Tag: Dilatasi

$M_g(A)=B$ artinya bayangan dari pencerminan titik $A$ oleh garis $g$ adalah $B$. Garis $g$, titik $A$, dan titik $B$ dapat ditempatkan sedemikian rupa sehingga seperti gambar berikut.

Dengan demikian, jelas bahwa $M_g(B)=A$.

Pertama-tama, carilah persamaan garis yang melalui titik $A(1,3)$ dan $B(-2,-1)$ sebagai berikut.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{y-y_1}{y_2-y_1}}& ={\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}}\\ {\displaystyle \frac{y-3}{-1-3}}& ={\displaystyle \frac{x-1}{-2-1}}\\ -3(y-3)& =-4(x-1)\\ 4x-3y+5& =0\end{array}$
Diperoleh persamaan garisnya adalah $4x-3y+5=0$.
Gradien garis ini adalah $m_1={\displaystyle \frac{4}{3}}$, sehingga gradien garis yang tegak lurus dengannya adalah $m=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$. Selanjutnya, carilah titik tengah ruas garis $AB$, yaitu
$C=({\displaystyle \frac{1+(-2)}{2}},{\displaystyle \frac{3+(-1)}{2}})=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},1)$
Persamaan garis yang melalui $C$ dan bergradien $-{\displaystyle \frac{3}{4}}$ adalah
$\begin{array}{rl}& y=m(x-x_1)+y_1\\ & y=-{\displaystyle \frac{3}{4}}(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})+1\\ & y=-{\displaystyle \frac{3}{4}}x-{\displaystyle \frac{3}{8}}+1\\ & 6x+8y-5=0\end{array}$
Jadi, persamaan garis $g$ yang menjadi sumbu pencerminan bagi titik $A$ dan $B$ adalah $6x+8y-5=0$.

Jawaban a)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $g:x=-3$ dan melalui $A(2,1)$ adalah $y=1$. Titik $B(-3,1)$ adalah titik tengah $A{A}^{\prime }$, di mana $A^{\prime }$ adalah titik bayangan hasil pencerminan titik $A$ oleh garis $g$. Dengan demikian,
$\begin{array}{rl}(-3,1)& =({\displaystyle \frac{x_A+x_{A^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{y_A+y_{A^{\prime }}}{2}})\\ (-3,1)& =({\displaystyle \frac{2+x_{A^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{1+y_{A^{\prime }}}{2}})\\ (-6,2)& =(2+x_{A^{\prime }},1+y_{A^{\prime }})\\ (x_{A^{\prime }},y_{A^{\prime }})& =(-8,1)\end{array}$
Jadi, titik $A^{\prime }$ berada di koordinat $(-8,1)$.
Jawaban b)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $g:x=-3$ dan melalui $C^{\prime }=M_g(C)=(-1,7)$ adalah $y=7$.
Titik $D(-3,7)$ adalah titik tengah $C{C}^{\prime }$, di mana $C$ adalah titik prapeta dari pencerminan garis $g$ yang menghasilkan titik $C^{\prime }$. Dengan demikian,
$\begin{array}{rl}(-3,7)& =({\displaystyle \frac{x_A+x_{A^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{y_A+y_{A^{\prime }}}{2}})\\ (-3,7)& =({\displaystyle \frac{x_C-1}{2}},{\displaystyle \frac{y_C+7}{2}})\\ (-6,14)& =(x_C-1,y_C+7)\\ (x_C,y_C)& =(-5,7)\end{array}$
Jadi, titik $C$ berada di koordinat $(-5,7)$.
Jawaban c)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $g:x=-3$ dan melalui $P(x_P,y_P)$ adalah $y=y_P$. Misal $Q(x_Q,y_Q)$ adalah titik tengah $P{P}^{\prime }$, di mana $P^{\prime }$ adalah titik bayangan hasil pencerminan titik $P$ oleh garis $g$. Perhatikan juga bahwa $x_Q=-3$ dan $y_Q=y_P$. Dengan demikian,
$\begin{array}{rl}Q=(-3,y_P)& =({\displaystyle \frac{x_P+x_{P^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{y_P+y_{P^{\prime }}}{2}})\\ (-3,y_P)& =({\displaystyle \frac{2+x_{A^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{1+y_{A^{\prime }}}{2}})\\ (-6,2y_P)& =(x_P+x_{P^{\prime }},y_P+y_{P^{\prime }})\\ (x_{P^{\prime }},y_{P^{\prime }})& =(-6-x_P,y_P)\end{array}$
Jadi, apabila $P(x,y)$, maka hasil pencerminannya oleh garis $g:x=-3$ adalah $M_g(P)=P^{\prime }=(-6-x,y)$.

Jawaban a)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $g:y=2$ dan melalui $A(3,\sqrt{2})$ adalah $x=3$. Titik $B(3,2)$ adalah titik tengah $A{A}^{\prime }$, di mana $A^{\prime }$ adalah titik bayangan hasil pencerminan titik $A$ oleh garis $g$. Dengan demikian,
$\begin{array}{rl}(3,2)& =({\displaystyle \frac{x_A+x_{A^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{y_A+y_{A^{\prime }}}{2}})\\ (3,2)& =({\displaystyle \frac{3+x_{A^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{2}+y_{A^{\prime }}}{2}})\\ (6,4)& =(3+x_{A^{\prime }},\sqrt{2}+y_{A^{\prime }})\\ (x_{A^{\prime }},y_{A^{\prime }})& =(3,4-\sqrt{2})\end{array}$
Jadi, titik $A^{\prime }$ berada di koordinat $(3,4-\sqrt{2})$.
Jawaban b)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $g:y=2$ dan melalui $D^{\prime }=M_g(D)=(2,-4)$ adalah $x=2$.
Titik $C(2,2)$ adalah titik tengah $D{D}^{\prime }$, di mana $D$ adalah titik prapeta dari pencerminan garis $g$ yang menghasilkan titik $D^{\prime }$. Dengan demikian,
$\begin{array}{rl}(2,2)& =({\displaystyle \frac{x_D+x_{D^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{y_D+y_{D^{\prime }}}{2}})\\ (2,2)& =({\displaystyle \frac{x_D+2}{2}},{\displaystyle \frac{y_D+(-4)}{2}})\\ (4,4)& =(x_D+2,y_D-4)\\ (x_D,y_D)& =(2,8)\end{array}$
Jadi, titik $D$ berada di koordinat $(2,8)$.
Jawaban c)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $g:y=2$ dan melalui $P(x_P,y_P)$ adalah $x=x_P$. Misal $Q(x_Q,y_Q)$ adalah titik tengah $P{P}^{\prime }$, di mana $P^{\prime }$ adalah titik bayangan hasil pencerminan titik $P$ oleh garis $g$. Perhatikan juga bahwa $x_Q=x_P$ dan $y_Q=2$. Dengan demikian,
$$\begin{array}{rl}Q=(x_Q,y_Q)& =(x_P,2)=({\displaystyle \frac{x_P+x_{P^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{y_P+y_{P^{\prime }}}{2}})\\ (x_P,2)& =({\displaystyle \frac{2+x_{A^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{1+y_{A^{\prime }}}{2}})\\ (2x_P,4)& =(x_P+x_{P^{\prime }},y_P+y_{P^{\prime }})\\ (x_{P^{\prime }},y_{P^{\prime }})& =(x_P,4-y_P)\end{array}$$Jadi, apabila $P(x,y)$, maka hasil pencerminannya oleh garis $g:x=-3$ adalah $M_g(P)=P^{\prime }=(x,4-y)$.

Jawaban a)
Gradien garis $h:y=x$ adalah $m=1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien $m_1=-1$.
Persamaan garis yang melalui titik $A(2,-3)$ dan bergradien $-1$ adalah
$\begin{array}{rl}y& =m_1(x-x_1)+y_1\\ y& =-(x-2)-3\\ y& =-x-1\end{array}$
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis $y=x$ dan $y=-x-1$ dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
$\begin{array}{rl}x& =-x-1\\ 2x& =-1\\ x& =-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$
Jika $x$ demikian, maka haruslah $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Ini berarti titik tengah $\overline{A{A}^{\prime }}$ adalah $(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}})$, di mana $A^{\prime }$ adalah titik bayangan hasil pencerminan garis $h$ pada titik $A$, maka berlaku
$\begin{array}{rl}(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}})& =({\displaystyle \frac{x_A+x_{A^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{y_A+y_{A^{\prime }}}{2}})\\ (-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}})& =({\displaystyle \frac{2+x_{A^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{-3+y_{A^{\prime }}}{2}})\\ (-1,-1)& =(2+x_{A^{\prime }},-3+y_{A^{\prime }})\\ (x_{A^{\prime }},y_{A^{\prime }})& =(-3,2)\end{array}$
Jadi, koordinat titik $A^{\prime }$ adalah $(-3,2)$.
Jawaban b)
Gradien garis $h:y=x$ adalah $m=1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien $m_1=-1$.
Persamaan garis yang melalui titik $B^{\prime }(-3,5)$ dan bergradien $-1$ adalah
$\begin{array}{rl}y& =m_1(x-x_1)+y_1\\ y& =-(x+3)+5\\ y& =-x+2\end{array}$
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis $y=x$ dan $y=-x+2$ dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
$\begin{array}{rlr}x& =-x+22x& =2\\ x& =1\end{array}$
Jika $x$ demikian, maka haruslah $y=1$. Ini berarti titik tengah $\overline{B{B}^{\prime }}$ adalah $(1,1)$, di mana $B^{\prime }$ adalah titik bayangan hasil pencerminan garis $h$ pada titik $B$, maka berlaku
$\begin{array}{rl}(1,1)& =({\displaystyle \frac{x_B+x_{B^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{y_B+y_{B^{\prime }}}{2}})\\ (1,1)& =({\displaystyle \frac{x_B+(-3)}{2}},{\displaystyle \frac{y_B+5}{2}})\\ (2,2)& =(x_B-3,y_B+5)\\ (x_B,y_B)=(5,-3)\end{array}$
Jadi, koordinat titik $B$ adalah $(5,-3)$.
Jawaban c)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $h:y=x$ dan melalui $P(x_P,y_P)$ adalah $x=x_P$. Misal $Q(x_Q,y_Q)$ adalah titik tengah $P{P}^{\prime }$, di mana $P^{\prime }$ adalah titik bayangan hasil pencerminan titik $P$ oleh garis $h$. Perhatikan juga bahwa $x_Q=x_P$ dan $y_Q=2$. Dengan demikian,
$$\begin{array}{rl}Q=(x_Q,y_Q)& =(x_P,2)=({\displaystyle \frac{x_P+x_{P^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{y_P+y_{P^{\prime }}}{2}})\\ (x_P,2)& =({\displaystyle \frac{2+x_{P^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{1+y_{P^{\prime }}}{2}})\\ (2x_P,4)& =(x_P+x_{P^{\prime }},y_P+y_{P^{\prime }})\\ (x_{P^{\prime }},y_{P^{\prime }})& =(x_P,4-y_P)\end{array}$$Jadi, apabila $P(x,y)$, maka hasil pencerminannya oleh garis $g:x=-3$ adalah $M_h(P)=P^{\prime }=(x,4-y)$.

Jawaban a)
Gradien garis $h:x+y=0$ adalah $m=-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien $m_1=1$.
Persamaan garis yang melalui titik $A(2,-3)$ dan bergradien $1$ adalah
$\begin{array}{rl}y& =m_1(x-x_1)+y_1\\ y& =(x-2)-3\\ y& =-x-5\end{array}$
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis $x+y=0\iff y=-x$ dan $y=x-5$ dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
$\begin{array}{rl}-x& =x-5\\ -2x& =-5\\ x& ={\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$
Jika $x$ demikian, maka haruslah $y=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$. Ini berarti titik tengah $\overline{A{A}^{\prime }}$ adalah $({\displaystyle \frac{5}{2}},-{\displaystyle \frac{5}{2}})$, di mana $A^{\prime }$ adalah titik bayangan hasil pencerminan garis $h$ pada titik $A$, maka berlaku
$\begin{array}{rl}({\displaystyle \frac{5}{2}},-{\displaystyle \frac{5}{2}})& =({\displaystyle \frac{x_A+x_{A^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{y_A+y_{A^{\prime }}}{2}})\\ ({\displaystyle \frac{5}{2}},-{\displaystyle \frac{5}{2}})& =({\displaystyle \frac{2+x_{A^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{-3+y_{A^{\prime }}}{2}})\\ (5,-5)& =(2+x_{A^{\prime }},-3+y_{A^{\prime }})\\ (x_{A^{\prime }},y_{A^{\prime }})& =(3,-2)\end{array}$
Jadi, koordinat titik $A^{\prime }$ adalah $(3,-2)$.
Jawaban b)
Gradien garis $h:x+y=0$ adalah $m=-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien $m_1=1$.
Persamaan garis yang melalui titik $B^{\prime }(-3,5)$ dan bergradien $1$ adalah
$\begin{array}{rl}y& =m_1(x-x_1)+y_1\\ y& =(x+3)+5\\ y& =x+8\end{array}$
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis $x+y=0\iff y=-x$ dan $y=x+8$ dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
$\begin{array}{rl}-x& =x+8\\ -2x& =8\\ x& =-4\end{array}$
Jika $x$ demikian, maka haruslah $y=4$. Ini berarti titik tengah $\overline{B{B}^{\prime }}$ adalah $(-4,4)$, di mana $B^{\prime }$ adalah titik bayangan hasil pencerminan garis $h$ pada titik $B$, maka berlaku
$\begin{array}{rl}(-4,4)& =({\displaystyle \frac{x_B+x_{B^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{y_B+y_{B^{\prime }}}{2}})\\ (-4,4)& =({\displaystyle \frac{x_B+(-3)}{2}},{\displaystyle \frac{y_B+5}{2}})\\ (-8,8)& =(x_B-3,y_B+5)\\ (x_B,y_B)& =(-5,3)\end{array}$
Jadi, koordinat titik $B$ adalah $(-5,3)$.
Jawaban c)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $h:x+y=0$ (gradien $m=1$) dan melalui $P(x_P,y_P)$ adalah
$\begin{array}{rl}y-y_P& =m(x-x_P)\\ y& =x-x_P+y_P\end{array}$.
Misal $Q(x_Q,y_Q)$ adalah titik tengah $P{P}^{\prime }$, di mana $P^{\prime }$ adalah titik bayangan hasil pencerminan titik $P$ oleh garis $h$.
Dengan demikian,
$\begin{array}{rl}Q=(x_Q,y_Q)& =({\displaystyle \frac{x_P+x_{P^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{y_P+y_{P^{\prime }}}{2}})\\ (2x_Q,2y_Q)& =(x_P+x_{P^{\prime }},y_P+y_{P^{\prime }})\\ (x_{P^{\prime }},y_{P^{\prime }})& =(x_P-2x_Q,y_P-2y_Q)\end{array}$
Jadi, apabila $P(x,y)$, maka hasil pencerminannya oleh garis $h:x+y=0$ adalah $M_h(P)=P^{\prime }=(x-2x_Q,y-2y_Q)$.

Jawaban a)
$M_g(0)$ dalam hal ini artinya hasil pencerminan titik $O(0,0)$ oleh garis $g$.
Gradien garis $g:x+y=1$ adalah $m=-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien $m_1=1$.
Persamaan garis yang melalui titik $O(0,0)$ dan bergradien $1$ adalah
$\begin{array}{rl}y& =m_1(x-x_1)+y_1\\ y& =(x-0)+0\\ y& =x\end{array}$
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis $y=x$ dan $y=1-x$ dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
$\begin{array}{rl}x& =1-x\\ 2x& =1\\ x& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$
Jika $x$ demikian, maka haruslah $y={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Ini berarti titik tengah $\overline{O{O}^{\prime }}$ adalah $({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$, di mana $O^{\prime }$ adalah titik bayangan hasil pencerminan garis $g$ pada titik $O$, maka berlaku
$\begin{array}{rl}({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})& =({\displaystyle \frac{x_O+x_{O^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{y_O+y_{O^{\prime }}}{2}})\\ ({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})& =({\displaystyle \frac{0+x_{O^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{0+y_{O^{\prime }}}{2}})\\ (x_{A^{\prime }},y_{A^{\prime }}& =(1,1)\end{array}$
Jadi, koordinat titik $M_g(O)=O^{\prime }$ adalah $(-3,2)$.
Jawaban b)
Gradien garis $g:x+y=1$ adalah $m=-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien $m_1=1$.
Persamaan garis yang melalui titik $A(1,2)$ dan bergradien $1$ adalah
$\begin{array}{rl}y& =m_1(x-x_1)+y_1\\ y& =(x-1)+2\\ y& =x+1\end{array}$
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis $y=1-x$ dan $y=x+1$ dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
$\begin{array}{rl}1-x& =x+1\\ -2x& =0\\ x& =0\end{array}$
Jika $x$ demikian, maka haruslah $y=1$. Ini berarti titik tengah $\overline{A{A}^{\prime }}$ adalah $(0,1)$, di mana $A^{\prime }$ adalah titik bayangan hasil pencerminan garis $g$ pada titik $A$, maka berlaku
$\begin{array}{rl}(0,1)& =({\displaystyle \frac{x_A+x_{A^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{y_A+y_{A^{\prime }}}{2}})\\ (0,1)& =({\displaystyle \frac{1+x_{B^{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{2+y_{B^{\prime }}}{2}})\\ (0,2)& =(1+x_{B^{\prime }},2+y_{B^{\prime }})\\ (x_B,y_B)& =(-1,0)\end{array}$
Jadi, koordinat titik $A$ adalah $(-1,0)$.
Jawaban c)
Diketahui titik $P(x,x+1)$ dan $g=\{(x,y)|x+y=1\}$.
Perhatikan bahwa $M_g(P)=P$ menunjukkan bahwa hasil pencerminan titik $P$ oleh garis $g$ adalah titik $P$ itu sendiri. Ini berarti titik $P$ tepat berada di sumbu cermin (garis $g$). Oleh karena itu, ditulis $P\in g$. Koordinat $P$ adalah $(x,x+1)$, sehingga dengan substitusi $y=x+1$ pada persamaan garis $g$, diperoleh
$\begin{array}{rl}x+y& =1\\ x+(x+1)& =1\\ x& =0\end{array}$
dan $y=x+1=0+1=1$.
Jadi, $M_g(P)=(0,1)$.

Diketahui sebuah garis $g\equiv x-3y+1=0$ dan titik $A(2,k)$. Karena $M_g(A)=A$, maka $A$ haruslah terletak pada sumbu cermin, yaitu terletak pada garis $g$. Untuk mencari nilai $k$, substitusikan nilai $x=2$ dan $y=k$ pada persamaan garis $g$ sehingga diperoleh
$\begin{array}{rl}2-3k+1& =0\\ 3-3k& =0\\ 3k& =3\\ k& =1\end{array}$
Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=1$.

Diketahui sebuah garis $k\equiv ax-3y+1=0$ dan titik $B(3,-1)$.
Karena $M_k(B)=B$, maka $B$ haruslah terletak pada sumbu cermin, yaitu terletak pada garis $k$. Untuk mencari nilai $a$, substitusikan nilai $x=3$ dan $y=-1$ pada persamaan garis $k$ sehingga diperoleh
$\begin{array}{rl}a(3)-3(-1)+1& =0\\ 3a& =-4\\ a& =-{\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $-{\displaystyle \frac{4}{3}}$.

Diketahui sebuah transformasi $T$ dengan $T(P)=(x-5,y+3)$ untuk semua titik $P(x,y)\in V$.
Menurut definisi, $T$ disebut isometri jika untuk $P_1,P_2\in V$, maka $|P_1^{\prime }{P}_2^{\prime }|=|P_1{P}_2|$ di mana $P_1^{\prime }$ dan $P_2^{\prime }$ berturut-turut adalah titik bayangan hasil transformasi dari $P_1$ dan $P_2$. Sekarang, ambil sembarang titik $P_1,P_2\in V$ dengan $P_1=(x_1,y_1)$ dan $P_2=(x_2,y_2)$. Dengan demikian,
$T(P_1)=P_1\prime =(x_1-5,y_1+3)$
$T(P_2)=P_2\prime =(x_2-5,y_2+3)$
Dengan menggunakan rumus jarak, didapat
$|P_1{P}_2|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$
sedangkan untuk bayangannya,
$$\begin{array}{rl}|P_1^{\prime }{P}_2^{\prime }|& =\sqrt{(x_2\prime -x_1\prime {)}^2+(y_2\prime -y_1\prime {)}^2}\\ |P_1^{\prime }{P}_2^{\prime }|& =\sqrt{((x_2-5)-(x_1-5){)}^2+((y_2+3)-(y_1+1){)}^2}\\ |P_1^{\prime }{P}_2^{\prime }|& =\sqrt{(x_2\prime -x_1\prime {)}^2+(y_2\prime -y_1\prime {)}^2}\end{array}$$Diperoleh $|P_1^{\prime }{P}_2^{\prime }|=|P_1{P}_2|$
Karena berlaku demikian, maka $T$ dikatakan sebagai suatu isometri.
Syarat tersebut dapat diperluas secara umum. Misalkan
$T(P_1)=P_1\prime =(x_1+a,y_1+b)$
$T(P_2)=P_2\prime =(x_2+a,y_2+b)$
sehingga
$|P_1{P}_2|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$
sedangkan
$\begin{array}{rl}|P_1^{\prime }{P}_2^{\prime }|& =\sqrt{(x_2\prime -x_1\prime {)}^2+(y_2\prime -y_1\prime {)}^2}\\ |P_1^{\prime }{P}_2^{\prime }|& =\sqrt{((x_2+a)-(x_1+a){)}^2+((y_2+b)-(y_1+b{)}^2}\\ |P_1^{\prime }{P}_2^{\prime }|& =\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1){)}^2}\end{array}$
Diperoleh $|P_1{P}_2|=|P_1^{\prime }{P}_2^{\prime }|$.
Dengan demikian, $T$ suatu isometri yang dapat diperumum.

Ambil sembarang titik $P,Q\in V$ dengan $P=(x_p,y_p)$ dan $Q=(x_q,y_q)$
Dengan rumus jarak, diperoleh
$|PQ|=\sqrt{(x_p-x_q{)}^2+(y_p-y_q{)}^2}$
Menurut definisi transformasi $T$,
$T(P)=(2x_p,y_p-1),T(Q)=(2x_q,y_q-1)$
Dengan rumus jarak, diperoleh
$\begin{array}{rl}& |T(P)T(Q)|\\ & =\sqrt{(2x_p-2x_q{)}^2+((y_p-1)-(y_q-1){)}^2}\\ & =\sqrt{4(x_p-x_q{)}^2+(y_p-y_q{)}^2}\end{array}$
Diperoleh $|T(P)T(Q)|\ne |PQ|$
Jadi, transformasi $T$ tidak mengawetkan jarak. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa $T$ bukanlah isometri. 

Jawaban a)

Jawaban b)
Pada gambar di atas, garis $g$ menjadi garis sumbu dari $\overline{C{C}^{\prime }},\overline{B{B}^{\prime }}$, dan $\overline{A{A}^{\prime }}$, sehingga $B^{\prime }=M_g(B),A^{\prime }=M_g(A)$, dan $C^{\prime }=M_g(C)$. Jadi, gambar tersebut sudah benar. 

Jawaban a)
$h$ melewati titik $(0,0)$ dengan $m=-1$. Dengan demikian, persamaan garis $h$ adalah
$\begin{array}{rl}y& =m(x-x_1)+y_1\\ y& =-(x-0)+0\\ y& =-x\end{array}$
Berdasarkan konsep pencerminan, $\overline{A{A}^{\prime }}\perp h$, melalui $A^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime })=(-2,3)$ dan bergradien 1,di mana $A^{\prime }=M_h(A)$.
Persamaan garis $\overline{A{A}^{\prime }}$ adalah
$\begin{array}{rl}y& =m(x-x_1)+y_1\\ y& =(x+2)+3=x+5\end{array}$
Perpotongan garis $h$ dan $\overline{A{A}^{\prime }}$ adalah
$\begin{array}{rl}y& =y\\ -x& =x+5\\ x& =-{\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$
Untuk $x$ demikian, diperoleh $y={\displaystyle \frac{5}{2}}$
Jadi, titik tengah $\overline{A{A}^{\prime }}$ adalah $(x_p,y_p)=(-{\displaystyle \frac{5}{2}},{\displaystyle \frac{5}{2}})$
Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip titik tengah, diperoleh
$\begin{array}{rl}(x_p,y_p)& =({\displaystyle \frac{x+x^{\prime }}{2}},{\displaystyle \frac{y+y^{\prime }}{2}})\\ (-{\displaystyle \frac{5}{2}},{\displaystyle \frac{5}{2}})& =({\displaystyle \frac{x-2}{3}},{\displaystyle \frac{y+3}{2}})\end{array}$
Dari sini, didapat $x=-3$ dan $y=2$. Jadi, koordinat titik $A$ adalah $(-3,2)$.
Jawaban b)
Garis $\overline{P{P}^{\prime }}$ tegak lurus garis $h\equiv y=-x$, sehingga $m=1$ dan melalui $(a,b)$.
Persamaan garis $\overline{P{P}^{\prime }}$ adalah
$\begin{array}{rl}y& =m(x-x_1)+y_1\\ y& =1(x-a)+b\\ y& =x-a+b\end{array}$
Selanjutnya, perpotongan garis $h$ dan $\overline{P{P}^{\prime }}$ (titik tengah $\overline{P{P}^{\prime }}$) adalah
$\begin{array}{rl}y& =y\\ -x& =x-a+b\\ x& ={\displaystyle \frac{a-b}{2}}\end{array}$
Untuk $x$ demikian, $y=-{\displaystyle \frac{a-b}{2}}$
Jadi, titik tengah $\overline{P{P}^{\prime }}$ adalah $({\displaystyle \frac{a-b}{2}},-{\displaystyle \frac{a-b}{2}})$
Berdasarkan prinsip titik tengah, diperoleh
$\begin{array}{rl}({\displaystyle \frac{a-b}{2}},-{\displaystyle \frac{a-b}{2}})& =({\displaystyle \frac{x+x^{\prime }}{2}},{\displaystyle \frac{y+y^{\prime }}{2}})\\ ({\displaystyle \frac{a-b}{2}},-{\displaystyle \frac{a-b}{2}})& =({\displaystyle \frac{a+x^{\prime }}{2}},{\displaystyle \frac{b+y^{\prime }}{2}})\end{array}$
Jadi, diperoleh $x^{\prime }=-b$ dan $y^{\prime }=-a$. Dengan demikian, untuk $P=(a,b)=(x,y)$, diperoleh $P^{\prime }=(-b,-a)=(-y,-x)$

Karena $T$ isometri, maka haruslah $|AB|=|CD|$. Jadi, dengan menggunakan rumus jarak dua titik, dapat ditulis
$$\begin{array}{rl}\sqrt{(x_A-x_B{)}^2+(y_A-y_B{)}^2}& =\sqrt{(x_C-x_D{)}^2+(y_C-y_D{)}^2}\\ \sqrt{(1-4{)}^2+(-1-0{)}^2}& =\sqrt{(-4+2{)}^2+(1-k{)}^2}\\ \sqrt{(-3{)}^2+(-1{)}^2}& =\sqrt{(-2{)}^2+(1-k{)}^2}\\ 9+1& =4+(1-k{)}^2\\ 6& =(1-k{)}^2\\ (1-k)& =\pm \sqrt{6}\\ k& =1\pm \sqrt{6}\end{array}$$Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=1\pm \sqrt{6}$.