Berikut ini adalah soal-soal ON MIPA-PT bidang Struktur Aljabar beserta pembahasannya. Salam sukses buat para pejuang ON MIPA!
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- ON MIPA-PT Bidang Analisis Real
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- ON MIPA-PT Bidang Analisis Kompleks
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- ON MIPA-PT Bidang Aljabar Linear
Today Quote
Ketika berpikir tentang kehidupan, ingatlah dua hal berikut: Rasa bersalah yang begitu besar mau sampai kapanpun tidak akan mengubah masa lalumu; Kecemasan yang begitu besar tidak menjamin masa depanmu berubah.
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Diberikan suatu grup dan . Diketahui dan . Elemen identitas dari adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Diketahui bahwa untuk setiap . Karena grup, maka setiap anggota memiliki invers di . Dalam kasus ini, memiliki invers, yaitu .
Jadi, berlaku
Dengan menggunakan hukum kanselasi kanan, diperoleh
Diperoleh bahwa invers anggota adalah dirinya sendiri. Menurut definisi grup, berlaku
Jadi, unsur identitas adalah
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 2
Diketahui grup permutasi . Order dari adalah (order dari adalah bilangan asli terkecil yang memenuhi dengan elemen identitas).
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
artinya permutasi yang mengambil sebagai suatu sikel (siklus), yaitu .
Bagan di atas menunjukkan adanya siklus, yang berarti membutuhkan pengoperasian sebanyak kali dari permutasi semula. Jadi, order dari adalah
Tips: Order dari adalah .
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 3
Misalkan dengan dan . Banyaknya unsur idempoten di adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Elemen disebut unsur idempoten di jika berlaku . Jelas bahwa adalah elemen idempoten dalam , karena berlaku .
Perhatikan bahwa hanya ketika . Dengan kata lain, tidak ada perpangkatan lain yang merupakan idempoten. Selain itu, sehingga dalam grup ini, berlaku (abelian). Selanjutnya,
Jadi, tidak ada elemen dalam bentuk yang merupakan idempoten di grup tersebut.
Dapat disimpulkan bahwa banyak unsur idempoten di hanya ada , yaitu
[collapse]
Soal Nomor 4
Banyaknya unsur dari adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
adalah grup kuosien/grup faktor, yang berarti adalah himpunan semua koset kanan dalam . Perhatikan bahwa
sehingga koset kanannya adalah sebagai berikut.
Kita temukan bahwa hanya ada koset kanan berbeda, yaitu himpunan bilangan bulat genap dan himpunan bilangan bulat ganjil. Jadi, banyaknya unsur dari adalah
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 5
Diketahui merupakan ring terhadap penjumlahan dan perkalian . Subring darinya yang mempunyai unity adalah (unity adalah identitas/unsur kesatuan terhadap perkalian).
A.
B.
C.
D.
E. semua alternatif jawaban benar
Pembahasan
Dengan bantuan Tabel Cayley, kita dapat menunjukkan bahwa semua himpunan dengan dua operasi yang dimaksud merupakan subring dari .
Untuk pilihan A, unity-nya adalah , sebab
Untuk pilihan B, unity-nya adalah , sebab
Untuk pilihan C, unity-nya adalah , sebab
Untuk pilihan D, unity-nya adalah , sebab
Catatan: Karena pada operasi perkalian modulo berlaku sifat komutatif, maka pada pembahasannya tidak ditulis bentuk komutatifnya lagi.
Jadi, semua alternatif pilihan jawaban A sampai D merupakan contoh subring dari yang masing-masing memiliki unity. Dengan demikian, pilih jawaban E.
[collapse]
Soal Nomor 6
Jika adalah elemen suatu ring dengan dan terdapat elemen dari ring itu dengan sedemikian sehingga , maka disebut pembagi nol sejati. Diberikan suatu ring terhadap penjumlahan dan perkalian mod . Semua elemen pembagi nol sejati dari adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Jelas alternatif pilihan D dan E bukan jawabannya karena elemen pembagi nol sejati tidak memuat 0 (sesuai definisinya).
2 adalah pembagi nol sejati, karena ada , sedemikian sehingga berlaku
4 adalah pembagi nol sejati, karena ada , sedemikian sehingga berlaku
6 adalah pembagi nol sejati, karena ada , sedemikian sehingga berlaku
Jadi, semua elemen pembagi nol sejati dari adalah .
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 7
Misalkan suatu gelanggang. Misalkan , disebut pembagi nol jika dan ada sedemikian sehingga Banyaknya pembagi nol di adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Diketahui
Umumnya, kita memeriksa pembagi nolnya dengan menggunakan Tabel Cayley, tetapi untuk kasus ini, kita tidak mungkin menggunakan tabel karena akan sangat panjang dan kompleks jika kita harus membuat tabel dengan ukuran .
Kita harus mencari nilai sedemikian sehingga berlaku . Tentulah dari sini kita tahu bahwa haruslah merupakan kelipatan . Hal tersebut dikarenakan
dan kombinasi lain yang hasilnya merupakan kelipatan juga melibatkan bilangan berkelipatan seperti di atas. Dengan demikian, pembagi nol dari adalah
Jadi, banyak pembagi nol dari adalah
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 8
Dimisalkan adalah himpunan semua bilangan bulat. Operasi dan dalam didefinisikan oleh dan , untuk . Didapat bahwa terhadap operasi dan bukan merupakan ring karena
- tidak memenuhi sifat asosiatif terhadap
- tidak memenuhi sifat asosiatif terhadap
- tidak terdapat elemen identitas terhadap
- tidak terdapat elemen identitas terhadap
- semua alternatif jawaban salah
Pembahasan
Akan ditunjukkan apakah berlaku untuk
Jadi, sifat asosiatif terpenuhi oleh operasi .
Akan ditunjukkan apakah berlaku untuk
Jadi, sifat asosiatif terpenuhi oleh operasi .
Akan ditunjukkan apakah ada elemen identitas terhadap .
Misalkan .
Karena , maka adalah identitas terhadap operasi .
Akan ditunjukkan apakah ada elemen identitas terhadap .
Misalkan .
Karena , maka adalah identitas dari operasi .
Dari keempat pilihan, tidak ada satu pun yang benar. Jadi, alternatif jawabannya adalah E.
[collapse]
Bagian Isian Singkat/Uraian
Soal Nomor 1
Misalkan suatu himpunan tak kosong dan adalah operasi biner pada yang bersifat asosiatif dan untuk berlaku . Buktikan grup komutatif (Catatan: ).
Pembahasan
Dari persamaan , diperoleh dengan merupakan elemen identitas pada . Ini mengimplikasikan bahwa setiap elemen kecuali memiliki orde dua sehingga .
Khususnya untuk , diperoleh
Operasikan pada kedua ruas dengan dari sebelah kiri sehingga diperoleh
Jadi, terbukti bahwa .
Dengan demikian, merupakan grup komutatif (abelian).
[collapse]
Soal Nomor 2
Jika suatu integral domain dengan sifat untuk setiap berlaku maka banyaknya unsur di adalah
Pembahasan
Untuk setiap , berlaku
Karena daerah integral, maka menurut definisinya, tidak akan ada sedemikian sehingga berlaku , untuk .
Jadi, unsur di hanya ada , yaitu dan .
[collapse]
Soal Nomor 3
Banyaknya pembagi nol di adalah
Pembahasan
Banyak pembagi nol di sama dengan banyak elemen dikurangi banyaknya bilangan yang memenuhi dan . Notasi menyatakan faktor persekutuan terbesar.
Untuk menentukan banyak yang relatif prima dengan , gunakan Euler’s Totient Function.
Dengan demikian,
Banyak pembagi nol di adalah
[collapse]
Soal Nomor 4
Misalkan adalah grup permutasi atas . Banyaknya unsur berorde di adalah
Pembahasan
Unsur berorde pada grup permutasi menandakan bahwa kita harus membentuk cycle permutasi berbentuk atau , yang banyak unsurnya dapat dihitung dengan aturan kombinasi. Ingat bahwa dan dianggap sama. Untuk kasus , ada sebanyak .
Untuk kasus , ada sebanyak
Jadi, banyak unsur berorde di adalah
[collapse]
Soal Nomor 5
Jika adalah unsur di ring
yang memenuhi , maka nilai adalah
Pembahasan
Diberikan
Perhatikan bahwa
Kita dapatkan bahwa memenuhi sifat keanggotaan Jadi, nilai yang dimaksud adalah
[collapse]
Soal Nomor 6
Misalkan . Pada didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo . Bilangan asli terkecil sehingga membentuk lapangan adalah
Pembahasan
Jelas bahwa tidak mungkin bilangan ganjil karena mengakibatkan tidak terpenuhinya sifat tertutup pada operasi penjumlahan modulo di yang semua elemennya bilangan genap. Jika nilai sendiri diambil sebagai , maupun , maka tidak akan ditemukan identitas (unity) baik penjumlahan maupun perkalian modulonya sebab hasil pengoperasiannya tidak memuat salah satu atau lebih elemen . Untuk membuktikannya, Anda dapat menggunakan bantuan Tabel Cayley. Jadi, nilai yang paling kecil agar membentuk lapangan adalah . Tabel Cayley berikut menunjukkan bahwa untuk membentuk lapangan.
Tabel Penjumlahan Modulo pada
Tabel Perkalian Modulo pada
[collapse]
Soal Nomor 7
Orde dari grup adalah
Pembahasan
Diketahui kardinalitas dari grup adalah
merupakan grup siklik dengan generator . Kardinalitas grup ini adalah
karena bentuknya , dengan dan
Berdasarkan Teorema Lagrange, diperoleh
Jadi, orde dari grup adalah
[collapse]
Soal Nomor 8
Misalkan ring dengan unsur kesatuan sedemikian sehingga . Invers dari adalah
Pembahasan
Misalkan invers dari berbentuk . Dengan demikian, ditulis
dengan adalah unsur kesatuan (identitas) .
Karena , maka dapat ditulis
Persamaan terakhir mengharuskan dan akibatnya .
Jadi, invers dari adalah
[collapse]
Soal Nomor 9
Diberikan grup terhadap operasi biner yang didefinisikan sebagai
untuk setiap .
Banyaknya unsur berorde dua di adalah
Pembahasan
Langkah pertama adalah menentukan identitas . Misalkan adalah elemen identitasnya sehingga berlaku
Dengan menggunakan definisi operasi , didapat
Dari sini, diperoleh dan yang mengimplikasikan dan .
Jadi, elemen identitas adalah .
Langkah berikutnya adalah menentukan unsur berorde dua di .
Misalkan berorde dua di , berarti
Dengan menggunakan definisi operasi , didapat
Dari sini, diperoleh dan yang mengimplikasikan dan .
Jadi, ada unsur di yang berorde dua, yaitu dan .
[collapse]
Soal Nomor 10
Banyaknya polinomial tak tereduksi berderajat adalah
Pembahasan
Polinomial tereduksi yang berderajat , yaitu
(ada 6)
Misalkan polinomial yang berderajat memiliki bentuk umum dengan dan .
Ini berarti, ada kombinasi yang mungkin untuk mendapatkan polinomial tersebut.
Dengan demikian, polinomial tak tereduksi di berderajat ada sebanyak
[collapse]
Soal Nomor 11
Tentukan banyaknya elemen idempoten di .
Pembahasan
Elemen disebut idempoten apabila berlaku .
Banyaknya elemen idempoten pada dengan banyak elemennya adalah dengan menyatakan banyaknya faktor prima yang membagi habis .
Karena , berarti diperoleh sehingga banyak elemen idempoten di adalah
[collapse]
Soal Nomor 12
Misalkan suatu grup dengan . Ada berapa banyak subgrup dari sehingga ?
Pembahasan
Teorema Lagrange menyatakan bahwa jika merupakan subgrup dari grup berhingga , maka orde dari harus membagi habis orde dari .
Karena tidak bisa membagi habis , atau dengan kata lain bukan faktor dari , maka tidak ada subgrup dari yang memiliki orde .
[collapse]
Baca Juga: Kumpulan Soal ON MIPA-PT Matematika (Tahun 2006- Sekarang)