Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Matematika Bidang Struktur Aljabar

Soal ON MIPA struktur aljabar

Berikut ini adalah soal-soal ON MIPA-PT bidang Struktur Aljabar beserta pembahasannya. Salam sukses buat para pejuang ON MIPA!

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- ON MIPA-PT Bidang Analisis Real

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- ON MIPA-PT Bidang Analisis Kompleks

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- ON MIPA-PT Bidang Aljabar Linear

Today Quote

Ketika berpikir tentang kehidupan, ingatlah dua hal berikut: Rasa bersalah yang begitu besar mau sampai kapanpun tidak akan mengubah masa lalumu; Kecemasan yang begitu besar tidak menjamin masa depanmu berubah.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Diberikan (G,) suatu grup dan a,bG. Diketahui ab=ba1 dan ba=ab1. Elemen identitas dari G adalah
A. a5                   C. a3                 E. a
B. a4                   D. a2     

Pembahasan

Soal Nomor 2

Diketahui grup permutasi S4. Order dari (1 2 3 4)S4 adalah (order dari aG adalah bilangan asli terkecil yang memenuhi an=e dengan e elemen identitas).
A. 1                       C. 3                   E. 5
B. 2                       D. 4       

Pembahasan

Soal Nomor 3

Misalkan A={e,x,x2,x3,y,xy,x2y,x3y} dengan x4=y2=e dan xy=y1x. Banyaknya unsur idempoten di A adalah
A. 1                    C. 3                 E. 5
B. 2                    D. 4        

Pembahasan

Soal Nomor 4

Banyaknya unsur dari Z/2Z adalah
A. 1                    C. 4               E. 16
B. 2                    D. 8       

Pembahasan

Soal Nomor 5

Diketahui Z12={0,1,2,,11} merupakan ring terhadap penjumlahan dan perkalian mod 12. Subring darinya yang mempunyai unity adalah (unity adalah identitas/unsur kesatuan terhadap perkalian).
A. {0}
B. {0,4,8}
C. {0,3,6,9}
D. {0,1,2,,11}
E. semua alternatif jawaban benar

Pembahasan

Soal Nomor 6

Jika a adalah elemen suatu ring dengan a0 dan terdapat elemen b dari ring itu dengan b0 sedemikian sehingga ab=ba=0, maka a disebut pembagi nol sejati. Diberikan Z8={0,1,2,,7} suatu ring terhadap penjumlahan dan perkalian mod 8. Semua elemen pembagi nol sejati dari  Z8 adalah
A. {2}
B. {2,4}
C. {2,4,6}
D. {0}
E. {0,1,2,,7}

Pembahasan

Soal Nomor 7

Misalkan R suatu gelanggang. Misalkan aG, a disebut pembagi nol jika a0 dan ada b0 sedemikian sehingga ab=0. Banyaknya pembagi nol di Z121 adalah
A. 1                   C. 10                   E. 25
B. 5                   D. 15       

Pembahasan

Soal Nomor 8

Dimisalkan Z adalah himpunan semua bilangan bulat. Operasi dan dalam Z didefinisikan oleh ab=a+b+2 dan ab=a+ab+b, untuk a,bZ. Didapat bahwa Z terhadap operasi dan bukan merupakan ring karena

  1. tidak memenuhi sifat asosiatif terhadap
  2. tidak memenuhi sifat asosiatif terhadap
  3. tidak terdapat elemen identitas terhadap
  4. tidak terdapat elemen identitas terhadap
  5. semua alternatif jawaban salah

Pembahasan

Bagian Isian Singkat/Uraian

Soal Nomor 1

Misalkan G suatu himpunan tak kosong dan adalah operasi biner pada G yang bersifat asosiatif dan untuk a,bG berlaku a2b=b=ba2. Buktikan G grup komutatif (Catatan: a2=aa).

Pembahasan

Soal Nomor 2

Jika D suatu integral domain dengan sifat untuk setiap xD berlaku x2=x, maka banyaknya unsur di D adalah

Pembahasan

Soal Nomor 3

Banyaknya pembagi nol di Z100 adalah

Pembahasan

Soal Nomor 4

Misalkan S5 adalah grup permutasi atas {1,2,3,4,5}. Banyaknya unsur berorde 2 di S5 adalah

Pembahasan

Soal Nomor 5

Jika x adalah unsur di ring
Z[2]={a+b2|a,bZ}
yang memenuhi (17+122)x=1, maka nilai x adalah

Pembahasan

Soal Nomor 6

Misalkan F={0,2,4,6,8}. Pada F didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo n. Bilangan asli n terkecil sehingga F membentuk lapangan adalah

Pembahasan

Soal Nomor 7

Orde dari grup Z12×Z4(3,2) adalah

Pembahasan

Soal Nomor 8

Misalkan R ring dengan unsur kesatuan xR sedemikian sehingga x2=x. Invers dari 2x1 adalah

Pembahasan

Soal Nomor 9

Diberikan grup G={(a,b) | a,bR,a0} terhadap operasi biner yang didefinisikan sebagai
(a,b)(c,d)=(ac,b+d)
untuk setiap (a,b),(c,d)G
Banyaknya unsur berorde dua di G adalah

Pembahasan

Soal Nomor 10

Banyaknya polinomial tak tereduksi Z2[x] berderajat 3 adalah

Pembahasan

Soal Nomor 11

Tentukan banyaknya elemen idempoten di Z210.

Pembahasan

Soal Nomor 12

Misalkan G suatu grup dengan |G|=2013. Ada berapa banyak subgrup H dari G sehingga |H|=13?

Pembahasan

Baca Juga: Kumpulan Soal ON MIPA-PT Matematika (Tahun 2006- Sekarang)