Tag: Homomorfisma

Dengan bantuan Tabel Cayley, kita dapat menunjukkan bahwa semua himpunan dengan dua operasi yang dimaksud merupakan subring dari $\mathbb{Z}_{12}$.

1. Untuk pilihan A, unity-nya adalah $0$ karena $0 \times_{12} 0 = 0.$
2. Untuk pilihan B, unity-nya adalah $4$ karena
   $0 \times _{12} 4 = 4 \times _{12} 0 = 0$
   $4 \times _{12} 4 = 16~\text{mod}~12 = 4$
   $8 \times _{12} 4 = 32~\text{mod}~12 = 8.$
3. Untuk pilihan C, unity-nya adalah $9$ karena
   $0 \times_{12} 9 = 0$
   $3 \times_{12} 9 = 27~\text{mod}~12 = 3$
   $6 \times_{12} 9 = 54~\text{mod}~12 = 6$
   $9 \times_{12} 9 = 81~\text{mod}~12 = 9.$
4. Untuk pilihan D, unity-nya adalah $1$ karena
   $0 \times_{12} 1 = 0$
   $1 \times_{12} 1 = 1$
   $\vdots~~~~\vdots~~~~\vdots~~~~\vdots$
   $11 \times_{12} 1 = 11.$

Catatan: Karena pada operasi perkalian modulo $7$ berlaku sifat komutatif, maka pada pembahasannya tidak ditulis bentuk komutatifnya lagi.
Jadi, semua alternatif pilihan jawaban A sampai D merupakan contoh subring dari $\mathbb{Z}_{12}$ yang masing-masing memiliki unity. Dengan demikian, pilih jawaban E.

Jelas alternatif pilihan D dan E bukan jawabannya karena elemen pembagi nol sejati tidak memuat $0$ (sesuai definisinya).

1. $2$ adalah pembagi nol sejati karena ada $4 \in \mathbb{Z}_8$ sedemikian sehingga berlaku $2 \times_8 4 = 4 \times_8 2 = 0.$
2. $4$ adalah pembagi nol sejati karena ada $2 \in \mathbb{Z}_8$ sedemikian sehingga berlaku $4 \times_8 2 = 2 \times_8 4 = 0.$
3. $6$ adalah pembagi nol sejati karena ada $4 \in \mathbb{Z}_8$ sedemikian sehingga berlaku $6 \times_8 4 = 4 \times_8 6 = 24~\text{mod}~8 = 0.$

Jadi, semua elemen pembagi nol sejati dari $\mathbb{Z}_8$ adalah $\{2, 4, 6\}.$
(Jawaban C)

Diketahui $G = \{0, 1, 2, 3, \cdots, 120\}$.
Umumnya, kita memeriksa pembagi nolnya dengan menggunakan Tabel Cayley, tetapi untuk kasus ini, kita tidak mungkin menggunakan tabel karena akan sangat panjang dan kompleks.
Kita harus mencari nilai $a, b \in \mathbb{Z}_{121}- \{0\}$ sedemikian sehingga berlaku $(a \times b)~\text{mod}~121 = 0$. Tentulah dari sini kita tahu bahwa $a \times b$ haruslah merupakan kelipatan $121$. Perhatikan bahwa
$1 \times 121 = 11 \times 11$
$2 \times 121 = 22 \times 11$
$3 \times 121 = 33 \times 11$
$\vdots~~~~\vdots~~~\vdots~~~~\vdots$
$10 \times 121 = 110 \times 11$
dan kombinasi lain yang hasilnya merupakan kelipatan $121$ juga melibatkan bilangan berkelipatan $11$ seperti di atas sehingga pembagi nol dari $G$ adalah $\{11, 22, 33, 44,$ $55, 66, 77, 88, 99, 110\}.$
Jadi, banyak pembagi nol dari $G$ adalah $10$.
(Jawaban C)

Akan ditunjukkan apakah berlaku $(a * b)*c = a*(b*c)$ untuk $\forall a, b, c \in \mathbb{Z}.$
$\begin{aligned} (a*b)*c & = (a+b+2)*c \\ & = (a+b+2) + c + 2 \\ & = a + (b + c + 2) + 2 \\ & = a * (b + c + 2) \\ &  = a * (b * c) \end{aligned}$
Jadi, sifat asosiatif terpenuhi oleh operasi $*$.
Akan ditunjukkan apakah berlaku $(a  \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$ untuk $\forall a, b, c \in \mathbb{Z}.$
$$\begin{aligned} (a \circ b) \circ c & = (a+ab+b) \circ c \\ & = (a+ab+b) + (a+ab+b)c + c \\ & = a + a(b + bc + c) + (b + bc + c) \\ & = a \circ (b + bc + c) \\ & = a \circ (b \circ c) \end{aligned}$$Jadi, sifat asosiatif terpenuhi oleh operasi $\circ$.
Akan ditunjukkan apakah ada elemen identitas terhadap $*$.
Misalkan $a, b \in \mathbb{Z}$, maka
$$\begin{aligned} a * b & = a \\ a + b + 2 & = a \\ b & =-2 \end{aligned}$$Karena $b =-2 \in \mathbb{Z}$, maka $b$ adalah identitas terhadap operasi $*$.
Akan ditunjukkan apakah ada elemen identitas terhadap $\circ.$
Misalkan $a, b \in \mathbb{Z}$.
$$\begin{aligned} a \circ b & = a \\ a + ab + b & = a \\ ab + b & = 0 \\ (a + 1)b & = 0 \\ b  &= 0 \end{aligned}$$Karena $b = 0 \in \mathbb{Z}$, maka $b$ adalah identitas dari operasi $\circ$.
Dari keempat pilihan, tidak ada satu pun yang benar. Jadi, alternatif jawabannya adalah E.

Diberikan $P = \{3x~|~x \in \mathbb{Z}\}$.
Langkah pertama adalah menunjukkan bahwa $(P, +)$ merupakan grup komutatif.
(Sifat tertutup)
Ambil sembarang $a = 3x \in P$ dan $b = 3y \in P$. Akan ditunjukkan bahwa $a + b \in P$. Perhatikan bahwa
$$a + b = 3x + 3y = 3(x + y).$$Karena $x + y \in \mathbb{Z}$, maka jelas bahwa $3(x + y) \in P$.
(Sifat asosiatif)
Ambil sembarang $a = 3x \in P, b = 3y \in P$, dan $c = 3z \in P$. Akan ditunjukkan bahwa $(a + b) + c = a + (b + c)$, yakni sebagai berikut.
$$\begin{aligned} (a + b) + c & = (3x + 3y) + 3z \\ & = 3(x + y) + 3z \\ & = 3((x + y) + z \\ & = 3(x + (y + z)) \\ & = 3x + 3(y +z) \\ & = 3x + (3y + 3z) \\ & = a + (b + c) \end{aligned}$$(Eksistensi identitas)
Ambil sembarang $a = 3x \in P$. Akan ditunjukkan bahwa ada $b = 3 \cdot 0\in P$ sedemikian sehingga berlaku $a + b = a.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} a + b & = 3x + 3 \cdot 0 \\ & = 3(x + 0) \\ & = 3x = a. \end{aligned}$$Jadi, unsur identitas dalam $P$ terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat adalah $0$.
(Invers)
Ambil sembarang $a = 3x \in P$. Akan ditunjukkan bahwa ada $b = 3(-x) \in P$ sedemikian sehingga berlaku $a + b = 0$, yaitu
$$\begin{aligned} a + b & = 3x + 3(-x) \\ & = 3(x + (-x)) \\ & = 3(0) = 0. \end{aligned}$$Jadi, setiap anggota $P$ memiliki invers.
(Sifat komutatif)
Ambil sembarang $a = 3x \in P$ dan $b = 3y \in P$. Akan ditunjukkan bahwa $a + b = b + a$, yaitu sebagai berikut.
$$\begin{aligned} a + b & = 3x + 3y \\ & = 3(x + y) \\ & = 3(y + x) \\ & = 3y + 3x = b + a \end{aligned}$$Karena memenuhi kelima syarat, maka dapat disimpulkan $(P, +)$ merupakan grup komutatif (grup abelian).
Langkah kedua adalah menunjukkan bahwa $(P, \times)$ merupakan semigrup.
(Sifat tertutup)
Ambil sembarang $a = 3x \in P$ dan $b = 3y \in P$. Akan ditunjukkan bahwa $a \times b \in P$. Perhatikan bahwa
$$a \times b = 3x \times 3y = 3(3xy).$$Karena $3xy \in \mathbb{Z}$, maka dapat dikatakan bahwa $3(3xy) \in P.$
(Sifat asosiatif)
Ambil sembarang $a = 3x \in P, b = 3y \in P$, dan $c = 3z \in P$. Akan ditunjukkan bahwa $(ab)c = a(bc)$, yaitu sebagai berikut.
$$\begin{aligned} (ab)c & = (3x \cdot 3y)3z \\ & = 3 \cdot 3((xy) \cdot 3z) \\ & = 3 \cdot 3 \cdot 3((xy)z) \\ & = 3 \cdot 3 \cdot 3(x(yz)) \\ & = 3x(3(3(yz)) \\ & = 3x(3y \cdot 3z) \\ & = a(bc) \end{aligned}$$Kedua syarat terpenuhi dan oleh karenanya, $(P, \times)$ merupakan semigrup.
Langkah ketiga adalah menunjukkan bahwa berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan bilangan bulat pada $P$.
Ambil sembarang $a = 3x \in P$, $b = 3y \in P$, dan $c = 3z \in P$. Akan ditunjukkan bahwa $(a + b)c = ac + bc$ dan $a(b + c) = ab + ac.$
(Sifat distributif kanan)
$\begin{aligned} (a + b)c & = (3x + 3y)3z \\ & = ((x + y)3)3z \\ & = ((x + y)z)3 \cdot 3 \\ & = (xz + yz)3 \cdot 3 \\ & = 3 \cdot 3xz + 3 \cdot 3yz \\ & = 3x \cdot 3z + 3y \cdot 3z \\ & = ac + bc \end{aligned}$
(Sifat distributif kiri)
$\begin{aligned} a(b + c) & = 3x(3y + 3z) \\ & = 3x(3(y +z)) \\ & = 3 \cdot 3(x(y + z)) \\ & = 3 \cdot 3(xy + xz) \\ & = 3x \cdot 3y + 3x \cdot 3z \\ & = ab + ac \end{aligned}$
Dari sini, $(P, +, \times)$ sudah terbukti merupakan ring.
Langkah terakhir adalah menunjukkan bahwa berlakunya sifat komutatif pada perkalian, yaitu berlaku $ab = ba.$
Ambil sembarang $a = 3x \in P$ dan $b = 3y \in P.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} ab & = 3x \cdot 3y = 3 \cdot 3xy \\ & = 3 \cdot 3yx = 3y \cdot 3x = ba. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $(P, +, \times)$ merupakan ring komutatif.

$\mathbb{Z} _4$ merupakan subset dari dirinya sendiri dan jelas bahwa $\mathbb{Z} _4$ dengan kedua operasi yang diberikan merupakan suatu ring. Jadi, dapat dikatakan bahwa $\mathbb{Z} _4$ merupakan subring dari dirinya sendiri. Karena himpunannya sama, maka $\mathbb{Z} _4$ adalah subring tak sejati (jika berbeda, disebut subring sejati).

$\{0,2,4\} $ dengan operasi penjumlahan modulo $8$ tidak bersifat tertutup (misalnya $2 +_8 4 = 6 \notin \{0,2,4\} $). Dengan kata lain, $\{0,2,4\} $ bukan subring sehingga dapat dipastikan bahwa $\{0,2,4\} $ bukan ideal di $\mathbb{Z} _8$.

Untuk membuktikannya, kita akan menggunakan teorema berikut.
Misalkan $R$ ring, $S \subseteq R$ dengan $S \neq \emptyset,$ $S$ dikatakan subring dari R jhj $\forall a, b \in S$, berlaku $a- b \in S$ dan $ab \in S$.

Karena $\mathbb{Q}$ himpunan tak kosong, maka $Q[\sqrt{2}]$ juga himpunan tak kosong. Misalkan $a, b, c, d \in \mathbb{Q}$, berarti $a + b\sqrt{2}, c + d\sqrt{2} \in Q[\sqrt{2}].$
Operasi perkalian pada elemen $Q[\sqrt{2}]$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} & (a + b\sqrt{2})(c + d\sqrt{2}) \\ & = (ac + 2bd) + (ad + bd)\sqrt{2} \end{aligned}$$Karena $ac + 2bd$ dan $ad + bd$ bilangan rasional (karena sifat ketertutupannya), maka $(ac + 2bd) + (ad + bd)\sqrt{2}$ memenuhi sifat keanggotaan $Q[\sqrt{2}]$.
Selanjutnya, operasi pengurangan pada elemen $Q[\sqrt{2}]$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} & (a + b\sqrt{2})-(c + d\sqrt{2}) \\ & = (a- c) + (b- d)\sqrt{2} \end{aligned}$$Karena $a- c$ dan $b- d$ bilangan rasional (karena sifat ketertutupannya), maka $(a- c) + (b- d)\sqrt{2}$ memenuhi sifat keanggotaan $Q[\sqrt{2}]$.
Dengan demikian, terbukti bahwa $Q[\sqrt{2}]$ merupakan subring dari $\mathbb{R}$. 

Buat tabel Cayley yang menyatakan hasil pengoperasian bilangan genap dan bilangan ganjil berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline + & \text{Genap} & \text{Ganjil} \\ \hline  \text{Genap} &  \text{Genap} &  \text{Ganjil} \\ \hline  \text{Ganjil} &  \text{Ganjil} &  \text{Genap} \\ \hline \end{array}$$ $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \times & \text{Genap} & \text{Ganjil} \\ \hline  \text{Genap} &  \text{Genap} &  \text{Genap} \\ \hline  \text{Ganjil} &  \text{Genap} &  \text{Ganjil} \\ \hline \end{array}$$Untuk menunjukkan bahwa $(A, +, \times)$ merupakan ring komutatif, harus ditunjukkan bahwa $(A, +)$ grup abelian, $(A, \times)$ semigrup abelian, dan berlakunya sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan bilangan bulat.
($A$ dengan operasi penjumlahan adalah grup abelian)

1. Dari tabel penjumlahan, jelas bahwa $(A, +)$ tertutup dan berlaku sifat asosiatif.
2. Struktur itu memiliki identitas, yang dituliskan
   $\text{genap}~+ e = e +~\text{genap} = \text{genap}$
   $\text{ganjil}~+ e = e +~\text{ganjil} = \text{ganjil}$
   dan akhirnya diperoleh bahwa $e = \text{genap}$.
3. Setiap unsur $A$ memiliki invers terhadap penjumlahan. Misalkan $a = \text{genap} \in A$, maka ditulis $\text{genap} + a^{-1} = \text{genap}$. Didapat $a^{-1} = \text{genap}$.
   Misalkan juga $b = \text{ganjil} \in A$, maka ditulis $\text{ganjil} + a^{-1} = \text{genap}.$ Didapat $a^{-1} = \text{ganjil}.$
4. Terakhir, dari tabel di atas, jelas bahwa sifat komutatif berlaku dalam operasi penjumlahan.

 Jadi, terbukti bahwa $(A, +)$ merupakan grup abelian.
($A$ terhadap operasi perkalian bilangan bulat merupakan semigrup abelian)
Jelas bahwa operasi perkalian dalam $A$ bersifat tertutup, berlaku asosiatif, dan komutatif (tinjau tabel Cayley di atas). Jadi, terbukti bahwa $(A, \times)$ merupakan semigrup abelian.
(Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)
Kita dapat memeriksanya satu-satu misalnya seperti berikut.
Misalkan $a = \text{ganjil},$ $b = \text{genap},$ $c = \text{genap}$.
$$\begin{aligned} a(b+c) & = \text{ganjil}(\text{genap} + \text{genap}) \\ & = \text{ganjil} \cdot \text{genap} = \text{genap} \\ ab + ac & = \text{ganjil} \cdot \text{genap} + \text{ganjil} \cdot \text{genap} \\ & = \text{genap} + \text{genap} = \text{genap} \end{aligned}$$Jadi, $a(b + c) = ab + ac.$
Dengan prinsip yang sama, sifat distributif kanan juga dapat ditunjukkan.
Jadi, terbukti bahwa $(A, +, \times)$ merupakan ring komutatif.

Suatu ring $R$ disebut ring pembagi jika $(R, +_7)$ merupakan grup abelian, $(R- \{0\}, \times_7)$ merupakan grup dan berlaku sifat distributif.
Untuk menunjukkannya, gunakan Tabel Cayley yang menyatakan hasil pengoperasian dari dua elemen $R$ dengan operasi penjumlahan bilangan bulat modulo $7$ dan perkalian bilangan bulat modulo $7$ tanpa $0$ berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline +_7 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 \\ \hline 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 \\ \hline 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 \\ \hline 4 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 5 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3& 4 \\ \hline 6 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  \hline \end{array}$$ $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \times_7 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 2 & 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5 \\ \hline 3 & 3 & 6 & 2 & 5 & 1 & 4 \\ \hline 4 & 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3 \\ \hline 5 & 5 & 3 & 1 & 6 & 4 & 2 \\ \hline 6 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}$$Jelas dari tabel tersebut $(R, +_7)$ merupakan grup abelian, sedangkan jika kita meninjau Tabel Cayley untuk perkalian bilangan bulat modulo $7$ tanpa $0$, berlaku sifat tertutup, asosiatif, ada identitas yaitu $1$, dan setiap elemennya memiliki invers (invers $2$ = $4$, invers $3$ = $5$, invers $6$ = $6$).
Selain itu, sifat distributif perkalian modulo $7$ terhadap penjumlahan modulo $7$ juga berlaku (Anda dapat menggunakan bantuan tabel untuk menunjukkannya), yaitu untuk setiap $a, b, c \in R$, berlaku
$a \times_7 (b +_7 c) = (a \times_7 b) +_7 (a \times_7).$
Dengan demikian, $R$ adalah ring pembagi.
Selanjutnya, untuk menjawab pertanyaan apakah $R$ merupakan lapangan atau bukan, kita harus mengingat kembali definisi lapangan (field), yaitu $R$ adalah lapangan (field) jika dan hanya jika $R$ adalah ring pembagi yang komutatif. Dapat juga diartikan bahwa $R$ lapangan jika $R$ ring dan $(R- \{0\}, \times_7)$ grup abelian. Kita hanya perlu meninjau tabel hasil perkalian modulo $7$ di atas. Tampak bahwa untuk setiap dua elemen $R$, berlaku sifat komutatif terhadap operasi perkalian modulo $7$. Jadi, dapat dikatakan bahwa $R$ lapangan.

Suatu elemen $a \in R$ (R ring) disebut unit di $R$ jika ada $b \in R$ sedemikian sehingga berlaku $a \bigotimes b = 1$. Terkhusus untuk $\mathbb{Z}_n$, unit-unitnya adalah elemen yang relatif prima dengan $n$. Berarti, untuk $\mathbb{Z}_{2^n}$, unitnya adalah elemen yang relatif prima dengan $2^n$. Karena $2^n = \underbrace{2 \times 2 \times \cdots \times 2}_{n},$ yang berarti $2^n$ tidak memuat faktor lain selain $2$, maka seluruh bilangan ganjil positif relatif prima dengannya sehingga banyak unit di ring  $\mathbb{Z}_{2^n}$ adalah $\dfrac{1}{2}(2^n) = 2^{n-1}$.

Misalkan $R$ adalah sembarang lapangan, yang berarti $R$ tanpa $0$ terhadap operasi keduanya membentuk grup abelian. Ambil $a,b \in R- \{0\}$. Andaikan $ab = 0$, maka jelas syarat grup abelian pada operasi kedua di $R$ tidak terpenuhi sebab tidak memenuhi sifat tertutup. Dengan demikian, tidak ada $a \neq 0, b \neq 0$ sehingga berlaku $ab = 0$. Jadi, $R$ merupakan ring tanpa pembagi nol atau disebut sebagai daerah integral. (Terbukti)

Diberikan $\mathbb{Z}[\sqrt{2}] = \{a + b\sqrt{2} | a,b \in \mathbb{Z}\}.$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (17 + 12\sqrt{2})x & = 1  \\ x &  = \dfrac{1}{17 + 12\sqrt{2}} \\ x & = 17- 12\sqrt{2}. \end{aligned}$$Kita dapatkan bahwa $x$ memenuhi sifat keanggotaan $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ untuk $a = 17$ dan $b =-12.$ Jadi, nilai $x$ yang dimaksud adalah $\boxed{17- 12\sqrt{2}}$

Jelas bahwa $n$ tidak mungkin bilangan ganjil karena mengakibatkan tidak terpenuhinya sifat tertutup pada operasi penjumlahan modulo $n$ di $F$ yang semua elemennya bilangan genap. Jika nilai $n$ sendiri diambil sebagai $2, 4, 6$, maupun $8$, maka tidak akan ditemukan identitas (unity) baik penjumlahan maupun perkalian modulonya sebab hasil pengoperasiannya tidak memuat salah satu atau lebih elemen $F$. Untuk membuktikannya, kita dapat menggunakan bantuan Tabel Cayley. Jadi, nilai $n$ yang paling kecil agar $F$ membentuk lapangan adalah $n = 10$. Tabel Cayley berikut menunjukkan bahwa untuk $(F, +_{10}, \times_{10})$ membentuk lapangan.
Tabel Penjumlahan Bilangan Bulat Modulo $10$ pada $F$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline +_{10} & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ \hline 0 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ \hline 2 & 2 & 4 & 6 & 8 & 0 \\ \hline 4 & 4 & 6 & 8 & 0 & 2 \\ \hline 6 & 6 & 8 & 0 & 2 & 4 \\ \hline 8 & 8 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ \hline \end{array}$$Tabel Perkalian Bilangan Bulat Modulo $10$ pada $F$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \times_{10} & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 2 & 0 & 4 & 8 & 2 & 6 \\ \hline 4 & 0 & 8 & 6 & 4 & 2 \\ \hline 6 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ \hline 8 & 0 & 6 & 2 & 8 & 4 \\ \hline \end{array}$$ 

Buat Tabel Cayley penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo $6$ sebagai berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline +_6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 \\ \hline 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 \\ \hline 3 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 & 2 \\ \hline 4 & 4 & 5 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 5 & 5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \end{array}$$ $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \times_6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 2 & 0 & 2 & 4 & \color{red}{0} & 2 & 4 \\ \hline 3 & 0 & 3 & \color{red}{0} & 3 & \color{red}{0} & 3  \\ \hline 4 & 0 & 4 & 2 & \color{red}{0} & 4 & 2 \\ \hline 5 & 0 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}$$Berdasarkan definisi pembagi nol pada ring, kita hanya perlu meninjau operasi perkalian modulo $6$ dari dua elemen $R$ yang bukan $0$, tetapi hasil operasinya $0$. Perhatikan sel tabel yang diberi shading warna biru. Karena $2 \neq 0, 3 \neq 0$, tetapi $2 \times_6 3 = 0,$ maka $2$ dan $3$ disebut sebagai pembagi nol. Begitu juga dengan $4$.
Jadi, pembagi nol dari $(R, +_6, \times_6)$ adalah $\{2, 3, 4\}$. $R$ disebut sebagai daerah integral jika tidak memiliki pembagi nol. Tetapi, kenyataannya $R$ memiliki pembagi nol, yaitu $2, 3$, dan $4$. Jadi, $R$ bukan daerah integral.

Ambil $R = (\mathbb{Z}, +, \times)$, juga
$A = 2\mathbb{Z} = \{\cdots,-2, 0, 2, 4, \cdots\}.$
$B = 3 \mathbb{Z} = \{\cdots,-3, 0, 3, 6, \cdots\}.$
Dapat ditunjukkan bahwa $A$ dan $B$ adalah suatu ring dengan operasi yang sama dengan $R$. Karena $A \subseteq R, B \subseteq R$, maka A dan B adalah subring dari R.
$A \cup B = \{\cdots,-3,-2, 0, 2, 3, 4, 6, \cdots\}$ bukan subring dari $R$. Salah satu alasannya adalah tidak berlakunya sifat tertutup pada operasi pertama, misalnya $2 + 3 = 5$, padahal $5$ bukan elemen himpunannya.

Kita sudah mengetahui bahwa $\mathbb{Q}$ dan $\mathbb{R}$ dengan operasi aditif dan multiplikatif standar merupakan suatu ring dan karena $\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$, maka $\mathbb{Q}$ adalah subring dari $\mathbb{R}$.
Ambil sembarang $a, b \in \mathbb{Q}$ dan $r \in \mathbb{R}$. Jelas bahwa $a- b \in \mathbb{Q}$ (dapat dibuktikan dengan analisis teori bilangan). Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa ternyata tidak berlaku $ar \in \mathbb{Q}$ atau $ra \in \mathbb{Q}.$ Ambil sampel $a = 1$ dan $r = \sqrt{2}$ sehingga $ar = 1 \times \sqrt{2} = \sqrt{2} \neq \mathbb{Q}.$
Jadi, $\mathbb{Q}$ bukan ideal dari $\mathbb{R}$.

Contoh subring yang bukan ideal adalah:

1. $(\mathbb{Z}, +, \times)$ dari $(\mathbb{R}, +, \times).$
2. $(\mathbb{Q}, +, \times)$ dari $(\mathbb{R}, +, \times).$
3. $(\mathbb{Z}, +, \times)$ dari $(\mathbb{Q}, +, \times).$

Diketahui $\mathbb{Z}_2 = \{0, 1\}$
Konstruksi Tabel Cayley berikut dengan operasi yang telah diberikan.
$$\renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline + & (0, 0) & (1, 1) & (1, 0) & (0, 1) \\ \hline (0, 0) & (0, 0) & (1, 1) & (1, 0) & (0, 1) \\ \hline (1, 1) & (1, 1) & (0, 0) & (0, 1) & (1, 0) \\ \hline (1, 0) & (1, 0) & (0, 1) & (0, 0) & (1, 1) \\ \hline (0, 1) & (0, 1) & (1, 0) & (1, 1) & (0, 0) \\ \hline \end{array}$$ $$\renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \times & (0, 0) & (1, 1) & (1, 0) & (0, 1) \\ \hline (0, 0) & (0, 0) & (0, 0) & (0, 0) & (0, 0) \\ \hline (1, 1) & (0, 0) & (1, 1) & (1, 0) & (0, 1) \\ \hline (1, 0) & (0, 0) & (1, 0) & (1, 0) & (0, 0) \\ \hline (0, 1) & (0, 0) & (0, 1) & (0, 0) & (0, 1) \\ \hline \end{array}$$Pertama-tama, tinjau operasi penjumlahannya. Tampak dari tabel bahwa operasi penjumlahan mempertahankan sifat tertutup, asosiatif, dan komutatif. Selain itu, $(R,+)$ juga memiliki identitas, yaitu $(0, 0)$, sedangkan masing-masing anggotanya memiliki invers. Invers $(0, 0)$ adalah $(0, 0)$, invers $(1, 1)$ adalah $(1, 1)$, invers $(1, 0)$ adalah $(1, 0)$, dan invers $(0, 1)$ adalah $(0, 1)$. Dengan kata lain, invers dari anggota $R$ adalah dirinya sendiri.  Jadi, $(R, +)$ merupakan grup abelian.
Kedua, tinjau operasi perkaliannya. Tampak juga dari tabel bahwa operasi perkalian mempertahankan sifat tertutup dan asosiatif. Berarti, $(R, \times)$ adalah semigrup.
Selain itu, sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dalam $R$ juga berlaku. Oleh karenanya, $(R, +, \times)$ adalah ring.
Untuk menunjukkan bahwa $R$ daerah integral, kita harus memastikan bahwa tidak ada dua elemen $R$ (bukan $(0, 0)$) yang bila dikalikan menghasilkan $(0, 0)$. Dari tabel, kita peroleh bahwa
$(1, 0) \times (0, 1) = (0, 0)$
$(0, 1) \times (1, 0) = (0, 0).$
Jadi, $R$ bukan daerah integral, sebab tidak memenuhi definisi yang telah diberikan di atas.
Selanjutnya, untuk menunjukkan bahwa $R$ field, kita harus memeriksa apakah $R$ merupakan ring pembagi atau bukan terlebih dahulu. Dari tabel di bawah, $(R- \{0,0\}, \times)$ bukan grup karena tidak memenuhi sifat ketertutupan.
$$\renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \times & (0, 1) & (1, 0) & (1, 1) \\ \hline (0, 1) & (0, 1) & (0, 0) & (0, 1) \\ \hline (1, 0) & (0, 0) & (1, 0) & (1, 0) \\ \hline (1, 1) & (0, 1) & (1, 0) & (1, 1)  \\ \hline \end{array}$$Jadi, berdasarkan definisi, $R$ bukan ring pembagi, yang mengimplikasikan bahwa $R$ juga bukan field.

Karakteristik dari ring $(R, \circ, *)$, dinotasikan char(R) didefinisikan sebagai nilai $n$ bilangan bulat non-negatif terkecil sedemikian sehingga berlaku
$\underbrace{e’ \circ e’ \circ \cdots \circ e’}_{n} = n \circ e’= e$
dengan $e$ elemen identitas operasi $\circ$ dan $e’$ elemen identitas operasi $*$.
Untuk $(\mathbb{Z}, +, \times)$, identitas $\mathbb{Z}$ terhadap operasi penjumlahan dan perkalian berturut-turut adalah $0$ dan $1$ sehingga kita harus mencari nilai $n$ sedemikian sehingga berlaku
$\underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{n} = n \times 1 = 0.$
Diperoleh bahwa $n = 0$ sehingga karakteristik dari ring $\mathbb{Z}$ adalah $0$.

Berdasarkan tabel tersebut, identitas $(R, \bigoplus)$ adalah $a$, sedangkan  identitas $(R, \bigotimes)$ adalah $b$.
Elemen $x \in R, x \neq a$ disebut pembagi nol jika ada $y \in R, y \neq a$ sedemikian sehingga $x \bigotimes y = a.$
Berdasarkan tabel kanan, tidak ditemukan operasi yang hasilnya demikian sehingga $R$ bukan gelanggang pembagi nol (sebab tidak memiliki pembagi nol). Dengan kata lain, $R$ adalah daerah integral.
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa $R$ adalah lapangan (ring pembagi yang komutatif). Berarti, kita perlu menunjukkan $(R, \bigoplus)$ dan $(R- {0}, \bigotimes)$ grup abelian dan berlaku sifat distributif. Berdasarkan informasi pada soal, $R$ gelanggang sehingga $(R, \bigoplus)$ grup abelian dan sifat distributif telah terpenuhi (tidak perlu ditunjukkan lagi).
Perhatikan tabel $(R- {a}, \bigotimes)$ berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \bigotimes & b & c & d \\ \hline b & b & c & d \\ \hline c & c & d & b \\ \hline d & d & b & c \\ \hline \end{array}$$$(R- {a}, \bigotimes)$ merupakan grup abelian karena berlaku sifat tertutup, asosiatif, memiliki identitas yaitu $b$, dan setiap elemen memiliki invers $(b^{-1} = b, c^{-1} = d, d^{-1} = c)$, serta bersifat komutatif. Jadi, $R$ adalah lapangan.

Jawaban a)
Ingat kembali definisi lapangan (field), yaitu ring pembagi yang komutatif sehingga harus memenuhi syarat berikut.

1. Himpunan terhadap operasi pertama membentuk grup abelian.
2. Himpunan tanpa nol terhadap operasi kedua membentuk grup abelian.
3. Berlaku sifat distributif.

$\mathbb{Z} _{18}$ bukan field karena ada salah satu syarat yang tak terpenuhi dari definisi tersebut, yaitu $(\mathbb{Z} _{18}- \{0\})$ bukan grup (tidak memenuhi sifat tertutup alias memuat pembagi nol).
Jawaban b)
Kita harus menentukan elemen $(\mathbb{Z} _{18}- \{0\})$ yang bila dioperasikan dengan perkalian modulo $18$ menghasilkan $0$. Untuk ini, harus dicari elemen yang tidak relatif prima dengan $18$, yaitu $2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15$, dan $16$. Elemen-elemen inilah yang merupakan pembagi nol di $(\mathbb{Z} _{18}- \{0\}).$
Catatan: $5$ bukan pembagi nol (relatif prima dengan $18$) karena tidak ditemukan elemen $(\mathbb{Z} _{18}- \{0\})$ yang bila dikalikan dengannya menghasilkan $0$. Kita akan menemukan bahwa $5 \times_{18} 18 = 0$, sedangkan $18$ adalah bilangan terkecil dari elemen-elemen yang dimaksud, tetapi $18$ sendiri bukan elemen $(\mathbb{Z} _{18}- \{0\})$.

Suatu elemen $a \in R$ ($R$ ring) disebut unit di $R$ jika ada $b \in R$ sedemikian sehingga berlaku $a \bigotimes b = 1.$

1. Untuk $\mathbb{Z}$ (himpunan bilangan bulat), unitnya adalah $\{1\}$ karena $1 \times 1 = 1.$
2. Untuk $\mathbb{Q}$ (himpunan bilangan rasional), unitnya tak terhingga banyaknya, salah satunya adalah $\dfrac{4}{7} \times \dfrac{7}{4} = 1.$
3. Untuk $\mathbb{Z}_6$ (himpunan bilangan bulat modulo $6$), unitnya adalah $\{1, 5\},$ yaitu $1 \times_6 1 = 1, 5 \times_6  5 = 1.$

Tips: Unit dari $\mathbb{Z}_n$ adalah elemen yang relatif prima (memiliki FPB 1) dengan $n$.