Misalkan seseorang mengetos $3$ keping koin dengan sisi angka $(A)$ dan sisi gambar $(G).$ Percobaan pengetosan koin tersebut menghasilkan sejumlah keluaran (outcome). Lebih lanjut, percobaan yang menghasilkan keluaran seperti itu disebut sebagai eksperimen statistis (statistical experiment). Keluaran yang dimaksud merupakan anggota dari ruang sampel $S$ (sering disebut sebagai titik sampel (sample point)) berikut.
$$S = \{AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG\}$$Ketika seseorang memusatkan perhatiannya pada banyak sisi angka yang muncul, setiap titik sampel berasosiasi dengan nilai numerik berupa $0, 1, 2,$ atau $3.$ Sebagai contoh, titik sampel $GAA$ berasosiasi dengan nilai $2$ karena sisi angka muncul sebanyak $2$ kali. Nilai numerik yang acak tersebut tergantung pada titik sampel yang muncul. Oleh karena itu, kita menamainya variabel acak. Definisi formalnya diberikan sebagai berikut.
Definisi: Variabel Acak
Variabel acak umumnya menggunakan huruf kapital dalam alfabet Latin modern, misalnya $X,$ sedangkan huruf kecil yang bersesuaian dengannya, yaitu $x,$ disebut sebagai realisasi (realization) dari variabel acak $X.$ Dengan demikian, jika $X$ menyatakan banyaknya sisi angka yang muncul pada percobaan pengetosan $3$ keping koin, $X$ memberikan nilai $2$ pada setiap anggota dari $E \subseteq S.$
$$E = \{AAG, AGA, GAA\}$$
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Peluang Binomial
Ruang sampel selanjutnya dibagi menjadi dua macam, yaitu ruang sampel diskret (discrete sample space) dan ruang sampel kontinu (continuous sample space), yang dituangkan dalam definisi berikut.
Definisi: Ruang Sampel Diskret
Pada kebanyakan kasus, ruang sampel diskret didapat dari data cacah (count data), artinya data yang diperoleh dari hasil mencacah/membilang. Contoh ruang sampel diskret adalah: (1) hasil pengetosan beberapa dadu, (2) susunan berfoto sejumlah orang, dan sebagainya. Pada ruang sampel diskret, kita bisa mendaftarkan setiap anggotanya, baik secara langsung ataupun menggunakan elipsis (…).
Definisi: Ruang Sampel Kontinu
Pada kebanyakan kasus, ruang sampel kontinu didapat dari data terukur (measured data), artinya data yang diperoleh dari hasil mengukur. Contoh ruang sampel kontinu adalah tinggi badan seseorang dan waktu yang diperlukan pesawat untuk mengitari Bumi. Eksperimen yang orang lakukan untuk mengukur tinggi badan tidak benar-benar akurat dan hasilnya telah dibulatkan. Dengan ketelitian (akurasi) yang amat sempurna, tinggi badan seharusnya diasosiasikan dengan bilangan real yang kemungkinannya sangatlah banyak dan padat sehingga tidak mungkin untuk mendaftarkan setiap kemungkinannya.
Berkaitan dengan dua macam ruang sampel tersebut, variabel acak yang berkorespondensi dengannya juga dinamakan serupa, yaitu variabel acak diskret (discrete random variable) dan variabel acak kontinu (continuous random variable). Berkaitan dengan itu, kita selanjutnya mendefinisikan distribusi peluang pada dua macam variabel acak tersebut.
Definisi: Fungsi Peluang (Diskret)
Himpunan pasangan berurut $(x, f(x))$ disebut sebagai fungsi peluang, fungsi massa peluang, atau distribusi peluang dari suatu variabel acak diskret $X$ jika untuk masing-masing keluaran $x$ yang mungkin, berlaku
- $f(x) \ge 0.$
- $\displaystyle \sum_{x} f(x) = 1.$
- $p(X = x) = f(x).$
Pada variabel acak diskret, nilai peluang sama dengan nilai fungsi peluangnya (seperti yang dituliskan dalam sifat ke-3 di atas).
Definisi: Fungsi Distribusi Kumulatif (Diskret)
Fungsi distribusi kumulatif dari suatu variabel acak diskret $X$ dengan fungsi peluang $f(x)$ dinyatakan oleh
$$F(x) = P(X \le x) = \displaystyle \sum_{t \le x} f(t)$$untuk $-\infty < x < \infty.$
Definisi: Fungsi Kepadatan Peluang (Kontinu)
Fungsi $f(x)$ merupakan fungsi kepadatan peluang dari variabel acak kontinu $X$ yang didefinisikan pada himpunan bilangan real jika
- $f(x) \ge 0$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}.$
- $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)~\text{d}x = 1.$
- $p(a < X < b) = \displaystyle \int_a^b f(x)~\text{d}x.$
Pada variabel acak kontinu, nilai peluang tidak sama dengan nilai fungsi kepadatan peluangnya. Lebih lanjut, batas atas dan bawah integral saat perhitungan peluang pada variabel acak kontinu bergantung pada interval realisasinya. Kemudian, nilai peluang di satu titik sampel pada variabel acak kontinu akan selalu bernilai $0.$ Sebagai contoh, jika variabel acak $X$ menyatakan jarak rumah ke sekolah (dalam km), nilai dari $p(X = 5) = 0.$ Hal ini terjadi karena kita sejatinya tidak dapat mengukur jarak tersebut sehingga benar-benar tepat $5$ km (galat pasti ada, meskipun sangat kecil). Oleh karena itu, fungsi kepadatan peluang selalu melibatkan nilai interval dari realisasi variabel acaknya.
Definisi: Fungsi Distribusi Kumulatif (Kontinu)
Fungsi distribusi kumulatif dari suatu variabel acak kontinu $X$ dengan fungsi kepadatan $f(x)$ dinyatakan oleh
$$F(x) = P(X \le x) = \displaystyle \int_{-\infty}^x f(t)~\text{d}t$$untuk $-\infty < x < \infty.$
Definisi di atas secara langsung mengakibatkan bahwa
$$P(a < X < b) = F(b)-F(a)$$dan $$f(x) = \dfrac{\text{d}F(x)}{\text{d}x}$$jika turunannya ada.
Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Dua sumber yang digunakan di antaranya adalah buku “Discrete Mathematics and Its Applications” yang ditulis oleh Kenneth H. Rosen dan buku “Probability & Statistics for Engineers & Scientists” yang ditulis oleh Ronald E. Walpole dkk. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Eksperimen Statistis} & \text{Statistical Experiment} \\ 2. & \text{Ruang Sampel} & \text{Sample Space} \\ 3. & \text{Titik Sampel} & \text{Sample Point} \\ 4. & \text{Keluaran} & \text{Outcome} \\ 5. & \text{Kejadian} & \text{Event} \\ 6. & \text{Ruang Sampel Diskret} & \text{Discrete Sample Space} \\ 7. & \text{Ruang Sampel Kontinu} & \text{Continuous Sample Space} \\ 8. & \text{Data Cacah} & \text{Count Data} \\ 9. & \text{Data Terukur} & \text{Measured Data} \\ 10. & \text{Variabel Acak Diskret} & \text{Discrete Random Variable} \\ 11. & \text{Variabel Acak Kontinu} & \text{Continuous Random Variable} \\ 12. & \text{Realisasi} & \text{Realization} \\ 13. & \text{Fungsi Peluang} & \text{Probability Function} \\ 14. & \text{Fungsi Kepadatan Peluang} & \text{Probability Density Function} \\ 15. & \text{Distribusi Peluang} & \text{Probability Distribution} \\ 16. & \text{Fungsi Massa Peluang} & \text{Probability Mass Function} \\ 17. & \text{Himpunan Tercacah} & \text{Countable Set} \\ 18. & \text{Himpunan Taktercacah} & \text{Uncountable Set} \\ \hline \end{array}$$
Di bawah ini telah disediakan sejumlah soal dan pembahasan tentang distribusi peluang diskret dan kontinu. Sebagian soal dibuat oleh penulis sendiri dan sebagian lainnya diadaptasi dari literatur.
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Peluang Bersyarat
Today Quote
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Data yang melibatkan variabel acak kontinu adalah $\cdots \cdot$
- banyak kecelakaan per minggu di suatu kota
- bilangan cacah kurang dari $6$
- banyak kesalahan pengetikan pada suatu naskah
- tinggi badan sekelompok siswa
- banyak kendaraan yang melewati jalur lingkar
Variabel acak kontinu adalah variabel acak dengan ruang sampel kontinu, yaitu ruang sampel yang memuat sejumlah tak berhingga kemungkinan yang setara dengan banyaknya titik pada suatu ruas garis dan bersifat taktercacah (uncountable). Kebalikannya dinamakan variabel acak diskret.
Cek opsi A:
Banyak kecelakaan setiap minggunya dapat dicacah menggunakan bilangan bulat dan tentu saja banyaknya berhingga. Jadi, datanya melibatkan variabel acak diskret.
Cek opsi B:
Bilangan cacah kurang dari $6$ meliputi $0,1,2,3,4,$ dan $5.$ Karena berhingga, datanya melibatkan variabel acak diskret.
Cek opsi C:
Banyak kesalahan pengetikan dapat ditentukan hanya dengan melibatkan bilangan bulat dan banyaknya berhingga. Jadi, datanya melibatkan variabel acak diskret.
Cek opsi D:
Tinggi badan siswa merupakan hasil pengukuran fisis yang nilainya dalam selang bilangan real. Karena itu, data yang berkaitan dengan tinggi badan melibatkan variabel acak kontinu.
Cek opsi E:
Banyak kendaraan yang melewati jalur lingkar (bundaran) juga dapat dicacah dengan menggunakan bilangan bulat dan banyak kendaraan juga berhingga. Jadi, datanya melibatkan variabel acak diskret.
(Jawaban D)
Soal Nomor 2
Data yang melibatkan variabel acak diskret adalah $\cdots \cdot$
- bilangan asli lebih dari $4$
- jarak rumah ke sekolah
- usia penduduk di suatu daerah
- berat badan sekelompok siswa
- nilai tukar rupiah terhadap dolar AS
Variabel acak kontinu adalah variabel acak dengan ruang sampel diskret, yaitu ruang sampel yang memuat sejumlah berhingga kemungkinan atau membentuk himpunan tercacah (countable set). Kebalikannya dinamakan variabel acak kontinu.
Cek opsi A:
Himpunan bilangan asli merupakan himpunan tercacah sehingga datanya melibatkan variabel acak diskret.
Cek opsi B, C, dan D:
Jarak, waktu (usia), dan berat ketiganya adalah besaran fisis yang diperoleh dari hasil pengukuran dan hasilnya dalam selang bilangan real. Oleh karena itu, datanya melibatkan variabel acak kontinu.
Cek opsi E:
Nilai tukar direpresentasikan dengan bilangan yang tidak terbatas pada bilangan bulat saja, melainkan bilangan real, meskipun kerap kali dibulatkan sampai nol angka di belakang koma. Jadi, nilai tukar merupakan data yang melibatkan variabel acak kontinu.
(Jawaban A)
Soal Nomor 3
Beni melemparkan sekeping uang logam sebanyak tiga kali. Variabel acak $X$ menyatakan banyak sisi gambar yang diperoleh. Hasil yang mungkin untuk $X$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{0,1,2,3,4\}$
B. $\{0,1,2,3\}$
C. $\{0,1,2\}$
D. $\{1,2,3\}$
E. $\{1,2\}$
Dalam pelemparan sekeping uang logam sebanyak $3$ kali, ada kemungkinan kita sama sekali tidak memperoleh gambar, bisa juga kita hanya mendapat $1$ gambar, $2$ gambar, dan jika beruntung, kita justru mendapat $3$ gambar sekaligus.
Jadi, hasil yang mungkin untuk $X$ adalah $\{0,1,2,3\}.$
(Jawaban B)
Soal Nomor 4
Dewi melemparkan lima keping uang logam. Variabel acak $X$ menyatakan banyak sisi angka yang diperoleh. Hasil yang mungkin untuk $X$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{1,2,3,4,5\}$
B. $\{0,1,2,3,4\}$
C. $\{0,1,2,3,4,5\}$
D. $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
E. $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
Dalam pelemparan lima keping uang logam secara bersamaan, ada kemungkinan kita sama sekali tidak memperoleh angka, bisa juga kita hanya mendapat $1$ angka, $2$ angka, $3$ angka, $4$ angka, dan jika beruntung, kita justru mendapat $5$ angka sekaligus.
Jadi, hasil yang mungkin untuk $X$ adalah $\{0,1,2,3,4,5\}$.
(Jawaban C)
Soal Nomor 5
Anita melambungkan dua buah dadu dengan $6$ sisi secara bersamaan. Jika variabel acak $X$ menyatakan jumlah dua mata dadu yang muncul, maka $X = \cdots \cdot$
A. $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$
B. $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$
C. $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$
D. $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
E. $\{0,1, 2, 3, 4, 5\}$
Dadu memiliki $6$ sisi dengan mata dadu $1$ sampai $6.$ Pada pelemparan dua buah dadu, jumlah dua mata dadu yang paling kecil adalah $1+1=2,$ sedangkan jumlah dua mata dadu yang paling besar adalah $6+6=12.$ Karena variabel acak $X$ menyatakan jumlah dua mata dadu yang muncul, haruslah $$X = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}.$$(Jawaban A)
Soal Nomor 6
Deni melambungkan sebuah dadu sebanyak satu kali. Dadu tersebut memiliki $6$ sisi dengan semua mata dadunya ganjil dimulai dari $1$ sampai $11.$ Jika variabel acak $X$ menyatakan mata dadu prima yang muncul, maka $X = \cdots \cdot$
A. $\{0,1,2,3,4,5,6\}$
B. $\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$
C. $\{1, 3, 5, 7, 11\}$
D. $\{3, 5, 7, 11\}$
E. $\{2, 3, 5, 7, 11\}$
Dadu dengan $6$ sisi tersebut memiliki mata dadu ganjil dari $1$ sampai $11.$ Dari $6$ bilangan ganjil tersebut, yang termasuk bilangan prima adalah $3, 5, 7,$ dan $11.$ Karena variabel acak $X$ menyatakan mata dadu prima yang muncul, maka $X = \{3, 5, 7, 11\}.$
(Jawaban D)
Soal Nomor 7
Sepasang pengantin baru merencanakan mempunyai dua anak. Jika variabel acak $X$ menyatakan banyak anak perempuan, maka $X = \cdots \cdot$
A. $\{0,1\}$
B. $\{1, 2\}$
C. $\{0,1,2\}$
D. $\{0,1,2,3\}$
E. $\{0,1,2,3,4\}$
Sepasang pengantin baru tersebut mungkin saja tidak memiliki anak perempuan sama sekali, memiliki $1$ anak perempuan, atau memiliki $2$ perempuan. Karena variabel acak $X$ menyatakan banyak anak perempuan, haruslah $X = \{0,1,2\}.$
(Jawaban C)
Soal Nomor 8
Andi mengerjakan $6$ soal pilihan ganda. Variabel acak $Z$ menyatakan banyaknya soal yang dijawab dengan benar. Hasil yang mungkin untuk $Z$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{0,1,2,3,4,5,6\}$
B. $\{1,2,3,4,5,6\}$
C. $\{0,1,2,3,4,5\}$
D. $\{0,6\}$
E. $\{6\}$
Ada kemungkinan Andi menjawab salah pada semua soal, bisa juga hanya $1$ soal yang benar, $2$ soal benar, $3$ soal benar, $4$ soal benar, $5$ soal benar, atau semua soal dijawab benar olehnya. Karena variabel acak $Z$ menyatakan banyaknya soal yang dijawab dengan benar, hasil yang mungkin untuk $Z$ adalah $\{0,1,2,3,4,5,6\}.$
(Jawaban A)
Soal Nomor 9
Perhatikan distribusi peluang dari variabel acak $X$ sebagai berikut.
$$\begin{array}{cccccc} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline p(X=x) & \dfrac16 & \dfrac14 & k & \dfrac{1}{12} & \dfrac13 \\ \hline \end{array}$$Nilai $k=\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{12}$ C. $\dfrac14$ E. $\dfrac12$
B. $\dfrac16$ D. $\dfrac13$
Berdasarkan definisi, jumlah peluang harus sama dengan $1.$ Karena $X$ merupakan variabel acak diskret, haruslah
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{x} P(X = x) & = 1 \\ \dfrac16 + \dfrac14 + k + \dfrac{1}{12} + \dfrac13 & = 1 \\ 2 + 3 + 12k + 1 + 4 & = 12 \\ 12k & = 2 \\ k & = \dfrac16. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{k = \dfrac16}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 10
Sepasang pengantin baru merencanakan mempunyai tiga anak. Variabel acak $X$ menyatakan banyak anak perempuan. Nilai $p(X = 1)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac18$ C. $\dfrac38$ E. $\dfrac58$
B. $\dfrac28$ D. $\dfrac48$
Notasi $p(X=1)$ menyatakan peluang pengantin baru tersebut mendapatkan seorang anak perempuan dari tiga anak. Titik sampelnya adalah $(P, L, L)$, $(L, P, L)$, dan $(L, L, P)$ dengan $L$ dan $P$ berturut-turut menyatakan anak laki-laki dan perempuan. Banyak anggota ruang sampel seluruhnya ada $2^3 = 8.$ Jadi, nilai dari $p(X=1)$ adalah $\boxed{\dfrac38}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 11
Doni melakukan pelemparan sebuah dadu setimbang dengan $6$ sisi. Variabel $X$ menyatakan mata dadu yang muncul. Nilai $p(X = 1)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac56$ C. $\dfrac12$ E. $\dfrac16$
B. $\dfrac23$ D. $\dfrac13$
Karena dadu tersebut setimbang, peluang munculnya setiap mata dadu yang mungkin adalah sama, yaitu $\dfrac16.$ Jadi, peluang munculnya mata dadu $1$ sama dengan $\boxed{p(X=1) = \dfrac16}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 12
Variabel acak $X$ menyatakan mata dadu yang muncul pada pelemparan sebuah dadu setimbang dengan $6$ sisi. Nilai $p(1 \leq x \leq 4)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac16$ C. $\dfrac12$ E. $\dfrac56$
B. $\dfrac13$ D. $\dfrac23$
Notasi $p(1 \leq X \leq 4)$ menyatakan peluang memperoleh mata dadu $1$ sampai $4$ pada pelemparan sebuah dadu dengan $6$ sisi. Karena dadu setimbang, peluang munculnya masing-masing mata dadu pasti sama, yaitu $\dfrac16.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(1 \leq X \leq 4) & = p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)+p(X=4) \\ & = \dfrac16+\dfrac16+\dfrac16+\dfrac16 = \dfrac23. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{p(1 \leq X \leq 4) = \dfrac23}$
(Jawaban D)
Baca: Materi, Soal dan Pembahasan – Distribusi Hipergeometrik
Soal Nomor 13
Variabel acak $X$ menyatakan jumlah mata dadu yang muncul pada pelemparan dua buah dadu secara bersamaan. Nilai $p(5 \leq X \leq 12)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac16$ C. $\dfrac12$ E. $\dfrac56$
B. $\dfrac13$ D. $\dfrac34$
Notasi $p(5 \le X \le 12)$ menyatakan peluang munculnya jumlah mata dadu $5$ sampai $12.$ Untuk menyingkat perhitungan, kita dapat menggunakan prinsip komplemen bahwa $$p(5 \le X \le 12) = 1-(p(X = 2) + p(X = 3) + p(X = 4)).$$Banyaknya kejadian jumlah mata dadu $2$ adalah $1,$ yaitu $(1, 1).$ Kemudian, banyaknya kejadian jumlah mata dadu $3$ adalah $2,$ yaitu $(1, 2)$ dan $(2, 1).$ Terakhir, banyaknya kejadian jumlah mata dadu $4$ adalah $3,$ yaitu $(1, 3), (2, 2),$ dan $(3, 1).$ Karena banyaknya anggota ruang sampel pada pelemparan dua buah dadu adalah $6 \times 6 = 36,$ diperoleh
$$\begin{aligned} p(5 \le X \le 12) & = 1-(p(X = 2) + p(X = 3) + p(X = 4)) \\ & = 1-\left(\dfrac{1}{36} + \dfrac{2}{36} + \dfrac{3}{36}\right) \\ & = 1-\dfrac16 \\ & = \dfrac56. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{p(5 \leq X \leq 12) = = \dfrac56}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 14
Variabel acak $X$ menyatakan banyak gambar yang muncul pada pelemparan dua keping uang logam. Nilai $p(X=1)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac34$ C. $\dfrac12$ E. $\dfrac14$
B. $\dfrac23$ D. $\dfrac13$
Notasi $p(X=1)$ menyatakan peluang munculnya satu gambar pada pelemparan dua keping uang logam. Ruang sampel dari pelemparan dua keping mata uang logam adalah $\{(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)\}$ dengan $A$ dan $G$ berturut-turut menyatakan sisi angka dan sisi gambar. Banyak anggota ruang sampelnya ada $4.$ Kejadian yang diinginkan adalah $(A, G)$ dan $(G, A)$ sehingga ada $2$ kemungkinan kejadian yang memenuhi. Jadi, peluang munculnya satu gambar pada pelemparan dua keping uang logam adalah $\boxed{p(X=1) = \dfrac24 = \dfrac12}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 15
Variabel acak $X$ menyatakan banyak angka pada pelemparan tiga keping mata uang logam secara bersamaan. Nilai $p(1 \leq X \leq 2)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac18$ C. $\dfrac12$ E. $\dfrac34$
B. $\dfrac38$ D. $\dfrac58$
Notasi $p(1 \leq X \leq 2)$ menyatakan peluang memperoleh $1$ atau $2$ angka pada pelemparan tiga keping uang logam tersebut.
Anggota ruang sampel dari pelemparan tiga keping uang logam dinyatakan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline (A, A, A) & \color{blue}{(A, A, G)} & \color{blue}{(A, G, A)} & \color{blue}{(G, A, A)} \\ \hline \color{red}{(A, G, G)} & \color{red}{(G, A, G)} & \color{red}{(G, G, A)} & (G, G, G) \\ \hline \end{array}$$Dari tabel di atas, tampak bahwa ada $3+3=6$ kejadian yang diinginkan. Dengan demikian,
$$\begin{aligned} p(1 \leq X \leq 2) & = p(X=1) + p(X=2) \\ & = \dfrac{3}{8} + \dfrac38 = \dfrac34 \end{aligned}$$(Jawaban E)
Soal Nomor 16
Dua kotak berisi sejumlah kartu. Kotak pertama berisi dua kartu berwarna merah dan kotak kedua berisi empat kartu berwarna biru. Kartu merah diberi nomor $1$ dan $2,$ sedangkan kartu biru diberi nomor $3$ sampai $6.$ Satu kartu diambil secara acak dari masing-masing kotak. Jika variabel acak $X$ menyatakan jumlah nomor dari dua kartu yang diambil, maka nilai $p(X \leq 5)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac18$ C. $\dfrac38$ E. $\dfrac58$
B. $\dfrac28$ D. $\dfrac48$
Notasi $p(X \leq 5)$ menyatakan peluang mendapatkan dua kartu dengan jumlah nomornya kurang dari atau sama dengan $5.$ Karena ada $2$ kartu di kotak pertama dan $4$ kartu di kotak kedua, banyak anggota ruang sampel pengambilan dua kartu ini sebanyak $2 \times 4 = 8.$ Kejadian yang diinginkan adalah $(1, 3), (1, 4)$, dan $(2, 3)$ dengan $(a, b)$ menyatakan kejadian terambilnya kartu bernomor $a$ dari kotak pertama dan kartu bernomor $b$ dari kotak kedua. Ada tiga kemungkinan kejadian yang memenuhi. Jadi, nilai $\boxed{p(X \leq 5) = \dfrac38}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 17
Suatu kantong berisi $3$ butir kelereng merah dan $5$ butir kelereng putih. Dari dalam kantong tersebut diambil $2$ butir kelereng sekaligus. Variabel acak $X$ menyatakan banyak kelereng merah yang terambil. Nilai $p(X=2)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{3}{28}$ C. $\dfrac{7}{28}$ E. $\dfrac{11}{28}$
B. $\dfrac{5}{28}$ D. $\dfrac{9}{28}$
Notasi $p(X=2)$ menyatakan peluang terambilnya $2$ butir kelereng merah.
Karena pengambilan kelereng dilakukan secara bersamaan, peluang terambilnya $2$ butir kelereng merah dapat ditentukan dengan menggunakan aturan kombinasi.
$$\begin{aligned} p(X = 2) & = \dfrac{C(3, 2)}{C(8, 2)} \\ & = \dfrac{3}{28}. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{p(X = 2) = \dfrac{3}{28}}$
(Jawaban A)
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Geometrik dan Binomial Negatif
Soal Nomor 18
Sebuah kotak berisi $3$ bola merah dan $5$ bola putih. Dua bola diambil secara sekaligus dari kotak tersebut. Jika variabel acak $X$ menyatakan banyak bola putih yang terambil, maka nilai $p(X \leq 1)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{3}{28}$ D. $\dfrac{15}{28}$
B. $\dfrac{10}{28}$ E. $\dfrac{18}{28}$
C. $\dfrac{13}{28}$
Notasi $p(X \leq 1)$ menyatakan peluang mendapatkan paling banyak $1$ bola putih dari pengambilan $2$ bola secara sekaligus.
Karena pengambilan bola dilakukan secara bersamaan, peluang terambilnya paling banyak $1$ bola putih dapat ditentukan dengan menggunakan aturan kombinasi. Namun, untuk menyingkat perhitungan, kita dapat menggunakan prinsip komplemen bahwa $p(X \le 1) = 1-p(X = 2).$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X \le 1) & = 1-\dfrac{C(5, 2)}{C(8, 2)} \\ & = 1-\dfrac{10}{28} \\ & = \dfrac{18}{28}. \end{aligned}$$Jadi, nilai $p(X \leq 1)$ adalah $\boxed{\dfrac{18}{28}}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 19
Diketahui fungsi peluang dari variabel acak diskret $X$ sebagai berikut.
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{10}, & x=1,2,3,4 \\ 0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$Nilai $p(2 \leq X \leq 4)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac25$ C. $\dfrac35$ E. $\dfrac{9}{10}$
B. $\dfrac12$ D. $\dfrac{7}{10}$
Berdasarkan fungsi peluang dari variabel acak $X$ tersebut, diperoleh
$$\begin{aligned} p(2 \le X \le 4) & = p(X=2)+p(X=3)+p(X=4) \\ & = \dfrac{2}{10} + \dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{10} \\ & = \dfrac{9}{10}. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{p(2 \leq X \leq 4) = \dfrac{9}{10}}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 20
Diketahui distribusi peluang dari variabel acak $X$ berikut.
$$\renewcommand{\arraystretch}{2.2} \begin{array}{ccccccc} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline p(X=x) & \dfrac{1}{12} & \dfrac16 & \dfrac14 & \dfrac14 & \dfrac16 & \dfrac{1}{12} \\ \hline \end{array}$$Nilai dari $p(4 \leq X \leq 6)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{12}$ C. $\dfrac14$ E. $\dfrac12$
B. $\dfrac16$ D. $\dfrac13$
Berdasarkan distribusi peluang dari variabel acak $X$ tersebut, diperoleh
$$\begin{aligned} p(4 \leq X \leq 6) & = p(X=4)+p(X=5)+p(X=6) \\ & = \dfrac14+\dfrac16+\dfrac{1}{12} \\ & = \dfrac{3+2+1}{12} = \dfrac12. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{p(4 \leq X \leq 6) = \dfrac{1}{2}}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 21
Dua buah dadu dilambungkan sekali. Jika $X$ menyatakan banyaknya dadu yang menghasilkan kemunculan mata dadu lebih dari $4,$ maka distribusi peluang yang tepat untuk variabel acak $X$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\begin{array}{cccc} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & \dfrac49 & \dfrac29 & \dfrac19 \\ \hline \end{array}$
B. $\begin{array}{cccc} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & \dfrac49 & \dfrac39 & \dfrac29 \\ \hline \end{array}$
C. $\begin{array}{cccc} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & \dfrac39 & \dfrac49 & \dfrac29 \\ \hline \end{array}$
D. $\begin{array}{cccc} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & \dfrac49 & \dfrac49 & \dfrac19 \\ \hline \end{array}$
E. $\begin{array}{cccc} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & \dfrac59 & \dfrac39 & \dfrac19 \\ \hline \end{array}$
Diketahui $X$ menyatakan banyaknya dadu yang menghasilkan kemunculan mata lebih dari $4.$
- Jika $X = 2,$ kejadian yang memenuhi ada $4,$ yaitu adalah $\{5, 5\},$ $\{5, 6\},$ $\{6, 5\},$ dan $\{6, 6\}$ sehingga $f(2) = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}.$
- Jika $X = 1,$ kejadian yang memenuhi ada $16,$ yaitu adalah $\{a, b\}$ dengan $a = 5, 6$ dan $b = 1, 2, 3, 4$ atau sebaliknya.
- Jika $X = 2,$ kejadian yang memenuhi ada $36-4-16 = 16.$
Jadi, distribusi peluang yang tepat untuk variabel acak $X$ adalah sebagai berikut.
$\begin{array}{cccc} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & \dfrac49 & \dfrac49 & \dfrac19 \\ \hline \end{array}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 22
Nilai $a$ agar
$$f(x) = \begin{cases} ax^3, & 0 < x < 3 \\ 0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$menjadi fungsi kepadatan peluang dari variabel acak kontinu $X$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{2}{27}$ D. $\dfrac{4}{81}$
B. $\dfrac{2}{81}$ E. $\dfrac{6}{81}$
C. $\dfrac{4}{27}$
Syarat agar $f(x)$ menjadi fungsi kepadatan peluang dari $X$ adalah $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)~\text{d}x = 1.$ Syarat lain yang perlu diperiksa adalah nilai fungsi tersebut selalu nonnegatif untuk setiap nilai $x$ yang didefinisikan.
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)~\text{d}x & = 1 \\ \int_0^3 ax^3~\text{d}x & = 1 \\ \dfrac14a[x^4]_0^3 & = 1 \\ \dfrac14a(3^4-0^4) & = 1 \\ \dfrac{81}{4}a & = 1 \\ a & = \dfrac{4}{81}. \end{aligned}$$Lebih lanjut, dapat diperiksa bahwa $f(x) = \dfrac{4}{81}x^3$ bernilai nonnegatif untuk $0 < x < 3.$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{\dfrac{4}{81}}$
(Jawaban D)
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Kategorikan variabel acak berikut sebagai diskret atau kontinu.
- $A$: Banyak kecelakaan kendaraan bermotor di Kota Pontianak sepanjang tahun 2023.
- $B$: Lamanya waktu yang diperlukan untuk berangkat dari rumah menuju bandara.
- $C$: Banyak susu sapi (dalam satuan liter) yang diproduksi setiap tahunnya di Indonesia.
- $D$: Tinggi rata-rata orang Indonesia.
- $E$: Jumlah nelayan yang menghuni Pulau Kalimantan.
Variabel acak $A$ dan $E$ keduanya dikategorikan sebagai variabel acak diskret karena nilainya berupa bilangan bulat (bukan selang dan tidak padat). Variabel acak $B, C,$ dan $D$ ketiganya dikategorikan sebagai variabel acak kontinu karena berupa bilangan real (selang dan padat).
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Normal
Soal Nomor 2
Misalkan $W$ merupakan variabel acak yang menyatakan banyaknya sisi angka dikurangi banyaknya sisi gambar yang muncul pada percobaan pengetosan tiga keping koin. Daftarkan anggota ruang sampel $S$ untuk pengetosan tiga keping koin tersebut dan berikan nilai $w$ dari $W$ untuk setiap titik sampel yang ada, kemudian tentukan nilai dari $p(W = -1).$
Misalkan $A$ dan $G$ berturut-turut merupakan kejadian diperolehnya sisi angka dan gambar pada pengetosan koin. Tabel berikut menyatakan anggota ruang sampel $S$ beserta nilai $w$ untuk variabel acak $W$ yang dimaksud.
$$\begin{array}{cc} \hline \text{Anggota} & w \\ \hline AAA & 3-0 = 3 \\ AAG & 2-1 = 1 \\ AGA & 2-1 = 1 \\ GAA & 2-1 = 1 \\ AGG & 1-2 = -1 \\ GAG & 1-2=-1 \\ GGA & 1-2=-1 \\ GGG & 0-3 = -3 \\ \hline \end{array}$$Dari tabel tersebut, ada tiga titik sampel yang berkorespondensi dengan nilai $w = -1,$ yaitu $AGG,$ $GAG,$ dan $GAA$ sehingga $p(W = -1) = \dfrac{3}{8}.$
Soal Nomor 3
Dari $20$ laptop sejenis yang dipasok ke suatu gerai retail, $3$ laptop di antaranya cacat. Jika suatu perusahaan melakukan pembelian $2$ laptop itu secara acak di gerai tersebut, tentukan distribusi peluang terkait banyaknya laptop cacat yang dibeli.
Misalkan $X$ adalah variabel acak diskret yang menyatakan banyak banyaknya laptop cacat yang dibeli oleh perusahaan tersebut. Dengan demikian, $x$ hanya mungkin bernilai $0, 1,$ atau $2.$
Diketahui bahwa ada $3$ laptop cacat dan $17$ laptop takcacat. Peluang perusahaan membeli $2$ laptop takcacat adalah
$$f(0) = p(X = 0) = \dfrac{\displaystyle \binom{3}{0} \binom{17}{2}}{\displaystyle \binom{20}{2}} = \dfrac{68}{95}.$$Berikutnya, peluang perusahaan membeli $1$ laptop cacat dan $1$ laptop takcacat adalah
$$f(1) = p(X = 1) = \dfrac{\displaystyle \binom{3}{1} \binom{17}{1}}{\displaystyle \binom{20}{2}} = \dfrac{51}{190}.$$Terakhir, peluang perusahaan membeli $2$ laptop cacat adalah
$$f(2) = p(X = 2) = \dfrac{\displaystyle \binom{3}{2} \binom{17}{0}}{\displaystyle \binom{20}{2}} = \dfrac{3}{190}.$$Jadi, distribusi peluang dari $X$ adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{cccc} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & \dfrac{68}{95} & \dfrac{51}{190} & \dfrac{3}{190} \\ \hline \end{array}$$
Soal Nomor 4
Dalam populasi rusa, kerentanan terhadap suatu penyakit secara genetik ditentukan di lokus tunggal. Di dalamnya terdapat gen yang memiliki dua alel, yaitu $\textbf{B}$ dan $\textbf{b}.$ Penyakit itu terkait dengan alel resesif $\textbf{b}$ sehingga rusa dengan genotipe $\textbf{bb}$ akan terserang penyakit tersebut, sedangkan rusa dengan genotipe $\textbf{Bb}$ hanya berperan sebagai pembawa (carrier). Misalkan sepasang rusa (betina dan jantan) yang sama-sama memiliki genotipe $\textbf{Bb}$ dikawinkan. Definisikan variabel acak $T$ sebagai banyak alel $\textbf{b}$ pada genotipe anak rusa yang dihasilkan dari perkawinan tersebut. Tuliskan distribusi peluang untuk variabel acak $T.$
Misalkan $T$ adalah variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya alel $\textbf{b}$ pada genotipe anak rusa yang dihasilkan dari perkawinan sepasang rusa dengan genotipe $\textbf{Bb}.$ Dengan demikian, akan ada $4$ kemungkinan genotipe berbeda yang dapat dimiliki oleh anak rusa, yaitu $\textbf{BB},$ $\textbf{Bb},$ $\textbf{bB},$ dan $\textbf{bb}.$ Lebih lanjut, $$\begin{aligned} T(\textbf{BB}) & = 0 \\ T(\textbf{Bb}) & = 1 \\ T(\textbf{bB}) & = 1 \\ T(\textbf{bb}) & = 2. \end{aligned}$$Jadi, distribusi peluang untuk variabel acak $T$ adalah sebagai berikut.
$$p(T = t) = \begin{cases} \dfrac14, & t = 0 \\ \dfrac12, & t = 1 \\ \dfrac14, & t = 2 \\ 0, & t~\text{lainnya} \end{cases}$$
Soal Nomor 5
Dalam populasi rusa, kerentanan terhadap suatu penyakit secara genetik ditentukan di lokus tunggal. Di dalamnya terdapat gen yang memiliki dua alel, yaitu $\textbf{B}$ dan $\textbf{b}.$ Penyakit itu terkait dengan alel resesif $\textbf{b}$ sehingga rusa dengan genotipe $\textbf{bb}$ akan terserang penyakit tersebut, sedangkan rusa dengan genotipe $\textbf{Bb}$ hanya berperan sebagai pembawa (carrier). Misalkan sepasang rusa (betina dan jantan) yang sama-sama memiliki genotipe $\textbf{Bb}$ dikawinkan dan menghasilkan $3$ ekor anak rusa. Misalkan $X$ adalah variabel acak yang menyatakan banyaknya anak rusa yang menderita penyakit tersebut dengan distribusi peluang sebagai berikut.
$$\begin{array}{cc} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X=x) & \dfrac{27}{64} & \dfrac{27}{64} & \dfrac{9}{64} & \dfrac{1}{64} \\ \hline \end{array}$$Hitung peluang bahwa
- tidak ada anak rusa yang menderita penyakit;
- setidaknya satu ekor anak rusa menderita penyakit;
- semua anak rusa menderita penyakit.
Jawaban a)
Berdasarkan tabel distribusi peluang di atas, peluang bahwa tidak ada anak rusa yang menderita penyakit dinyatakan oleh
$$p(X = 0) = \dfrac{27}{64}.$$Jawaban b)
Berdasarkan tabel distribusi peluang di atas, peluang bahwa setidaknya satu anak rusa yang menderita penyakit dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} p(X \ge 1) & = p(X = 1) + p(X = 2) + p(X = 3) \\ & = \dfrac{27}{64} + \dfrac{9}{64} + \dfrac{1}{64} \\ & = \dfrac{37}{64}. \end{aligned}$$Jawaban c)
Berdasarkan tabel distribusi peluang di atas, peluang bahwa semua anak rusa menderita penyakit dinyatakan oleh
$$p(X = 3) = \dfrac{1}{64}.$$
Soal Nomor 6
Misalkan $Y$ adalah variabel acak yang menyatakan banyaknya sisi angka dikali banyaknya sisi gambar yang muncul pada percobaan pengetosan tiga keping koin. Jika koin tersebut bias sehingga peluang munculnya gambar dua kali lipatnya daripada peluang munculnya angka, tentukan distribusi peluang dari variabel acak $Y.$
Misalkan $A$ dan $G$ berturut-turut merupakan kejadian diperolehnya sisi angka dan gambar pada pengetosan koin dengan $p(A) = \dfrac13$ dan $p(G) = \dfrac23.$ $Y$ merupakan variabel acak yang menyatakan banyaknya sisi angka dikali banyaknya sisi gambar yang muncul pada percobaan pengetosan tiga keping koin. Sebagai contoh, pada keluaran $AAA,$ banyak sisi angka dan gambar berturut-turut adalah $3$ dan $0$ sehingga $Y = (3)(0) = 0.$ Dengan cara yang serupa, kita dapat mendistribusikan setiap keluaran. Dari sini, kita peroleh
$$\begin{aligned} p(Y = 0) & = p(AAA) + p(GGG) \\ & = \left(\dfrac13\right)^3 + \left(\dfrac23\right)^3 = \dfrac{1}{3} \\ p(Y = 2) & = p(AAG) + p(AGA) + p(GAA) + p(GGA) + p(GAG) + p(AGG) \\ & = 3 \cdot \left(\dfrac13\right)^2 \cdot \dfrac23 + 3 \cdot \left(\dfrac23\right)^2 \cdot \dfrac13 \\ & = \dfrac{6}{27} + \dfrac{12}{27}= \dfrac23. \end{aligned}$$Jadi, distribusi peluang untuk variabel acak $Y$ adalah
$$\begin{array}{ccc} \hline y & 0 & 2 \\ \hline P(Y = y) & 1/3 & 2/3 \\ \hline \end{array}$$
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Eksponensial dan Gama
Soal Nomor 7
Tentukan nilai $c$ sehingga masing-masing fungsi berikut bisa menjadi distribusi peluang dari variabel acak diskret $X$.
- $f(x) = c(x^2 + 9)$ untuk $x = 0, 1, 2, 3.$
- $f(x) = c\displaystyle \binom{2}{x} \binom{3}{3-x}$ untuk $x = 0, 1, 2.$
Syarat agar $f(x)$ merupakan distribusi peluang dari suatu variabel acak diskret adalah $\displaystyle \sum_{x} f(x) = 1.$ Syarat lain yang perlu diperiksa adalah nilai fungsi tersebut selalu nonnegatif untuk setiap nilai $x$ yang didefinisikan.
Jawaban a)
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{x} f(x) & = 1 \\ \sum_{x = 0}^3 c(x^2 + 9) & = 1 \\ c\left(\sum_{x = 0}^3 x^2 + \sum_{x = 0}^3 9\right) & = 1 \\ c\left((0+1+4+9) + 4(9)\right) & = 1 \\ c(50) & = 1 \\ c & = \dfrac{1}{50}. \end{aligned}$$Lebih lanjut, dapat diperiksa bahwa $f(x) = \dfrac{1}{50}(x^2 + 9)$ bernilai nonnegatif untuk $x = 0, 1, 2, 3.$
Jadi, nilai $c$ yang memenuhi adalah $\boxed{\dfrac{1}{50}}$
Jawaban b)
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{x} f(x) & = 1 \\ \sum_{x = 0}^2 c\displaystyle \binom{2}{x} \binom{3}{3-x} & = 1 \\ c\left[\binom{2}{0} \binom{3}{3} + \binom{2}{1} \binom{3}{2} + \binom{2}{2} \binom{3}{1}\right] & = 1 \\ c(1(1) + 2(3) + 1(3)) & = 1 \\ c(10) & = 1 \\ c & = \dfrac{1}{10}.\end{aligned}$$Lebih lanjut, dapat diperiksa bahwa $f(x) = \dfrac{1}{10} \displaystyle \binom{2}{x} \binom{3}{3-x}$ bernilai nonnegatif untuk $x = 0, 1, 2.$
Jadi, nilai $c$ yang memenuhi adalah $\boxed{\dfrac{1}{10}}$
Baca: Materi, Soal dan Pembahasan – Distribusi Poisson
Soal Nomor 8
Suatu eksperimen pelantunan dua buah dadu secara bersamaan menghasilkan banyak pasangan mata dadu yang dinyatakan dalam tabel berikut.
- Tentukan peluang mata dadu $1$ bernilai $3$ dan mata dadu $2$ bernilai $4.$
- Jika mata dadu $2$ bernilai $6,$ tentukan peluang mata dadu $1$ bernilai $5.$
- Tentukan $p(X = x)$ dan $p(Y = y).$
Misalkan $S$ merupakan ruang sampel dari eksperimen pelantunan dua buah dadu tersebut sehingga $|S| = 25 + 50 + 25 = 100.$
Jawaban a)
Misalkan $A$ merupakan kejadian mata dadu $1$ bernilai $3$ dan mata dadu $2$ bernilai $4.$ Dari tabel, tampak bahwa $|A| = 15.$ Dengan demikian, peluang mata dadu $1$ bernilai $3$ dan mata dadu $2$ bernilai $4$ adalah
$$p(A) = \dfrac{|A|}{|S|} = \dfrac{15}{100} = \dfrac{3}{20}.$$Jawaban b)
Misalkan $B$ dan $C$ berturut-turut menyatakan kejadian mata dadu $2$ bernilai $6$ dan mata dadu $1$ bernilai $5.$ Dalam kasus ini, kita akan mencari nilai dari $p(C \mid B).$
$$\begin{aligned} p(C \mid B) & = \dfrac{n(C \cap B)}{n(B)} \\ & = \dfrac{10}{5+15+10} \\ & = \dfrac13. \end{aligned}$$Jadi, peluang mata dadu $1$ bernilai $5$ jika mata dadu $2$ bernilai $6.$
Jawaban c)
Berdasarkan tabel di atas, didapat distribusi peluang dari $X$ dan $Y$ sebagai berikut.
$$P(X = x) = \begin{cases} \dfrac{25}{100} = \dfrac14, & x = 1 \\ \dfrac{50}{100} = \dfrac12, & x = 3 \\ \dfrac{25}{100} = \dfrac14, & x = 5 \\ 0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$
$$P(Y = y) = \begin{cases} \dfrac{40}{100} = \dfrac25, & y = 2 \\ \dfrac{30}{100} = \dfrac{3}{10}, & y = 4 \\ \dfrac{30}{100} = \dfrac{3}{100}, & y = 6 \\ 0, & y~\text{lainnya} \end{cases}$$
Soal Nomor 9
Diketahui tinggi mahasiswa di suatu kampus berkisar antara $1,\!5$ m dan $1,\!75$ m. Misalkan $H$ menyatakan tinggi mahasiswa (dalam meter) dengan fungsi kepadatan peluangnya sebagai berikut.
$$f(h) = \begin{cases} 4, & 1,\!5 < h < 1,\!75 \\ 0, & h~\text{lainnya} \end{cases}$$
- Verifikasi bahwa $f(h)$ memang merupakan fungsi kepadatan peluang.
- Berapa peluang tinggi seorang mahasiswa lebih dari $1,\!7$ m?
Syarat agar $f(h)$ merupakan fungsi kepadatan peluang dari suatu variabel acak kontinu adalah $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(h)~\text{d}h = 1.$ Syarat lain yang perlu diperiksa adalah nilai fungsi tersebut selalu nonnegatif untuk setiap nilai $h$ yang didefinisikan.
Jawaban a)
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(h)~\text{d}h & = \displaystyle\int_{-\infty}^{1,5} 0~\text{d}h + \int_{1,5}^{1,75} 4~\text{d}h + \int_{1,75}^{\infty} 0~\text{d}h \\ & = 0 + [4h]_{1,5}^{1,75} + 0 \\ & = 4(1,\!75-1,\!5) \\ & = 1. \end{aligned}$$Lebih lanjut, karena $4 \ge 0,$ $f(h)$ akan bernilai nonnegatif untuk setiap bilangan real $h.$ Jadi, $f(h)$ terverifikasi sebagai fungsi kepadatan peluang.
Jawaban b)
Dengan menggunakan definisi fungsi kepadatan peluang, didapat
$$\begin{aligned} p(H > 1,\!7) & = \displaystyle \int_{1,7}^{1,75} 4~\text{d}h \\ & = [4h]_{1,7}^{1,75} \\ & = 4(1,\!75-1,\!7) \\ & = 0,\!2. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{p(H > 1,\!7) = 0,\!2}$
Soal Nomor 10
Misalkan galat suhu reaksi $($dalam satuan $^\circ\text{C})$ pada suatu percobaan laboratorium kontrol adalah variabel acak kontinu $X$ dengan fungsi kepadatan peluang sebagai berikut.
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2}{3}, & -1<x<2 \\ 0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$
- Verifikasi bahwa $f(x)$ memang merupakan fungsi kepadatan peluang.
- Tentukan $p(0 < X \le 1).$
Syarat agar $f(x)$ merupakan fungsi kepadatan peluang dari suatu variabel acak kontinu adalah $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)~\text{d}x = 1.$ Syarat lain yang perlu diperiksa adalah nilai fungsi tersebut selalu nonnegatif untuk setiap nilai $x$ yang didefinisikan.
Jawaban a)
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)~\text{d}x & = \displaystyle\int_{-\infty}^{-1} 0~\text{d}x + \int_{-1}^{2} \dfrac{x^2}{3}~\text{d}x + \int_{2}^{\infty} 0~\text{d}x \\ & = 0 + \dfrac19\left[x^3\right]_{-1}^2 + 0 \\ & = \dfrac19\left(2^3-(-1)^3\right) \\ & = 1. \end{aligned}$$Lebih lanjut, karena $x^2 \ge 0$ untuk setiap bilangan real $x,$ haruslah $\dfrac{x^2}{3} \ge 0.$ Dengan demikian, $f(x)$ akan bernilai nonnegatif untuk setiap bilangan real $x.$ Jadi, $f(x)$ terverifikasi sebagai fungsi kepadatan peluang.
Jawaban b)
Dengan menggunakan definisi fungsi kepadatan peluang, didapat
$$\begin{aligned} p(0 < X \le 1) & = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^2}{3}~\text{d}x \\ & = \dfrac19\left[x^3\right]_{0}^1 \\ & = \dfrac19\left(1^3-0^3\right) \\ & = \dfrac19. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{p(0 < X \le 1) = \dfrac19}$
Soal Nomor 11
Diberikan fungsi kepadatan peluang berikut.
$$f(x) = \begin{cases} k\sqrt{x}, & 0 < x < 1 \\ 0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$
- Hitung nilai $k.$
- Tentukan fungsi distribusi kumulatif $F(x),$ kemudian gunakan untuk menentukan nilai $p(0,\!3 < X < 0,\!6).$
Jawaban a)
Berdasarkan definisi fungsi kepadatan peluang pada variabel acak kontinu, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^1 k\sqrt{x}~\text{d}x & = 1 \\ k \left[\dfrac23x^{3/2}\right]_0^1 & = 1 \\ \dfrac23k(1-0) & = 1 \\ k & = \dfrac32. \end{aligned}$$Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $\boxed{\dfrac32}$
Jawaban b)
Diketahui $$f(x) = \begin{cases} \dfrac32\sqrt{x}, & 0 < x < 1 \\ 0, & x~\text{lainnya}. \end{cases}$$
Dengan mengintegralkan $f(x)$ pada selang $0 < x < 1,$ diperoleh
$$\begin{aligned} F(x) & = \displaystyle \int_0^x \dfrac32\sqrt{t}~\text{d}t \\ & = \dfrac32\left[\dfrac23t^{3/2}\right]_0^x \\ & = x^{3/2}. \end{aligned}$$Jadi, fungsi distribusi kumulatifnya dinyatakan oleh
$$F(x) = \begin{cases} x^{3/2}, & 0 < x < 1 \\ 0, & x~\text{lainnya}. \end{cases}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} p(0,\!3 < X < 0,\!6) & = F(0,\!6)-F(0,\!3) \\ & = (0,\!6)^{3/2}-(0,\!3)^{3/2} \\ & \approx 0,\!3004. \end{aligned}$$
Soal Nomor 12
Dalam satuan hari, umur simpan (shelf life) botol obat tertentu merupakan variabel acak yang fungsi kepadatannya dinyatakan sebagai berikut.
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{20.000}{(x + 100)^3}, & x > 0 \\ ~~~~~~~~0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$Tentukan peluang botol obat tersebut memiliki umur simpan selama
- setidaknya $200$ hari;
- di antara $80$ dan $120$ hari.
Misalkan $X$ adalah variabel acak yang menyatakan lama umur simpan botol obat tersebut dalam satuan hari. $X$ merupakan variabel acak kontinu.
Jawaban a)
Peluang botol obat tersebut memiliki umur simpan selama setidaknya $200$ hari adalah
$$\begin{aligned} p(X > 200) & = \displaystyle \int_{200}^{\infty} \dfrac{20.000}{(x + 100)^3}~\text{d}x \\ & = 20.000 \int_{200}^{\infty} (x + 100)^{-3}~\text{d}x \\ & = 20.000 \cdot \left[\dfrac{1}{-2} \cdot \dfrac{1}{(x + 100)^2}\right]_{200}^{\infty} \\ & = -10.000 \left[\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{(x + 100)^2}-\dfrac{1}{(200 + 100)^2}\right] \\ & = -10.000\left(0-\dfrac{1}{90.000}\right) \\ & = \dfrac19. \end{aligned}$$Jawaban b)
Peluang botol obat tersebut memiliki umur simpan selama di antara $80$ dan $120$ hari adalah
$$\begin{aligned} p(80 < X < 120) & = \displaystyle \int_{80}^{120} \dfrac{20.000}{(x + 100)^3}~\text{d}x \\ & = -10.000 \left[\dfrac{1}{(x + 100)^2}\right]_{80}^{120} \\ & = -10.000\left(\dfrac{1}{(120 + 100)^2}-\dfrac{1}{(80+100)^2}\right) \\ & = -10.000 \cdot \left(-\dfrac{1}{98.010}\right) \\ & = \dfrac{1.000}{9.801}. \end{aligned}$$
Soal Nomor 13
Dalam satuan $100$ jam, lamanya penggunaan penyedot debu (vacuum cleaner) yang digunakan oleh suatu keluarga dalam kurun waktu setahun merupakan variabel acak kontinu $X$ yang memiliki fungsi kepadatan peluang seperti berikut.
$$f(x) = \begin{cases} ~~~~x, & 0<x<1 \\ 2-x, & 1\le x < 2 \\ ~~~~0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$Dalam kurun waktu setahun, tentukan peluang suatu keluarga menggunakan penyedot debu selama
- kurang dari $110$ jam;
- di antara $50$ dan $100$ jam.
Jawaban a)
Dalam kurun waktu setahun, peluang suatu keluarga menggunakan penyedot debu selama kurang dari $110$ jam adalah
$$\begin{aligned} p(X < 1,\!1) & = \displaystyle \int_{-\infty}^{1,1} f(x)~\text{d}x \\ & = \int_0^1 x~\text{d}x + \int_1^{1,1} (2-x)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac12x^2\right]_0^1 + \left[2x-\dfrac12x^2\right]_1^{1,1} \\ & = \dfrac12 + \dfrac{19}{200} \\ & = \dfrac{119}{200}. \end{aligned}$$Jawaban b)
Dalam kurun waktu setahun, peluang suatu keluarga menggunakan penyedot debu selama di antara $50$ dan $100$ jam adalah
$$\begin{aligned} p(0,\!5 < X < 1) & = \displaystyle \int_{0,5}^{1} f(x)~\text{d}x \\ & = \int_{0,5}^{1} x~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac12x^2\right]_{0,5}^1 \\ & = \dfrac12(1^2-(0,\!5)^2) \\ & = \dfrac38. \end{aligned}$$
Soal Nomor 14
Perbandingan orang yang menekan tombol suka (like) pada suatu unggahan video di media sosial merupakan variabel acak kontinu $X$ yang memiliki fungsi kepadatan peluang seperti berikut.
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{2(x+2)}{5}, & 0<x<1 \\ ~~~~~~~0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$
- Tunjukkan bahwa $p(0 < X < 1) = 1.$
- Tentukan peluang bahwa lebih dari $1/4,$ tetapi kurang dari $1/2,$ dari populasi orang menekan tombol suka pada unggahan video tersebut.
Jawaban a)
Berdasarkan definisi fungsi kepadatan peluang dari variabel acak kontinu, berlaku
$$\begin{aligned} \displaystyle p(0 < X < 1) & = \int_0^1 f(x)~\text{d}x \\ & = \int_0^1 \dfrac{2(x+2)}{5}~\text{d}x \\ & = \dfrac25 \left[\dfrac12x^2 + 2x\right]_0^1 \\ & = \dfrac25\left(\dfrac12(1^2-0^2) + 2(1-0)\right) \\ & = \dfrac25\left(\dfrac12 + 2\right) \\ & = 1. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $p(0 < X < 1) = 1.$
Jawaban b)
Dalam kasus ini, akan dicari nilai dari $p\left(\dfrac14 < X < \dfrac12\right),$ yaitu
$$\begin{aligned} p\left(\dfrac14 < X < \dfrac12\right) & = \displaystyle \int_{1/4}^{1/2} f(x)~\text{d}x \\ & = \int_{1/4}^{1/2} \dfrac{2(x+2)}{5}~\text{d}x \\ & = \\ & = \dfrac25 \left[\dfrac12x^2 + 2x\right]_{1/4}^{1/2} \\ & = \dfrac25\left(\dfrac12\left(\left(\dfrac12\right)^2 -\left(\dfrac14\right)^2\right) + 2\left(\dfrac12-\dfrac14\right)\right) \\ & = \dfrac25\left(\dfrac{3}{32}+\dfrac12\right) \\ & = \dfrac{19}{80}. \end{aligned}$$
Soal Nomor 15
Diketahui fungsi distribusi kumulatif dari suatu variabel acak kontinu sebagai berikut.
$$F(x) = \begin{cases} ~~~~~~~~~~0, &x \le 3 \\ \dfrac{x^2-6x+9}{16}, & 3 < x \le 7 \\ ~~~~~~~~~~1, & x > 7 \end{cases}$$Tentukan fungsi kepadatan peluang dari variabel acak kontinu tersebut.
Berdasarkan definisi fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak kontinu, fungsi kepadatan peluang didapat dengan menurunkan fungsi distribusi kumulatif sebanyak satu kali terhadap variabel yang berpadanan sesuai dengan intervalnya. Secara matematis, ditulis $f(x) = \dfrac{\text{d} F(x)}{\text{d}x}.$
Diketahui fungsi distribusi kumulatif berikut.
$$F(x) = \begin{cases} ~~~~~~~~~~0, &x \le 3 \\ \dfrac{x^2-6x+9}{16}, & 3 < x \le 7 \\ ~~~~~~~~~~1, & x > 7 \end{cases}$$Turunan pertama dari fungsi $F(x)$ pada interval $x \le 3,$ $3 < x \le 7,$ dan $x > 7$ berturut-turut dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(0) & = 0 \\ \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\dfrac{x^2-6x+9}{16}\right) & = \dfrac{2x-6}{16} = \dfrac{x-3}{8} \\ \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(1) & = 0. \end{aligned}$$Jadi, fungsi kepadatan peluang yang sesuai adalah
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x-3}{8}, & 3 < x \le 7 \\ 0, & x~\text{lainnya}. \end{cases}$$
Soal Nomor 16
Banyaknya gol yang dicetak oleh timnas sepak bola negara $X$ saat menjamu lawannya dapat dipandang sebagai variabel acak $A$ dengan fungsi peluang berikut.
$$\begin{array}{cccccc} \hline a & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(A = a) & 0,\!15 & 0,\!50 & 0,\!25 & 0,\!08 & 0,\!02 \\ \hline \end{array}$$Pada suatu hari, $X$ kembali menjamu lawan yang sama. Tentukan
- peluang timnas sepak bola negara $X$ mencetak kurang dari $3$ gol;
- peluang timnas sepak bola negara $X$ mencetak dari $1$ sampai $3$ gol;
- fungsi distribusi kumulatif $F(a)$ dan gambarkan grafiknya.
Misalkan $A$ adalah variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya gol yang dicetak oleh timnas sepak bola negara $X$ saat menjamu lawannya dengan fungsi peluang berikut.
$$\begin{array}{cccccc} \hline a & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(A = a) & 0,\!15 & 0,\!50 & 0,\!25 & 0,\!08 & 0,\!02 \\ \hline \end{array}$$Jawaban a)
Peluang timnas sepak bola negara $X$ mencetak kurang dari $3$ gol; dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} p(A < 3) & = p(A = 0) + p(A = 1) + p(A = 2) \\ & = 0,\!15 + 0,\!50 + 0,\!25 \\ & = 0,\!90. \end{aligned}$$Jawaban b)
Peluang timnas sepak bola negara $X$ mencetak dari $1$ sampai $3$ gol dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} p(1 \le A \le 3) & = p(A = 1) + p(A = 2) + p(A = 3) \\ & = 0,\!50 + 0,\!25 + 0,\!08 \\ & = 0,\!83. \end{aligned}$$Jawaban c)
Fungsi distribusi kumulatif yang bersesuaian dengan fungsi peluang $f(y)$ adalah
$$F(a) = \begin{cases} 0,\!00 & a < 0 \\ 0,\!15, & a = 0 \\ 0,\!65, & a = 1 \\ 0,\!90, & a = 2 \\ 0,\!98, & a = 3 \\ 1,\!00 & a \ge 4. \end{cases}$$dengan gambar grafiknya seperti berikut.
Soal Nomor 17
Danau Maracaibo di Venezuela mendapat predikat sebagai “ibu kota petir di dunia”. Tempat tersebut mengalami sambaran petir yang menerangi langit hampir $300$ malam setiap tahunnya berdasarkan studi NASA. Misalkan $X$ menyatakan banyak malam terjadinya sambaran petir setiap minggunya dengan fungsi massa peluangnya sebagai berikut.
$$\begin{array}{cccccc} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(X = x) & 0,\!03 & 0,\!04 & 0,\!05 & 0,\!37 & 0,\!51 \\ \hline \end{array}$$
- Tentukan peluang terjadinya sambaran petir yang menerangi langit malam setiap minggunya.
- Tentukan dan gambarkan fungsi distribusi kumulatif dari $X.$
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyak malam terjadinya sambaran petir setiap minggunya.
Jawaban a)
Berdasarkan fungsi massa peluang dari $X,$ peluang terjadinya sambaran petir yang menerangi langit malam setiap minggunya adalah
$$p(X \ge 1) = 1-p(X = 0) = 1-0,\!03 = 0,\!97.$$Jawaban b)
Berdasarkan definisi, kita dapat membuat fungsi distributif kumulatif dari $X$ yang terdefinisi untuk semua bilangan real $x$ berdasarkan fungsi massa peluang yang diberikan, yaitu
$$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 0,\!03, & 0 \le x < 1 \\ 0,\!07, & 1 \le x < 2 \\ 0,\!12, & 2 \le x < 3 \\ 0,\!49, & 3 \le x < 4 \\ 1, & x \ge 4. \end{cases}$$Adapun gambar dari fungsi distribusi kumulatif $F(x)$ tersebut adalah sebagai berikut.
Soal Nomor 18
Misalkan simpangan pengukuran suatu alat ukur untuk mengetahui tingkat curah hujan di suatu daerah sebesar $0,\!5$ mm. Asumsikan bahwa alat ukur tersebut tidak akan menyimpang di luar batas itu dan fungsi peluangnya seragam di selang tersebut. Jika $Y$ adalah variabel acak yang menyatakan besarnya simpangan pengukuran dari alat ukur tersebut dalam satuan mm, tentukan
- peluang alat ukur melakukan kesalahan di antara $-0,\!25$ mm dan $0,\!2$ mm;
- peluang alat ukur melakukan kesalahan berupa kelebihan pengukuran sebesar lebih dari $0,\!2$ mm;
- fungsi distribusi kumulatif $F(y)$ dan gambarkan grafiknya.
Misalkan $Y$ adalah variabel acak kontinu yang menyatakan besarnya simpangan pengukuran dari alat ukur tersebut dalam satuan mm. Karena simpangan pengukurannya sebesar $0,\!5$ mm, fungsi peluangnya diberikan sebagai berikut.
$$f(y) = \begin{cases} 1, & -0,\!5 < y < 0,\!5 \\ 0, & y~ \text{lainnya} \end{cases}$$Jawaban a)
Peluang alat ukur melakukan kesalahan di antara $-0,\!25$ mm dan $0,\!2$ mm dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} p(-0,\!25 < Y < 0,\!2) & = \displaystyle \int_{-0,25}^{0,2} f(y)~\text{d}y \\ & = \int_{-0,25}^{0,2} 1~\text{d}y \\ & = \left[t\right]_{-0,25}^{0,2} \\ & = 0,\!2-(-0,\!25) \\ & = 0,\!45. \end{aligned}$$Jawaban b)
Peluang alat ukur melakukan kesalahan berupa kelebihan pengukuran sebesar lebih dari $0,\!2$ mm dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} p(Y > 0,\!2) & = \displaystyle 1-p(Y \le 0,\!2) \\ & = 1-\left(\int_{-\infty}^{-0,5} 0~\text{d}y + \int_{-0,5}^{-0,2} 1~\text{d}y\right) \\ & = 1-\left(0 + 0,\!7 \right) \\ & = 0,\!3. \end{aligned}$$Jawaban c)
Fungsi distribusi kumulatif yang bersesuaian dengan fungsi peluang $f(y)$ akan dicari sesuai interval $y.$
Untuk $y < -0,\!5,$ diperoleh
$$\begin{aligned} F(y) & = \displaystyle \int_{-\infty}^{y} f(y)~\text{d}y \\ & = \int_{-\infty}^{y} 0~\text{d}y \\ & = 0. \end{aligned}$$Untuk $-0,\!5 < y < 0,\!5,$ diperoleh
$$\begin{aligned} F(y) & = \displaystyle \int_{-\infty}^{y} f(y)~\text{d}y \\ & = \int_{-\infty}^{-0,5} 0~\text{d}y + \int_{-0,5}^{y} 1~\text{d}y \\ & = y + 0,\!5. \end{aligned}$$Untuk $y > 0,\!5,$ diperoleh
$$\begin{aligned} F(y) & = \displaystyle \int_{-\infty}^{y} f(y)~\text{d}y \\ & = \int_{-\infty}^{-0,5} 0~\text{d}y + \int_{-0,5}^{0,5} 1~\text{d}y + \int_{0,5}^{\infty} 0~\text{d}y \\ & = 1. \end{aligned}$$Jadi, fungsi distribusi kumulatifnya adalah
$$F(y) = \begin{cases} 0, & y < -0,\!5 \\ y + \dfrac12, & -0,\!5 < y < 0,\!5 \\ 1, & y > 0,\!5 \end{cases}$$dengan gambar grafiknya seperti berikut.
Soal Nomor 19
Pihak asurador (penjamin asuransi) melakukan analisis mendalam terhadap kemungkinan seorang nasabah mengalami sakit parah. Hasil analisis tersebut terwujud dalam fungsi distribusi kumulatif berikut dari variabel acak kontinu $T$ yang menyatakan lamanya waktu (dalam satuan tahun) seorang nasabah untuk mengalami sakit parah.
$$F(t) = \begin{cases} \frac18, & t < 1 \\ \frac14, & 1 \le t < 3 \\ \frac12, & 3 \le t < 5 \\ \frac34, & 5 \le t < 7 \\ 1, & t \ge 7 \end{cases}$$Tentukan
a. $p(T = 5);$
b. $p(T > 2);$
c. $p(1,\!5 < T < 6);$
d. $p(T \le 5 \mid T \ge 2).$
Jawaban a)
Karena $T$ merupakan variabel acak kontinu, peluang kejadian di satu titik tertentu selalu sama dengan nol. Jadi, peluang seorang nasabah mengalami sakit parah ketika tepat $5$ tahun mendatang dinyatakan oleh $p(T = 5) = 0.$
Jawaban b)
Peluang seorang nasabah mengalami sakit parah ketika lebih dari $2$ tahun mendatang dinyatakan oleh
$$p(T > 2) = 1-p(T \le 2) = 1-F(2) = 1-\dfrac14 = \dfrac34.$$Jawaban c)
Peluang seorang nasabah mengalami sakit parah ketika di antara $1,\!5$ dan $6$ tahun mendatang dinyatakan oleh
$$p(1,\!5 < T < 6) = F(6)-F(1,\!5) = \dfrac34-\dfrac14 = \dfrac12.$$Jawaban d)
Peluang seorang nasabah mengalami sakit parah ketika kurang dari atau tepat $5$ tahun mendatang setelah diketahui bahwa ia akan mengalami sakit parah ketika lebih dari $2$ tahun mendatang dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} p(T \le 5 \mid T \ge 2) & = \dfrac{p(2 \le T \le 5)}{p(T \ge 2)} \\ & = \dfrac{F(5)-F(2)}{1-F(2)} \\ & = \dfrac{\dfrac34-\dfrac14}{1-\dfrac14} \\ & = \dfrac23. \end{aligned}$$
Soal Nomor 20
Waktu yang diperlukan bagi suatu radar untuk mendeteksi pancaran sinyal di laut lepas (dalam satuan jam) adalah variabel acak kontinu $X$ dengan fungsi distribusi kumulatif seperti berikut.
$$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1-e^{-8x}, & x \ge 0 \end{cases}$$Tentukan peluang radar tersebut mendeteksi pancaran sinyal selama kurang dari $12$ menit dengan menggunakan:
- fungsi distribusi kumulatif dari $X;$
- fungsi kepadatan peluang dari $X.$
Jawaban a)
Karena $12$ menit sama dengan $0,\!2$ jam, peluang radar tersebut mendeteksi pancaran sinyal selama kurang dari $12$ menit dengan menggunakan fungsi distribusi kumulatif dari $X$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} p(X < 0,\!2) & = p(X \le 0,\!2) \\ & = F(0,\!2) \\ & = 1-e^{-8(0,2)} \\ & \approx 0,\!7981. \end{aligned}$$Jawaban b)
Fungsi kepadatan peluang dari $X$ adalah turunan pertama dari $F(x),$ yaitu
$$f(x) = F'(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 8e^{-8x}, & x \ge 0 \end{cases}$$Dengan demikian, peluang radar tersebut mendeteksi pancaran sinyal selama kurang dari $12$ menit dengan menggunakan fungsi kepadatan peluang dari $X$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} p(X < 0,\!2) & = \displaystyle \int_{-\infty}^{0,2} f(x)~\text{d}x \\ & = \int_{-\infty}^{0} 0~\text{d}x + \int_{0}^{0,2} 8e^{-8x}~\text{d}x \\ & = 0 + 8\left[-\dfrac18e^{-8x}\right]_0^{0,2} \\ & = -(e^{-1,6}-e^0) \\ & \approx 0,\!7981. \end{aligned}$$
Soal Nomor 21
Seorang analis risiko melakukan observasi pada Perusahaan Asuransi A berkenaan dengan banyaknya klaim yang datang ke perusahaan tersebut. Misalkan variabel acak $X$ menyatakan banyak klaim yang datang sampai ditemukan klaim bernilai di atas $33$ juta rupiah. Jika fungsi peluang untuk $X$ dirumuskan sebagai
$$p(X = x) = \begin{cases} \dfrac23\left(\dfrac13\right)^{x-1}, & x = 1, 2, 3, \cdots \\ 0, & x~\text{lainnya}, \end{cases}$$
- Tentukan peluang bahwa setidaknya $5$ klaim yang datang ke Perusahaan A sampai ditemukan klaim bernilai di atas $33$ juta rupiah.
- Tentukan fungsi distribusi kumulatif dan fungsi kesintasan (survival function) dari $X$ beserta gambarnya.
Jawaban a)
Peluang bahwa setidaknya $5$ klaim yang datang ke Perusahaan A sampai ditemukan klaim bernilai di atas $33$ juta rupiah dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} P(X \ge 5) & = 1-P(X < 5) \\ & = 1-\left(p(X = 1) + p(X = 2) + p(X = 3) + p(X = 4)\right) \\ & = 1-\left(\dfrac23\left(\dfrac13\right)^0 + \dfrac23\left(\dfrac13\right)^1 + \dfrac23\left(\dfrac13\right)^2 + \dfrac23\left(\dfrac13\right)^3\right) \\ & = 1-\dfrac23\left(\left(\dfrac13\right)^0 + \left(\dfrac13\right)^1 + \left(\dfrac13\right)^2 + \left(\dfrac13\right)^3\right) \\ & = 1-\dfrac23\left(\dfrac{40}{27}\right) \\ & = 1-\dfrac{80}{81} \\ & = \dfrac{1}{81}. \end{aligned}$$Jawaban b)
Untuk menentukan fungsi distribusi kumulatif dari $X,$ bagilah kasus untuk nilai-nilai $X$ yang didefinisikan.
Untuk $x = 1, 2, 3, \cdots,$ diperoleh
$$\begin{aligned} F(x) & = \displaystyle \sum_{t \le x} p(X = t) \\ & = \sum_{t \le x} \dfrac23\left(\dfrac13\right)^t \\ & = \dfrac23 \cdot \dfrac{1\left(1-\left(\dfrac13\right)^x\right)}{1-\dfrac13} \\ & = 1-\left(\dfrac13\right)^x. \end{aligned}$$Untuk $x$ lainnya, jelas diperoleh $F(x) = 0.$
Jadi, fungsi distribusi kumulatif dari $X$ adalah
$$F(x) = \begin{cases} 1-\left(\dfrac13\right)^x, & x = 1, 2, 3, \cdots \\ 0, & x~\text{lainnya}. \end{cases}$$Fungsi kesintasan $S(x)$ didefinisikan sebagai $S(x) = 1-F(x).$ Untuk $x = 1, 2, 3, \cdots,$ diperoleh
$$S(x) = 1-\left(1-\left(\dfrac13\right)^x\right) = \left(\dfrac13\right)^x.$$Untuk $x = 0,$ diperoleh $S(x) = 1-0 = 1.$ Jadi, fungsi kesintasan dari $X$ adalah
$$S(x) = \begin{cases} \left(\dfrac13\right)^x, & x = 1, 2, 3, \cdots \\ 1, & x~\text{lainnya}. \end{cases}$$
Soal Nomor 22
Diberikan grafik fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak kontinu $X$ sebagai berikut.
Nyatakan grafik tersebut dalam bentuk tertulis, kemudian tentukan fungsi kepadatan peluang dari $X.$
Dengan membaca grafik fungsi distribusi peluang yang diberikan, termasuk menentukan persamaan garis untuk setiap interval nilai $x,$ diperoleh fungsi distribusi kumulatif dari $X$ sebagai berikut.
$$F(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0 \\ \dfrac12x, & 0 < x \le 1 \\ \dfrac12, & 1 < x \le 2 \\ \dfrac12x-\dfrac12, & 2 <x \le 3 \\ 1, & x > 3. \end{cases}$$Adapun fungsi kepadatan peluang dari $X$ dapat dicari dengan menentukan turunan pertama dari $F(x)$ sesuai dengan nilai interval $x.$
$$f(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0 \\ \dfrac12, & 0 < x \le 1 \\ 0, & 1 < x \le 2 \\ \dfrac12, & 2 < x \le 3 \\ 0, & x > 3 \end{cases}$$atau dapat disederhanakan menjadi
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac12, & 0 < x \le 1~\text{atau}~2 < x \le 3 \\ 0, & x~\text{lainnya}. \end{cases}$$