Materi, Soal, dan Pembahasan – Aturan Bayes

Aturan Bayes

Aturan Bayes (Bayes’ rule), atau kadang disebut teorema Bayes (Bayes’ theorem), merupakan salah satu teorema penting yang memberi fondasi kuat pada teori peluang. Sesuai namanya, teorema tersebut diberi nama dari penemunya, yaitu Thomas Bayes (1701–1761). Beliau merupakan statistikawan berkebangsaan Inggris.

Uniknya, Bayes tidak pernah memublikasikan karya besarnya ini sampai ia wafat. Namun, Richard Price (1723–1791), matematikawan Inggris, melakukan penyuntingan terhadap catatan peninggalan Bayes dan memublikasikannya secara resmi pada tahun 1763 dengan menamainya sebagai aturan Bayes sebagai tanda penghormatan terakhir kepada Bayes.

Aturan Bayes dibangun melalui konsep partisi dalam himpunan. Perhatikan diagram Venn berikut.
Diagram Venn di atas menunjukkan bahwa kejadian A dapat ditulis sebagai gabungan dari dua kejadian yang saling eksklusif, yaitu EA dan EcA. Dengan kata lain,
A=(EA)(EcA).Jika fakta ini dikaitkan dengan konsep peluang, diperoleh
p(A)=P((EA)(EcA))=p(EA)+p(EcA)=p(E)p(AE)+p(Ec)p(AEc).Dengan ide awal ini, kita dapat menggeneralisasi kasus dengan mempartisi ruang sampel menjadi k himpunan bagian yang selanjutnya diutarakan dalam teorema peluang total (theorem of total probability) atau juga sering dikenal sebagai aturan eliminasi (elimination rule).

Teorema Peluang Total

Jika kejadian B1,B2,,Bk membentuk suatu partisi dari ruang sampel S sehingga p(Bi)0 untuk i{1,2,,k}, maka untuk setiap kejadian A di S, berlaku
p(A)=i=1kp(BiA)=i=1kp(Bi)p(ABi).

Dengan menggunakan teorema peluang total, aturan Bayes kemudian dapat dinyatakan dengan berlandaskan pada definisi peluang bersyarat, yaitu kasus ketika kita ingin mencari nilai dari p(BiA).

Aturan Bayes

Jika kejadian B1,B2,,Bk membentuk suatu partisi dari ruang sampel S sehingga p(Bi)0 untuk i{1,2,,k}, maka untuk setiap kejadian A di S dengan p(A)0, berlaku
p(BrA)=p(BrA)i=1kp(BiA)=p(Br)p(ABr)i=1kp(Bi)p(ABi)untuk r{1,2,,k}.

Bukti

Catatan: Pembulatan yang ditandai dengan penggunaan simbol dilakukan sampai 4 (empat) angka di belakang koma, kecuali untuk kasus tertentu yang telah diberi instruksi khusus.


Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Dua sumber yang digunakan di antaranya adalah buku “Discrete Mathematics and Its Applications” yang ditulis oleh Kenneth H. Rosen dan buku “Probability & Statistics for Engineers & Scientists” yang ditulis oleh Ronald E. Walpole, dkk. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.

No.Bahasa IndonesiaBahasa Inggris1.Aturan BayesBayes’ Rule2.Peluang BersyaratConditional Probability3.Teorema Peluang TotalTheorem of Total Probability4.Saling EksklusifMutually Exclusive5.KeluaranOutcome


Di bawah ini telah disediakan sejumlah soal dan pembahasan tentang aturan Bayes. Sebagian soal dibuat oleh penulis sendiri dan sebagian lainnya diadaptasi dari literatur.

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Peluang Bersyarat 

Quote by James Cameron

If you set your goals ridiculously high and it’s a failure, you will fail above everyone else’s success.

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Suatu pabrik menggunakan tiga jenis mesin, B1,B2, dan B3, untuk membuat produk dengan porsi berturut-turut sebesar 30%,45%, dan 25%. Pengalaman masa lalu menunjukkan bahwa 2%,3%, dan 2% produk yang diproses oleh masing-masing mesin secara berurutan merupakan produk yang cacat. Misalkan suatu produk jadi dipilih secara acak. Berapa peluang bahwa produk terpilih tersebut cacat?

Pembahasan

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang (Tingkat SMP/Sederajat) 

Soal Nomor 2

Diketahui perbandingan populasi laki-laki dan perempuan di dunia adalah 101:100. Di sisi lain, 80% wanita menggunakan baju merah muda, sedangkan 25% pria menggunakan baju merah muda. Pada suatu saat, seorang pria berbicara dengan orang berbaju merah muda. Berapa peluang bahwa orang tersebut merupakan seorang perempuan?

Pembahasan

Soal Nomor 3

Sebanyak 0,1% dari populasi kumbang di seluruh dunia merupakan subspesies langka yang umumnya memiliki pola tertentu di punggungnya. Secara spesifik, 98% dari subspesies kumbang tersebut memiliki pola itu. Namun, entomolog juga menemukan fakta bahwa beberapa kumbang biasa juga memiliki pola tersebut. Secara keseluruhan, 5% dari semua kumbang memiliki pola yang dimaksud.
Jika seorang entomolog menemukan seekor kumbang dengan pola tersebut di punggungnya, berapa peluang bahwa kumbang tersebut merupakan subspesies langka?

Pembahasan

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang dan Kombinatorika (Tingkat SMA) 

Soal Nomor 4

Misalkan terdapat empat inspektur, sebutlah A,B,C, dan D, yang ditugaskan untuk memasang label pada setiap paket barang milik konsumen. A yang memasang label sebanyak 20% dari keseluruhan paket kurang teliti sehingga 1 dari 200 paket tidak dilabeli. B memasang label sebanyak 60%, tetapi 1 dari 100 paket tidak dilabeli. C memasang label sebanyak 15%, tetapi 1 dari 50 paket tidak dilabeli. D memasang label sebanyak 5%, tetapi 1 dari 200 paket tidak dilabeli. Jika seorang pelanggan mengeluh karena paketnya tidak dilabeli, berapa peluang bahwa paket tersebut seharusnya dilabeli oleh A?

Pembahasan

Soal Nomor 5

Departemen kepolisian di suatu kawasan berencana untuk membatasi kecepatan berkendara sepeda motor dengan menggunakan jebakan radar yang dipasang di empat lokasi berbeda. Jebakan radar pada masing-masing lokasi L1,L2,L3, dan L4 akan beroperasi 40%, 30%, 20%, dan 30% saat itu. Jika seseorang yang mengebut memiliki peluang berturut-turut 0,2, 0,1, 0,5, dan 0,2 untuk melalui empat lokasi tersebut, tentukan

  1. peluang bahwa ia akan mendapatkan surat tilang karena mengebut;
  2. peluang bahwa ia akan melewati jebakan radar yang berlokasi di L2 setelah diketahui bahwa ia ternyata mendapatkan surat tilang.

Pembahasan

Soal Nomor 6

Suatu toko menjual dua jenis cat, yaitu cat air dan cat minyak. Berdasarkan data penjualan jangka panjang, diketahui bahwa peluang seorang pelanggan membeli cat air adalah 0,65. Sebanyak 60% di antara mereka juga membeli penggulung (roller). Di sisi lain, yang membeli penggulung hanya 30% dari pelanggan yang membeli cat minyak. Jika seorang pelanggan dipilih secara acak dan diketahui bahwa pelanggan tersebut membeli penggulung dan sekaleng cat, berapa peluang bahwa cat yang dibeli merupakan cat air?

Pembahasan

Soal Nomor 7

Suatu serum kejujuran (truth serum) memiliki karakteristik bahwa sebesar 90% kemungkinan tersangka yang bersalah memang akan dipersalahkan, sedangkan 10% sisanya malah dinyatakan tidak bersalah. Di sisi lain, tersangka yang tidak bersalah ditetapkan bersalah sebesar 1% kemungkinan. Jika seorang tersangka dipilih dalam sejumlah tersangka yang 5% di antaranya melakukan tindak kejahatan dan tersangka yang dipilih tersebut ditetapkan bersalah oleh serum kejujuran, berapa peluang bahwa ia tidak bersalah?

Pembahasan

Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Peluang Binomial 

Soal Nomor 8

Suatu penelitian menyimpulkan bahwa diperkirakan 0,8% dari banyak penduduk negara X terjangkit virus HIV. Tes diagnostik kemudian dilakukan sebagai upaya untuk mendeteksi apakah seseorang terjangkit virus tersebut atau tidak.
Berdasarkan data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu, sebanyak 99,99% orang yang terjangkit HIV akan memperoleh hasil positif dari tes tersebut. Selain itu, sebanyak 1,6% dari jumlah penduduk yang dites memperoleh hasil positif.

  1. Jika seseorang dipilih secara acak dan diketahui bahwa ia dinyatakan positif oleh tes diagnostik tersebut, tentukan peluang ia benar-benar terjangkit virus HIV.
  2. Jika seseorang dipilih secara acak dan diketahui bahwa ia dinyatakan negatif oleh tes diagnostik tersebut, tentukan peluang ia sebenarnya terjangkit virus HIV. Nyatakan dalam notasi ilmiah berbentuk a×10b dengan a merupakan bilangan dengan dua angka di belakang koma.

Pembahasan

Soal Nomor 9

Di suatu negara, data menunjukkan bahwa peluang memilih seorang dewasa di atas 40 tahun yang mengidap penyakit kanker adalah 0,05. Jika peluang seorang dokter mendiagnosis secara tepat bahwa seseorang mengidap penyakit kanker adalah 0,78 dan peluang salah mendiagnosis (didiagnosis mengidap penyakit kanker, padahal sebenarnya tidak) adalah 0,04, tentukan

  1. peluang seorang dewasa di atas 40 tahun didiagnosis mengidap penyakit kanker;
  2. peluang seorang dewasa yang didiagnosis mengidap penyakit kanker ternyata memang mengidap penyakit tersebut.

Pembahasan

Soal Nomor 10

Panitia suatu olimpiade menggunakan tiga hotel sebagai akomodasi bagi para peserta untuk bermalam selama beberapa hari. Tiga hotel tersebut adalah Hotel Mawar, Hotel Melati, dan Hotel Anggrek. Data masa lampau menunjukkan bahwa sebanyak 20%,50%, dan 30% dari banyak peserta berturut-turut ditempatkan di Hotel Mawar, Hotel Melati, dan Hotel Anggrek. Diketahui bahwa 5%,4%, dan 8% berturut-turut dari banyak kamar di Hotel Mawar, Hotel Melati, dan Hotel Anggrek mengalami masalah pada pipa wastafel.

  1. Tentukan peluang seorang peserta ditempatkan di kamar yang mengalami masalah pada pipa wastafel.
  2. Tentukan peluang seorang peserta yang ditempatkan di kamar yang mengalami masalah pada pipa wastafel berada di Hotel Anggrek.

Pembahasan

Soal Nomor 11

Suatu perusahaan konstruksi mempekerjakan sejumlah pengelas profesional. Dari catatan sebelumnya, perusahaan mengetahui bahwa 5% dari hasil pengelasan yang dilakukan oleh pengelas tidak memenuhi syarat keamanan industri. Dengan kata lain, hasil pengelasan tersebut merupakan produk cacat (C). Oleh karena itu, setiap hasil pengelasan pada setiap proyek konstruksi akan diawasi oleh inspektur perusahaan. Performa inspektur juga ikut dipantau. Observasi yang dilakukan selama beberapa tahun menunjukkan bahwa: (1) Setiap hasil pengelasan yang cacat (C) diklasifikasikan cacat (KC) oleh inspektur dengan akurasi 96%, sisanya diklasifikasikan baik (KB); (2) Setiap hasil pengelasan yang baik (B) diklasifikasikan cacat (KC) sebanyak 2% sepanjang waktu, sedangkan sisanya diklasifikasikan baik (KB).

  1. Gambarkan diagram pohon yang merepresentasikan semua keluaran yang mungkin (beserta peluangnya) dari percobaan memilih suatu hasil pengelasan secara acak untuk inspeksi dan klasifikasinya oleh inspektur.
  2. Jika suatu hasil pengelasan yang dipilih secara acak diklasifikasikan baik (KB) oleh inspektur, tentukan peluang bahwa hasil pengelasan tersebut sebenarnya cacat.

Pembahasan