Soal dan Pembahasan – Ujian Tengah Semester (UTS) Kalkulus Diferensial Versi 1 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Untan

[latexpage]Berikut ini adalah soal ujian tengah semester (soal B) beserta pembahasannya mata kuliah Kalkulus Diferensial (Tahun Ajaran 2016/2017) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 2 oleh Drs. Edy Yusmin, M. Pd pada tanggal 19 April 2017.
Naskah soal asli dapat dilihat di sini: BERKAS

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – UTS Kalkulus Diferensial Versi 3 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Untan

Soal Nomor 1
Tentukan HP dari pertidaksamaan berikut. 
a) $\dfrac{x+1}{2-x} < \dfrac{x} {3+x}$
b) $2|x| – |x – 3| \geq 3$

Penyelesaian

Jawaban a) 
$\begin{aligned} & \dfrac{x+1}{2-x} < \dfrac{x} {3+x} \\ & \dfrac{x+1}{2-x} – \dfrac{x}{3+x} < 0 \\ & \dfrac{(x+1)(3+x) – x(2-x)} {(2-x) (3+x)} < 0 \\ & \dfrac{2x^2 + 2x + 3}{(2-x)(3+x)} < 0 \end{aligned}$
Pembilang pada pertidaksamaan terakhir definit positif, sehingga agar bernilai negatif, haruslah
$(2-x) (3+x) < 0$
dengan pembuat nol $x = 2$ atau $x = -3$. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 
$HP = \{x | -3 < x < 2\}$ 
Jawaban b) 
Gunakan definisi harga mutlak
$|x| = \begin{cases} x, &~\text{jika}~x \geq 0 \\ -x, &~\text{jika}~x < 0 \end{cases}$
dan
$|x – 3| = \begin{cases} x – 3, &~\text{jika}~x \geq 3 \\ -x + 3, &~\text{jika}~x < 3 \end{cases}$
Untuk $x < 0$, pertidaksamaan yang diberikan menjadi
$\begin{aligned}& 2(-x) -(-x + 3) \geq 3 \\ & -x – 3 \geq 3 \\ & x \leq -6 \end{aligned}$
Diperoleh $HP_1 = \{x | x < 0 \land x \leq -6\} = \{x| x \leq -6\}$
Untuk $0 \leq x < 3$, pertidaksamaan menjadi
$\begin{aligned} & 2x – (-x + 3) \geq 3 \\ & 3x \geq 6 \\ & x \geq 2 \end{aligned}$
Diperoleh $HP_2 = \{x | 0 \leq x < 3 \land x \geq 2\} = \{x | 2 \leq x < 3\}$
Untuk $x \geq 3$, pertidaksamaan menjadi
$\begin{aligned} 2x – (x – 3) \geq 3 \\ x \geq 0 \end{aligned}$
Diperoleh $HP_3 = \{x | x \geq 3 \land x \geq 0\} = \{x | x \geq 3\}$
Hasil gabungan dari tiga himpunan penyelesaian tersebut adalah HP dari pertidaksamaan yang dimaksud, yaitu
$HP = \{x | x \leq 6 \lor x \geq 2, x \in \mathbb{R}\}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan daerah asal (domain) dan daerah nilai dari fungsi $f(x) = \sqrt{\dfrac{x-4}{3x-6}}$

Penyelesaian

Syarat radikan tidak boleh negatif, jadi haruslah
$\dfrac{x – 4}{3x – 6} \geq 0$
Pembuat nol masing-masing bagian adalah $x = 4$ dan $x = 2$. Ambil titik uji, misalkan $x = 0$, lalu substitusikan ke pertidaksamaan itu, sehingga didapat $\dfrac{-4}{-6} = \dfrac{2}{3}$ (positif), sehingga dari formasi garis bilangan yang dibuat, diperoleh penyelesaiannya adalah 
$\{x~|~x \leq 2 \lor x \geq 4\}$
Selain itu, penyebut juga tidak boleh bernilai nol, ditulis
$\begin{aligned} & 3x – 6 \neq 0 \\ & x \neq 2\end{aligned}$
Jadi, daerah asal (domain) fungsi $f$ adalah $\{x~|~ x < 2 \lor x \geq 4\}$
Selanjutnya, daerah hasil (range) suatu bentuk akar kuadrat termasuk dalam kasus ini adalah $\{y ~| ~y \geq 0\}$ (akar kuadrat dari suatu bilangan tidak mungkin menghasilkan bilangan negatif)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diberikan fungsi $f(x) = 2 + x^2$ dan $g(x) = \sqrt{2-x^2}$
a) Tunjukkan apakah fungsi $f \circ g$ terdefinisi. 
b) Tentukan persamaan fungsi komposisi $f \circ g$ jika ada. 
c) Tentukan daerah definisi dan daerah nilai dari fungsi komposisi $f \circ g$

Penyelesaian

Jawaban a) 
Fungsi komposisi tersebut akan terdefinisi jika hasil irisan antara domain fungsi $f$ dan range fungsi $g$ bukan himpunan kosong
Perhatikan bahwa daerah asal (domain) fungsi $f$ adalah $\mathbb{R}$, sedangkan daerah hasil (range) fungsi $g$ terbatas dengan syarat $2 – x^2 \geq 0$ atau diselesaikan sebagai berikut. 
$\begin{aligned} & x^2 \leq 2 \\ & -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \end{aligned} $ 
Jelaslah bahwa irisan keduanya tidak kosong, sehingga fungsi komposisi $f \circ g$ terdefinisi. 
Jawaban b) 
$\begin{aligned}(f \circ g)(x) & = f(g(x)) = f(\sqrt{2-x^2}) \\ & = 2 + \left(\sqrt{2-x^2}\right)^2 \\ & = 2 + (2 – x^2) = 4 – x^2 \end{aligned}$
Jawaban c) 
Daerah definisi (daerah asal/domain) fungsi $f \circ g$ adalah $\mathbb{R}$ (berapun nilai $x$ yang dimasukkan, tidak membuat fungsi menjadi tak terdefinisi), sedangkan daerah hasilnya adalah $\{y~|~ y \leq 4, y \in \mathbb{R}\}$, karena jika kita perhatikan bentuk $4 – x^2$, kita dapat mengetahui bahwa nilai maksimum fungsinya adalah $4$, dan jika $x$ menjauh dari $0$, maka nilai fungsinya justru semakin kecil.

[collapse]

Soal Nomor 4
Anda bermaksud membuat kolam ikan yang akan dipagari dengan kawat pagar siap jadi. Kolam tersebut dibagi menjadi dua bidang kolam berbentuk persegi panjang berdampingan yang identik, dengan luas masing-masing kolam adalah $300~m^2$. Jika panjang masing-masing kolam dinyatakan dalam $x$ dan lebarnya dinyatakan dalam $y$, nyatakan keliling pagar sebagai fungsi dari $x$.

Penyelesaian

Buatlah sketsa gambar seperti berikut. 

Dengan menggunakan konsep luas persegi panjang, diperoleh
$xy = 300 \Rightarrow y = \dfrac{300}{x}$
Selanjutnya, keliling pagar dinyatakan sebagai fungsi dari $x$ adalah
$\begin{aligned} f(x) & = x + x + x + x + y + y + y \\ & = 4x + 3y = 4x + 3\left(\dfrac{300}{x}\right) = \left(4x + \dfrac{900}{x}\right)~m \end{aligned}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – UTS Kalkulus Diferensial Versi 2 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Untan