Ogif Archives — Mathcyber1997

Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang statistika (tingkat SMA/Sederajat) yang mencakup perhitungan ukuran pemusatan data dan ukuran penyebaran data (data tunggal dan berkelompok). Soal-soal berikut dikumpulkan dari berbagai sumber, kemudian penulis rangkum pada pos ini. Setiap soal juga disertai dengan pembahasan yang super lengkap, disajikan secara informatif dan sistematis.

Jika Anda ingin mencari soal latihan yang lebih banyak, Anda dapat mengakses ke folder soal mathcyber1997.com dengan mendaftar di bit.ly/Akses_Soal. Folder soal tersebut berisi soal UTBK-SNBT, soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi (termasuk STAN), soal kompetensi matematika (termasuk OSN dan ON MIPA), dan masih banyak lagi.

Today Quote

Don’t stop when you’re tired. Stop when you are done.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Data nilai siswa hasil ulangan matematika disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut.
$\begin{array}{cc} Nilai & Frekuensi \\ 20 - 29 & 3 \\ 30 - 39 & 7 \\ 40 - 49 & 8 \\ 50 - 59 & 12 \\ 60 - 69 & 9 \\ 70 - 79 & 6 \\ 80 - 89 & 5 \end{array}$
Nilai modus dari data pada tabel di atas adalah $\dots \cdot$
A. $49, 5 - \frac{40}{7}$
B. $49, 5 - \frac{36}{7}$
C. $49, 5 + \frac{36}{7}$
D. $49, 5 + \frac{40}{7}$
E. $49, 5 + \frac{48}{7}$

Pembahasan

Kelas dengan frekuensi tertinggi adalah kelas dengan interval $50 - 59.$
Diketahui:
$\begin{aligned} L_{0} & = 50 - 0, 5 = 49, 5 \\ c & = 59 - 50 + 1 = 10 \\ d_{1} & = 12 - 8 = 4 \\ d_{2} & = 12 - 9 = 3 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} Mo & = L_{0} + c (\frac{d_{1}}{d_{1} + d_{2}}) \\ = 49, 5 + 10 (\frac{4}{4 + 3}) \\ = 49, 5 + \frac{40}{7} . \end{aligned}$
Jadi, modus data pada tabel di atas adalah $49, 5 + \frac{40}{7}$
(Jawaban D)

[collapse]

Jasa Les Privat (Daring)

Mengajarkan Matematika SD, SMP, dan SMA serta Dasar-Dasar LaTeXing. Jika berminat, hubungi melalui email shanedizzy6@gmail.com.

Soal Nomor 2

Tabel berikut menyajikan data berat badan 40 siswa.
$\begin{array}{cc} Berat Badan (kg) & Frekuensi \\ 40 - 45 & 5 \\ 46 - 51 & 7 \\ 52 - 57 & 9 \\ 58 - 63 & 12 \\ 64 - 69 & 7 \end{array}$
Nilai modus dari data pada tabel di atas adalah $\dots \cdot$
A. $57, 5 + \frac{27}{8}$
B. $57, 5 + \frac{18}{8}$
C. $57, 5 - \frac{15}{8}$
D. $57, 5 - \frac{18}{8}$
E. $57, 5 + \frac{20}{8}$

Pembahasan

Kelas dengan frekuensi tertinggi adalah kelas dengan interval $58 - 63$ .
Diketahui:
$\begin{aligned} L_{0} & = 58 - 0, 5 = 57, 5 \\ c & = 63 - 58 + 1 = 6 \\ d_{1} & = 12 - 9 = 3 \\ d_{2} & = 12 - 7 = 5 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} Mo & = L_{0} + c (\frac{d_{1}}{d_{1} + d_{2}}) \\ = 57, 5 + 6 (\frac{3}{3 + 5}) \\ = 57, 5 + \frac{18}{8} . \end{aligned}$
Jadi, modus data pada tabel di atas adalah $57, 5 + \frac{18}{8}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3

Cermati tabel distribusi frekuensi berikut.
$\begin{array}{cc} Nilai & f \\ 7 - 12 & 5 \\ 13 - 18 & 6 \\ 19 - 24 & 10 \\ 25 - 30 & 2 \\ 31 - 36 & 5 \end{array}$
Modus data tersebut adalah $\dots \cdot$
A. $19, 50$ D. $20, 50$
B. $19, 75$ E. $22, 25$
C. $20, 25$

Pembahasan

$\begin{array}{cc} Nilai & f \\ 7 - 12 & 5 \\ 13 - 18 & 6 \\ 19 - 24 & 10 \\ 25 - 30 & 2 \\ 31 - 36 & 5 \end{array}$
Dari tabel distribusi di atas, diketahui kelas modusnya pada kelas dengan rentang $19 - 24$ karena frekuensinya tertinggi.
Tepi bawah kelas modus $L_{0} = 19 - 0, 5 = 18, 5.$
Lebar kelas $c = 6.$
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya $d_{1} = 10 - 6 = 4.$
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas setelahnya $d_{2} = 10 - 2 = 8.$
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} Mo & = L_{0} + c (\frac{d_{1}}{d_{1} + d_{2}}) \\ = 18, 5 + 6 (\frac{4}{4 + 8}) \\ = 18, 5 + 2 \\ = 20, 5. \end{aligned}$
Jadi, modus dari data tersebut adalah $20, 50$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4

Modus dari data pada tabel di bawah ini adalah $\dots \cdot$
$\begin{array}{cc} Nilai & Frekuensi \\ 1 - 10 & 10 \\ 11 - 20 & 12 \\ 21 - 30 & 18 \\ 31 - 40 & 30 \\ 41 - 50 & 16 \\ 51 - 60 & 14 \\ Jumlah & 100 \end{array}$
A. $30, 1$ D. $37, 2$
B. $32, 1$ E. $41, 0$
C. $35, 1$

Pembahasan

$\begin{array}{cc} Nilai & Frekuensi \\ 1 - 10 & 10 \\ 11 - 20 & 12 \\ 21 - 30 & 18 \\ 31 - 40 & 30 \\ 41 - 50 & 16 \\ 51 - 60 & 14 \\ Jumlah & 100 \end{array}$
Dari tabel distribusi di atas, diketahui kelas modusnya pada kelas dengan rentang $31 - 40$ karena frekuensinya tertinggi.
Tepi bawah kelas modus $L_{0} = 31 - 0, 5 = 30, 5.$
Lebar kelas $c = 10.$
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya $d_{1} = 30 - 18 = 12.$
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas setelahnya $d_{2} = 30 - 16 = 14.$
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} Mo & = L_{0} + c (\frac{d_{1}}{d_{1} + d_{2}}) \\ = 30, 5 + 10 (\frac{12}{12 + 14}) \\ = 30, 5 + \frac{60}{13} \\ = 30, 5 + 4, 61538 \dots \approx 35, 1. \end{aligned}$
Jadi, modus dari data tersebut adalah $35, 1$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Pengantar Dasar Statistika

Soal Nomor 5

Tabel distribusi frekuensi berikut merupakan data penjualan beras di suatu toko.
$\begin{array}{cc} Penjualan Beras (Ton) & Frekuensi \\ 21 - 25 & 3 \\ 26 - 30 & 5 \\ 31 - 35 & 15 \\ 36 - 40 & 8 \\ 41 - 45 & 6 \\ 46 - 50 & 3 \end{array}$
Modus dari data tersebut adalah $\dots \cdot$
A. $32, 44$ ton
B. $32, 66$ ton
C. $33, 44$ ton
D. $33, 66$ ton
E. $34, 44$ ton

Pembahasan

$\begin{array}{cc} Penjualan Beras (Ton) & Frekuensi \\ 21 - 25 & 3 \\ 26 - 30 & 5 \\ 31 - 35 & 15 \\ 36 - 40 & 8 \\ 41 - 45 & 6 \\ 46 - 50 & 3 \end{array}$ Dari tabel distribusi di atas, diketahui kelas modusnya pada kelas dengan rentang $31 - 35$ karena frekuensinya tertinggi.
Tepi bawah kelas modus $L_{0} = 31 - 0, 5 = 30, 5.$
Lebar kelas $c = 5.$
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya $d_{1} = 15 - 5 = 10.$
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas setelahnya $d_{2} = 15 - 8 = 7.$
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} Mo & = L_{0} + c (\frac{d_{1}}{d_{1} + d_{2}}) \\ = 30, 5 + 5 (\frac{10}{10 + 7}) \\ = 30, 5 + \frac{50}{17} \\ = 30, 5 + 2, 941176 \dots \approx 33, 44. \end{aligned}$
Jadi, modus dari data tersebut adalah $33, 44 ton$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6

Modus dari data pada histogram berikut adalah $\dots \cdot$
A. $13, 05$ D. $14, 05$
B. $13, 50$ E. $14, 25$
C. $13, 75$

Pembahasan

Dari histogram di atas, tampak bahwa kelas modus adalah kelas dengan interval $11 - 15$ , karena frekuensinya tertinggi.
Diketahui:
$\begin{aligned} L_{0} & = 10, 5 \\ c & = 15 - 11 + 1 = 5 \\ d_{1} & = 14 - 8 = 6 \\ d_{2} & = 14 - 12 = 2 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} Mo & = L_{0} + c \cdot \frac{d_{1}}{d_{1} + d_{2}} \\ = 10, 5 + 5 \cdot \frac{6}{6 + 2} \\ = 10, 5 + 3, 75 = 14, 25. \end{aligned}$
Jadi, modus dari data pada histogram itu adalah $14, 25$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 7

Median dari data pada histogram berikut adalah $\dots \cdot$

A. $20, 0$ D. $21, 5$
B. $20, 5$ E. $22, 5$
C. $21, 0$

Pembahasan

Ubah penyajian data pada histogram di atas menjadi bentuk tabel seperti di bawah (dilengkapi dengan kolom frekuensi kumulatif).
$\begin{array}{ccc} Nilai & Frekuensi & F_{k} \\ 3 - 7 & 4 & 4 \\ 8 - 12 & 8 & 12 \\ 13 - 17 & 8 & 20 \\ 18 - 22 & 10 & 30 \\ 23 - 27 & 12 & 42 \\ 28 - 32 & 6 & 48 \\ 33 - 37 & 4 & 52 \\ 38 - 42 & 2 & 54 \end{array}$
Kelas median (kuartil tengah) berada pada datum urutan ke: $\frac{1}{2} \times 54 = 27$ , yaitu pada kelas dengan interval $18 - 22.$
Diketahui:
$\begin{aligned} L_{0} & = 18 - 0, 5 = 17, 5 \\ c & = 22 - 18 + 1 = 5 \\ n & = 54 \\ F_{k_{3}} & = 20 \\ f_{m} & = 10 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} Median & = L_{0} + c (\frac{\frac{1}{2} \cdot n - F_{k_{3}}}{f_{m}}) \\ = 17, 5 + 5 (\frac{\frac{1}{2} \cdot 54 - 20}{10^{2}}) \\ = 17, 5 + \frac{27 - 20}{2} \\ = 17, 5 + 3, 5 = 21. \end{aligned}$ Jadi, nilai median dari data pada histogram di atas adalah $21$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8

Data ukuran panjang ikan gurame umur $2$ bulan disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut.
$\begin{array}{cc} Panjang (mm) & Frekuensi \\ 30 - 35 & 5 \\ 36 - 41 & 9 \\ 42 - 47 & 8 \\ 48 - 53 & 12 \\ 54 - 59 & 6 \end{array}$
Median dari data tersebut adalah $\dots \cdot$
A. $44, 25$ mm D. $46, 00$ mm
B. $45, 50$ mm E. $46, 50$ mm
C. $45, 75$ mm

Pembahasan

Lengkapi tabel di atas dengan menambahkan kolom frekuensi kumulatif.
$\begin{array}{ccc} Panjang (mm) & Frekuensi & F_{k} \\ 30 - 35 & 5 & 5 \\ 36 - 41 & 9 & 14 \\ 42 - 47 & 8 & 22 \\ 48 - 53 & 12 & 34 \\ 54 - 59 & 6 & 40 \\ Jumlah & 40 & - \end{array}$
Kelas median terletak di kelas yang memuat datum ke- $\frac{n}{2} = \frac{40}{2} = 20$ , yaitu pada kelas dengan rentang $42 - 47$ .
Tepi bawah kelas median $L_{0} = 42 - 0, 5 = 41, 5.$
Lebar kelas $c = 6.$
Frekuensi kumulatif sebelum kelas median $\sum F_{k} = 14.$
Frekuensi kelas median $f_{m} = 8.$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} Me & = L_{0} + c (\frac{\frac{n}{2} - \sum F_{k}}{f_{m}}) \\ = 41, 5 + 6 (\frac{\frac{40}{2} - 14}{8}) \\ = 41, 5 + 6 (\frac{6}{8}) \\ = 41, 5 + \frac{9}{2} \\ = 41, 5 + 4, 5 = 46. \end{aligned}$
Jadi, median dari data pada tabel di atas adalah $46, 00 mm$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9

Perhatikan histogram berikut ini.

Median dari data histogram di atas adalah $\dots \cdot$
A. $44, 7$ D. $46, 5$
B. $45, 2$ E. $46, 6$
C. $46, 4$

Pembahasan

Sajikan histogram di atas dalam bentuk tabel distribusi frekuensi berikut.
$\begin{array}{ccc} Nilai & Frekuensi & Frekuensi Kumulatif \\ 30 - 34 & 2 & 2 \\ 35 - 39 & 5 & 7 \\ 40 - 44 & 8 & 15 \\ 45 - 49 & 12 & 27 \\ 50 - 54 & 6 & 33 \\ 55 - 59 & 4 & 37 \\ 60 - 64 & 3 & 40 \\ Jumlah & 40 & - \end{array}$ Kelas median terletak di kelas yang memuat datum ke- $\frac{n}{2} = \frac{40}{2} = 20$ , yaitu pada kelas dengan rentang $45 - 49.$
Tepi bawah kelas median $L_{0} = 45 - 0, 5 = 44, 5.$
Lebar kelas $c = 5.$
Frekuensi kumulatif sebelum kelas median $\sum F_{k} = 15.$
Frekuensi kelas median $f_{m} = 12.$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} Me & = L_{0} + c (\frac{\frac{n}{2} - \sum F_{k}}{f_{m}}) \\ = 44, 5 + 5 (\frac{\frac{40}{2} - 15}{12}) \\ = 44, 5 + 5 (\frac{5}{12}) \\ = 44, 5 + \frac{25}{12} \\ = 44, 5 + 2, 0833 \dots \\ \approx 46, 6. \end{aligned}$
Jadi, median dari data pada histogram di atas adalah $46, 6$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10

Perhatikan tabel berikut.
$\begin{array}{ccccccc} Nilai Ujian Matematika & 30 & 35 & 40 & 45 & 50 & 60 \\ Frekuensi & 3 & 4 & 5 & 8 & x & 3 \end{array}$ Jika rata-rata nilai ujian matematika adalah $44$ , nilai $x$ adalah $\dots \cdot$
A. $6$ C. $8$ E. $10$
B. $7$ D. $9$

Pembahasan

Lengkapi tabel di atas dengan menyisipkan hasil kali frekuensi dan nilai yang bersesuaian dengan kolomnya sebagai berikut.
$\begin{array}{cccccccc} Nilai (N) & 30 & 35 & 40 & 45 & 50 & 60 & Jumlah \\ Frekuensi (f) & 3 & 4 & 5 & 8 & x & 3 & 23 + x \\ N f & 90 & 140 & 200 & 360 & 50 x & 180 & 970 + 50 x \end{array}$ Rata-ratanya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \overset{―}{x} & = \frac{Jumlah nilai}{Banyak orang} \\ 44 & = \frac{970 + 50 x}{23 + x} \\ 44 (23 + x) & = 970 + 50 x \\ 1012 + 44 x & = 970 + 50 x \\ 1012 - 970 & = 50 x - 44 x \\ 42 & = 6 x \\ x & = 7. \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ adalah $7$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11

Data hasil penimbangan berat badan (dalam kg) dari $60$ orang ibu pada suatu desa disajikan dalam tabel distribusi di bawah ini.
$\begin{array}{cc} Berat Badan & Frekuensi \\ 56 - 60 & 8 \\ 61 - 65 & 3 \\ 66 - 70 & 18 \\ 71 - 75 & 21 \\ 76 - 80 & 6 \\ 81 - 85 & 4 \end{array}$
Rata-rata berat badan $60$ orang ibu tersebut adalah $\dots \cdot$
A. $69, 25$ D. $70, 33$
B. $70, 16$ E. $72, 25$
C. $70, 17$

Pembahasan

Alternatif I: Rata-rata Hitung
Lengkapi tabel distribusi di atas dengan kolom $x_{i}$ dan $f_{i} x_{i}$ berturut-turut menyatakan nilai tengah tiap kelas dan hasil kali frekuensi dengan nilai tengah masing-masing kelas.
$\begin{array}{cccc} Berat Badan & Frekuensi & x_{i} & f_{i} x_{i} \\ 56 - 60 & 8 & 58 & 464 \\ 61 - 65 & 3 & 63 & 189 \\ 66 - 70 & 18 & 68 & 1224 \\ 71 - 75 & 21 & 73 & 1533 \\ 76 - 80 & 6 & 78 & 468 \\ 81 - 85 & 4 & 83 & 332 \\ Jumlah & 60 & - & 4210 \end{array}$ Diperoleh $\sum f = 60$ dan $\sum f_{i} x_{i} = 4210$ sehingga rataan datanya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \overset{―}{x} & = \frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f} \\ = \frac{4210}{60} \\ = 70, 1666 \dots \approx 70, 17. \end{aligned}$
Alternatif II: Rata-rata Sementara
Misal dipilih rata-rata sementara ${\overset{―}{x}}_{s} = 71$ . Selanjutnya, buatlah tabel berikut.
$\begin{array}{ccccc} Berat Badan & Frekuensi & x_{i} & D_{i} = x_{i} - {\overset{―}{x}}_{s} & f_{i} D_{i} \\ 56 - 60 & 8 & 58 & - 13 & - 104 \\ 61 - 65 & 3 & 63 & - 8 & - 24 \\ 66 - 70 & 18 & 68 & - 3 & - 54 \\ 71 - 75 & 21 & 73 & 2 & 42 \\ 76 - 80 & 6 & 78 & 7 & 42 \\ 81 - 85 & 4 & 83 & 12 & 48 \\ Jumlah & 60 & - & - & - 50 \end{array}$ Rata-ratanya adalah
$\begin{aligned} \overset{―}{x} & = {\overset{―}{x}}_{s} + \frac{\sum f_{i} D_{i}}{\sum f} \\ = 71 + \frac{- 50}{60} \\ = 71 - 0, 833 \dots \approx 70, 17. \end{aligned}$
Jadi, rata-rata berat badan $60$ orang ibu tersebut adalah $70, 17$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12

Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut yang merupakan data nilai ulangan matematika $40$ orang siswa.
$\begin{array}{cc} Interval & Frekuensi \\ 60 - 64 & 3 \\ 65 - 69 & 8 \\ 70 - 74 & 10 \\ 75 - 79 & 12 \\ 80 - 84 & 7 \end{array}$
Rata-rata dari data di atas adalah $\dots \cdot$
A. $73, 5$ D. $77, 7$
B. $74, 5$ E. $80, 5$
C. $76, 3$

Pembahasan

Alternatif I: Rata-rata Hitung
Lengkapi tabel distribusi di atas dengan kolom $x_{i}$ dan $f_{i} x_{i}$ berturut-turut menyatakan nilai tengah tiap kelas dan hasil kali frekuensi dengan nilai tengah masing-masing kelas.
$\begin{array}{cccc} Interval & Frekuensi & x_{i} & f_{i} x_{i} \\ 60 - 64 & 3 & 62 & 186 \\ 65 - 69 & 8 & 67 & 536 \\ 70 - 74 & 10 & 72 & 720 \\ 75 - 79 & 12 & 77 & 924 \\ 80 - 84 & 7 & 82 & 574 \\ Jumlah & 40 & - & 2940 \end{array}$ Diperoleh $\sum f = 40$ dan $\sum f_{i} x_{i} = 2940$ sehingga rataan datanya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \overset{―}{x} & = \frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f} \\ = \frac{2940}{40} \\ = 73, 5. \end{aligned}$
Alternatif II: Rata-rata Sementara
Misal dipilih rata-rata sementara ${\overset{―}{x}}_{s} = 75$ . Selanjutnya, buatlah tabel berikut.
$\begin{array}{ccccc} Interval & Frekuensi & x_{i} & D_{i} = x_{i} - {\overset{―}{x}}_{s} & f_{i} D_{i} \\ 60 - 64 & 3 & 62 & - 13 & - 39 \\ 65 - 69 & 8 & 67 & - 8 & - 64 \\ 70 - 74 & 10 & 72 & - 3 & - 30 \\ 75 - 79 & 12 & 77 & 2 & 24 \\ 80 - 84 & 7 & 82 & 7 & 49 \\ Jumlah & 40 & - & - & - 60 \end{array}$ Rata-ratanya adalah
$\begin{aligned} \overset{―}{x} & = {\overset{―}{x}}_{s} + \frac{\sum f_{i} D_{i}}{\sum f} \\ = 75 + \frac{- 60}{40} \\ = 75 - 1, 5 = 73, 5. \end{aligned}$
Jadi, rata-rata nilai ulangan matematika $40$ orang siswa tersebut adalah $73, 5$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 13

Perhatikan tabel berikut.
$\begin{array}{cc} Pendapatan (Jutaan Rupiah) & Frekuensi \\ 10 - 14 & 5 \\ 15 - 19 & 8 \\ 20 - 24 & 10 \\ 25 - 29 & 12 \\ 30 - 34 & 7 \\ 35 - 39 & 3 \\ Jumlah & 45 \end{array}$ Jika rata-rata sementara data tersebut adalah $27$ juta rupiah, maka rata-rata hitung data tersebut (dalam jutaan rupiah) ditunjukkan dengan rumus $\dots \cdot$
A. $\overset{―}{x} = 27 - \frac{140}{45}$
B. $\overset{―}{x} = 27 - \frac{50}{45}$
C. $\overset{―}{x} = 27 + \frac{140}{45}$
D. $\overset{―}{x} = 27 + 3 (\frac{140}{45})$
E. $\overset{―}{x} = 27 - 3 (\frac{140}{45})$

Pembahasan

Karena rata-rata sementara ${\overset{―}{x}}_{s} = 27$ , maka dapat dibuat tabel berikut.
$\begin{array}{ccccc} Pendapatan & Frekuensi & d_{i} & f_{i} d_{i} \\ 10 - 14 & 5 & - 3 & - 15 \\ 15 - 19 & 8 & - 2 & - 16 \\ 20 - 24 & 10 & - 1 & - 10 \\ 25 - 29 & 12 & 0 & 0 \\ 30 - 34 & 7 & 1 & 7 \\ 35 - 39 & 3 & 2 & 6 \\ Jumlah & 45 & - & - 28 \end{array}$ Diketahui lebar kelas $c = 5$ , dan $\sum f_{i} d_{i} = - 28$ , serta $\sum f = 45$ .
Dengan demikian, rataan hitungnya adalah
$\begin{aligned} \overset{―}{x} & = {\overset{―}{x}}_{s} + c (\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f}) \\ = 27 + 5 (\frac{- 28}{45}) \\ = 27 - \frac{140}{45} . \end{aligned}$
Jadi, rata-rata hitung data tersebut (dalam jutaan rupiah) ditunjukkan dengan rumus $\overset{―}{x} = 27 - \frac{140}{45}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14

Tiga puluh datum mempunyai rata-rata $p$ . Jika rata-rata $20 %$ di antaranya adalah $p + 0, 1$ ; $40 %$ lainnya $p - 0, 1$ ; $10 %$ lainnya lagi adalah $p - 0, 5$ ; dan $30 %$ sisanya adalah $p + q$ , maka nilai $q = \dots \cdot$
A. $\frac{1}{5}$ C. $\frac{4}{15}$ E. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{7}{30}$ D. $\frac{3}{10}$

Pembahasan

Dengan menggunakan rumus rataan hitung, diperoleh
$\begin{aligned} \frac{20 % (30) (p + 0, 1) + 40 % (30) (p - 0, 1) + 10 % (30) (p - 0, 5) + 30 % (30) (p + q)}{30} = p \\ \frac{20}{100} (p + 0, 1) + \frac{40}{100} (p - 0, 1) + \frac{10}{100} (p - 0, 5) + \frac{30}{100} (p + q) = p \\ (\frac{2}{10} + \frac{4}{10} + \frac{1}{10} + \frac{3}{10}) p + (\frac{2}{100} - \frac{4}{100} - \frac{5}{100}) + \frac{3}{10} q = p \\ p - \frac{7}{100} + \frac{3}{10} q = p \\ q = \frac{7}{100^{10}} \times \frac{10}{3} = \frac{7}{30} . \end{aligned}$ Jadi, nilai $q$ adalah $\frac{7}{30}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 15

Rata-rata sekelompok bilangan adalah $40$ . Ada bilangan yang sebenarnya $60$ , tetapi terbaca $30$ . Setelah dihitung ulang, rata-rata yang sebenarnya adalah $41$ . Banyak bilangan dalam kelompok itu adalah $\dots \cdot$
A. $20$ C. $30$ E. $45$
B. $25$ D. $42$

Pembahasan

Misalkan banyak bilangan dalam kelompok itu adalah $n$ . Karena rata-ratanya $40$ , maka jumlah bilangan seluruhnya adalah $\sum F = 40 n$ .
Selisih $60$ dan $30$ adalah $60 - 30 = 30$ sehingga jumlah bilangan yang sebenarnya adalah $\sum F = 40 n + 30$ .
Diketahui rata-rata yang sebenarnya adalah $41$ , maka
$\begin{aligned} \frac{40 n + 30}{n} & = 41 \\ 40 n + 30 & = 41 n \\ n & = 30. \end{aligned}$
Jadi, banyak bilangan dalam kelompok itu adalah $30$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 16

Dari nilai ulangan $12$ siswa, diketahui nilai terbesarnya $80$ dan nilai terkecilnya $20$ . Nilai rata-rata ulangan mereka tidak mungkin bernilai $\dots \cdot$
A. $22$ C. $36$ E. $75$
B. $25$ D. $52$

Pembahasan

Andaikan $11$ siswa mendapatkan nilai $20$ dan $1$ siswa sisanya mendapatkan nilai $80$ , maka rata-ratanya menjadi
$\frac{(11 \times 20) + (1 \times 80)}{12} = \frac{220 + 80}{12} = 25.$ Andaikan $11$ siswa mendapatkan nilai $80$ dan $1$ siswa sisanya mendapatkan nilai $20$ , maka rata-ratanya menjadi
$\frac{(1 \times 20) + (11 \times 80)}{12} = \frac{20 + 880}{12} = 75.$ Dapat disimpulkan bahwa rata-rata terkecil yang mungkin didapat adalah $25$ , sedangkan rata-rata terbesarnya $75$ . Jadi, nilai rata-rata yang tak mungkin didapat adalah $22$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 17

Data $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ memiliki mean $8.$ Mean data $x_{1} + 5$ , $x_{2} + 5$ , $x_{3} + 5$ , $\dots, x_{n} + 5$ adalah $\dots \cdot$
A. $3$ C. $8$ E. $15$
B. $5$ D. $13$

Pembahasan

Karena $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ terdiri dari $n$ datum dengan rata-rata $8$ , maka $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{n} = 8 n .$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \overset{―}{x} & = \frac{(x_{1} + 5) + (x_{2} + 5) + (x_{3} + 5) + \dots + (x_{n} + 5)}{n} \\ = \frac{(x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{n}) + (\underset{sebanyak n}{\underset{⏟}{5 + 5 + 5 + \dots + 5}})}{n} \\ = \frac{8 n + 5 n}{n} = \frac{13 n}{n} = 13. \end{aligned}$ Jadi, mean data tersebut adalah $13$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18

Jika pada sekelompok data dengan nilai rataan $6$ ditambahkan datum yang besarnya $8$ , maka nilai rataannya akan naik sebesar $0, 25$ . Jika pada data itu ditambahkan lagi datum-datum: $3, 4, 5, 4, 8, 5, 2, 4,$ nilai rataannya adalah $\dots \cdot$
A. $5, 3125$ D. $4, 90$
B. $5, 25$ E. $4, 80$
C. $5, 00$

Pembahasan

Nilai rataan dinyatakan oleh $\overset{―}{x} = \frac{\sum x_{i}}{n} .$
Misalkan sekelompok data itu memuat datum sebanyak $n$ , maka dengan rataan $6$ serta penambahan datum sebesar $8$ sehingga rataannya naik $0, 25$ , diperoleh
$\begin{aligned} 6 + 0, 25 & = \frac{6 n + 8}{n + 1} \\ 6, 25 (n + 1) & = 6 n + 8 \\ 6, 25 n + 6, 25 & = 6 n + 8 \\ 0, 25 n & = 1, 75 \\ n & = 7. \end{aligned}$
Jadi, mula-mula ada $7$ datum.
Nilai rataan baru ketika ditambahkan lagi data $3, 4, 5, 4, 8, 5, 2, 4$ (ada sebanyak $8$ datum) adalah
$\begin{aligned} \overset{―}{x} & = \frac{(6 n + 8) + (3 + 4 + 5 + 4 + 8 + 5 + 2 + 4)}{(n + 1) + 8} \\ = \frac{(6 (7) + 8) + 35}{(7 + 1) + 8} \\ = \frac{85}{16} = 5, 3125. \end{aligned}$ Jadi, nilai rataan barunya adalah $5, 3125$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19

Suatu data setelah dikonversi memiliki rata-rata $6, 5.$ Konversi menggunakan rumus bahwa setiap datum ditambah $0, 4,$ kemudian masing-masing dikali $1, 25$ . Nilai rata-rata dari data sebelum dikonversi adalah $\dots \cdot$
A. $4, 6$ C. $5, 0$ E. $6, 5$
B. $4, 8$ D. $5, 2$

Pembahasan

Apabila setiap datum ditambah $n$ , maka rata-ratanya juga akan bertambah $n .$
Apabila setiap datum dikali $n$ , maka rata-ratanya juga akan menjadi $n$ kali.
Misal rata-rata semula adalah $\overset{―}{x} .$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} (\overset{―}{x} + 0, 4) \times 1, 25 & = 6, 5 \\ \overset{―}{x} & = 6, 5 \div 1, 25 - 0, 4 \\ \overset{―}{x} & = 5, 2 - 0, 4 = 4, 8. \end{aligned}$
Jadi, nilai rata-rata data sebelum dikonversi adalah $4, 8$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20

Nilai rata-rata ulangan matematika dari $8$ anak adalah $70$ dengan selisih nilai tertinggi dan terendahnya adalah $24$ . Jika ada satu siswa yang mendapat nilai tertinggi dan $7$ siswa lainnya mendapat nilai yang sama, maka nilai tertinggi yang diperoleh siswa itu adalah $\dots \cdot$
A. $91$ C. $73$ E. $65$
B. $87$ D. $67$

Pembahasan

Misalkan nilai tertinggi siswa adalah $x,$ berarti nilai $7$ siswa lainnya adalah $(x - 24) .$ Jumlah nilai seluruh siswa adalah $8 \times 70 = 560$ .
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} x + 7 (x - 24) & = 560 \\ 8 x - 168 & = 560 \\ 8 x & = 728 \\ x & = 91. \end{aligned}$
Jadi, nilai tertinggi siswa adalah $91$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 21

Manajer restoran cepat saji mengamati dan menghitung waktu yang dibutuhkan karyawannya untuk menyajikan makanan kepada pembeli. Dari $11$ pengamatan diperoleh data dalam detik sebagai berikut:
$50, 55, 40, 48, 62, 50, 48, 40, 42, 60, 38$ .
Kuartil ketiga dari data di atas adalah $\dots \cdot$
A. $60$ C. $42$ E. $9$
B. $55$ D. $12$

Pembahasan

Urutkan dan pilah semua data yang diberikan itu dengan membaginya dalam $3$ bagian seperti berikut.
$\underset{Bagian Q_{1}}{\underset{⏟}{38 40 40 42 48}} \underset{Q_{2}}{\underset{⏟}{48}} \underset{Bagian Q_{3}}{\underset{⏟}{50 50 55 60 62}}$ Pada bagian $Q_{3}$ , datum tengahnya adalah $55.$
Jadi, kuartil ketiga (kuartil atas) dari data tersebut adalah $55.$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 22

Nilai kuartil atas dari data pada tabel berikut adalah $\dots \cdot$
$\begin{array}{cc} Nilai & Frekuensi \\ 40 - 47 & 2 \\ 48 - 55 & 3 \\ 56 - 63 & 5 \\ 64 - 71 & 9 \\ 72 - 79 & 7 \\ 80 - 87 & 3 \\ 88 - 95 & 1 \end{array}$
A. $71, 5$ D. $75, 5$
B. $72, 0$ E. $76, 5$
C. $73, 5$

Pembahasan

Lengkapi tabel di atas dengan kolom frekuensi kumulatif $(F_{k})$ .
$\begin{array}{ccc} Nilai & Frekuensi & F_{k} \\ 40 - 47 & 2 & 2 \\ 48 - 55 & 3 & 5 \\ 56 - 63 & 5 & 10 \\ 64 - 71 & 9 & 19 \\ 72 - 79 & 7 & 26 \\ 80 - 87 & 3 & 29 \\ 88 - 95 & 1 & 30 \end{array}$
Kelas kuartil atas berada pada datum urutan ke: $\frac{3}{4} \times 30 = 22, 5 \approx 23$ , yaitu pada kelas dengan interval $72 - 79.$
Diketahui:
$\begin{aligned} L_{0} & = 72 - 0, 5 = 71, 5 \\ c & = 79 - 72 + 1 = 8 \\ n & = 30 \\ \sum F_{k_{4}} & = 19 \\ f_{Q} & = 7 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} Q_{3} & = L_{0} + c (\frac{\frac{3}{4} \cdot n - F_{k_{4}}}{f_{Q}}) \\ = 71, 5 + 8 (\frac{\frac{3}{4} \cdot 30 - 19}{7}) \\ = 71, 5 + 8 (\frac{22, 5 - 19}{7}) \\ = 71, 5 + 8 (\frac{3, 5}{7^{2}}) \\ = 71, 5 + \frac{8}{2} \\ = 71, 5 + 4 = 75, 5. \end{aligned}$
Jadi, nilai kuartil atas data pada tabel di atas adalah $75, 5$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 23

Nilai kuartil atas dari data pada tabel berikut adalah $\dots \cdot$
$\begin{array}{cc} Nilai & Frekuensi \\ 50 - 54 & 4 \\ 55 - 59 & 6 \\ 60 - 64 & 8 \\ 65 - 69 & 10 \\ 70 - 74 & 8 \\ 75 - 79 & 4 \end{array}$
A. $69, 50$ D. $70, 75$
B. $70, 00$ E. $71, 75$
C. $70, 50$

Pembahasan

Lengkapi tabel di atas dengan kolom frekuensi kumulatif $(F_{k})$ .
$\begin{array}{ccc} Nilai & Frekuensi & F_{k} \\ 50 - 54 & 4 & 4 \\ 55 - 59 & 6 & 10 \\ 60 - 64 & 8 & 18 \\ 65 - 69 & 10 & 28 \\ 70 - 74 & 8 & 36 \\ 75 - 79 & 4 & 40 \end{array}$
Kelas kuartil atas berada pada datum urutan ke: $\frac{3}{4} \times 40 = 30,$ yaitu pada kelas dengan interval $70 - 74.$
Diketahui:
$\begin{aligned} L_{0} & = 70 - 0, 5 = 69, 5 \\ c & = 74 - 70 + 1 = 5 \\ n & = 40 \\ F_{k_{4}} & = 28 \\ f_{Q} & = 8 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} Q_{3} & = L_{0} + c (\frac{\frac{3}{4} \cdot n - F_{k_{4}}}{f_{Q}}) \\ = 69, 5 + 5 (\frac{\frac{3}{4} \cdot 40 - 28}{8}) \\ = 69, 5 + 5 (\frac{30 - 28}{8}) \\ = 69, 5 + 5 (\frac{2}{8^{4}}) \\ = 69, 5 + \frac{5}{4} \\ = 69, 5 + 1, 25 = 70, 75. \end{aligned}$
Jadi, nilai kuartil atas data pada tabel di atas adalah $70, 75$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 24

Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut.
$\begin{array}{cc} Interval & Frekuensi \\ 121 - 123 & 2 \\ 124 - 126 & 5 \\ 127 - 129 & 10 \\ 130 - 132 & 12 \\ 133 - 135 & 8 \\ 136 - 138 & 3 \end{array}$
$D_{4}$ dari data di atas adalah $\dots \cdot$
A. $127, 2$ D. $129, 7$
B. $127, 4$ E. $129, 8$
C. $129, 2$

Pembahasan

Lengkapi tabel di atas dengan menambahkan kolom frekuensi kumulatif sebagai berikut.
$\begin{array}{ccc} Interval & Frekuensi & F_{k} \\ 121 - 123 & 2 & 2 \\ 124 - 126 & 5 & 7 \\ 127 - 129 & 10 & 17 \\ 130 - 132 & 12 & 29 \\ 133 - 135 & 8 & 37 \\ 136 - 138 & 3 & 40 \end{array}$
Kelas desil ke- $4$ atau $D_{4}$ terletak di kelas yang memuat datum ke- $\frac{4 n}{10} = \frac{4 \times 40}{10} = 16,$ yaitu pada kelas dengan rentang $127 - 129.$
Tepi bawah kelas desil ke- $4$ adalah $L_{0} = 127 - 0, 5 = 126, 5.$
Lebar kelasnya $c = 3.$
Frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke- $4$ , yaitu $\sum F_{k} = 7.$
Frekuensi kelas desil ke-4 $f_{D} = 10.$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} D_{4} & = L_{0} + c (\frac{\frac{4 n}{10} - \sum F_{k}}{f_{D}}) \\ = 126, 5 + 3 (\frac{16 - 7}{10}) \\ = 126, 5 + 3 (\frac{9}{10}) \\ = 126, 5 + 2, 7 \\ = 129, 2. \end{aligned}$
Jadi, desil ke- $4$ dari data pada tabel di atas adalah $129, 2$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 25

Tabel berikut menyajikan data berat badan (kg) sejumlah siswa.
$\begin{array}{cc} Berat Badan & Frekuensi \\ 41 - 45 & 8 \\ 46 - 50 & 5 \\ 51 - 55 & 10 \\ 56 - 60 & 12 \\ 61 - 65 & 8 \\ 66 - 70 & 7 \end{array}$
Desil ke- $8$ dari data di atas adalah $\dots$ kg.
A. $62, 325$ D. $63, 625$
B. $62, 750$ E. $64, 125$
C. $63, 500$

Pembahasan

Lengkapi tabel di atas dengan menambahkan kolom frekuensi kumulatif sebagai berikut.
$\begin{array}{ccc} Berat Badan & Frekuensi & F_{k} \\ 41 - 45 & 8 & 8 \\ 46 - 50 & 5 & 13 \\ 51 - 55 & 10 & 23 \\ 56 - 60 & 12 & 35 \\ 61 - 65 & 8 & 43 \\ 66 - 70 & 7 & 50 \end{array}$
Kelas desil ke- $8$ atau $D_{8}$ terletak di kelas yang memuat datum ke- $\frac{8 n}{10} = \frac{8 \times 50}{10} = 40$ , yaitu pada kelas dengan rentang $61 - 65.$
Tepi bawah kelas desil ke- $8$ adalah $L_{0} = 61 - 0, 5 = 60, 5.$
Lebar kelasnya $c = 5.$
Frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke- $8$ , yaitu $\sum F_{k} = 35.$
Frekuensi kelas desil ke- $8$ adalah $f_{D} = 8.$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} D_{8} & = L_{0} + c (\frac{\frac{8 n}{10} - \sum F_{k}}{f_{D}}) \\ = 60, 5 + 5 (\frac{40 - 35}{8}) \\ = 60, 5 + \frac{25}{8} \\ = 60, 5 + 3, 125 \\ = 63, 625. \end{aligned}$
Jadi, desil ke- $8$ dari data pada tabel di atas adalah $63, 625$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 26

Upah dari sejumlah karyawan disajikan dalam tabel distribusi frekuensi di bawah ini.
$\begin{array}{cc} Upah (Puluh Ribuan) & Frekuensi \\ 120 - 126 & 10 \\ 127 - 133 & 12 \\ 134 - 140 & 18 \\ 141 - 147 & 30 \\ 148 - 154 & 16 \\ 155 - 161 & 14 \end{array}$
Nilai persentil ke- $70$ dari data tersebut adalah $\dots \cdot$
A. Rp1.270.000,00
B. Rp1.340.000,00
C. Rp1.405.000,00
D. Rp1.475.000,00
E. Rp1.625.000,00

Pembahasan

Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut.
$\begin{array}{ccc} Upah (Puluh Ribuan) & Frekuensi & F_{k} \\ 120 - 126 & 10 & 10 \\ 127 - 133 & 12 & 22 \\ 134 - 140 & 18 & 40 \\ 141 - 147 & 30 & 70 \\ 148 - 154 & 16 & 86 \\ 155 - 161 & 14 & 100 \\ Jumlah & 100 & - \end{array}$ Kelas persentil ke- $70$ terletak di kelas yang memuat datum ke- $\frac{70}{100} \times n = \frac{70}{100} \times 100 = 70$ , yaitu pada kelas dengan rentang $141 - 147$ .
Tepi bawah kelas persentil ke-70 $L_{0} = 141 - 0, 5 = 140, 5.$
Lebar kelas $c = 7.$
Frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-70 $\sum F_{k} = 40.$
Frekuensi kelas persentil ke-70 $f_{p} = 30.$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} P_{70} & = L_{0} + c (\frac{\frac{70 n}{100} - \sum F_{k}}{f_{p}}) \\ = 140, 5 + 7 (\frac{\frac{70 \times 100}{100} - 40}{30}) \\ = 140, 5 + 7 (\frac{30}{30}) \\ = 140, 5 + 7 \\ = 147, 5. \end{aligned}$
Jadi, persentil ke- $70$ dari data pada tabel di atas adalah Rp1.475.000,00.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 27

Upah dari sejumlah karyawan disajikan dalam tabel distribusi frekuensi di bawah ini.
$\begin{array}{cc} Upah (Puluh Ribuan) & Frekuensi \\ 120 - 126 & 10 \\ 127 - 133 & 12 \\ 134 - 140 & 18 \\ 141 - 147 & 30 \\ 148 - 154 & 16 \\ 155 - 161 & 14 \end{array}$
Nilai persentil ke- $40$ dari data tersebut adalah $\dots \cdot$
A. Rp1.250.000,00
B. Rp1.270.000,00
C. Rp1.340.000,00
D. Rp1.405.000,00
E. Rp1.625.000,00

Pembahasan

Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut.
$\begin{array}{ccc} Upah (Puluh Ribuan) & Frekuensi & F_{k} \\ 120 - 126 & 10 & 10 \\ 127 - 133 & 12 & 22 \\ 134 - 140 & 18 & 40 \\ 141 - 147 & 30 & 70 \\ 148 - 154 & 16 & 86 \\ 155 - 161 & 14 & 100 \\ Jumlah & 100 & - \end{array}$ Kelas persentil ke- $40$ terletak di kelas yang memuat datum ke- $\frac{40}{100} \times n = \frac{40}{100} \times 100 = 40,$ yaitu pada kelas dengan rentang $134 - 140.$
Tepi bawah kelas persentil ke-40 $L_{0} = 134 - 0, 5 = 133, 5.$
Lebar kelas $c = 7.$
Frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke- $40$ $\sum F_{k} = 22.$
Frekuensi kelas persentil ke- $40$ $f_{p} = 18.$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} P_{40} & = L_{0} + c (\frac{\frac{40 n}{100} - \sum F_{k}}{f_{p}}) \\ = 133, 5 + 7 (\frac{\frac{40 \times 100}{100} - 22}{18}) \\ = 133, 5 + 7 (\frac{18}{18}) \\ = 133, 5 + 7 \\ = 140, 5. \end{aligned}$
Jadi, persentil ke- $40$ dari data pada tabel di atas adalah Rp1.405.000,00.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 28

Simpangan rata-rata dari data $4, 5, 6, 7, 8$ adalah $\dots \cdot$
A. $12$ C. $4$ E. $0, 8$
B. $6$ D. $1, 2$

Pembahasan

Rata-rata dari $5$ datum tersebut adalah
$\overset{―}{x} = \frac{4 + 5 + 6 + 7 + 8}{5} = 6.$
Selanjutnya, carilah simpangan rata-rata dengan menggunakan rumus berikut.
$S_{R} = \frac{\sum | x_{i} - \overset{―}{x} |}{n}$
dengan $x_{i}$ adalah masing-masing datum, $\overset{―}{x}$ adalah rata-rata data, dan $n$ menyatakan banyaknya datum.
$\begin{aligned} S_{R} & = \frac{| 4 - 6 | + | 5 - 6 | + | 6 - 6 | + | 7 - 6 | + | 8 - 6 |}{5} \\ = \frac{2 + 1 + 0 + 1 + 2}{5} \\ = \frac{6}{5} = 1, 2 \end{aligned}$ Jadi, simpangan rata-rata dari data yang diberikan itu adalah $1, 2$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Notasi Sigma

Soal Nomor 29

Simpangan baku dari data: $8, 3, 4, 6, 2, 7$ adalah $\dots \cdot$
A. $\frac{1}{14} \sqrt{42}$ D. $\sqrt{3}$
B. $\frac{1}{3} \sqrt{42}$ E. $\sqrt{14}$
C. $1$

Pembahasan

Rata-rata dari $6$ datum tersebut adalah
$\overset{―}{x} = \frac{8 + 3 + 4 + 6 + 2 + 7}{6} = 5.$
Selanjutnya, carilah simpangan baku dengan menggunakan rumus berikut.
$S_{B} = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \overset{―}{x})^{2}}{n}}$
dengan $x_{i}$ adalah masing-masing datum, $\overset{―}{x}$ adalah rata-rata data, dan $n$ menyatakan banyaknya datum.
$\begin{aligned} S_{B} & = \sqrt{\frac{(8 - 5)^{2} + (3 - 5)^{2} + (4 - 5)^{2} + (6 - 5)^{2} + (2 - 5)^{2} + (7 - 5)^{2}}{6}} \\ = \sqrt{\frac{9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 4}{6}} \\ = \sqrt{\frac{28}{6}} \\ = \sqrt{\frac{14}{3}} \\ = \frac{1}{3} \sqrt{42} \end{aligned}$ Jadi, simpangan baku dari data yang diberikan itu adalah $\frac{1}{3} \sqrt{42}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 30

Simpangan rata-rata dari data $4, 5, 8, 9, 9$ adalah $\dots \cdot$
A. $1$ C. $2$ E. $4$
B. $\sqrt{2}$ D. $3$

Pembahasan

Rata-rata dari $5$ datum tersebut adalah
$\overset{―}{x} = \frac{4 + 5 + 8 + 9 + 9}{5} = 7.$
Selanjutnya, carilah simpangan rata-rata dengan menggunakan rumus berikut.
$S_{R} = \frac{\sum | x_{i} - \overset{―}{x} |}{n}$
dengan $x_{i}$ adalah masing-masing datum, $\overset{―}{x}$ adalah rata-rata data, dan $n$ menyatakan banyaknya datum.
$\begin{aligned} S_{R} & = \frac{| 4 - 7 | + | 5 - 7 | + | 8 - 7 | + | 9 - 7 | + | 9 - 7 |}{5} \\ = \frac{3 + 2 + 1 + 2 + 2}{5} \\ = \frac{10}{5} = 2 \end{aligned}$ Jadi, simpangan rata-rata dari data yang diberikan itu adalah $2$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 31

Simpangan rata-rata dari hasil ulangan matematika dengan nilai $3, 5, 8, 4, 6, 10$ adalah $\dots \cdot$
A. $1, 00$ C. $2, 00$ E. $6, 00$
B. $1, 60$ D. $2, 67$

Pembahasan

Rata-rata dari $6$ datum tersebut adalah
$\overset{―}{x} = \frac{3 + 5 + 8 + 4 + 6 + 10}{6} = 6.$
Selanjutnya, carilah simpangan rata-rata dengan menggunakan rumus berikut.
$S_{R} = \frac{\sum | x_{i} - \overset{―}{x} |}{n}$
dengan $x_{i}$ adalah masing-masing datum, $\overset{―}{x}$ adalah rata-rata data, dan $n$ menyatakan banyaknya datum.
$\begin{aligned} S_{R} & = \frac{| 3 - 6 | + | 5 - 6 | + | 8 - 6 | + | 4 - 6 | + | 6 - 6 | + | 10 - 6 |}{6} \\ = \frac{3 + 1 + 2 + 2 + 0 + 4}{6} \\ = \frac{12}{6} = 2 \end{aligned}$ Jadi, simpangan rata-rata dari data yang diberikan itu adalah $2, 00$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 32

Perhatikan tabel berikut.
$\begin{array}{cc} Interval & Frekuensi \\ 21 - 25 & 2 \\ 26 - 30 & 8 \\ 31 - 35 & 9 \\ 36 - 40 & 6 \\ 41 - 45 & 3 \\ 46 - 50 & 2 \end{array}$
Simpangan rata-rata data berkelompok yang tersaji dalam tabel di atas adalah $\dots \cdot$
A. $4, 53$ D. $6, 27$
B. $5, 27$ E. $6, 53$
C. $5, 53$

Pembahasan

Buatlah tabel untuk membantu perhitungan rata-rata data berkelompok di atas.
$\begin{array}{cccc} Interval & Frekuensi & x_{i} & f_{i} x_{i} \\ 21 - 25 & 2 & 23 & 46 \\ 26 - 30 & 8 & 28 & 224 \\ 31 - 35 & 9 & 33 & 297 \\ 36 - 40 & 6 & 38 & 228 \\ 41 - 45 & 3 & 43 & 129 \\ 46 - 50 & 2 & 48 & 96 \\ Jumlah & 30 & - & 1.020 \end{array}$ Jadi, diperoleh rata-ratanya
$\overset{―}{x} = \frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}} = \frac{1.020}{30} = 34.$
Selanjutnya, buat tabel berikut.
$\begin{array}{ccccc} Interval & f_{i} & x_{i} & | x_{i} - \overset{―}{x} | & f_{i} | x_{i} - \overset{―}{x} | \\ 21 - 25 & 2 & 23 & 11 & 22 \\ 26 - 30 & 8 & 28 & 6 & 48 \\ 31 - 35 & 9 & 33 & 1 & 9 \\ 36 - 40 & 6 & 38 & 4 & 24 \\ 41 - 45 & 3 & 43 & 9 & 27 \\ 46 - 50 & 2 & 48 & 14 & 28 \\ Jumlah & 30 & - & - & 158 \end{array}$ Dengan demikian, kita peroleh
$S_{r} = \frac{\sum f_{i} | x_{i} - \overset{―}{x} |}{\sum f_{i}} = \frac{158}{30} = 5, 27.$
Jadi, simpangan rata-rata data berkelompok itu adalah $5, 27$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 33

Daftar distribusi frekuensi berikut menyatakan hasil dari suatu ujian.
$\begin{array}{cc} Interval & f \\ 40 - 49 & 2 \\ 50 - 59 & 8 \\ 60 - 69 & 14 \\ 70 - 79 & 12 \\ 80 - 89 & 4 \end{array}$
Siswa yang lulus adalah siswa yang mendapat nilai lebih dari $64, 5$ . Banyak siswa yang lulus adalah $\dots$ orang.
A. $23$ C. $27$ E. $29$
B. $25$ D. $28$

Pembahasan

Sebanyak 16 siswa dengan nilai pada interval $70 - 79$ atau $80 - 89$ dipastikan lulus. Perhatikan bahwa batas minimal kelulusan berada pada kelas dengan interval $60 - 69$ .
Diketahui:
$\begin{aligned} L_{0} & = 59, 5 \\ c & = 10 \\ f & = 14 \\ KKM & = 64, 5 \end{aligned}$
Catatan: KKM = Kriteria Ketuntasan Minimal
Misalkan $x$ menunjukkan urutan nilai di kelasnya.
Dengan demikian, berlaku
$\begin{aligned} KKM & = L_{0} + \frac{x}{f} \times c \\ 64, 5 & = 59, 5 + \frac{x}{14} \times 10 \\ 5 & = \frac{x}{14} \times 10 \\ x & = 5 \times \frac{14}{10^{2}} = 7. \end{aligned}$
Jadi, nilai $64, 5$ merupakan nilai urutan ke- $7$ dari $14$ nilai yang ada di kelas tersebut. Jadi, banyak siswa yang lulus adalah $(14 - 7) + 16 = 23$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 34

Rata-rata ulangan matematika di suatu kelas adalah $78, 4$ , sedangkan simpangan standarnya $1, 5$ . Jika Andi adalah salah satu siswa kelas tersebut dan nilai ulangan matematikanya $82$ , maka angka baku nilai ulangan matematikanya adalah $\dots \cdot$
A. $4, 2$ C. $3, 4$ E. $2, 4$
B. $3, 8$ D. $2, 8$

Pembahasan

Diketahui $x = 82, \overset{―}{x} = 78, 4$ , dan $s = 1, 5$ . Dengan menggunakan rumus angka baku, didapat
$\begin{aligned} z & = \frac{x - \overset{―}{x}}{s} \\ = \frac{82 - 78, 4}{1, 5} \\ = \frac{3, 6}{1, 5} = 2, 4. \end{aligned}$
Jadi, angka baku nilai ulangan matematikanya adalah $2, 4$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 35

Median dan rata-rata dari data yang terdiri dari empat bilangan ganjil yang telah diurutkan mulai dari yang terkecil adalah $8$ . Jika selisih antara datum terbesar dan terkecilnya adalah $10$ dan modusnya tidak ada, maka hasil kali datum pertama dan ketiga yang mungkin adalah $\dots \cdot$
A. $24$ C. $30$ E. $36$
B. $27$ D. $32$

Pembahasan

Misalkan datumnya kita sebut $a, b, c, d$ dengan $a < b < c < d$ . Perhatikan bahwa $a, b, c, d$ berbeda satu sama lain karena dikatakan bahwa modus datanya tidak ada.
Karena mediannya $8$ , maka
$\frac{b + c}{2} = 8 \Leftrightarrow b + c = 16.$
Karena rata-ratanya $8$ , maka
$\begin{aligned} \frac{a + b + c + d}{4} = 8 & \Leftrightarrow a + d + 16 = 8 \times 4 \\ \Leftrightarrow a + d = 16 \end{aligned}$ Selisih datum terbesar dan terkecil adalah $10$ sehingga ditulis $d - a = 10.$
Nilai $b$ dan $c$ yang memenuhi $b + c = 16$ adalah $b = 7$ dan $c = 9$ atau bisa juga $b = 5$ dan $c = 11$ .
Nilai $a$ dan $d$ yang memenuhi $a + d = 16$ dan juga $d - a = 10$ adalah $a = 3$ dan $d = 13$ . Jadi, datum yang dimaksud itu adalah $3, 7, 9, 13$ atau $3, 5, 11, 13$ .
Hasil kali datum pertama dan ketiga ada dua kemungkinan, yakni $3 \times 9 = 27$ atau $3 \times 11 = 33$ . Berdasarkan pilihan jawaban, alternatif yang benar adalah B.

[collapse]

Soal Nomor 36

Sebuah sampel diperoleh dari lima kali pengamatan. Jika rataan hitung (mean) sampel sama dengan $10$ dan median sampel sama dengan $12$ , maka nilai terkecil jangkauan sampel sama dengan $\dots \cdot$
A. $2$ C. $5$ E. $10$
B. $3$ D. $7$

Pembahasan

Misalkan nilai pengukuran dari lima kali pengamatan tersebut dimisalkan $a, b, c, d, e$ dengan $a \leq b \leq c \leq d \leq e .$
Karena rata-ratanya $10$ , maka haruslah
$a + b + c + d + e = 5 \times 10 = 50.$
Diketahui juga bahwa mediannya $12$ sehingga $c = 12$ .
Agar jangkauan sekecil mungkin, maka nilai $a$ harus sebesar-besarnya dan nilai $e$ harus sekecil-kecilnya. Untuk itu, kita dapat tuliskan $d = e = 12$ .
Ini berarti,
$a + b + 12 + 12 + 12 = 50$ $\Leftrightarrow a + b = 14.$
Karena nilai $a$ harus sebesar mungkin dan memenuhi $a \leq b$ serta $a + b = 14$ , maka nilai $a = 7$ .
Jadi, nilai pengukuran: $7, 7, 12, 12, 12.$
Jangkauannya adalah $12 - 7 = 5$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 37

Bilangan-bilangan $a, a + 1$ , $a + 1$ , $7$ , $b$ , $b,$ $9$ telah diurutkan dari yang terkecil ke terbesar. Jika rata-rata dan simpangan rata-rata data tersebut berturut-turut adalah $7$ dan $\frac{8}{7}$ , maka nilai $2 a - b = \dots \cdot$
A. $1$ C. $3$ D. $5$
B. $2$ D. $4$

Pembahasan

Data tersebut memuat $7$ bilangan.
Berdasarkan rumus mean (rataan) dan diketahui bahwa rata-rata datanya adalah $7$ , kita peroleh
$\begin{aligned} \frac{a + (a + 1) + (a + 1) + 7 + b + b + 9}{7} = 7 \\ 3 a + 2 b + 18 & = 7 \cdot 7 \\ 3 a + 2 b & = 31 & (\dots 1) \end{aligned}$ Berdasarkan rumus simpangan rata-rata, yaitu $S_{R} = \frac{\sum | x_{i} - \overset{―}{x} |}{n}$ dan diketahui bahwa simpangan rata-ratanya $\frac{8}{7}$ , kita peroleh
$\begin{aligned} \frac{| a - 7 | + | (a + 1) - 7 | + | (a + 1) - 7 | + | 7 - 7 | + | b - 7 | + | b - 7 | + | 9 - 7 |}{7} & = \frac{8}{7} \\ (7 - a) + (6 - a) + (6 - a) + 0 + (b - 7) + (b - 7) + 2 & = 8 \\ - 3 a + 2 b + 7 & = 8 \\ - 3 a + 2 b & = 1 & (\dots 2) \end{aligned}$ Catatan: Perhatikan bahwa $| a - 7 | = 7 - a$ karena $a$ nilainya lebih kecil dari $7$ (data yang diberikan sebelumnya telah diurutkan), begitu juga $| (a + 1) - 7 | = 6 - a$ karena $(a + 1) < 7$ .
Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ , kita dapat memperoleh penyelesaian sistem: $(a, b) = (5, 8)$ . Dengan demikian, nilai dari $2 a - b = 2 (5) - 8 = 2$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 38

Hasil penilaian harian pelajaran matematika dari $40$ orang siswa disajikan dalam ogif negatif berikut.

Hasil penilaian harian siswa menggunakan bilangan bulat dari $0$ sampai $100$ . Siswa yang memperoleh nilai lebih dari atau sama dengan $75$ akan mengikuti program pengayaan, sedangkan lainnya harus mengikuti program remedial. Pernyataan berikut yang benar adalah $\dots \cdot$

Siswa yang remedial lebih banyak dari siswa yang tidak remedial
$12, 5 %$ siswa memiliki nilai kurang dari $86$
$62, 5 %$ siswa memiliki nilai kurang dari $71$
Selisih banyak siswa yang remedial dan tidak remedial adalah $2$ orang
$13$ siswa mendapatkan nilai $79, 5$

Pembahasan

Dari ogif negatif di atas, siswa yang memperoleh nilai:
$\geq 51, 5$ sebanyak $2$ orang;
$\geq 58, 5$ sebanyak $3$ orang;
$\geq 65, 5$ sebanyak $10$ orang;
$\geq 72, 5$ sebanyak $12$ orang;
$\geq 79, 5$ sebanyak $8$ orang;
$\geq 86, 5$ sebanyak $3$ orang;
$\geq 93, 5$ sebanyak $2$ orang.
Nyatakan dalam tabel distribusi frekuensi.
$\begin{array}{cc} Nilai & Frekuensi \\ 52 - 58 & 40 - 38 = 2 \\ 59 - 65 & 38 - 35 = 3 \\ 66 - 72 & 35 - 25 = 10 \\ 73 - 79 & 25 - 13 = 12 \\ 80 - 86 & 13 - 5 = 8 \\ 87 - 93 & 5 - 2 = 3 \\ 94 - 100 & 2 \\ Jumlah & 40 \end{array}$
Siswa mengikuti program remedial jika nilainya $< 75$ dan jika tidak, maka ia mengikuti program pengayaan.
Cek pilihan A:
Banyak siswa yang dipastikan mengikuti program remedial dapat dilihat dari $3$ kelas pertama, yaitu $2 + 3 + 10 = 15$ orang.
Batas remedial berada pada kelas dengan interval $73 - 79$ . Diketahui bahwa batas remedial adalah $75$ . Banyak siswa yang mendapat nilai kurang dari $75$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} n & = \frac{Batas Remed - Tepi Bawah}{Tepi Atas - Tepi Bawah} \times Frek. Kelas \\ = \frac{75 - 72, 5}{79, 5 - 72, 5} \times 12 = \frac{2, 5}{7} \times 12 \approx 4, 28 \approx 4. \end{aligned}$ Total siswa yang mengikuti program remedial adalah $15 + 4 = 19$ orang.
Sisanya mengikuti program pengayaan, yaitu $40 - 19 = 21$ orang.
Ini artinya, siswa yang mengikuti remedial lebih sedikit dari siswa yang tidak mengikuti remedial.
Pernyataan pada pilihan A adalah SALAH.
Cek Pilihan B:
Banyak siswa yang dipastikan nilainya kurang dari $86$ dapat dilihat pada $4$ kelas pertama, yaitu $2 + 3 + 10 + 12 = 27$ orang.
Sekarang, tinjau kelas dengan interval $80 - 86$ .
Banyak siswa yang mendapat nilai kurang dari $86$ adalah
$\begin{aligned} n & = \frac{Batas Remed - Tepi Bawah}{Tepi Atas - Tepi Bawah} \times Frek. Kelas \\ = \frac{86 - 79, 5}{86, 5 - 79, 5} \times 8 = \frac{6, 5}{7} \times 8 \approx 7. \end{aligned}$ Total siswa yang nilainya kurang dari $86$ adalah $27 + 7 = 34$ orang, yaitu sebesar $\frac{34}{40} \times 100 % = 85 %$ dari jumlah siswa yang ada.
Pilihan B SALAH.
Cek pilihan C:
Banyak siswa yang dipastikan nilainya kurang dari $71$ dapat dilihat pada $2$ kelas pertama, yaitu $2 + 3 = 5$ orang.
Sekarang, tinjau kelas dengan interval $66 - 72$ .
Banyak siswa yang mendapat nilai kurang dari $71$ adalah
$\begin{aligned} n & = \frac{Batas Remed - Tepi Bawah}{Tepi Atas - Tepi Bawah} \times Frek. Kelas \\ = \frac{71 - 65, 5}{72, 5 - 65, 5} \times 10 = \frac{5, 5}{7} \times 10 \approx 8. \end{aligned}$ Total siswa yang nilainya kurang dari $71$ adalah $5 + 8 = 13$ orang, yaitu sebesar $\frac{13}{40} \times 100 % = 32, 5 %$ dari jumlah siswa yang ada.
Pilihan C SALAH.
Cek pilihan D:
Berdasarkan hasil pemeriksaan kebenaran pada pilihan A, kita mendapatkan bahwa banyak siswa yang mengikuti program pengayaan adalah $21$ orang, sedangkan yang mengikuti program remedial adalah $19$ orang. Jadi, selisihnya $2$ . Pilihan D BENAR.
Cek Pilihan E:
Tidak mungkin ada siswa yang mendapat nilai $79, 5$ karena sudah diinformasikan pada soal bahwa nilai yang didapat berupa bilangan bulat dari $0$ sampai $100$ .
Pilihan E SALAH.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 39

Suatu data terdiri dari $10$ bilangan dengan rata-rata $6$ . Data tersebut diurutkan dimulai dari bilangan terkecil. Jika rata-rata enam bilangan pertama adalah $\frac{14}{3}$ , sedangkan rata-rata enam bilangan terakhir $\frac{22}{3}$ , maka median data tersebut adalah $\dots \cdot$
A. $4$ C. $6$ E. $9$
B. $5$ D. $8$

Pembahasan

Misal sepuluh bilangan itu adalah $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{10}$ (telah terurut) sehingga diperoleh
$a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{10}$ $= 10 \times 6 = 60.$
Rata-rata enam bilangan pertama adalah $\frac{14}{3}$ , ditulis
$a_{1} + a_{2} + \dots + a_{6} = 6 \times \frac{14}{3} = 28.$
Rata-rata enam bilangan terakhir $\frac{22}{3}$ , ditulis
$a_{5} + a_{6} + \dots + a_{10} = 6 \times \frac{22}{3} = 44.$
Jika dua persamaan terakhir di atas dijumlahkan, maka diperoleh
$\begin{aligned} (a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{10}) + (a_{5} + a_{6}) & = 28 + 44 \\ 60 + (a_{5} + a_{6}) & = 72 \\ a_{5} + a_{6} & = 12 \end{aligned}$ Karena median data ditentukan oleh $a_{5}$ dan $a_{6}$ sebagai suku tengahnya, maka median datanya sama dengan $\frac{a_{5} + a_{6}}{2} = \frac{12}{2} = 6$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 40

Diketahui rata-rata $40$ bilangan adalah $0.$ Jika $m$ adalah banyaknya bilangan positif, maka $\dots \cdot$
A. $0 \leq m \leq 40$
B. $0 \leq m \leq 39$
C. $0 \leq m \leq 21$
D. $0 \leq m \leq 20$
E. $m \geq 0$

Pembahasan

Misalkan $40$ bilangan itu dinotasikan $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{40}$ .
Berdasarkan rumus rataan, kita peroleh bahwa
$\begin{aligned} \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{40}}{40} & = 0 \\ x_{1} + x_{2} + \dots + x_{40} & = 0. \end{aligned}$ Dari persamaan terakhir, kita dapat membuat $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{40} = 0$ sehingga $m = 0$ mungkin. Jika $x_{1} = a$ dan $x_{3} = x_{4} = \dots = x_{40} = 0$ , maka $x_{2} = - a$ sehingga nilai $m = 1$ . Prinsip ini dipakai sampai ternyata $39$ bilangannya positif, sedangkan satu bilangan sisanya bernilai negatif sampai membuat hasil penjumlahannya $0$ .
Namun, keempat puluh bilangan itu tidak mungkin bernilai positif semuanya, karena jumlahnya tak mungkin lagi bernilai $0$ .
Jadi, nilai $m$ adalah $0 \leq m \leq 39$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 41

Terdapat dua data dengan frekuensi yang sama, yaitu $5.$ Data pertama mempunyai rata-rata $2$ dan varians $4,$ sedangkan data kedua mempunyai rata-rata $4$ dan varians $5.$ Jika kedua data tersebut digabungkan, maka variansnya adalah $\dots \cdot$
A. $4, 0$ C. $5, 0$ E. $6, 0$
B. $4, 5$ D. $5, 5$

Pembahasan

Informasi penting yang perlu diketahui terkait rata-rata dan varians adalah sebagai berikut.
Rata-rata didapat dengan cara membagi jumlah nilai terhadap banyak datum.
Varians didapat dengan menjumlahkan selisih kuadrat antara rata-rata dan setiap datum, kemudian dibagi dengan banyak datum.
Misalkan data pertama memuat datum $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4},$ dan $x_{5}$ dengan rata-rata ${\overset{―}{x}}_{1} = 2$ dan varians $s_{1}^{2} = 4.$
Karena variansnya $4,$ kita peroleh
$\begin{aligned} s_{1}^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - {\overset{―}{x}}_{1})^{2}}{n} \Rightarrow 4 & = \frac{\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - 2)^{2}}{5} \\ 20 & = \sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - 2)^{2} . \end{aligned}$ Misalkan data kedua memuat datum $x_{6}, x_{7}, x_{8}, x_{9},$ dan $x_{10}$ dengan rata-rata ${\overset{―}{x}}_{2} = 4$ dan varians $s_{2}^{2} = 5.$
Karena variansnya $5,$ kita peroleh
$\begin{aligned} s_{2}^{2} = \frac{\sum_{i = 6}^{10} (x_{i} - {\overset{―}{x}}_{2})^{2}}{n} \Rightarrow 5 & = \frac{\sum_{i = 6}^{10} (x_{i} - 4)^{2}}{5} \\ 25 & = \sum_{i = 6}^{10} (x_{i} - 4)^{2} . \end{aligned}$ Setelah kedua data digabungkan, frekuensinya sama dengan $10$ dan rata-ratanya menjadi $\overset{―}{x} = \frac{2 \cdot 5 + 4 \cdot 5}{5 + 5} = 3.$
Dengan demikian, variansnya dapat kita hitung sebagai berikut.
$\begin{aligned} s^{2} & = \frac{\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \overset{―}{x})^{2} + \sum_{i = 6}^{10} (x_{i} - \overset{―}{x})^{2}}{n} \\ = \frac{\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - 3)^{2} + \sum_{i = 6}^{10} (x_{i} - 3)^{2}}{10} \\ = \frac{\sum_{i = 1}^{5} ((x_{i} - 2) - 1)^{2} + \sum_{i = 6}^{10} ((x_{i} - 4) + 1)^{2}}{10} \\ = \frac{\sum_{i = 1}^{5} ((x_{i} - 2)^{2} - 2 (x_{i} - 2) + 1) + \sum_{i = 6}^{10} ((x_{i} - 4)^{2} + 2 (x_{i} - 4) + 1)}{10} \\ = \frac{\sum_{i = 1}^{5} ((x_{i} - 2)^{2} - 2 x_{i} + 5) + \sum_{i = 6}^{10} ((x_{i} - 4)^{2} + 2 x_{i} - 7}{10} \\ = \frac{20 - 2 (2 \cdot 5) + 5 \cdot 5 + 25 + 2 (4 \cdot 5) - 5 \cdot 7}{10} \\ = \frac{20 - 20 + 25 + 25 + 50 - 45}{10} \\ = \frac{55}{10} = 5, 5 \end{aligned}$ Catatan: “Memaksa” agar muncul bentuk $(x_{i} - 2)$ dan $(x_{i} - 4)$ pada notasi sigma di atas dengan sedikit aljabar merupakan kunci utama menyelesaikan soal ini.
Jadi, varians data gabungan tersebut adalah $5, 5$
(Jawaban D)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Tabel berikut menunjukkan besar pendapatan (gaji) dalam ratusan ribu rupiah orang tua siswa pada kelas XII PM di suatu SMK.
$\begin{array}{cc} Gaji & Frekuensi \\ 20 - 24 & 10 \\ 25 - 29 & 23 \\ 30 - 34 & p \\ 35 - 39 & 22 \\ 40 - 44 & 12 \\ 45 - 49 & 9 \end{array}$
Median terletak pada kelas interval $30 - 34$ . Jika median dari data berkelompok di atas adalah $33$ , tentukan nilai $p$ .

Pembahasan

Lengkapi tabel di atas dengan menambahkan kolom frekuensi kumulatif.
$\begin{array}{ccc} Gaji & Frekuensi & f_{k} \\ 20 - 24 & 10 & 10 \\ 25 - 29 & 23 & 33 \\ 30 - 34 & p & 33 + p \\ 35 - 39 & 22 & 55 + p \\ 40 - 44 & 12 & 67 + p \\ 45 - 49 & 9 & 76 + p \end{array}$
Kelas median terletak pada kelas dengan interval $30 - 34$ . Diketahui:
$\begin{aligned} L_{0} & = 29, 5 \\ c & = 34 - 30 + 1 = 5 \\ n & = 76 + p \\ \sum F_{k m} & = 33 \\ f_{m} & = p \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai $p$ dapat ditentukan dengan memanfaatkan rumus median.
$\begin{aligned} Me & = L_{0} + c (\frac{\frac{n}{2} - \sum F_{k m}}{f_{m}}) \\ 33 & = 29, 5 + 5 (\frac{\frac{76 + p}{2} - 33}{p}) \\ 3, 5 & = 5 (\frac{76 + p - 66}{2 p}) \\ 7 p & = 5 (10 + p) \\ 2 p & = 50 \\ p & = 25. \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ adalah $25$

[collapse]

Soal Nomor 2

Berikut ini adalah data produksi harian (dalam ribuan) di sebuah perusahaan mainan anak-anak selama $2$ minggu:
$\begin{array}{ccccccc} 10 & 9 & 10 & 11 & 12 & 14 & 15 \\ 12 & 9 & 13 & 14 & 10 & 9 & 8 \end{array}$
Tentukan nilai jangkauan inter-kuartil data tersebut.

Pembahasan

Urutkan data di atas mulai dari yang terkecil.
$\begin{array}{ccccccc} 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 \\ 11 & 12 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 \end{array}$
Jangkauan inter-kuartil adalah selisih nilai kuartil atas dengan kuartil bawah sehingga keduanya perlu ditentukan terlebih dahulu sebagai berikut.
$\begin{aligned} Q_{1} & = x_{\frac{n + 2}{4}} = x_{\frac{14 + 2}{4}} = x_{4} = 9 \\ Q_{3} & = x_{\frac{3 n + 2}{4}} = x_{\frac{3 (14) + 2}{4}} = x_{11} = 13 \end{aligned}$
dengan catatan notasi $x_{i}$ menyatakan datum urutan ke- $i$ .
Dengan demikian,
$Q_{R} = Q_{3} - Q_{1} = 13 - 9 = 4.$
Jadi, jangkauan inter-kuartil data tersebut adalah $4$

[collapse]

Soal Nomor 3

Diketahui data tinggi badan $50$ siswa kelas XII-MIPA B sebagai berikut dalam satuan cm.
$\begin{array}{cc} Tinggi Badan & Frekuensi \\ 131 - 140 & 2 \\ 141 - 150 & 8 \\ 151 - 160 & 13 \\ 161 - 170 & 12 \\ 171 - 180 & 9 \\ 181 - 190 & 6 \end{array}$
Tentukan simpangan bakunya.

Pembahasan

Buatlah tabel untuk membantu perhitungan rata-rata data berkelompok di atas.
$\begin{array}{cccc} Tinggi Badan & f & x_{i} & f_{i} x_{i} \\ 131 - 140 & 2 & 135, 5 & 271 \\ 141 - 150 & 8 & 145, 5 & 1.164 \\ 151 - 160 & 13 & 155, 5 & 2.021, 5 \\ 161 - 170 & 12 & 165, 5 & 1.986 \\ 171 - 180 & 9 & 175, 5 & 1.579, 5 \\ 181 - 190 & 6 & 185, 5 & 1.113 \\ Jumlah & 50 & - & 8.135 \end{array}$ Jadi, diperoleh rata-ratanya
$\overset{―}{x} = \frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}} = \frac{8.135}{50} = 162, 7.$
Selanjutnya, buat tabel berikut.
$\begin{array}{cccccc} TB & f_{i} & x_{i} & (x_{i} - \overset{―}{x}) & (x_{i} - \overset{―}{x})^{2} & f_{i} (x_{i} - \overset{―}{x})^{2} \\ 131 - 140 & 2 & 135, 5 & - 27, 2 & 739, 84 & 1.479, 68 \\ 141 - 150 & 8 & 145, 5 & - 17, 2 & 295, 84 & 2.366, 72 \\ 151 - 160 & 13 & 155, 5 & - 7, 2 & 51, 84 & 673, 92 \\ 161 - 170 & 12 & 165, 5 & 2, 8 & 7, 84 & 94, 08 \\ 171 - 180 & 9 & 175, 5 & 12, 8 & 163, 84 & 1.474, 56 \\ 181 - 190 & 6 & 185, 5 & 22, 8 & 519, 84 & 3.119, 04 \\ Jumlah & 50 & - & - & - & 9.208 \end{array}$ Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} S_{B} & = \sqrt{\frac{\sum f_{i} (x_{i} - \overset{―}{x})^{2}}{\sum f_{i}}} \\ = \sqrt{\frac{9.208}{50}} \approx 13, 571. \end{aligned}$
Jadi, simpangan baku data itu adalah $13, 571$

[collapse]

Soal Nomor 4

Dari beberapa kali ujian pelajaran Matematika, Bahasa Inggris, dan Kimia, seorang siswa mendapatkan nilai dalam bentuk distribusi seperti pada tabel di bawah.
$\begin{array}{ccc} Pelajaran & Me dian & Mo dus \\ Mate matika & 7, 5 & 6, 0 \\ Bahasa Inggris & 7, 5 & 7, 0 \\ Kim ia & 6, 5 & 7, 5 \end{array}$
Pada mata pelajaran apa siswa itu mendapatkan hasil yang terbaik?

Pembahasan

Hasil terbaik dilihat dari rata-rata ujian untuk setiap mata pelajaran. Hubungan empiris rata-rata $(\overset{―}{x})$ , median $(Me)$ , dan modus $(Mo)$ dinyatakan oleh
$Mo = 3 Md - 2 \overset{―}{x}$
Pelajaran Matematika:
$\begin{aligned} 6, 0 & = 3 (7, 5) - 2 \overset{―}{x} \\ 6, 0 & = 22, 5 - 2 \overset{―}{x} \\ 2 \overset{―}{x} & = 16, 5 \\ \overset{―}{x} & = 8, 25 \end{aligned}$
Pelajaran Bahasa Inggris:
$\begin{aligned} 7, 0 & = 3 (7, 5) - 2 \overset{―}{x} \\ 7, 0 & = 22, 5 - 2 \overset{―}{x} \\ 2 \overset{―}{x} & = 15, 5 \\ \overset{―}{x} & = 7, 75 \end{aligned}$
Pelajaran Kimia:
$\begin{aligned} 7, 5 & = 3 (6, 5) - 2 \overset{―}{x} \\ 7, 5 & = 19, 5 - 2 \overset{―}{x} \\ 2 \overset{―}{x} & = 12 \\ \overset{―}{x} & = 6 \end{aligned}$
Jadi, rata-rata tertinggi ada pada pelajaran Matematika. Dengan kata lain, siswa itu memperoleh hasil terbaik pada pelajaran Matematika.

[collapse]

Soal Nomor 5

Didapat hasil ujian matematika untuk $40$ mahasiswa sebagai berikut:
$\begin{array}{cccccccc} 63 & 78 & 85 & 95 & 77 & 62 & 93 & 90 \\ 81 & 57 & 97 & 61 & 75 & 87 & 73 & 82 \\ 67 & 80 & 62 & 78 & 65 & 79 & 84 & 80 \\ 85 & 53 & 71 & 83 & 68 & 63 & 85 & 76 \\ 77 & 74 & 75 & 71 & 60 & 93 & 70 & 68 \end{array}$
Buatlah tabel distribusi frekuensi dan histogram berdasarkan data di atas dengan menggunakan Aturan Sturges.

Pembahasan

Langkah 1: Menentukan Rentang
Rentang adalah selisih nilai tertinggi dan terendah, yaitu $R = 97 - 53 = 44.$
Langkah 2: Menentukan banyak kelas dengan menggunakan Aturan Sturges dengan banyak datanya $n = 40.$
$\begin{aligned} M & = 1 + 3, 3 \log n \\ = 1 + 3, 3 \log 40 \approx 6, 29 \end{aligned}$
Ini berarti, banyak kelas yang dapat dibuat adalah $6$ atau $7$ . Misalnya, kita pilih $7$ kelas, yakni $M = 7.$
Langkah 3: Menentukan lebar kelas
$c = \frac{R}{M} = \frac{44}{7} \approx 6, 29.$
Pilih $c = 7$ (supaya sama dengan banyak kelasnya).
Dengan demikian, dapat dibuat tabel distribusi frekuensi seperti berikut.
$\begin{array}{cc} Nilai & Frekuensi \\ 52 - 58 & 2 \\ 59 - 65 & 7 \\ 66 - 72 & 6 \\ 73 - 79 & 10 \\ 80 - 86 & 9 \\ 87 - 93 & 4 \\ 94 - 100 & 2 \\ Jumlah & 40 \end{array}$
Histogram yang dapat dibuat berdasarkan tabel distribusi frekuensi di atas adalah seperti berikut.

[collapse]

Soal Nomor 6

Buktikan kesamaan rumus varians data tunggal berikut.
$\frac{\sum (x_{i} - \overset{―}{x})^{2}}{n} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - {(\frac{\sum x_{i}}{n})}^{2}$ dengan $x_{i}, \overset{―}{x},$ dan $n$ berturut-turut menyatakan datum ke- $i,$ rata-rata data, dan banyak datum.

Pembahasan

Berdasarkan definisi rata-rata, diketahui bahwa $\overset{―}{x} = \frac{\sum x_{i}}{n} .$
Dengan menggunakan aljabar dan fakta di atas, akan dibuktikan kesamaan dimulai dari ruas kiri.
$\begin{aligned} \frac{\sum (x_{i} - \overset{―}{x})^{2}}{n} & = \frac{\sum (x_{i}^{2} - 2 x_{i} \overset{―}{x} + (\overset{―}{x})^{2})}{n} \\ = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - \frac{\sum (2 x_{i} \overset{―}{x} - (\overset{―}{x})^{2})}{n} \\ = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - \frac{1}{n} (2 \overset{―}{x} \sum x_{i} - n (\overset{―}{x})^{2}) \\ = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - \frac{1}{n} (2 \cdot \frac{\sum x_{i}}{n} \cdot \sum x_{i} - n {(\frac{\sum x_{i}}{n})}^{2}) \\ = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - \frac{1}{n} (\frac{2}{n} \cdot (\sum x_{i})^{2} - \frac{1}{n} \cdot (\sum x_{i})^{2}) \\ = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - \frac{1}{n^{2}} \cdot (\sum x_{i})^{2} \\ = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - {(\frac{\sum x_{i}}{n})}^{2} \end{aligned}$ Jadi, terbukti bahwa kesamaan $\frac{\sum (x_{i} - \overset{―}{x})^{2}}{n} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - {(\frac{\sum x_{i}}{n})}^{2}$ berlaku.

[collapse]