Tag: Koordinat Kutub

Jawaban a)
Misalkan $z=2+2\sqrt{3}i$ sehingga $r=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{16}=4$
$\theta =\arctan {\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{2}}=\arctan \sqrt{3}={60}^{\circ }.$ 
Jadi, bentuk polar dari bilangan kompleks tersebut adalah
$\begin{array}{rl}z& =r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ & =\boxed{{\displaystyle 4(\cos {60}^{\circ }+i\sin {60}^{\circ })}}\end{array}$
Jawaban b)
Misalkan $z=-5+5i$ sehingga
$$\begin{aligned} r & = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = 5\sqrt{2} \ \theta & = \arctan \dfrac{5}{-5} = \arctan (-1) = 135^{\circ}. \end{aligned}$$Jadi, bentuk polar dari bilangan kompleks tersebut adalah
$\begin{array}{rl}z& =r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ & =\boxed{{\displaystyle 5\sqrt{2}(\cos {135}^{\circ }+i\sin {135}^{\circ })}}\end{array}$

Perhatikan bahwa
$\begin{array}{rl}{z}_1{z}_2& =(1+i)(\sqrt{3}+i)\\ & =(\sqrt{3}-1)+(1+\sqrt{3})i\end{array}$
dan
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}& ={\displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{3}+i}}\\ & ={\displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{3}+i}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}-i}}\\ & ={\displaystyle \frac{(\sqrt{3}+1)+(-1+\sqrt{3})i}{4}}.\end{array}$
Keterangan: $\text{mod}$ = modulus/nilai mutlak, $\text{arg}$ = argumen (sudut polar). 
$$\begin{array}{rl}\text{mod}(z_1{z}_2)& =\sqrt{(\sqrt{3}-1{)}^2+(1+\sqrt{3}{)}^2}=2\sqrt{2}\\ \text{arg}(z_1{z}_2)& =\arctan {\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}}={75}^{\circ }.\end{array}$$

(Pembuktian dari ruas kanan)
Ingat bahwa
$\boxed{{\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }}$
Jadi,
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}& ={\displaystyle \frac{(\cos \theta +\cancel{i\sin \theta })+(\cos \theta \cancel{-i\sin \theta })}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{2\cos \theta }{2}}\\ & =\cos \theta .\end{array}$$ (Terbukti) $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fc.svg">}$

Jawaban a)
$$\begin{array}{rl}{z}_1{z}_2& =r^2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}\\ & =r^2(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i(\sin ({\theta }_1+{\theta }_2))\end{array}$$Jawaban b)
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}& =e^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}\\ & =\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)\end{array}$$

Ingat bahwa
$\boxed{{\displaystyle e^{it}=\cos t+i\sin t}}$
Jadi, integrannya dapat ditulis
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(\cos t+i\sin t)}& =[\sin t-i\cos t){]}_0^{\frac{\pi }{4}}\\ & =({\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2}-i{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2})+i\\ & =\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2}+i(1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2})}}\end{array}$$

Perhatikan bahwa persamaan tersebut dapat kita nyatakan sebagai berikut.
$\begin{array}{rl}|z+4-2i|& =3\\ |(x+4)+(y-2)i|& =3\\ (x+4{)}^2+(y-2{)}^2& =9.\end{array}$
Persamaan yang diperoleh adalah persamaan baku lingkaran sehingga grafik yang terbentuk adalah lingkaran yang berpusat di $(-4,2)$ dan berjari-jari $3$.

Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}|z–4i|+|z+4i|& =10\\ \sqrt{x^2+(y-4{)}^2}+\sqrt{x^2+(y+4{)}^2}& =10\\ \sqrt{x^2+(y+4{)}^2}& =10-\sqrt{x^2+(y-4{)}^2}\\ \cancel{x^2}+(y+4{)}^2& =100-20\sqrt{x^2+(y-4{)}^2}+\cancel{x^2}+(y-4{)}^2\\ y^2+8y+16& =100-20\sqrt{x^2+(y-4{)}^2}+y^2-8y+16\\ -16y& =100-20\sqrt{x^2+(y-4{)}^2}\\ -4y& =25-5\sqrt{x^2+(y-4{)}^2}\\ 4y+25& =5\sqrt{x^2+(y-4{)}^2}\\ 16y^2+200y+625& =25(x^2+(y-4{)}^2)\\ 25x^2+9y^2& =225\\ {\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{y^2}{25}}& =1.\end{array}$$Persamaan di atas adalah persamaan elips dengan titik pusat di $(0,0)$, jari-jari datar $3$, jari-jari tegak $5$, dan titik fokus di $(0,\pm 4)$. Grafiknya sebagai berikut.

Perhatikan bahwa $r=\sqrt{(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{2}.$
Sudut $\theta$ yang memenuhi $\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$
dan $\cos \theta =-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ adalah $\theta ={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}.$
Berdasarkan Teorema de Moivre, berlaku
$$(-1+i{)}^{\frac{1}{3}}=(\sqrt{2}{)}^{\frac{1}{3}}(\cos {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+2k\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+2k\pi }{3}}).$$Untuk $k=0$, diperoleh
$$(-1+i{)}^{\frac{1}{3}}=(2{)}^{\frac{1}{6}}(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}).$$Untuk $k=1$, diperoleh
$$(-1+i{)}^{\frac{1}{3}}=(2{)}^{\frac{1}{6}}(\cos {\displaystyle \frac{11\pi }{12}}+i\sin {\displaystyle \frac{11\pi }{12}}).$$Untuk $k=2$, diperoleh
$$(-1+i{)}^{\frac{1}{3}}=(2{)}^{\frac{1}{6}}(\cos {\displaystyle \frac{19\pi }{12}}+i\sin {\displaystyle \frac{19\pi }{12}}).$$

Modulus dari bilangan kompleks itu adalah
$\begin{array}{rl}r& =|-8-8\sqrt{3}i|\\ & =\sqrt{(-8{)}^2+(-8\sqrt{3}{)}^2}=16.\end{array}$
Selanjutnya, cari sudut $\theta .$
$\arctan \left({\displaystyle \frac{-8\sqrt{3}}{-8}}\right)={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}.$
Jadi,
$$\begin{array}{rl}(-8-8\sqrt{3}i{)}^{\frac{1}{4}}& ={16}^{\frac{1}{4}}[\cos \left({\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}+2k\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}+2k\pi }{4}}\right)]\\ & =2[\cos ({\displaystyle \frac{1}{3}}\pi +{\displaystyle \frac{1}{2}}k\pi )+i\sin ({\displaystyle \frac{1}{3}}\pi +{\displaystyle \frac{1}{2}}k\pi )].\end{array}$$Untuk $k=0$, kita dapatkan
$$(-8-8\sqrt{3}i{)}^{\frac{1}{4}}=2\left(\text{cis}{\displaystyle \frac{1}{3}}\pi \right)=1+\sqrt{3}i.$$Untuk $k=1$, kita dapatkan
$$(-8-8\sqrt{3}i{)}^{\frac{1}{4}}=2\left(\text{cis}{\displaystyle \frac{5}{6}}\pi \right)=-\sqrt{3}+i.$$Untuk $k=2$, kita dapatkan
$$(-8-8\sqrt{3}i{)}^{\frac{1}{4}}=2\left(\text{cis}{\displaystyle \frac{4}{3}}\pi \right)=-1-\sqrt{3}i.$$Untuk $k=3$, kita dapatkan
$$(-8-8\sqrt{3}i{)}^{\frac{1}{4}}=2\left(\text{cis}{\displaystyle \frac{11}{6}}\pi \right)=\sqrt{3}-i.$$Catatan: $\text{cis}\theta =\cos \theta +i\sin \theta .$

Faktorkan ruas kiri sebagai berikut.
$(z-2)(z-1{)}^2(z^2+2z+2)=0$
Diperoleh
$\begin{array}{rl}{z}_1& =2\vee z_2=1\\ \vee z_3& =-1+i\vee z_4=-1-i\end{array}$
yang merupakan akar penyelesaian dari persamaan yang diberikan.

Ingat: $\boxed{{\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =\text{cis}\theta =e^{i\theta }}}$
Tinjau ekspresi $(i-1{)}^{49}.$
Ubah dalam bentuk polar sebagai berikut.
$r=\sqrt{(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{2}$
$\arctan {\displaystyle \frac{1}{-1}}=\arctan (-1)={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$ (kuadran II)
Jadi, dapat ditulis
$$\begin{array}{rl}(i-1{)}^{49}& =(\sqrt{2}{)}^{49}{(\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+i\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{4}})}^{49}\\ & =(\sqrt{2}{)}^{49}(e^{\frac{3\pi }{4}}{)}^{49}.\end{array}$$Diperoleh
$\begin{array}{rl}& (i-1{)}^{49}{(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{40}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{40}})}^{10}\\ & =({\sqrt{2}}^{49})(e^{\frac{3\pi }{4}}{)}^{49}(e^{\frac{\pi }{40}}{)}^{10}\\ & =(\sqrt{2}{)}^{49}(e^{\frac{148i\pi }{4}})\\ & =(\sqrt{2}{)}^{49}(\cos \pi +148i\sin \pi )\\ & =\boxed{{\displaystyle -(\sqrt{2}{)}^{49}}}\end{array}$

Kalikan persamaan tersebut dengan $z$ sehingga diperoleh
$2z-1=\bar{z}z=|z{|}^2$
atau dapat ditulis
$2z=|z{|}^2+1.$
Perhatikan bahwa ruas kanan persamaan di atas adalah bilangan real sehingga ruas kirinya haruslah juga bilangan real, $z\in \mathbb{R}$. Oleh karena itu, kita bisa menghilangkan tanda mutlaknya menjadi
$2z=z^2+1\Rightarrow (z-1{)}^2=0$.
Jadi, solusi satu-satunya dari persamaan di atas adalah $z=1$.
(Terbukti) $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fc.svg">}$

Karena kedua ruas pada pertidaksamaan 1 bernilai positif, maka kita boleh menguadratkannya sehingga diperoleh
$$\begin{array}{rl}& |z-1{|}^2+|z+1{|}^2+2|z-1||z+1|\le 8\\ & (z-1)(\bar{z}-1)+(z+1)(\bar{z}+1)+2|(z-1)(z+1)|\le 8\\ & |z{|}^2-z-\bar{z}+1+|z{|}^2+z+\bar{z}+1+2|z^2-1|\le 8\\ & 2|z{|}^2+2+2|z^2-1|\le 8\\ & |z{|}^2+|z^2-1|\le 3.\end{array}$$Kita akan membuktikan bahwa pertidaksamaan terakhir itu bernilai benar.
Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}|z{|}^2+|z^2+(-1)|& \le |z^2|+|z^2|+|-1|\\ & =|z{|}^2+|z{|}^2+1.\end{array}$$Perhatikan juga bahwa $|z^2|=|zz|=|z||z|=|z{|}^2.$
Karena pada hipotesisnya diberikan $|z|\le 1$, yang mengimplikasikan $|z{|}^2\le 1$, maka
$|z{|}^2+|z{|}^2+1\le 1+1+1=3$
dan dapat ditulis
$|z{|}^2+|z^2-1|\le 3.$
(Terbukti) $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fc.svg">}$ 

Misalkan $z=a+bi$, berarti kita peroleh
$$\begin{array}{rl}|z|& =\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2}\\ & \Rightarrow a^2+b^2=2\end{array}$$dan juga
$$\tan {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}=-1={\displaystyle \frac{b}{a}}\Rightarrow b=-a.$$Diperoleh bahwa $$(a=-1\wedge b=1)\vee (a=1\wedge b=-1)$$Karena $z$ terletak di kuadran II, maka $z=-1+i$.

Faktorkan ruas kiri persamaan seperti berikut.
$$\begin{array}{rl}{z}^7+z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1& =0\\ z^6(z+1)+z^4(z+1)+z^2(z+1)+(z+1)& =0\\ (z^6+z^4+z^2+1)(z+1)& =0\\ (z^4(z^2+1)+(z^2+1))(z+1)& =0\\ (z^4+1)(z^2+1)(z+1)& =0\\ (z^2+i)(z^2-i)(z+i)(z-i)(z+1)& =0\end{array}$$Kita peroleh lima faktor di ruas kiri.
Kasus 1: $z+1=0$
Diperoleh $z=-1.$
Kasus 2: $z-i=0$
Diperoleh $z=i.$
Kasus 3: $z+i=0$
Diperoleh $z=-i.$
Kasus 4: $z^2-i=0$
Diperoleh
$$\begin{array}{rl}{z}^2& =i\\ z^2& =1\left(\text{cis}(2n\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\right)\\ z& ={\left(\text{cis}(2n\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\right)}^{\frac{1}{2}}\\ z& =\text{cis}{\displaystyle \frac{2n\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{2}}\end{array}$$Kasus 5: $z^2+i=0$
Diperoleh
$$\begin{array}{rl}{z}^2& =-i\\ z^2& =1\left(\text{cis}(2n\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\right)\\ z& ={\left(\text{cis}(2n\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\right)}^{\frac{1}{2}}\\ z& =\text{cis}{\displaystyle \frac{2n\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{2}}\end{array}$$Jadi, ada $5$ solusi dari persamaan tersebut, yaitu sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}{z}_1& =-1\\ z_2& =i\\ z_3& =-i\\ z_4& =\text{cis}{\displaystyle \frac{2n\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{2}}\\ z_5& =\text{cis}{\displaystyle \frac{2n\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{2}}\end{array}$$