketahui $P(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$.
Turunan pertama dari $P(x)$ adalah $P^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^{1/3-1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^{-2/3}.$
Dengan demikian,
$$\begin{array}{rl}P(x)-3x{P}^{\prime }(x)& =\sqrt[3]{x}-\cancel{3}x\cdot {\displaystyle \frac{1}{\cancel{3}}})x^{-2/3}\\ & =\sqrt[3]{x}-x^{-2/3+1}\\ & =\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x}=0.\end{array}$$Jadi, hasil dari $\boxed{{\displaystyle P(x)-3x{P}^{\prime }(x)=0}}$
(Jawaban A)

Diketahui $f\left({\displaystyle \frac{x-3}{2x+1}}\right)=x^2+x-2.$
Pertama, kita cari turunan dari $p={\displaystyle \frac{x-3}{2x+1}}$ menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan:
$u=x-3⟹u^{\prime }=1$
$v=2x+1⟹v^{\prime }=2$
Dengan demikian,
$\begin{array}{rl}{p}^{\prime }& ={\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{1(2x+1)-(x-3)(2)}{(2x+1{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{2x+1-2x+6}{(2x+1{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{7}{(2x+1{)}^2}}.\end{array}$
Dengan menggunakan aturan rantai, kita akan mencari turunan dari $f(x)$.
$$\begin{array}{rl}f\left(\underset{p}{\underbrace{{\displaystyle \frac{x-3}{2x+1}}}}\right)& =x^2+x-2\\ ⟹f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{x-3}{2x+1}}\right)\cdot \underset{p^{\prime }}{\underbrace{{\displaystyle \frac{7}{(2x+1{)}^2}}}}& =2x+1\end{array}$$
Kita akan mencari nilai $f^{\prime }(1)$ yang berarti
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{x-3}{2x+1}}& =1\\ x-3& =2x+1\\ x& =-4.\end{array}$
Substitusi $x=-4$ pada $f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{x-3}{2x+1}}\right)\cdot {\displaystyle \frac{7}{(2x+1{)}^2}}=2x+1$ dan kita akan memperoleh
$$$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }\left({\displaystyle \frac{-4-3}{2(-4)+1}}\right)\cdot {\displaystyle \frac{7}{(2(-4)+1{)}^2}}& =2(-4)+1\\ f^{\prime }(1)\cdot {\displaystyle \frac{7}{49}}& =-7\\ f^{\prime }(1)& =-7\times 7=-49.\end{array}$$$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle f^{\prime }(1)=-49}}$$(Jawaban A)

Diberikan: $g(2)=g^{\prime }(2)=2$ dan $f(2)=1.$
Gunakan aturan rantai.
$\begin{array}{rl}(f\circ g{)}^{\prime }(x)& =(g\circ f{)}^{\prime }(x)\\ [f(g(x)){]}^{\prime }& =[g(f(x)){]}^{\prime }\\ f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)& =g^{\prime }(f(x))\cdot f^{\prime }(x)\end{array}$
Sekarang, substitusi $x=2$.
$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(g(2))\cdot g^{\prime }(2)& =g^{\prime }(f(2))\cdot f^{\prime }(2)\\ \cancel{f^{\prime }(2)}\cdot 2& =g^{\prime }(1)\cdot \cancel{f^{\prime }(2)}\\ 2& =g^{\prime }(1)\end{array}$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle g^{\prime }(1)=2}}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x)=(x^2-3{)}^2=x^4-6x^2+9$.
Laju perubahan fungsi pada saat $x=2$ dinyatakan oleh nilai turunan pertama $f(x)$ saat $x=2$, atau secara matematis, $f^{\prime }(2)$.
Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{array}{rl}f(x)& =4x^{4-1}-6(2)x^{2-1}+0\\ & =4x^3-12x\end{array}$
Untuk $x=2$, diperoleh
$\boxed{{\displaystyle f^{\prime }(2)=4(2{)}^3-12(2)=32-24=8}}$
Jadi, laju perubahan fungsi $f(x)$ pada saat $x=2$ adalah $\boxed{{\displaystyle 8}}$
(Jawaban A)

Luas persegi itu dinyatakan oleh
$f(x)=x\cdot x=x^2$.
Turunan pertama $f(x)$ adalah $f^{\prime }(x)=2x$.
Substitusi $x=6$ dan kita akan memperoleh $\boxed{{\displaystyle f^{\prime }(6)=2(6)=12}}$
(Jawaban B)

Diketahui $p(t)={10}^3{t}^2-5\cdot {10}^{2}t+{10}^6$.
Laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang dinyatakan oleh nilai turunan pertama $p(t)$ saat $t=5$. Turunan pertamanya adalah
$p^{\prime }(t)={10}^3(2)t-5\cdot {10}^2.$
Substitusi $t=5$ dan kita akan memperoleh
$\begin{array}{rl}{p}^{\prime }(5)& ={10}^3(2)(5)-5\cdot {10}^2\\ & =10.000-500=9.500\end{array}$
Jadi, laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang adalah $\boxed{{\displaystyle 9.500\text{jiwa/tahun}}}$
(Jawaban C)

Diketahui $2m-n=40$.
Persamaan di atas dapat ditulis menjadi $n=2m-40$.
Karena $p=m^2+n^2$, haruslah
$\begin{array}{rl}p& =m^2+(2m-40{)}^2\\ & =m^2+(4m^2-160m+1600)\\ & =5m^2-160m+1600.\end{array}$
Agar $p$ minimum, turunan pertama $p$ terhadap variabel $m$ harus bernilai $0$.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{d}p}{\text{d}m}}& =0\\ 10m-160& =0\\ 10m& =160\\ m& =16\end{array}$
$p$ akan minimum saat $m=16$. Ini berarti nilai
$\begin{array}{rl}p& =5m^2-160m+1600\\ & =5(16{)}^2-160(16)+1600\\ & =1280-2560+1600\\ & =320.\end{array}$
Jadi, nilai minimum dari $p$ adalah $\boxed{{\displaystyle 320}}$
(Jawaban A)