Tag: Himpunan

Diketahui $\sqrt{2x+6} > 0$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{2x+6})^2 & > (0)^2 \\ 2x+6 & > 0 \\ 2x & > -6 \\ x & > -3 \end{aligned}$
Syarat akar:
$2x + 6 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -3.$
Karena semua $x$ yang memenuhi $x > -3$ juga memenuhi syarat akar $x \geq -3$, maka penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{x > -3}$
(Jawaban D)

Diketahui $\sqrt{3x-1}<2$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{3x-1})^2 & < (2)^2 \\ 3x-1 & < 4 \\ 3x & < 5 \\ x & < \dfrac53 && (\bigstar) \end{aligned}$
Syarat akar:
$3x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \dfrac13.$
Gunakan garis bilangan.

Irisan dari $\bigstar$ dan syarat akar di atas merupakan penyelesaian pertidaksamaan.
Tampak bahwa irisan dari $(1)$ dan $(2)$ adalah $\boxed{\dfrac13 \leq x < \dfrac53}$
(Jawaban C)

Diketahui $\sqrt{x^2+4x-5} < 4$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{x^2+4x-5})^2 & < (4)^2 \\ x^2+4x-5 & < 16 \\ x^2+4x-21 & < 0 \\ (x+7)(x-3) & < 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = -7$ atau $x = 3$.
Penyelesaian $(1)$: $-7 < x < 3$.
Syarat akar:
$\begin{aligned} x^2+4x-5 & \geq 0 \\ (x+5)(x-1) & \geq 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = -5$ atau $x = 1$.
Penyelesaian $(2)$: $x \leq -5$ atau $x \geq 1$.
Gunakan garis bilangan.
Irisan dari $(1)$ dan $(2)$ merupakan penyelesaian pertidaksamaan.
Tampak bahwa irisan dari $(1)$ dan $(2)$ adalah $\boxed{-7 < x \leq -5~\text{atau}~1 \leq x < 3}$
(Jawaban C)

Diketahui $\sqrt{3-5x} > \sqrt{x}$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{3-5x})^2 & > (\sqrt{x})^2 \\ 3-5x & > x \\ -6x & > -3 \\ x & < \dfrac12 && (\bigstar) \end{aligned}$
Syarat akar $(1)$:
$3-5x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \dfrac35.$
Syarat akar $(2)$: $x \geq 0$.
Gunakan garis bilangan.
Irisan dari $(\bigstar)$ dan kedua syarat akar di atas merupakan penyelesaian pertidaksamaan.
Tampak bahwa irisannya adalah $\boxed{0 \leq x < \dfrac12}$
(Jawaban D)

Diketahui $\sqrt{1-x} < \sqrt{2x+6}$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{1-x})^2 & < (\sqrt{2x+6})^2 \\ 1-x & < 2x+6 \\ -x-2x & < 6-1 \\ -3x & < 5 \\ x & > -\dfrac53 && (\bigstar) \end{aligned}$
Syarat akar $(1)$:
$1-x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 1.$
Syarat akar $(2)$:
$2x+6 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -3.$
Gunakan garis bilangan.
Irisan dari $\bigstar$ dan kedua syarat akar di atas merupakan himpunan penyelesaian pertidaksamaan.
Tampak bahwa irisannya adalah $\boxed{\left\{x~|-\dfrac53 < x \leq 1 \right\}}$
(Jawaban E)

Diketahui $\sqrt{x^2-3x+2} \leq \sqrt{x+7}$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{x^2-3x+2})^2 & \leq (\sqrt{x+7})^2 \\ x^2-3x+2 & \leq x+7 \\ x^2-4x-5 & \leq 0 \\ (x+1)(x-5) & \leq 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = -1$ atau $x = 5$.
Penyelesaiannya adalah $-1 \leq x \leq 5~~~~(\bigstar)$
Syarat akar $(1)$:
$\begin{aligned} & x^2-3x+2 \geq 0 \\ &  \Leftrightarrow (x-1)(x-2) \geq 0. \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = 1$ atau $x=2$.
Penyelesaiannya adalah $x \leq 1~\text{atau}~x \geq 2$.
Syarat akar $(2)$:
$x+7 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -7.$
Gunakan garis bilangan.

Irisan dari $\bigstar$ dan kedua syarat akar di atas merupakan himpunan penyelesaian pertidaksamaan.
Tampak bahwa irisannya adalah $$\boxed{\{x~|-1 \leq x \leq 1~\text{atau}~2 \leq x \leq 5, x \in \mathbb{R}\}}$$(Jawaban D)

Diketahui $\sqrt{x^2-x-2} < \sqrt{x^2+3x+2}$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{x^2-x-2})^2 & < (\sqrt{x^2+3x+2})^2 \\ \cancel{x^2}-x-2 & < \cancel{x^2}+3x+2 \\ -4x & < 4 \\ x & > -1~~~~(\bigstar) \end{aligned}$
Syarat akar $(1)$:
$$\begin{aligned} & x^2-x-2 \geq 0 \\ &  \Leftrightarrow (x+1)(x-2) \geq 0. \end{aligned}$$Pembuat nol: $x = -1$ atau $x=2$.
Penyelesaiannya adalah $x \leq -1~\text{atau}~x \geq 2.$
Syarat akar $(2)$:
$x^2+3x+2 \geq 0 \Leftrightarrow (x+1)(x+2) \geq 0$
Pembuat nol: $x = -1$ atau $x=-2$.
Penyelesaiannya adalah $x \leq -2~\text{atau}~x \geq -1$.
Gunakan garis bilangan.
Irisan dari $\bigstar$ dan kedua syarat akar di atas merupakan himpunan penyelesaian pertidaksamaan.
Tampak bahwa irisannya adalah $\boxed{x \geq 2}$
(Jawaban A)

Diketahui $\sqrt{2x^2+6x-8} < \sqrt{x^2+6x}.$
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{2x^2+6x-8})^2 & < (\sqrt{x^2+6x})^2 \\ 2x^2+\cancel{6x}-8 & < x^2+\cancel{6x} \\ x^2-8 & < 0 \\ (x-2\sqrt2)(x+2\sqrt2) & < 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = -2\sqrt2$ atau $x = 2\sqrt2$.
Penyelesaiannya adalah $-2\sqrt2 < x < 2\sqrt2~~~~(\bigstar)$
Syarat akar $(1)$:
$\begin{aligned} & 2x^2+6x-8 \geq 0 \\ & \Leftrightarrow 2(x+4)(x-1) \geq 0. \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = -4$ atau $x=1$.
Penyelesaiannya adalah $x \leq -4~\text{atau}~x \geq 1$.
Syarat akar $(2)$:
$x^2+6x \geq 0 \Leftrightarrow x(x+6) \geq 0.$
Pembuat nol: $x = 0$ atau $x=-6$.
Penyelesaiannya adalah $x \leq -6~\text{atau}~x \geq 0$.
Gunakan garis bilangan.

Irisan dari $\bigstar$ dan kedua syarat akar di atas merupakan himpunan penyelesaian pertidaksamaan.
Tampak bahwa irisannya adalah $\boxed{\{x~|~1 \leq x < 2\sqrt2\}}$
(Jawaban B)

Diketahui $x > \sqrt{x+12}$.
Ruas kiri pada pertidaksamaan di atas belum tentu bernilai nonnegatif. Oleh karena itu, perlu diuraikan menjadi dua kemungkinan, yaitu $x < 0$ dan $x \geq 0$.
Kasus 1: $x < 0$
Oleh karena $\sqrt{x+12} \geq 0$ dan $x < 0$, maka $x > \sqrt{x+12}$ tidak akan memiliki penyelesaian untuk setiap $x$.
Kasus 2: $x \geq 0$
Oleh karena $x \geq 0$, maka kedua ruas pada pertidaksamaan tersebut tidak bernilai negatif sehingga boleh dikuadratkan.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (x)^2 & > (\sqrt{x+12})^2 \\ x^2 & > x+12 \\ x^2-x-12 & > 0 \\ (x+3)(x-4) & > 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = -3$ atau $x = 4$.
Penyelesaiannya adalah $x < -3~\text{atau}~x > 4~~~~(\bigstar)$
Syarat akar $(1)$: $x \geq 0.$
Syarat akar $(2)$:
$x+12 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -12.$
Gunakan garis bilangan.

Irisan dari $\bigstar$ dan kedua syarat akar di atas merupakan himpunan penyelesaian pertidaksamaan.
Tampak bahwa irisannya adalah $\boxed{x > 4}$
(Jawaban E)

Diketahui $\sqrt{x-3} > 5-x$.
Ruas kanan pada pertidaksamaan di atas belum tentu bernilai positif. Oleh karena itu, perlu diuraikan menjadi dua kemungkinan, yaitu $5-x < 0$ dan $5-x \geq 0$.
Kasus 1: $5-x < 0 \iff x > 5$
Oleh karena $\sqrt{x-3} \geq 0$ dan $x > 5$, maka $\sqrt{x-3} > 5-x$ terpenuhi untuk semua $x$.
Syarat akar: $x-3 \geq 0 \iff x \geq 3$.
Irisan dari $x > 5, x \in \mathbb{R}$, dan $x \geq 3$ direpresentasikan oleh garis bilangan berikut.
Penyelesaiannya adalah $\boxed{x > 5}$
Kasus 2: $5-x \geq 0 \iff x \leq 5$
Oleh karena $x \geq 5$, maka kedua ruas pada pertidaksamaan $\sqrt{x-3} > 5-x$ bernilai nonnegatif sehingga dapat dikuadratkan.
$\begin{aligned} (\sqrt{x-3})^2 & > (5-x)^2 \\ x-3 & > 25-10x+x^2 \\ x^2-11x+28 & < 0 \\ (x-4)(x-7) & < 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = 4$ atau $x = 7$.
Penyelesaian: $4 < x < 7$.
Syarat akar:
$x-3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3$.
Irisan dari $x \leq 5, 4<x<7$, dan $x \geq 3$ direpresentasikan oleh garis bilangan berikut.

Penyelesaiannya adalah $\boxed{4 < x \leq 5}$
Gabungan penyelesaian dari kedua kasus di atas merupakan nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut, yaitu $\boxed{\{x~|~x > 4\}}$
(Jawaban D)

Diketahui $\sqrt{x-1}-\sqrt{2x-1}+1 \leq 0.$
Posisikan bentuk akar pada kedua ruasnya, lalu kuadratkan untuk menghilangkan tanda akarnya (sebanyak $2$ kali).
$$\begin{aligned} \sqrt{x-1}-\sqrt{2x-1}+1 & \leq 0 \\ \sqrt{x-1} & \leq -1+\sqrt{2x-1} \\ (\sqrt{x-1})^2 & \leq (-1+\sqrt{2x-1})^2 \\ x-1 & \leq 1-2\sqrt{2x-1}+(2x-1) \\ -x-1 & \leq -2\sqrt{2x-1} \\ x+1 & \geq 2\sqrt{x-1} && (\text{Kali}~-1) \\ (x+1)^2 & \geq (2\sqrt{x-1})^2 \\ x^2+2x+1 & \geq 4(2x-1) \\ x^2-6x+5 & \geq 0 \\ (x-5)(x-1) & \geq 0 \\ x \leq 1~\text{atau}&~x \geq 5 \end{aligned}$$Syarat akar $(1)$:
$x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1.$
Syarat akar $(2)$:
$2x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \dfrac12.$
Gambarkan irisan dari ketiga interval dalam garis bilangan seperti berikut.

Jadi, nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{x = 1~\text{atau}~x \geq 5}$
(Jawaban B)

Diketahui $\sqrt{3-ax} \leq 2.$
Kuadratkan kedua ruas untuk memperoleh $3-ax \leq 4.$
Syarat akar: $3-ax \geq 0.$
Dari sini, kita peroleh
$\begin{aligned} & 0 \leq 3-ax \leq 4 \\ & -3 \leq -ax \leq 1 \\ & -\dfrac{1}{a} \leq x \leq \dfrac{3}{a}. \end{aligned}$
Karena diketahui bahwa pertidaksamaan $\sqrt{3-ax} \leq 2$ terpenuhi oleh interval $a-2 \leq x \leq 3,$ maka jelas bahwa $a = 1.$
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{a^2-a=(1)^2-1 = 0}$
(Jawaban E)

Karena $S(t)$ menyatakan jarak tempuh dan panjang lintasan yang ditempuh (jarak) sekurang-kurangnya $10$ km, yang dalam hal ini diartikan juga sebagai PALING SEDIKIT (PALING PENDEK) $10$ km, maka tanda yang digunakan adalah $\geq.$
Jadi, pertidaksamaan yang tepat adalah $\boxed{\sqrt{t^2-10t+40} \geq 10}$
(Jawaban B)

Selesaikan pertidaksamaan $\sqrt{-x + 3} < 2$ terlebih dahulu. Langkah pertama adalah menguadratkan kedua ruas.
$\begin{aligned} (\sqrt{-x+3})^2 & < 2^2 \\ -x + 3 & < 4 \\ -x & < 1 \\ x & > -1 \end{aligned}$
Syarat akar:
$-x + 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 3.$
Dengan demikian,
$\textbf{HP1} = \{x~|~-1 < x \leq 3\}.$
Selanjutnya, selesaikan pertidaksamaan $\sqrt{2y+7} < 4$. Langkah pertama sama, yaitu menguadratkan kedua ruas.
$\begin{aligned} (\sqrt{2y+7})^2 & < 4^2 \\ 2y+7 & < 16 \\ 2y & < 9 \\ y & < \dfrac92 \end{aligned}$
Syarat akar:
$2y+7 \geq 0 \Leftrightarrow y \geq -\dfrac72.$
Dengan demikian,
$\textbf{HP2} = \left\{y~|~-\dfrac72 \leq y < \dfrac92\right\}.$
Dari $\textbf{HP1}$ dan $\textbf{HP2}$, kita peroleh interval nilai $xy$.
Batas bawah nilai $xy$ adalah saat $x = 3$ dan $y = -\dfrac72$ sehingga $xy = -\dfrac{21}{2}.$
Batas atas nilai $xy$ adalah saat $x = 3$ dan $y \approx \dfrac92$ sehingga $xy \approx \dfrac{27}{2}.$
Jadi, diperoleh $-\dfrac{21}{2} \leq xy < \dfrac{27}{2}.$
(Jawaban E)

Jawaban a)
Diketahui $\sqrt{x^2-x} > x$.
Ruas kanan pada pertidaksamaan di atas belum tentu bernilai positif. Oleh karena itu, perlu diuraikan menjadi dua kemungkinan, yaitu $x < 0$ dan $x \geq 0$.
Kasus 1: $x < 0$
Oleh karena $\sqrt{x^2-x} \geq 0$ dan $x < 0$, maka $\sqrt{x^2-x} > x$ terpenuhi untuk semua $x.$
Syarat akar:
$x^2-x \geq 0 \Leftrightarrow x(x-1) \geq 0.$
Pembuat nol: $x = 0$ atau $x = 1.$
Penyelesaiannya adalah $x \leq 0$ atau $x \geq 1.$
Irisan dari $x < 0, x \in \mathbb{R}$, dan $(x \leq 0~\text{atau}~x \geq 1)$ direpresentasikan oleh garis bilangan berikut.
Penyelesaiannya adalah $\boxed{x < 0}$
Kasus 2: $\color{red}{x \geq 0}$
Oleh karena $x \geq 0$, maka kedua ruas pada pertidaksamaan $\sqrt{x^2-x} > x$ bernilai nonnegatif sehingga dapat dikuadratkan.
$\begin{aligned} (\sqrt{x^2-x})^2 & > (x)^2 \\ \cancel{x^2}-x & > \cancel{x^2} \\ -x & > 0 \\ \color{blue}{x} & \color{blue}{< 0} \end{aligned}$
Syarat akar:
$x^2-x \geq 0 \Leftrightarrow x(x-1) \geq 0.$
Pembuat nol: $x = 0$ atau $x = 1.$
Penyelesaiannya adalah $\color{green}{x \leq 0~\text{atau}~x \geq 1}.$
Irisan dari $\color{red}{x \geq 0}, \color{blue}{x < 0}$, dan $(\color{green}{x \leq 0~\text{atau}~x \geq 1})$ tidak ada, berarti tidak ditemukan penyelesaian untuk kasus ini.
Gabungan penyelesaian dari kedua kasus di atas merupakan nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut, yaitu $\boxed{\{x~|~x < 0\}}$
Jawaban b)
Diketahui $\sqrt{2x+8} < x.$
Ruas kanan pada pertidaksamaan di atas belum tentu bernilai positif. Oleh karena itu, perlu diuraikan menjadi dua kemungkinan, yaitu $x < 0$ dan $x \geq 0$.
Kasus 1: $x < 0$
Oleh karena $\sqrt{2x+8} \geq 0$ dan $x < 0$, maka $\sqrt{2x+8} < x$ tidak akan terpenuhi untuk semua bilangan negatif $x.$
Kasus 2: $\color{red}{x \geq 0}$
Oleh karena $x \geq 0$, maka kedua ruas pada pertidaksamaan $\sqrt{2x+8} < x$ bernilai nonnegatif sehingga dapat dikuadratkan.
$\begin{aligned} (\sqrt{2x+8})^2 & < (x)^2 \\ 2x+8 & < x^2 \\ x^2-2x-8 & > 0 \\ (x-4)(x+2) & > 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = 4$ atau $x = -2.$
Penyelesaiannya adalah $x < -2$ atau $x > 4.$
Syarat akar:
$2x+8 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -4.$
Irisan dari $\color{red}{x \geq 0}, \color{blue}{x \geq -4}$, dan $(\color{green}{x < -2~\text{atau}~x > 4})$ adalah $\boxed{x > 4}$.
Gabungan penyelesaian dari kedua kasus di atas merupakan nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut, yaitu $\boxed{\{x \mid x > 4\}}$
Jawaban c)
Diketahui $\sqrt{x}+2 > x$, ekuivalen dengan $\sqrt{x} > x-2$.
Ruas kanan pada pertidaksamaan di atas belum tentu bernilai positif. Oleh karena itu, perlu diuraikan menjadi dua kemungkinan, yaitu $x-2 < 0$ dan $x-2 \geq 0$.
Kasus 1: $x-2 < 0 \Leftrightarrow x < 2$
Oleh karena $\sqrt{x} \geq 0$ dan $x < 0$, maka $\sqrt{x} > x-2$ terpenuhi untuk semua $x$.
Syarat akar: $x \geq 0.$
Irisan dari $x < 2, x \in \mathbb{R}$, dan $x \geq 0$ adalah $\boxed{0 \leq x < 2}$.
Kasus 2: $\color{red}{x-2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2}$
Oleh karena $x \geq 0$, maka kedua ruas pada pertidaksamaan $\sqrt{x} > x-2$ bernilai nonnegatif sehingga dapat dikuadratkan.
$\begin{aligned} (\sqrt{x})^2 & > (x-2)^2 \\ x & > x^2-4x+4 \\ x^2-5x+4 & < 0 \\ (x-1)(x-4) & < 0 \\ 1 < x & < 4 \end{aligned}$
Syarat akar: $x \geq 0$
Irisan dari $\color{red}{x \geq 0}, \color{blue}{x \geq 2}$, dan $(\color{green}{1 < x < 4})$ adalah $\boxed{2 \leq x < 4}$
Gabungan penyelesaian dari kedua kasus di atas merupakan nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut, yaitu $\boxed{\{x~|~0 \leq x < 4}$
Jawaban d)
Diketahui $4+\sqrt{2x} < x$, ekuivalen dengan $\sqrt{2x} < x-4.$
Ruas kanan pada pertidaksamaan di atas belum tentu bernilai positif. Oleh karena itu, perlu diuraikan menjadi dua kemungkinan, yaitu $x-4 < 0$ dan $x-4 \geq 0.$
Kasus 1: $x-4 < 0 \Leftrightarrow x < 4$
Oleh karena $\sqrt{2x} \geq 0$ dan $x < 4$, maka $\sqrt{2x} < x-4$ tidak terpenuhi untuk semua $x.$
Kasus 2: $\color{red}{x-4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 4}$
Oleh karena $x \geq 4$, maka kedua ruas pada pertidaksamaan $\sqrt{2x} < x-4$ bernilai nonnegatif sehingga dapat dikuadratkan.
$\begin{aligned} (\sqrt{2x})^2 & < (x-4)^2 \\ 2x & < x^2-8x+16 \\ x^2-10x+16 & > 0 \\ (x-2)(x-8) & > 0 \\ x < 2~\text{atau}~&x > 8 \end{aligned}$
Syarat akar: $2x \geq 0 \Leftrightarrow \color{blue}{x \geq 0}$
Irisan dari $\color{red}{x \geq 4}, \color{blue}{x \geq 0}$, dan $(\color{green}{x<2~\text{atau}~x > 8})$ adalah $\boxed{x > 8}$
Gabungan penyelesaian dari kedua kasus di atas merupakan nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut, yaitu $\boxed{\{x~|~x > 8}$

Jawaban a)
Diketahui $\sqrt{x^2} > 3$.
Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh
$\begin{aligned} (\sqrt{x^2})^2 & > 3^2 \\ x^2 & > 9 \\ x^2-9 & > 0 \\ (x+3)(x-3) & > 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = -3$ atau $x = 3$.
Penyelesaiannya adalah $x < -3$ atau $x > 3$.
Syarat akar: $x^2 \geq 0$.
Bilangan kuadrat tidak mungkin bernilai negatif sehingga syarat ini selalu terpenuhi berapapun nilai $x$.
Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{x<-3~\text{atau}~x>3}$
Jawaban b)
Diketahui $\sqrt{x^2} < 2.$
Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh
$\begin{aligned} (\sqrt{x^2})^2 & < 2^2 \\ x^2 & < 4 \\ x^2-4 & > 0 \\ (x+2)(x-2) & < 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = -2$ atau $x = 2$.
Penyelesaiannya adalah $-2 < x < 2$.
Bilangan kuadrat tidak mungkin bernilai negatif sehingga syarat ini selalu terpenuhi berapapun nilai $x$.
Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{-2<x<2}$.
Jawaban c)
Diketahui $\sqrt{x^4} \geq 10$.
Kuadratkan kedua ruas untuk mendapatkan bentuk
$x^4 \geq 100$
Sekarang, selesaikan pertidaksamaannya.
$\begin{aligned} x^4-100 & \geq 0 \\ (x^2+10)(x^2-10) & \geq 0 \\ (x^2+10)(x+\sqrt{10})(x-\sqrt{10}) & \geq 0 \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $x^2+10$ akan selalu bernilai positif untuk setiap $x$ sehingga pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan
$(x+\sqrt{10})(x-\sqrt{10}) \geq 0$
Pembuat nol: $x = -\sqrt{10}$ atau $x = \sqrt{10}$.
Penyelesaian pertidaksamaan di atas adalah $x \leq -\sqrt{10}$ atau $x \geq \sqrt{10}$.
Syarat akar: $x^4 \geq 0$.
Jelas bahwa pertidaksamaan tersebut terpenuhi untuk setiap $x$ (semua bilangan yang dipangkatkan genap tidak akan pernah bernilai negatif).
Jadi, penyelesaian pertidaksamaan $\sqrt{x^4} \geq 10$ adalah $\boxed{x \leq -\sqrt{10}~\text{atau}~x \geq \sqrt{10}}$

Jawaban a)
Diketahui $\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}} \geq 1$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan dengan menerapkan konsep pertidaksamaan rasional.
$\begin{aligned} \left(\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}\right)^2 & \geq 1^2 \\ \dfrac{x+2}{x-1} & \geq 1 \\ \dfrac{\cancel{x}+2}{x-1}-\dfrac{\cancel{x}-1}{x-1} & \geq 0 \\ \dfrac{3}{x-1} & \geq 0 \end{aligned}$
Agar pertidaksamaan di atas terpenuhi, maka haruslah $x-1 > 0$ (positif) dengan mempertimbangkan sifat dasar bilangan $\dfrac{+}{+} > +.$
Jadi, penyelesaiannya adalah $x > 1~~(\bigstar)$.
Syarat akar:
$\dfrac{x+2}{x-1} \geq 0$
Pembuat nol pembilang: $x = -2$
Pembuat nol penyebut: $x = 1$
Uji tanda untuk $x = 0.$
$\dfrac{\color{red}{0}+2}{\color{red}{0}-1} = \dfrac{2}{-1} = -2$
Karena bertanda negatif, maka interval $-2 < x < 1$ bernilai negatif.
Perhatikan juga bahwa penyebut pada bentuk pecahan tidak boleh bernilai $0$, berarti $x \neq 1.$ Jadi, syarat akarnya adalah $x \leq -2$ atau $x > 1.$
Irisan dari penyelesaian $\bigstar$ dan syarat akar adalah $\boxed{x > 1},$ yang merupakan penyelesaian pertidaksamaan irasional $\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}} \geq 1.$
Jawaban b)
Diketahui $\sqrt{\dfrac{x-3}{x+5}} \leq 2.$
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan dengan menerapkan konsep pertidaksamaan rasional.
$\begin{aligned} \left(\sqrt{\dfrac{x-3}{x+5}}\right)^2 & \leq 2^2 \\ \dfrac{x-3}{x+5} & \leq 4 \\ \dfrac{x-3}{x+5}-\dfrac{4(x+5)}{x+5} & \leq 0 \\ \dfrac{x-3-4x-20}{x+5} & \leq 0 \\ \dfrac{-5x-23}{x+5} & \leq 0 \end{aligned}$
Pembuat nol pembilang: $x = -\dfrac{23}{3} = -7\dfrac23.$
Pembuat nol penyebut: $x = -5.$
Uji tanda untuk $x = 0$.
$\dfrac{-5(\color{red}{0})-23}{\color{red}{0}-5} = -\dfrac{23}{5}$
Karena bertanda negatif, maka dapat dibuat garis bilangan dengan interval dan tanda kepositivan berikut.

Perhatikan juga bahwa penyebut pada bentuk pecahan tidak boleh bernilai $0$, berarti $x \neq -5.$ Jadi, penyelesaiannya adalah $x \leq -7\dfrac23$ atau $x > -5~~(\bigstar)$
Syarat akar: $\dfrac{x-3}{x+5} \geq 0.$
Pembuat nol pembilang: $x = 3.$
Pembuat nol penyebut: $x = -5.$
Uji tanda untuk $x = 0.$
$\dfrac{\color{red}{0}-3}{\color{red}+5} = -\dfrac{3}{5}$
Karena bertanda negatif, maka interval $-5 < x < 3$ bernilai negatif.
Perhatikan juga bahwa penyebut pada bentuk pecahan tidak boleh bernilai $0,$ berarti $x \neq -5.$ Jadi, syarat akarnya adalah $x < -5$ atau $x \geq 3.$
Irisan dari penyelesaian $\bigstar$ dan syarat akar adalah $\boxed{x \geq 3},$ yang merupakan penyelesaian pertidaksamaan irasional $\sqrt{\dfrac{x-3}{x+5}} \leq 2.$