Tag: Kombinatorika

Agar $(a^b)^c$ maksimum, maka kita hanya memilih $2, 3, 4$ sebagai nilai-nilai pengganti $a, b, c$.
Tabulasikan hasil dari $(a^b)^c$ ketika $a = 2, a = 3$, dan $a=4$ dalam bentuk tabel berikut. Perhatikan bahwa penukaran nilai $b$ dan $c$ menghasilkan bilangan yang sama karena perkalian bersifat komutatif, yaitu $bc = cb$.
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline a & b & c & (a^b)^c \\ \hline 2 & 3 & 4 & 2^{12} = 4.096 \\ 3 & 2 & 4 & 3^8 = 6.561 \\ 4 & 2 & 3 & 4^6 = 4.096 \\ \hline \end{array}$
Jadi, nilai maksimum dari $n = (a^b)^c$ adalah $\boxed{6.561}$ (Jawaban B)

Misalkan $r, R$ berturut-turut menyatakan panjang jari-jari kelereng kecil dan kelereng besar.
Ketika $7$ kelereng kecil dan $7$ kelereng besar dimasukkan ke akuarium A, volume akuarium berubah menjadi $64.281 \dfrac13 ~\text{cm}^3.$
Ketika $21$ kelereng kecil dan $7$ kelereng besar dimasukkan ke akuarium B, volume akuarium berubah menjadi $64.880~\text{cm}^3.$
Karena volume mula-mula kedua akuarium sama dan jumlah kelereng besar yang dimasukkan sama, maka ini berarti volume $14$ kelereng kecilnya adalah selisih kedua volume akuarium tersebut ketika dimasukkan kelereng.
$\begin{aligned} 14 \cdot \dfrac43 \cdot \dfrac{22}{7} \cdot r^3 & = 64.880 – 64.281 \dfrac13 \\ \cancelto{2}{14} \cdot \dfrac{4}{\bcancel{3}} \cdot \dfrac{22}{\cancel{7}} \cdot r^3 & = 58 \dfrac13 = \dfrac{176}{\bcancel{3}} \\ 176 \times r^3 & = 176 \\ r^3 & = 1 \\ r & = 1~\text{cm}\end{aligned}$
Selanjutnya akan dicari nilai $R$. Saat akuarium A dimasukkan $7$ kelereng kecil dan $7$ kelereng besar, volumenya berubah menjadi $64.281 \dfrac13~\text{cm}^3,$ sehingga
$$\begin{aligned} \cancel{7} \cdot \dfrac43 \cdot \dfrac{22}{\cancel{7}}R^3 + \cancel{7} \cdot \dfrac43 \cdot \dfrac{22}{\cancel{7}} r^3 & = 64.281 \dfrac13 – 64.000 = \dfrac{2.464}{3} \\ 88R^3 + 88(1)^3 & = 2.464 \\ 88R^3 & = 2.376 \\ R^3 & = 27 \\ R & = 3~\text{cm} \end{aligned}$$
Kelereng besar yang tidak dimasukkan sebanyak $20-7-7 = 6$ butir, sedangkan kelereng kecil yang tidak dimasukkan sebanyak $30-21-7 = 2$ butir.
Dengan demikian, volume total kelereng tersebut adalah
$$\begin{aligned} 6 \cdot \dfrac43 \cdot \dfrac{22}{7}(3)^3 + 2 \cdot \dfrac43 \cdot \dfrac{22}{7}(1)^3 & = \dfrac{14.256}{21} + \dfrac{176}{21} \\ & = \dfrac{14.432}{21} \\ & = 687\dfrac{5}{21}~\text{cm}^3 \end{aligned}$$
Jadi, volume seluruh kelereng Anto yang tidak dimasukkan ke akuarium adalah $\boxed{687\dfrac{5}{21}~\text{cm}^3}$
(Jawaban D)

Misalkan HIT pada bulan Desember 2018 adalah $x$ sehingga:
HIT pada bulan Januari 2019 adalah $(1-25\%)\times x = 75%x = \dfrac34 x$,
HIT pada bulan Februari 2019 adalah $(1-20\%)\times \dfrac34 x = \dfrac45 \times \dfrac34 x = \dfrac35 x$
HIT pada bulan Maret 2019 adalah $(1-10\%)\times \dfrac35 x = \dfrac{9}{10} \times \dfrac35 x = \dfrac{27}{50}x.$
Diketahui bahwa HIT pada bulan Maret 2019 sebanyak $108$ kg sehingga
$\dfrac{27}{50}x = 108 \Leftrightarrow x = \cancelto{4}{108} \times \dfrac{50}{\cancel{27}}= 200$
Ini berarti, HIT pada bulan Desember 2018 sebanyak $200$ kg. Akibatnya, HIT pada bulan Januari 2019 sebanyak $\dfrac34 \times 200 = 150$ kg dan HIT pada bulan Februari 2019 sebanyak $\dfrac35 \times 150 = 90$ kg.
Dari alternatif jawaban yang diberikan, pilihan yang sesuai adalah pilihan A.

Dengan cara memfaktorkan, kita dapat membuat bentuk $\dfrac{2x^2-3xy+y^2}{x^2-y^2}$ menjadi lebih sederhana. Setelah itu, substitusikan $x=2p-4q$ dan $y=-p+2q$.
$\begin{aligned} \dfrac{2x^2-3xy+y^2}{x^2-y^2} & = \dfrac{(2x – y)\cancel{ (x – y)} } {(x+y) \cancel{(x-y)} } \\ & = \dfrac{2x-y} {x+y} \\ & = \dfrac{2(2p-4q) – (-p+2q)} {(2p-4q)+(-p+2q)} \\ & = \dfrac{5p – 10q} {p-2q} \\ & = \dfrac{5\cancel{(p-2q)}} {\cancel{(p-2q)}} \\ & = 5 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{2x^2-3xy+y^2}{x^2-y^2} = 5}$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa $xy + 2x + y = 10$ dapat ditulis menjadi $(x+1)(y+2)-2 = 10$ sehingga $(x+1)(y+2) = 12$.
Ini berarti, $(x+1)$ dan $(y+2)$ merupakan faktor dari $12$.
Buat tabel berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}  \hline x + 1 & y + 2 & x & y & x + y \\ \hline \color{red} {1} & \color{red}{12} & \color{red}{0} & \color{red}{10} & – \\ \color{red}{12} & \color{red}{1} & \color{red}{11} & \color{red}{-1} & – \\ 3 & 4 & 2 & 2 & 4 \\ 4 & 3 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 6 & 1 & 4 & 5 \\ \color{red}{6} & \color{red}{2} & \color{red}{5} & \color{red}{0} & – \\ \hline \end{array}$
Catatan: baris dengan warna tulisan merah menandakan bahwa nilai $x, y$ yang didapat bukan bilangan bulat positif.
Berdasarkan tabel di atas, tampak bahwa nilai minimum (terkecil) $x+y$ adalah $\boxed{4}$
(Jawaban A)

Perhatikan persamaan $x^2-ax+a-1=0$.
Misalkan akar-akarnya adalah $m$ dan $n$ sehingga jumlah dan hasil kali akarnya adalah
$\begin{aligned} m + n & = -a \\ mn & = a – 1 \end{aligned}$
Ini berarti,
$\begin{aligned} m^2 + n^2 & = (m+n)^2 – 2mn \\ & = (-a)^2 – 2(a-1) \\ & = a^2-2a+2 \end{aligned}$
Akar-akar dari persamaan $x^2-5bx+b=0$ merupakan kuadrat kebalikan dari akar-akar persamaan $x^2-ax+a-1=0$. Ini berarti, jumlah akarnya adalah
$\dfrac{1}{m^2} + \dfrac{1}{n^2} = 5b.$
sedangkan hasil kali akarnya adalah
$\dfrac{1}{m^2} \cdot \dfrac{1}{n^2} = b.$
Pada persamaan $\dfrac{1}{m^2} + \dfrac{1}{n^2} = 5b$ dapat kita tuliskan
$\begin{aligned} \dfrac{m^2+n^2}{m^2n^2} & = 5b \\ \dfrac{a^2-2a+2}{(a-1)^2} & = 5b \\ a^2-2a+2 & = -5b(a-1)^2 \end{aligned}$
Pada persamaan $\dfrac{1}{m^2} \cdot \dfrac{1}{n^2} = b$, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{1}{(mn)^2} & = b \\ \dfrac{1}{(a-1)^2}& = b \\ b(a-1)^2 & = 1 \end{aligned}$
Substitusikan $b(a-1)^2=1$ ke persamaan $a^2-2a+2 = 5b(a-1)^2$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} a^2-2a+2 & = 5(1) \\ a^2 – 2a – 3 & = 0 \\ (a-3)(a+1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a=3$ atau $a=-1.$
Untuk $a = 3$, kita peroleh
$b = \dfrac{1}{(a-1)^2} = \dfrac{1}{(3-1)^2} = \dfrac14.$
Untuk $a = -1$, kita peroleh
$b = \dfrac{1}{(a-1)^2} = \dfrac{1}{(-1-1)^2} = \dfrac14.$
Nilai maksimum $ab$ didapat saat $a = 3$ dan $b = \dfrac14$, yaitu
$ab_{\text{max}} = 3 \cdot \dfrac14 = \dfrac34.$
(Jawaban B)

Untuk $x = 7$, kita peroleh
$\left \lfloor \dfrac{3(7) +1}{4-7} \right \rfloor = \left \lfloor \dfrac{22}{-3} \right \rfloor = -8$
Jadi, nilai dari $\left \lfloor \dfrac{3x+1}{4-x} \right \rfloor$ untuk $x=7$ adalah $\boxed{-8}$
(Jawaban D)

Misalkan keempat persegi diisi oleh $a, b, c, d$ sehingga dapat dibuat sketsa gambar berikut. 
Dengan demikian, persegi paling atas bernilai 
$$ab + (b+c) + (b+c)cd = ab + (b + c) (1 + cd)$$
Karena $a$ hanya muncul sekali pada suku pertama yang hanya melibatkan perkalian dengan $b$, maka $a$ kemungkinan bernilai negatif, yaitu $a = -2$. Agar didapat nilai maksimum, $b$ harus sekecil mungkin, yaitu $b = 2$. Selanjutnya, pilih $c$ sebesar mungkin, yaitu $c = 4$ dan sisanya $d = 3$. 
Nilai maksimum yang kita peroleh adalah
$$\boxed{(-2)(2) + (2 + 4)(1 + 4(3)) = -4 + 6(13) = 74}$$
(Jawaban B)

Misalkan $p =(3^4 \cdot 4^3)^2 = (3^4 \cdot 2^6)^2$ sehingga $\sqrt{p} = 3^4 \cdot 2^6$.
Dalam bentuk faktorisasi prima, $p$ dapat ditulis menjadi $3^8 \cdot 2^{12}$ sehingga banyak faktor positif darinya adalah $(8 + 1)(12+1) = 117$ (bilangan $8$ dan $12$ didapat dari pangkatnya, masing-masing ditambah $1$, lalu dikalikan).
Banyak faktor positif dari $p$ yang lebih dari $\sqrt{p}$ adalah $\left\lceil \dfrac{117}{2} \right \rceil = 59$.
Jadi, nilai dari $\boxed{f[(3^4 \cdot 4^3)^2] = 59}$.
Misalkan $q =(3^3 \cdot 4^2)^2 = (3^3 \cdot 2^4)^2$ sehingga $\sqrt{q} = 3^3 \cdot 2^4$.
Dalam bentuk faktorisasi prima, $q$ dapat ditulis menjadi $3^6 \cdot 2^{8}$ sehingga banyak faktor positif darinya adalah $(6 + 1)(8+1) = 63$.
Banyak faktor positif dari $q$ yang lebih dari $\sqrt{q}$ adalah $\left \lceil \dfrac{63}{2} \right \rceil = 32$.
Jadi, nilai dari $\boxed{f[(3^3 \cdot 4^2)^2] = 32}$.
Selisih nilai keduanya adalah $\boxed{59-32=27}$
(Jawaban C)

Banyak bilangan seluruhnya ada $1.000$.
Bilangan kelipatan $2$ meliputi $2, 4, 6, 8, \cdots, 1.000$ ada sebanyak $500$.
Bilangan kelipatan $3$ meliputi $3, 6, 9, 12, \cdots, 999$ ada sebanyak $333$.
Bilangan kelipatan $5$ meliputi $5,10,15,20,\cdots, 1000$ ada sebanyak $200$.
Bilangan kelipatan $6 = 2 \times 3$ meliputi $6, 12, 18, \cdots, 996$ ada sebanyak $166$.
Bilangan kelipatan $10 = 2 \times 5$ meliputi $10, 20, 30, \cdots, 1000$ ada sebanyak $100$.
Bilangan kelipatan $15 = 3 \times 5$ meliputi $15, 30, 45, \cdots, 990$ ada sebanyak $66$.
Bilangan kelipatan $30 = 2 \times 3 \times 5$ meliputi $30, 60, 90, \cdots, 990$ ada sebanyak $33$.
Dengan menerapkan Prinsip Inklusi-Eksklusi, banyak bilangan tadutima adalah
$$\begin{aligned} & 1000 – (500 + 333 + 200) + (166 + 100 + 66) – 33 \\ & = 1000 – 1033 + 332 – 33 = 266 \end{aligned}$$
Jadi, ada $\boxed{266}$ bilangan tadutima yang kurang dari $1001$
(Jawaban B)

Konsep operasi bilangan ganjil dan genap dijabarkan dalam tabel berikut.
$\begin{array} {|c|c|c|c|} \hline  a & b & a \pm b & a \times b \\ \hline \text{genap} & \text{genap} & \text{genap} & \text{genap} \\\text{genap} & \text{ganjil} & \text{ganjil} & \text{genap} \\ \text{ganjil} & \text{genap} & \text{ganiil} & \text{genap} \\ \text{ganjil} & \text{ganjil} & \text{genap} & \text{ganjil} \\ \hline \end{array}$
Pilihan A: $2019 – 3n$
Untuk $n$ ganjil, diperoleh $3n$ ganjil sehingga $2019 – 3n$ genap.
Untuk $n$ genap, diperoleh $3n$ genap sehingga $2019 – 3n$ ganjil.
Pilihan B: $2019 + n$
Untuk $n$ ganjil, diperoleh $2019 + n$ genap.
Untuk $n$ genap, diperoleh $2019 + n$ ganjil.
Pilihan C: $2019 + 2n$
Untuk $n$ ganjil, diperoleh $2n$ genap sehingga $2019 + 2n$ ganjil.
Untuk $n$ genap, diperoleh $2n$ genap sehingga $2019 + 2n$ ganjil.
Pilihan D: $2019 + n^2$
Untuk $n$ ganjil, diperoleh $n^2$ ganjil sehingga $2019 + n^2$ genap.
Untuk $n$ genap, diperoleh $n^2$ genap sehingga $2019 + n^2$ ganjil.
Jadi, alternatif pilihan jawaban yang benar adalah pilihan C.

Misalkan $A = \{a, b, c\}$. Dengan demikian, diperoleh suatu sistem persamaan
$\begin{cases} a+b=1.209 \\ a + c = 1.690 \\ b + c = 2.019 \end{cases}$
Jumlahkan ketiga persamaan di atas untuk memperoleh
$$\begin{aligned} (a + b) + (a + c) + (b + c) & = 1.209 + 1.690 + 2.019 \\ 2a + 2b + 2c & = 4.918 \\ a + b + c & = 2.459 \end{aligned}$$
Karena $a+b=1.209$, maka diperoleh $c = 2.459 – 1.209 = 1.250$
Karena $a+c=1.690$, maka diperoleh $b = 2.459 – 1.690 = 769$
Karena $b+c=2.019$, maka diperoleh $a = 2.459 – 2.019 = 440$
Selisih bilangan terbesar dan terkecil dari anggota $A$ adalah
$c – a = 1.250 – 440 = 810$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa sudut $ABE, ACE$, dan $ADE$ semuanya merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama, yaitu busur $AE$. Ini berarti, dapat kita tuliskan
$\angle ABE = \angle ACE = \angle ADE = x$
sehingga
$\begin{aligned} x + x + x & = 96^{\circ} \\ 3x & = 96^{\circ} \\ x & = 32^{\circ} \end{aligned}$
$AOE$ merupakan sudut pusat yang juga menghadap busur $AE$ sehingga
$\angle AOE = 2x = 2(32) = 64^{\circ}$
Jadi, besar sudut $AOE$ adalah $\boxed{64^{\circ}}$
(Jawaban C)

Perhatikan gambar kerucut utuh berikut.

Dengan menggunakan konsep kesebangunan segitiga siku-siku, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{h} {h+8} & = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2} \\ 2h & = h + 8 \\ h & = 8~\text{cm} \end{aligned}$
Misalkan $s = s_1 + s_2$.
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} s & = \sqrt{12^2 + (8+8)^2} \\ & = \sqrt{144 + 256} \\ & = \sqrt{400} = 20~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan menerapkan konsep kesebangunan, diperoleh
$\dfrac{12}{6} = \dfrac{s} {s_1} \Rightarrow 2 = \dfrac{20}{s_1} \Leftrightarrow s_1 = 10~\text{cm}$
Luas bahan adalah selisih luas selimut kerucut besar dengan luas selimut kerucut kecil, yakni
$$\begin{aligned} L & = L_B – L_K \\ & = \pi Rs – \pi r s_1 = 3,14 \cdot 12 \cdot 20 – 3,14 \cdot 6 \cdot 10 \\ & = 3,14(6)(10)(2(2) – 1) \\ & = 3,14(6)(10)(3) = 565,2~\text{cm}^2 \end{aligned}$$
Jadi, luas bahan untuk membuat kap lampu tersebut adalah $\boxed{565,2~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

Diketahui: $y = ax^2 + bx + c$.
Karena absis titik puncak di $x = p$, maka kita peroleh
$-\dfrac{b} {2a} = p \Leftrightarrow -b = 2ap \Leftrightarrow b + 2ap = 0$
Titik potong parabola dengan sumbu-$Y$ di $(0, -p)$ sehingga substitusi $x = 0$ dan $y=-p$ menghasilkan
$-p = a(0)^2 + b(0) + c \Leftrightarrow c = -p$
Substitusikan $x = y = p$ pada persamaan $y = ax^2 + bx – p$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} p & = ap^2 + bp – p \\ ap^2 + bp – 2p & = 0 \\ p(ap + b – 2) & = 0 \\ ap + b – 2 & = 0 \\ ap & = 2 – b \end{aligned}$
Substitusikan $ap = 2 – b$ ke $b + 2ap = 0$ sehingga didapat
$\begin{aligned} b + 2(2-b) & = 0 \\ b + 4 – 2b & = 0 \\ -b & = -4 \\ b & = 4 \end{aligned}$
Jadi, nilai $b$ adalah $\boxed{4}$ (Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Perhatikan bahwa segitiga $AEP$ sebangun dengan segitiga $CDP$. Misakkan $QR$ merupakan tinggi jajar genjang $ABCD$, sekaligus garis tinggi kedua segitiga. 
Dengan demikian, berlaku
$$\dfrac{AE} {QP} = \dfrac{CD} {RP} \Leftrightarrow \dfrac{\frac12 CD} {QP} = \dfrac{CD} {RP} \Rightarrow QP = \dfrac12 RP.$$
Oleh karena itu, $QP = \dfrac13 QR.$
Perbandingan luas jajar genjang $ABCD$ dan segitiga $AEP$ adalah
$$\begin{aligned} L_{ABCD} : L_{AEP} & = AB \times QR : \dfrac{AE \times QP} {2} \\ & = 2 \times \cancel{AB} \times \cancel{QR} : \dfrac12 \cancel{AB} \times \dfrac13 \cancel{QR} \\ & = 2 : \dfrac16 = 12 : 1 \end{aligned}$$
(Jawaban A)

Perhatikan sketsa gambar segitiga $ABC$ berikut.

Tinjau segitiga $ECD$. Jumlah sudut dalam segitiga adalah $180^{\circ}$. Dengan demikian, kita tulis
$\begin{aligned} 60 + (120 – x) + (120 – x) & = 180 \\ 300 – 2x & = 180 \\ -2x & = -120 \\ x & = 60 \end{aligned}$
Ini berarti, semua bangun yang terbentuk merupakan segitiga sama sisi yang saling kongruen dengan sketsa seperti berikut.

Diketahui panjang sisi segitiga $ABC$ adalah $s = 8~\text{cm}$. Luas segitiga $ABC$ adalah 
$\begin{aligned} L_{ABC} & = \dfrac14 \cdot s^2\sqrt{3} \\ & = \dfrac14 \cdot (8)^2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas segitiga $DEF$ adalah $\dfrac14$ dari luas segitiga $ABC$ sehingga
$L_{DEF} = \dfrac14 \times 16\sqrt{3} = 4\sqrt{3}~\text{cm}^2$
(Jawaban B)

Diketahui: $AB = 11, BC = 15, EF = 20$
Misalkan $O$ adalah titik perpotongan kedua diagonal pada bangun belah ketupat $BCDE$ sehingga didapat $BO = EF – AB = 20 – 11 = 9$. 
Perhatikan segitiga siku-siku $BOC$. Panjang $OC$ dapat ditentukan dengan menggunakan rumus Pythagoras. 
$\begin{aligned} OC & = \sqrt{BC^2 – BO^2} = \sqrt{15^2 – 9^2} \\ & = \sqrt{225 – 81} = \sqrt{144} = 12 \end{aligned}$
Karena $BO = 9$, maka $BD = 2(9) = 18$. Juga karena $OC = 12$, maka $EC = 2(12) = 24$. Tinggi trapesium $AF$ sama dengan panjang $EO$, yaitu $AF = 12$. Dengan demikian, luas bangun $ABCDEF$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L & = L_{ABEF} + L_{BCDE} \\ & = \dfrac{(AB + EF) \times AF} {2} + \dfrac{BD \times EC} {2} \\ & = \dfrac{(11 + 20) \times \cancelto{6}{12}}{\cancel{2}} + \dfrac{\cancelto{9}{18} \times 24}{\cancel{2}} \\ & = 31 \times 6 + 9 \times 24 \\ & = 186 + 216 = 402 \end{aligned}$
Jadi, luas bangun $ABCDEF$ adalah $\boxed{402~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

Buatlah tabel berikut. Keterangan: $K1$ menyatakan Kotak 1, dst.
$$\begin{array} {|c|c|c|c|} \hline \text{K1} & \text{K2} & \text{Banyak Cara K3 dan K4} & \text{Hasil} \\ \hline 5 & 5 & 1+2+3+4+5 & 15 \\ 5 & 4 & 1+2+3+4 & 10 \\ 5 & 3 & 1+2+3 & 6 \\ 5 & 2 & 1+2 & 3 \\ 5 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 4 & 1+2+3+4 & 10 \\ 4 & 3 & 1+2+3 & 6 \\ 4 & 2 & 1+2 & 3 \\ 4 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 1+2+3 & 6 \\ 3 & 2 & 1+2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1+2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline & & & \sum = 70 \\ \hline \end{array}$$
Keterangan pada baris kedua tabel:
Cara pengisian koin pada kotak ke-$3$ dan $4$ apabila kotak $1$ dan kotak $2$ masing-masing diisi 5 koin adalah
$\begin{aligned} \{(1, 1), & (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3), \\ & (4, 1), \cdots, (4, 4), (5, 1), \cdots, (5, 5)\} \end{aligned} $
sehingga banyak cara untuk kasus ini adalah 
$1+2+3+4+5 = 15$. 
Dengan demikian, banyak cara pengisian koin sesuai dengan syarat yang diminta adalah $\boxed{70}$
(Jawaban B)

Banyaknya cara melakukan penempelan label dan penyampulan 3 buku adalah $6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$.
Banyak susunan ketika pelabelan buku pertama dilakukan sebelum penyampulannya adalah setengah dari $720$. Begitu juga untuk buku kedua dan ketiga. Dengan demikian, banyak kemungkinan urutan pengerjaannya adalah $720 \times \dfrac12 \times \dfrac12 \times \dfrac12 = 90$.
(Jawaban C)

“NKRIgo” terdiri dari $6$ huruf yang semuanya berbeda dan $6!$ cara untuk menyusun kata sandi yang mungkin bila tidak diberikan syarat apapun. 
Apabila R dan I harus bersebelahan, maka RI dianggap sebagai satu huruf sehingga sekarang tersisa $5$ huruf. Tetapi karena RI sendiri dapat disusun kembali sebanyak $2! = 2$ cara (RI, IR), maka banyak cara seluruhnya ada $2 \times 5! = 240$. 
Apabila R dan I harus bersebelahan serta g dan o juga harus bersebelahan, maka RI dan go masing-masing dianggap sebagai satu huruf sehingga hanya ada $4$ huruf. Tetapi karena RI dan go masing-masing dapat disusun sebanyak $2! = 2$ cara, yaitu RI, IR, go, og, maka secara keseluruhan ada $2 \times 2 \times 4! = 96$ cara. 
Dengan demikian, banyak cara menyusun kata sandi apabila R dan I harus bersebelahan tetapi g dan o tidak boleh bersebelahan adalah $240 – 96 = 144$. Untuk itu, peluang kita menebak dengan benar sebesar $\boxed{\dfrac{1}{144}}$
(Jawaban C) 

Jumlah nilai untuk kondisi mula-mula adalah $75n$, sedangkan jumlah nilai untuk kondisi setelah ada tambahan adalah $75n + 100m$. Karena rata-ratanya menjadi lebih dari $80$, maka kita tulis dan peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{75n+100m} {m+n} & > 80 \\ 75n + 100m & > 80m + 80n \\ 100m – 80m & > 80n – 75n \\ 20m & > 5n \\ \dfrac{m} {n} & > \dfrac{5}{20} = \dfrac14 \end{aligned}$
Nilai $\dfrac{m} {n}$ harus lebih besar dari $\dfrac14$. Berdasarkan alternatif pilihan jawaban yang diberikan, $\dfrac{4}{11} > \dfrac14$ sehingga nilai $\dfrac{m}{n}$ yang mungkin adalah $\dfrac{4}{11}$ (Jawaban A)

Jangkauan adalah selisih nilai tertinggi dan nilai terendah pada sekumpulan data. Ini berarti,
$J = (m + 4) – (n + 1) = m – n + 3$
Rata-ratanya sama dengan jangkauanya sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} \overline{x} & = \dfrac{(n+1)+(n+2)+(2m-4)+(2m-2)+(m+4)} {5} \\ m – n + 3 & = \dfrac{2n + 5m + 1}{5} \\ \cancel{5m} – 5n + 15 & = 2n + \cancel{5m} + 1 \\ 7n & = 14 \\ n & = 2 \end{aligned}$$
Dengan demikian, $J = m – n + 3 = m – 2 + 3 = m + 1$.
Karena diketahui bahwa mediannya sama dengan jangkauannya, maka kita peroleh: $J = 2m – 4$.
Dari sistem persamaan $\begin{cases} J = m + 1 \\ J = 2m – 4 \end{cases}$, kita peroleh
$\begin{aligned} m+1 & = 2m-4 \\ m & = 5 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{m+n = 5+2=7}$
(Jawaban B)

Sajikan data pada diagram batang di atas ke dalam bentuk tabel seperti berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nilai} & 60 & 70 & 80 & 90 & \text{Jumlah} \\ \hline F_1 & 5 & 12 & 1 & 6 & 24 \\ \hline F_2 & 10 & 3 & 8 & 6 & 27 \\ \hline F & 15 & 15 & 9 & 12 & 51 \\ \hline \end{array}$
Median adalah nilai tengah data terurut.
Dari tabel tersebut, diperoleh $M_1 = 70, M_2 = 80$, dan $M = 70$.
Dengan demikian,
$M_1 + M_2 + M = 70 + 80 + 70 = 240$
(Jawaban D)

Diketahui:
$\begin{aligned} \text{S}_{20} & = 1.390 \\ a & = 3 \\ n & = 20 \end{aligned}$
Ditanya: $b = \cdots?$
Dengan menggunakan rumus jumlah deret aritmetika diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ 1.390 & = \dfrac{20}{2}(2(3) + (20-1)b) \\ 1.390 & = 10(6 + 19b) \\ 139 & = 6 + 19b \\ 133 & = 19b \\ b & = \dfrac{133}{19} = 7 \end{aligned}$
Jadi, selisih dari dua suku berurutan di barisan tersebut adalah $\boxed{7}$ (Jawaban A)