Tag: Operasi Biner

Subgrup dari grup $(\mathbb{R}, +)$ antara lain:

1. $(\mathbb{R}, +)$ (himpunan itu sendiri)
2. $(\mathbb{Q}, +)$
3. $(\mathbb{Z}, +)$
4. $({0}, +)$
   
   [collapse]

Perlu diperhatikan bahwa $M_2(\mathbb{R})$ merupakan himpunan matriks berukuran $2 \times 2$ yang entri-entrinya bilangan real.
Subgrup dari grup $\left(M_2(\mathbb{R}), +\right)$ antara lain:

1. $\left(M_2(\mathbb{R}), +\right)$(himpunan itu sendiri)
2. $\left(M_2(\mathbb{Q}), +\right)$
3. $\left(M_2(\mathbb{Z}), +\right)$
4. $\left(\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, +\right)$ 
   
   [collapse]

Untuk menyelesaikan kasus ini, kita menggunakan teorema subgrup:
Misalkan $(G, \star)$ grup dan $H$ adalah subset tak kosong $H$ dari $G$. $H$ disebut subgrup dari $G$ jika operasi $\star$ dalam $H$ bersifat tertutup dan setiap anggota $H$ memiliki invers di $H$.
i) Menunjukkan apakah operasi $\star$ dalam $H \cap K$ bersifat tertutup.
Ambil sembarang $a,b \in H \cap K$, sehingga $a,b \in H$ dan $a, b \in K$. Karena $H$ subgrup, maka $a \star b \in H$, dan juga karena K subgrup, maka $a \star b \in K$. Akibatnya, $a \star b \in H \cap K$. Jadi, sifat tertutup terpenuhi.
ii) Menunjukkan apakah setiap anggota $H \cap K$ memiliki invers di $H \cap K$.
Misalkan $a \in H$ dan karena $H$ subgrup, maka $a^{-1} \in H$. Misalkan juga $a \in K$ dan karena $K$ subgrup, maka $a^{-1} \in H$. Akibatnya, $a^{-1} \in H \cap K$. Jadi, sifat invers terpenuhi.
Dengan menggunakan teorema yang telah disebutkan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa $H \cap K$ merupakan subgrup dari $G$.

Karena $H$ dan $K$ subgrup dari $G$, maka unsur identitas juga ada di $H$ maupun $K$. Ini berarti, $H \cap K$ paling mungkin (setidaknya) subgrup $G$ dengan anggota $\{e\}$, yang merupakan subgrup trivial.

Perhatikan tabel penjumlahan modulo $6$ berikut.
Jika kita perhatikan dengan saksama, kita akan menemukan bahwa himpunan $\{0, 2, 4\}$ dan $\{0, 3\}$ merupakan subgrup dari $\mathbb{Z}_6$ karena operasinya bersifat tertutup (hasil operasinya juga merupakan anggota himpunan tersebut). Dari hasil penjumlahan modulo $6$ di $\mathbb{Z}_6$, yang termasuk subgrup nontrivial sejati adalah $\{0, 2, 4\}$ dan $\{0, 3\}$.
Diagram lattice-nya adalah sebagai berikut.
Tampak pada diagram bahwa $\mathbb{Z}_6$ merupakan subgrup terbesar dari dirinya sendiri, sedangkan subgrup yang lainnya adalah $\{0, 2, 4\}$ dan $\{0, 3\}$ dengan identitas $\{0\}$.

Kita akan menyelesaikan kasus ini dengan menggunakan teorema subgrup:
Misalkan $(G, *)$ grup dan $H$ subset tak kosong dari $G$. $H$ subgrup dari $G$ jika dan hanya jika untuk setiap $a, b \in H$ berlaku $a * b^{-1} \in H$.
Dalam hal ini, ambil sembarang $p, q \in H$ dan akan ditunjukkan bahwa $p * q^{-1} \in H.$
Karena $p \in H$, maka $p = a^n, n \in \mathbb{Z}$. Demikian pula, karena $q \in H$, maka $q = a^m, m \in \mathbb{Z}$, sedangkan $q^{-1} = (a^m)^{-1} = a^{-m}, m \in \mathbb{Z}$. Berarti,
$\begin{aligned} p*q^{-1} & = a^n * a^{-m} \\ & = a^{n -m}, n -m \in \mathbb{Z}. \end{aligned}$
Jadi, $p * q^{-1} \in \mathbb{Z}$.
Terbukti bahwa $H$ subgrup dari $G$.

Diketahui $\mathbb{Z}_6 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$. Jadi, semua alternatif jawaban merupakan subset darinya. Ingat kembali aksioma yang harus dipenuhi agar suatu struktur aljabar dikatakan sebagai grup, yaitu tertutup pada operasinya, berlaku sifat asosiatif, memiliki identitas, dan setiap elemen memiliki invers padanya. Dari kelima pilihan yang diberikan, $\{0, 1\}$ tidak memenuhi sifat tertutup, karena $1 +_6 1 = 2.$
padahal 2 bukan anggotanya.  Dengan kata lain, $4$ alternatif jawaban lainnya merupakan subgrup dari $(\mathbb{Z}_6, +)$. Jadi, pilih jawaban B.

Sebagai penjelas, grup yang dimaksud diikat oleh operasi penjumlahan modulo yang bersangkutan.

1. Grup $\mathbb{Z}_4$ memiliki subgrup selain yang disebutkan pada soal, yaitu $\{0, 2\}.$
2. Grup $\mathbb{Z}_6$ memiliki subgrup selain yang disebutkan pada soal, yaitu $\{0, 3\}$ dan $\{0, 2, 4\}.$
3. Grup $\mathbb{Z}_8$ memiliki subgrup selain yang disebutkan pada soal, yaitu $\{0, 2, 4, 6\}$ dan $\{0, 4\}.$
4. Grup $\mathbb{Z}_9$ memiliki subgrup selain yang disebutkan pada soal, yaitu $\{0, 3, 6\}.$

Jadi, alternatif jawaban yang benar adalah C.