Berikut ini penulis sajikan soal dan pembahasan mengenai relasi rekurensi dengan melibatkan fungsi pembangkit. Anda diharuskan sudah menguasai teknik dekomposisi pecahan parsial karena pada pos ini, langkah menguraikan bentuk pecahan yang akan didekomposisi akan dilewatkan (skip). Gunakan informasi berikut untuk menjawab soal-soal di bawah.
$\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \binom{k} {n} = \binom{k} {k-n} \\ & \sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \dfrac{x} {(1-x)^2} \\ & \sum_{n=1}^{\infty} n^2x^n = \dfrac{x^2+x} {(1-x)^3} \end{aligned}}$
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Dekomposisi Pecahan Parsial
Today Quote
Soal Nomor 1
Selesaikan relasi rekurensi $a_n- a_{n-1} = 7$ dengan menggunakan fungsi pembangkit jika didefinisikan $a_0 = 1$.
Misalkan $G(x)$ adalah fungsi pembangkit biasa (FPB) untuk menyelesaikan relasi rekurensi ini, maka haruslah
$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n- a_{n-1})x^n = 7$
Tinjau sukunya satu per satu.
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n = G(x)- a_0 = G(x)- 1$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1}x^n = x\sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1}x^{n-1} = xG(x)$
Jadi, persamaan di atas dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} G(x)- 1- xG(x) & = 7 \\ (1- x)G(x) & = 8 \\ G(x) & = \dfrac{8}{1-x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} 8x^n \end{aligned}$
Jadi, solusi relasi rekurensinya adalah $\boxed{a_n = 8}$ (barisan konstan yang setiap suku-sukunya $8$).
Soal Nomor 2
Selesaikan relasi rekurensi $a_n- 2a_{n-1} = 0$ dengan $a_0 = 3$.
Relasi rekurensi tersebut merupakan relasi rekurensi homogen dengan koefisien konstan yang dapat diselesaikan dengan mudah. Tetapi, kita akan mencoba menggunakan metode fungsi pembangkit.
Misalkan $G(x)$ fungsi pembangkit biasa (FPB) untuk relasi ini, maka haruslah
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (a_n- 2a_{n-1})x^n & = 0 \\ \sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n- 2x \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1}x^{n-1} & = 0 \\ (G(x)- a_0)- 2xG(x) & = 0 \\ (1-2x)G(x) & = 3 \\ G(x) & = \dfrac{3}{1-2x} \\ G(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} 3(2^n)x^n \end{aligned}$
Jadi, solusi relasi rekurensinya adalah $\boxed{a_n = 3(2^n)} $
Baca: Soal dan Pembahasan – Relasi Rekursif Linear Homogen dengan Koefisien Konstan
Soal Nomor 3
Selesaikan $a_n- 3a_{n-1} = n^2$ untuk $n \geq 1$ dan $a_0 = 1$.
Misalkan $\displaystyle G(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$, sehingga bentuk operator sumasi dari barisan rekursif tersebut dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (a_n- 3a_{n-1})x^n & = \sum_{n=1}^{\infty} n^2x^n \\ (G(x)-1)- 3xG(x) & = \dfrac{x^2+x} {(1-x)^3} \\ (1-3x)G(x) & = \dfrac{x^2+x} {(1-x) ^3} + 1 \\ G(x) & = \dfrac{x^2+x + (1-x)^3}{(1-x)^3(1-3x)} \\ G(x) & = \dfrac{-x^3+4x^2-2x+1}{(1-x)^3(1-3x)} \end{aligned}$$Dengan menerapkan teknik dekomposisi pecahan parsial (prosedurnya memang cukup panjang dalam kasus ini), diperoleh
$$\begin{aligned}G(x) & = \dfrac{-\dfrac{13}{8}} {1-x} + \dfrac{\dfrac{9}{4}} {(1-x)^2} + \dfrac{-\dfrac{5}{2}} {(1-x)^3} + \dfrac{\dfrac{23}{8}} {1-3x} \\ & =-\dfrac{13}{8} \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n + \dfrac{9}{4} \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+1}{n} x^n \\ &- \dfrac{5}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+2}{n}x^n + \dfrac{23}{8} \sum_{n=0}^{\infty} (3x)^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\dfrac{13}{8} + \dfrac{9}{4} \binom{n+1}{1}- \dfrac{5}{2} \binom{n+2}{2} + \dfrac{23}{8} \cdot 3^n\right)x^n \end{aligned}$$Jadi, didapat
$$\boxed{a_n =-\dfrac{13}{8} + \dfrac{9}{4} \binom{n+1}{1}- \dfrac{5}{2} \binom{n+2}{2} + \dfrac{23}{8} \cdot 3^n}$$
Soal Nomor 4
Selesaikan $a_n = a_{n-1} + n$ jika didefinisikan $a_0 = 1$.
Misalkan $\displaystyle G(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$, sehingga bentuk operator sumasi dari barisan rekursif tersebut dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n & = \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n-1} + n)x^n \\ G(x)-1 & = xG(x) + \dfrac{x} {(1-x)^2} \\ G(x)(1-x) & = \dfrac{x} {(1-x)^2} + \dfrac{(1-x)^2}{(1-x)^2} \\ G(x) &= \dfrac{x+(1-x)^2}{(1-x)^2(1-x)} \\ G(x) & = \dfrac{1-x+x^2}{(1-x)^3} \end{aligned}$
Dengan menggunakan teknik dekomposisi pecahan parsial, diperoleh
$$\begin{aligned} G(x) & = \dfrac{1}{1-x}- \dfrac{1}{(1-x)^2} + \dfrac{1}{(1-x)^3} \\ & =\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n- \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+1}{n} x^n + \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+2}{2}x^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \left(1-(n+1)+\binom{n+2}{2}\right)x^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \left(-n +\binom{n+2}{2}\right)x^n \end{aligned}$$Jadi, barisan eksplisitnya adalah
$\boxed{a_n =-n +\binom{n+2}{2}} $
Soal Nomor 5 (Soal OSN Pertamina Tahun 2010)
Jika $a_n- 3a_{n-1} = 2-2n^2,a_0 = 3$, maka $a_{99} = \cdots \cdot$
Misalkan $G(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ dan perhatikan bahwa
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \dfrac{1}{1-x}$ ekuivalen dengan $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^n =\dfrac{1}{1-x}- 1$, berarti dapat kita tuliskan bentuk barisan rekursif di atas menjadi
$$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} (a_n- 3a_{n-1})x^n & = \sum_{n=1}^{\infty} (2-2n^2)x^n \\ [G(x)- 3]- 3xG(x) & = \dfrac{2}{1-x}- 2- \dfrac{2(x^2+x)} {(1-x)^3} \\ G(x) & = \dfrac{-x^3+3x^2-9x+3}{(1-x)^3(1-3x)} \end{aligned}$$Uraikan dengan dekomposisi pecahan parsial untuk mendapatkan
$\begin{aligned} \displaystyle G(x) & = \dfrac{2}{(1-x)^3} + \dfrac{1}{1-3x} \\ & = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \binom{2+n} {n} x^n + \sum_{n=0}^{\infty} (3x)^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \left(2 \binom{2+n} {n} + 3^n\right)x^n \end{aligned}$
Jadi, rumus barisan eksplisitnya adalah
$\displaystyle a_n = 2 \binom{2+n} {n} + 3^n = 2 \binom{2+n} {2} + 3^n$
sehingga
$\boxed{\begin{aligned} a_{99} & = 2 \binom{2+99}{99} + 3^{99} \\ & = 3^{99} + 99^2 + 299 \end{aligned}}$