Menurut definisi himpunan, himpunan adalah kumpulan objek-objek berbeda yang terdefinisi dengan jelas. Ada kata “berbeda” yang ditekankan di kalimat tersebut. Namun, pada beberapa situasi tertentu, anggota (elemen) himpunan tidak seluruhnya berbeda, misalnya pada beberapa kasus berikut.
- Nama siswa pada suatu sekolah, karena mungkin ada lebih dari satu siswa dengan nama yang sama.
- Bilangan yang terlibat dalam faktorisasi prima dari $100.$ Perhatikan bahwa $100 = 2^2 \times 5^2$ sehingga bila dinyatakan dalam himpunan, $2$ dan $5$ masing-masing dapat ditulis sebanyak dua kali.
Baca: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Tingkat SMP/Sederajat)
Himpunan yang anggotanya boleh berulang (tidak harus berbeda) atau boleh muncul lebih dari sekali disebut sebagai himpunan ganda (multiset). Contohnya adalah $\{1, 1, 2, 2, 4\},$ $\{a, b, b, c\},$ dan $$\{\text{Kevin}, \text{Stevanni}, \text{Kevin}, \text{Sanjaya}\}.$$Perhatikan bahwa $\{1, 1, 2, 2, 4\} \neq \{1, 2, 4\}.$ Pada himpunan ganda, urutan penulisan anggota juga tidak perlu dihiraukan. Jadi, $\{1, 1, 2, 2, 4\} = \{1, 2, 4, 2, 1\}.$
Multiplisitas
Terminologi pertama dari konsep himpunan ganda adalah multiplisitas (multiplicity). Multiplisitas dari suatu anggota himpunan ganda $A$ menyatakan banyaknya kemunculan anggota tersebut, dinotasikan dengan $\mathcal{V}_A(\color{red}{\text{elemen}}).$ Sebagai contoh: Jika $A = \{1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4\},$ maka:
- multiplisitas anggota $1$ adalah $2,$ dinotasikan $\mathcal{V}_A(1) = 2,$
- multiplisitas anggota $2$ adalah $1,$ dinotasikan $\mathcal{V}_A(2) = 1,$
- multiplisitas anggota $3$ adalah $3,$ dinotasikan $\mathcal{V}_A(3) = 3,$
- multiplisitas anggota $4$ adalah $2,$ dinotasikan $\mathcal{V}_A(4) = 2.$
Jika multiplisitas bernilai $0,$ itu artinya anggota tersebut tidak muncul sama sekali pada himpunan gandanya. Cara menyatakan himpunan ganda biasanya adalah dengan menggunakan multiplisitasnya, yaitu $$A = \{2 \cdot 1, 1 \cdot 2, 3 \cdot 3, 2 \cdot 4\}.$$Notasi titik seperti itu identik dengan makna perkalian sebagai penjumlahan berulang, misalnya $2 \times 4 = 4 + 4$ (4 muncul sebanyak 2 kali). Namun, ada juga literatur lain yang menggunakan tanda titik dua seperti berikut.
$$A = \{1 : 2, 2 : 1, 3 : 3, 4 : 2\}.$$Notasi $1 : 2$ menyatakan bahwa $1$ muncul sebanyak $2$ kali pada himpunan ganda tersebut.
Bisa kita katakan bahwa himpunan (set) merupakan kasus khusus dari himpunan ganda, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap anggotanya adalah $0$ atau $1.$ Dua himpunan ganda $A$ dan $B$ dikatakan sama, yakni $A=B,$ jika setiap anggotanya memiliki multiplisitas yang sama.
Kardinalitas
Terminologi kedua adalah kardinalitas (cardinality). Kardinalitas pada himpunan ganda menyatakan banyaknya anggota himpunan ganda tersebut dengan mengasumsikan semua anggotanya berbeda. Bisa juga dikatakan bahwa kardinalitas adalah penjumlahan dari semua multiplisitas anggota himpunan. Kardinalitas biasanya disimbolkan dengan menggunakan tanda garis tegak $|\cdots|.$ Sebagai contoh, pada himpunan ganda $A = \{a, a, b, b, b, c\},$ multiplisitas $a, b,$ dan $c$ berturut-turut adalah $2, 3,$ dan $1$ sehingga kardinalitas himpunan ganda ini adalah $|A| = 2+3+1=6.$
Operasi pada Himpunan Ganda
Operasi pada himpunan ganda sedikit berbeda dengan operasi pada himpunan biasa, yaitu sebagai berikut.
Misalkan $P$ dan $Q$ adalah himpunan ganda.
- $P \cup Q$ adalah himpunan ganda yang multiplisitas anggotanya sama dengan multiplisitas maksimum anggota tersebut pada himpunan $P$ dan $Q.$ Misalnya:
$$\begin{aligned} P & = \{a, a, a, b, c, c, d\} \\ Q & = \{a, a, b, b, c, d, d\} \\ P \cup Q & = \{a, a, a, b, b, c, c, d, d\} \end{aligned}$$ - $P \cap Q$ adalah himpunan ganda yang multiplisitas anggotanya sama dengan multiplisitas minimum anggota tersebut pada himpunan $P$ dan $Q.$ Misalnya:
$$\begin{aligned} P & = \{a, a, a, b, c, c, d\} \\ Q & = \{a, a, b, b, c, d, d\} \\ P \cap Q & = \{a, a, b, c, d\} \end{aligned}$$ - $P-Q$ adalah himpunan ganda yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas anggota tersebut pada $P$ dikurangi multiplisitasnya pada $Q$ jika selisihnya positif ATAU $0$ jika selisihnya nol atau negatif. Misalnya:
$$\begin{aligned} P & = \{a, a, a, b, c, c, d\} \\ Q & = \{a, a, b, b, c, d, d\} \\ P-Q & = \{a, c\} \\ Q-P & = \{b, d\} \end{aligned}$$ - $P+Q,$ yang didefinisikan sebagai jumlah dari dua himpunan ganda, adalah himpunan ganda yang multiplisitas anggotanya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas anggota tersebut pada $P$ dan $Q.$ Misalnya:
$$\begin{aligned} P & = \{a, a, a, b, c, c, d\} \\ Q & = \{a, a, b, b, c, d, d\} \\ P+Q & = \{a, a, a, a, a, b, b, b, c, c, c, d, d, d\} \end{aligned}$$ - $P \oplus Q,$ yang didefinisikan sebagai operasi beda setangkup (symmetric difference), adalah himpunan ganda yang anggotanya ada pada $P$ atau $Q,$ tetapi tidak pada keduanya. Definisi lain terkait operasi beda setangkup yang memiliki makna serupa adalah membuat multiplisitas setiap anggota di dalam $P \oplus Q$ sama dengan nilai mutlak selisih antara multiplisitas anggota tersebut di dalam $P$ dan di dalam $Q.$ Beberapa literatur menggunakan notasi $\Delta$ untuk menyatakan operasi beda setangkup. Misalnya:
$$\begin{aligned} P & = \{a, a, a, b, c, c, d\} \\ Q & = \{a, a, b, b, c, d, d\} \\ P \oplus Q & = \{a, b, c, d\} \end{aligned}$$ - Komplemen dari himpunan ganda $P$, dinotasikan $P^C,$ sama dengan $S-P.$ Dalam kasus ini, $S$ menyatakan himpunan semesta. Misalnya:
$$\begin{aligned} S & = \{a, a, a, b, b, c, c, c, d, d\} \\ P & = \{a, a, a, b, c, c, d\} \\ Q & = \{a, a, b, b, c, d, d\} \\ P^C & = \{b, c, d\} \\ Q^C & = \{a, c, c\} \end{aligned}$$
Himpunan Ganda Bagian
Suatu himpunan ganda $A$ disebut sebagai himpunan ganda bagian (multisubset) dari $B$, dinotasikan $A \subseteq B,$ jika dan hanya jika setiap anggota $A$ memiliki multiplisitas yang nilainya kurang dari atau sama dengan multiplisitas anggota yang sama pada $B.$ Contohnya: $\{1, 2, 2\} \subseteq \{1, 1, 2, 2, 3, 3\}.$ Lebih lanjut, $A$ disebut sebagai himpunan ganda bagian sejati (proper multisubset) dari $B,$ dinotasikan $A \subset B,$ jika dan hanya jika $A \subseteq B$ dan $A \neq B.$ Contohnya: $$\{1, 2, 2, 3, 3\} \subseteq \{1, 2, 2, 3, 3\},$$ tetapi $$\{1, 2, 2, 3, 3\} \not\subset \{1, 2, 2, 3, 3\}.$$
Berikut ini telah disediakan beberapa soal dan pembahasan mengenai himpunan ganda yang disusun dari yang tingkat kesulitannya sederhana sampai kompleks sesuai urutan soalnya. Semoga dapat dijadika referensi untuk meningkatkan pemahaman.
Today Quote
Soal Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Diberikan himpunan ganda $Z = \{1, 0, 0, 3, 4, 4, 4, 1\}.$ Anggota $Z$ yang memiliki multiplisitas tertinggi adalah $\cdots \cdot$
A. $0$ C. $2$ E. $4$
B. $1$ D. $3$
Multiplisitas pada himpunan ganda menyatakan banyaknya kemunculan anggota himpunan tersebut. Diketahui $Z = \{1, 0, 0, 3, 4, 4, 4, 1\}.$ Multiplisitasnya adalah sebagai berikut.
- $0$ muncul sebanyak dua kali, ditulis $\mathcal{V}_Z(0) = 2.$
- $1$ muncul sebanyak dua kali, ditulis $\mathcal{V}_Z(1) = 2.$
- $2$ tidak muncul sama sekali, ditulis $\mathcal{V}_Z(2) = 0.$
- $3$ muncul sebanyak satu kali, ditulis $\mathcal{V}_Z(3) = 1.$
- $4$ muncul sebanyak tiga kali, ditulis $\boxed{\mathcal{V}_Z(4) = 3}.$
Jadi, anggota $Z$ yang memiliki multiplisitas tertinggi adalah $\boxed{4}$
(Jawaban E)
Baca: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Soal Cerita) Tingkat Lanjut
Soal Nomor 2
Pernyataan berikut yang tidak sesuai dengan himpunan ganda $Y = \{1, a, 2, 2, b, b, b, c, c, 3\}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\mathcal{V}_Y(b) = 3$
B. $\mathcal{V}_Y(c) = 2$
C. $\mathcal{V}_Y(4) = 1$
D. $|Y| = 10$
E. $1, 2, 3 \in Y$
Diketahui $Y = \{1, a, 2, 2, b, b, b, c, c, 3\}.$
Cek opsi A:
Perhatikan bahwa $b$ muncul sebanyak 3 kali sehingga multiplisitasnya adalah $\mathcal{V}_Y(b) = 3.$
Cek opsi B:
Perhatikan bahwa $c$ muncul sebanyak 2 kali sehingga multiplisitasnya adalah $\mathcal{V}_Y(c) = 2.$
Cek opsi C:
Perhatikan bahwa $4$ tidak muncul sama sekali sehingga multiplisitasnya adalah $\mathcal{V}_Y(4) = 0.$ Jadi, pernyataan pada opsi C-lah yang tidak sesuai.
Cek opsi D:
Perhatikan bahwa $Y$ beranggotakan $10$ elemen sehingga kardinalitasnya adalah $|Y| = 10.$
Cek opsi E:
Perhatikan bahwa $1, 2, 3, a, b, c$ semuanya merupakan anggota $Y.$ Jadi, pernyataan $1, 2, 3 \in Y$ adalah pernyataan yang sesuai.
(Jawaban C)
Soal Nomor 3
Diberikan kriteria suatu himpunan ganda sebagai berikut.
- Memiliki $4$ anggota berbeda.
- Multiplisitas $3$ dari $4$ anggota himpunan itu adalah $2.$
- Kardinalitas himpunan tersebut adalah $9.$
Contoh himpunan ganda yang memenuhi seluruh kriteria di atas adalah $\cdots \cdot$
A. $A = \{a, a, b, b, c, c, d, d, d\}$
B. $B = \{a, a, b, c, c, d, d\}$
C. $C = \{a, b, c, d, d, d, d, d, d\}$
D. $D = \{a, a, a, b, b, b, c, c, c\}$
E. $E = \{a, a, b, b, c, c, d, d\}$
Cek opsi A:
Himpunan ganda $A$ memiliki $4$ anggota berbeda, yaitu $a, b, c,$ dan $d.$ Multiplisitas $a, b,$ dan $c$ adalah $2.$ $A$ memiliki $9$ anggota sehingga kardinalitasnya bernilai $9.$ Jadi, $A$ memenuhi seluruh kriteria yang diberikan.
Cek opsi B:
Himpunan ganda $B$ tidak memenuhi kriteria ketiga karena kardinalitasnya adalah $|B| = 7.$
Cek opsi C:
Himpunan ganda $C$ tidak memenuhi kriteria kedua karena tidak ditemukan $3$ anggota berbeda dari himpunan tersebut yang bermultiplisitas $2.$
Cek opsi D:
Himpunan ganda $D$ tidak memenuhi kriteria pertama karena hanya memiliki $3$ anggota berbeda, yakni $a, b,$ dan $c.$ Lebih lanjut, kriteria kedua juga tidak terpenuhi.
Cek opsi E:
Himpunan ganda $E$ tidak memenuhi kriteria ketiga karena kardinalitasnya adalah $|E| = 8.$
(Jawaban A)
Soal Nomor 4
Manakah dari hasil operasi himpunan berikut yang tidak benar jika diketahui $A = \{1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4 \}$ dan $B = \{1, 2, 3, 4, 4, 5\}?$
- $A \cap B = \{1, 2, 3, 4, 4\}$
- $A \cup B = \{1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5\}$
- $A-B = \{1, 2, 2, 3\}$
- $A+B = \{1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3,$ $4, 4, 4, 4, 5\}$
- $B-A = \{ \}$
Operasi himpunan ganda yang melibatkan $A$ dan $B$ berupa irisan, gabungan, selisih himpunan $A$ terhadap $B,$ dan penjumlahan kedua himpunan seperti yang ditunjukkan pada opsi A, B, C, dan D sudah benar.
Opsi E tidak benar karena seharusnya $B-A = \{5\}$ karena multiplisitas $5$ pada himpunan $B$ adalah $1,$ sedangkan multiplisitasnya pada $A$ adalah $0.$ Jadi, $5$ muncul $1-0 = 1$ kali.
(Jawaban E)
Soal Nomor 5
Suatu himpunan ganda dengan kardinalitas $8$ diiriskan dengan suatu himpunan ganda lain dengan kardinalitas $7.$ Kardinalitas terkecil yang mungkin dimiliki oleh hasil irisan kedua himpunan ganda tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $0$ C. $2$ E. $15$
B. $1$ D. $8$
Perlu diperhatikan definisi irisan:
$P \cap Q$ adalah himpunan ganda yang multiplisitas anggotanya sama dengan multiplisitas minimum anggota tersebut pada himpunan $P$ dan $Q.$
Asumsikan himpunan ganda pertama memiliki $8$ anggota yang berbeda-beda, sedangkan himpunan ganda kedua memiliki $7$ anggota yang berbeda-beda juga, dan tidak ada satu pun anggota kedua himpunan ganda ini yang sama sehingga himpunannya saling lepas. Jika demikian, maka hasil irisan kedua himpunan ini adalah $\emptyset$ (himpunan kosong) karena multiplisitas minimumnya $0.$ Sebagai ilustrasi:
$$\begin{aligned} P & = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \\ Q & = \{9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\} \\ P \cap Q & = \{ \} \end{aligned}$$Catatan: Himpunan ganda tidak mengharuskan ada anggota himpunannya yang bermultiplisitas lebih dari satu. Jika masing-masing anggota muncul sekali, tetap dikatakan sebagai himpunan ganda.
Jadi, kardinalitas terkecil yang mungkin dimiliki oleh hasil irisan kedua himpunan ganda tersebut adalah $\boxed{0}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 6
Manakah yang merupakan himpunan bagian dari $\{x, x, y, y, z, z, z\}$?
A. $\{x, x, x, y, z\}$
B. $\{x, y, y, y, z, z\}$
C. $\{x, y, z, z, z\}$
D. $\{x, x, y, y, z, z, z, z\}$
E. $\{x, x, y, y, y, z, z\}$
Misalkan $A = \{x, x, y, y, z, z, z\}$ dengan $\mathcal{V}_A(x) = 2,$ $\mathcal{V}_A(y) = 2,$ dan $\mathcal{V}_A(z) = 3.$
Cek opsi A:
Perhatikan bahwa pada himpunan $\{x, x, x, y, z\},$ multiplisitas $x$ adalah $3$ sehingga melebihi multiplisitas $x$ pada $A.$ Jadi, himpunan tersebut bukan termasuk himpunan bagian.
Cek opsi B:
Perhatikan bahwa pada himpunan $\{x, y, y, y, z, z\},$ multiplisitas $y$ adalah $3$ sehingga melebihi multiplisitas $y$ pada $A.$ Jadi, himpunan tersebut bukan termasuk himpunan bagian.
Cek opsi C:
Perhatikan bahwa pada himpunan $\{x, y, z, z, z\},$ multiplisitas setiap anggotanya kurang dari atau sama dengan multiplisitas anggota pada $A$ sehingga termasuk himpunan bagian.
Cek opsi D:
Perhatikan bahwa pada himpunan $\{x, x, y, y, z, z, z, z\},$ multiplisitas $z$ adalah $4$ sehingga melebihi multiplisitas $z$ pada $A.$ Jadi, himpunan tersebut bukan termasuk himpunan bagian.
Cek opsi E:
Perhatikan bahwa pada himpunan $\{x, x, y, y, y, z, z\},$ multiplisitas $y$ adalah $3$ sehingga melebihi multiplisitas $y$ pada $A.$ Jadi, himpunan tersebut bukan termasuk himpunan bagian.
(Jawaban C)
Soal Nomor 7
Banyaknya himpunan bagian ganda tak kosong dari $H = \{1, 01, 01, 01, 001, 001, 0001\}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $256$ D. $127$
B. $255$ E. $63$
C. $128$
Himpunan bagian tak kosong dari suatu himpunan yang beranggotakan $n$ elemen adalah $2^n-1.$ Dengan prinsip yang sama, anggap semua anggota pada himpunan ganda berbeda semuanya. Dalam kasus ini, $H$ beranggotakan $7$ elemen sehingga banyaknya himpunan ganda bagian tak kosong darinya adalah $\boxed{2^7-1 = 127}$
(Jawaban D)
Baca: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Soal Non-cerita)
Soal Nomor 8
Diketahui dua himpunan ganda
$$\begin{aligned} A & = \{0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3\} \\ B & = \{0, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3\} \end{aligned}$$Hasil dari $(A \oplus B) \cap (A \cup B)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{0, 1, 2, 3\}$
B. $\{0, 0, 1, 3\}$
C. $\{0, 0, 1, 2, 3\}$
D. $\{1, 1, 2, 3\}$
E. $\{1, 2, 2, 3\}$
Hasil operasi beda setangkup dari himpunan $A$ dan $B$ adalah himpunan ganda yang anggotanya ada di $A$ atau $B,$ tetapi tidak pada keduanya (dengan menganggap setiap anggotanya berbeda semua), yakni
$$A \oplus B = \{0, 0, 1, 2, 3\}.$$Hasil gabungan himpunan $A$ dan $B$ adalah himpunan ganda yang anggotanya bermultiplisitas maksimum pada $A$ dan $B,$ yakni
$$A \cup B = \{0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3\}.$$Dengan demikian, kita peroleh hasil irisan berikut.
$$\begin{aligned} & (A \oplus B) \cap (A \cup B) \\ & = \{\color{red}{0}, \color{red}{0}, \color{red}{1}, \color{red}{2}, \color{red}{3}\} \cap \{\color{red}{0}, \color{red}{0}, 0, \color{red}{1}, 1, 1, \color{red}{2}, 2, \color{red}{3}, 3, 3, 3\} \\ & = \{0, 0, 1, 2, 3\} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $(A \oplus B) \cap (A \cup B)$ adalah $\boxed{\{0, 0, 1, 2, 3\}}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 9
Diketahui empat himpunan ganda berikut.
$$\begin{aligned} M & = \{2, 2, 2, 3\} \\ A & = \{2, 2, 3, 3\} \\ T & = \{2, 3, 3, 3\} \\ H & = \{3, 3, 3, 3\} \end{aligned}$$Kardinalitas dari $M \cup A \cup T \cup H$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$ C. $5$ E. $12$
B. $4$ D. $7$
Perhatikan bahwa dari empat himpunan ganda tersebut, $2$ muncul paling banyak $3$ kali, sedangkan $3$ muncul paling banyak $4$ kali. Oleh karena itu, gabungan dari keempat himpunan itu dinyatakan oleh
$$M \cup A \cup T \cup H = \{2, 2, 2, 3, 3, 3, 3\}.$$Karena beranggotakan $7$ elemen, maka kardinalitasnya adalah $\boxed{|M \cup A \cup T \cup H| = 7}$
(Jawaban D)
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Diketahui empat himpunan ganda berikut.
$$\begin{aligned} H & = \{0, 01, 001, 0001, 00001, 00001\} \\ E & = \{0, 0, 0, 01, 01, 01\} \\ R & = \{01, 01, 001, 0001, 0001\} \\ O & = \{0, 01, 01, 0001, 00001\} \end{aligned}$$Notasi $\mathcal{V}_A(x)$ menyatakan multiplisitas $x$ pada himpunan $A.$ Tentukan:
a. $\mathcal{V}_H(01)$
b. $\mathcal{V}_E(0)$
c. $\mathcal{V}_R(0001)$
d. $\mathcal{V}_O(00001)$
Jawaban a)
Notasi $\mathcal{V}_H(01)$ menyatakan multiplisitas $01$ pada himpunan $H.$ Diketahui bahwa $H = \{0, \color{red}{01}, 001, 0001, 00001, 00001\}$ dan terlihat bahwa $01$ muncul satu kali sehingga $\mathcal{V}_H(01) = 1.$
Jawaban b)
Notasi $\mathcal{V}_E(0)$ menyatakan multiplisitas $0$ pada himpunan $E.$ Diketahui bahwa $E = \{\color{red}{0}, \color{red}{0}, \color{red}{0}, 01, 01, 01\}$ dan terlihat bahwa $0$ muncul tiga kali sehingga $\mathcal{V}_E(0) = 3.$
Jawaban c)
Notasi $\mathcal{V}_R(0001)$ menyatakan multiplisitas $0001$ pada himpunan $R.$ Diketahui bahwa $R = \{01, 01, 001, \color{red}{0001}, \color{red}{0001}\}$ dan terlihat bahwa $0001$ muncul dua kali sehingga $\mathcal{V}_R(0001) = 2.$
Jawaban d)
Notasi $\mathcal{V}_O(00001)$ menyatakan multiplisitas $00001$ pada himpunan $O.$ Diketahui bahwa $O = \{0, 01, 01, 0001, \color{red}{00001}\}$ dan terlihat bahwa $00001$ muncul satu kali sehingga $\mathcal{V}_O(00001) = 1.$
Soal Nomor 2
Diketahui himpunan ganda $P = \{0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3\}$ dan $Q = \{0, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4\}.$ Tentukan hasil operasi himpunan berikut.
a. $P \cap Q$
b. $P \cup Q$
c. $P-Q$
d. $Q-P$
e. $P+Q$
f. $P \oplus Q$
Diketahui:
$$\begin{aligned} P & = \{0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3\} \\ Q & = \{0, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4\} \end{aligned}$$Jawaban a)
Irisan dari $P$ dan $Q$ dinyatakan oleh
$$P \cap Q = \{0, 1, 2, 3\}.$$Jawaban b)
Gabungan dari $P$ dan $Q$ dinyatakan oleh
$$P \cup Q = \{0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4\}.$$Jawaban c)
Selisih $P$ terhadap $Q$ dinyatakan oleh
$$P-Q = \{0, 1, 1, 1, 2\}.$$Jawaban d)
Selisih $Q$ terhadap $P$ dinyatakan oleh
$$Q-P = \{3, 3, 3, 4, 4\}.$$Jawaban e)
Jumlah dari $P$ dan $Q$ dinyatakan oleh
$$P+Q = \{0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4\}.$$Jawaban f)
Beda setangkup dari $P$ dan $Q$ dinyatakan oleh
$$P \oplus Q = \{0, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4\}.$$
Soal Nomor 3
Diketahui $4$ himpunan ganda berikut dengan $S$ sebagai himpunan semesta.
$$\begin{aligned} S & = \{0, 0, 3, 6, 6, 9, 9, 9, 12\} \\ A & = \{0, 3, 6, 6, 9\} \\ K & = \{0, 0, 6, 6, 9, 9 \\ U & = \{0, 3, 9, 9, 12\} \end{aligned}$$Tentukan hasil operasi himpunan berikut.
a. $A^C \cup K^C \cup U^C$
b. $(A \cup K \cup U)^C$
c. $A^C \cap K^C \cap U^C$
d. $(A \cap K \cap U)^C$
Perhatikan bahwa notasi $A^C$ menyatakan komplemen dari himpunan $A,$ artinya anggota himpunan semesta yang bukan menjadi anggota $A.$
Oleh karena itu, kita peroleh bahwa
$$\begin{aligned} A^C & = \{0, 9, 9, 12\} \\ K^C & = \{3, 9, 12\} \\ U^C & = \{0, 6, 6, 9\}. \end{aligned}$$Jawaban a)
$$\begin{aligned} & A^C \cup K^C \cup U^C \\ & = \{0, 9, 9, 12\} \cup \{3, 9, 12\} \cup \{0, 6, 6, 9\} \\ & = \{0, 3, 6, 6, 9, 9, 12\} \end{aligned}$$Jawaban b)
$$\begin{aligned} & (A \cup K \cup U)^C \\ & = (\{0, 3, 6, 6, 9\} \cup \{0, 0, 6, 6, 9, 9\} \cup \{0, 3, 9, 9, 12\})^C \\ & = \{0, 0, 3, 6, 6, 9, 9, 12\}^C \\ & = \{9\} \end{aligned}$$Jawaban c)
$$\begin{aligned} & A^C \cap K^C \cap U^C \\ & = \{0, 9, 9, 12\} \cap \{3, 9, 12\} \cap \{0, 6, 6, 9\} \\ & = \{9\} \end{aligned}$$Jawaban d)
$$\begin{aligned} & (A \cap K \cap U)^C \\ & = (\{0, 3, 6, 6, 9\} \cap \{0, 0, 6, 6, 9, 9\} \cap \{0, 3, 9, 9, 12\})^C \\ & = \{0, 9\}^C \\ & = \{0, 3, 6, 6, 9, 9, 12\} \end{aligned}$$