Soal dan Pembahasan – Notasi Sigma

      Ketika berbicara mengenai penjumlahan suku-suku dari suatu barisan bilangan, kita menggunakan notasi sigma, atau kadang disebut sebagai notasi sumasi (summation notation). Hal ini dilakukan semata-mata untuk mempersingkat penulisan. Berikut kita definisikan notasi tersebut.

Definisi: Notasi Sigma

Misalkan terdapat barisan am,am+1,am+2,,an untuk suatu bilangan asli m dan n dengan mn. Penjumlahan setiap suku dari barisan tersebut dinyatakan oleh
am+am+1+am+2++an=i=mnai.Dalam notasi sigma, m dan n berturut-turut disebut sebagai batas bawah (lower limit) dan batas atas (upper limit).

   Perhitungan yang melibatkan notasi sigma selanjutnya disebut sebagai operasi sumasi. Penggunaannya tampak semakin intensif ketika mempelajari matematika tingkat lanjut (advanced mathematics). Sifat-sifat operasi sumasi yang dipakai untuk menyelesaikan soal dapat dilihat di bawah ini. 

Sifat 1: Operasi Sumasi

Misalkan n merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari 1. Jika c merupakan konstanta (bilangan real), maka i=1nc=nc.

Bukti Sifat 1

Sifat 2: Operasi Sumasi

Misalkan n merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari 1. Jika c merupakan konstanta (bilangan real) dan ai merupakan suku ke-i dari suatu barisan bilangan, maka i=1ncai=ci=1nai.

Bukti Sifat 2

Sifat 3: Operasi Sumasi

Misalkan n merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari 1. Jika ai dan bi merupakan suku ke-i dari suatu barisan bilangan, maka i=1n(ai±bi)=i=1nai±i=1nbi.

Bukti Sifat 3

Sifat 4: Operasi Sumasi

Misalkan n merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari 1. Jika m merupakan bilangan bulat dengan 1<m<n dan ai merupakan suku ke-i dari suatu barisan bilangan, maka berlaku i=1nai=i=1mai+i=m+1nai.

Bukti Sifat 4

Sifat 5: Operasi Sumasi

Misalkan n merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari 1. Jika m1 dan p1 merupakan bilangan bulat serta ai merupakan suku ke-i dari suatu barisan bilangan, maka i=mnai=i=m+pn+paip.

Bukti Sifat 5

Beberapa rumus deret yang berkaitan dengan notasi sigma berikut banyak dipakai untuk menyelesaikan soal. 

Rumus Deret

k=1nk=n(n+1)2k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6k=1nk3=(n(n+1)2)2

      Untuk memantapkan pemahaman mengenai notasi sigma, berikut disajikan beberapa soal beserta pembahasannya. Soal juga dapat diunduh melalui tautan berikut: Download (PDF, 164 KB).

Today Quote

Ketika rasa ingin menyerah menghampiri, ingatlah sudah seberapa jauh Anda berjuang untuk tidak menyerah sebelum-sebelumnya.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Nilai dari k=14(k2+2k)=
A. 30                     D. 60
B. 40                     E. 80
C. 50

Pembahasan

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Sumasi Rangkap 

Soal Nomor 2

Nilai dari k=1620(k15)(2k27) adalah
A. 180                        D. 105
B. 155                        E. 65
C. 120

Pembahasan

Soal Nomor 3

Nilai dari i=451(4i5) adalah
A. 5.030                       D. 5.060
B. 5.040                       E. 5.070
C. 5.050

Pembahasan

Soal Nomor 4

Notasi sigma untuk menyatakan 26+1014+18+ 130134 
adalah
A. k=134(1)k2k
B. k=134(1)k(2(k+1))
C. k=134(1)k+1(3k1)
D. k=134(2)k
E. k=134(1)k+1(4k2)

Pembahasan

Soal Nomor 5

Notasi sigma dari deret 31+1+3+5+7++25 adalah
A. n=130(2n5)                  D. n=122(2n3)
B. n=115(2n5)                  E. n=120(2n5)
C. n=115(2n3)

Pembahasan

Soal Nomor 6

Notasi sigma yang ekuivalen dengan k=59(2k5)2 adalah
A. k=15(2k5)2
B. k=15(2k3)2
C. k=152k2+5k=15(2k+1)
D. 4k=15k2+3k=15(4k+3)
E. 4k=15k2+k=15(4k+3)

Pembahasan

Soal Nomor 7

Diketahui i=625pi=10. Nilai i=625(2+pi)=
A. 50                       C. 70                   E. 90
B. 60                       D. 80       

Pembahasan

Soal Nomor 8

Diberikan i=150Ui=60 dan i=150ki=21. Nilai dari i=150(2Ui3ki+4)=
A. 725                         D. 275
B. 572                         E. 257
C. 527

Pembahasan

Soal Nomor 9

Bentuk n=110(n24) bila diubah ke dalam notasi sigma dengan batas atas 7 menjadi
A. n=27(n2+7)
B. n=27(n27)
C. n=27(n24)
D. n=27(n2+6n+13)
E. n=27(n2+6n+5)

Pembahasan

Soal Nomor 10

Nilai k=1p(4k15) adalah
A. 4p223p                     D. 2p213p
B. 4p213p                     E. 2p211p
C. 2p226p

Pembahasan

Soal Nomor 11

Nilai dari k=1a(6k19) adalah
A. a24a
B. a2+8a
C. 3a216a
D. 3a2+16a
E. 6a232a

Pembahasan

Soal Nomor 12

Diketahui k=1020k3=42.075. Nilai dari k=1121(k33k2+3k1) adalah
A. 126.225                 D. 42.075
B. 84.150                   E. 14.025
C. 56.100

Pembahasan

Soal Nomor 13

Diketahui k=49(2(k3)2+3p)=k=244016. Nilai p yang memenuhi adalah
A. 3                    C. 8                    E. 15
B. 5                    D. 12

Pembahasan

Soal Nomor 14

Bentuk lain dari n=130(n2+1)=
A. n=115(2n2+30n+224)
B. n=115(2n2+30n+225)
C. n=115(2n2+30n+226)
D. n=115(2n2+30n+227)
E. n=115(2n2+30n+230)

Pembahasan

Soal Nomor 15

Diketahui bentuk penjumlahan dua buah notasi sigma p=17p2+1p+1+p=15(p+1). Jika dituliskan dalam satu buah notasi sigma, maka hasilnya adalah
A. p=172p2p2+1
B. p=172p2p+1
C. p=172p+1
D. p=172p2p+1
E. p=172pp+1

Pembahasan

Soal Nomor 16

Diketahui S=i=1n(14i21).
Nilai S bila dinyatakan dalam n adalah
A. n2n+1                     D. n2n1
B. 14n21                   E. 2n12n+1
C. 2n2n+1

Pembahasan

Soal Nomor 17

Rata-rata dari nilai 1,2,3,,n dengan masing-masing frekuensi x,2x,3x,,nx adalah
A. n12                      D. 2n+16
B. n2                              E. 2n+13
C. n+12

Pembahasan

Soal Nomor 18

Untuk n bilangan asli, deret berhingga k=1n(k50) akan bernilai lebih besar dari 50 jika
A. n100                     D. 1n101
B. n101                     E. 1<n<101
C. n=100

Pembahasan

Soal Nomor 19

Notasi sigma yang ekuivalen dengan k=110(2k2+8k+13) adalah
A. 50+2k=110k2
B. 60+k=110k2
C. 50+k=310k2
D. 50+2k=312k2
E. 60+2k=312k2

Pembahasan
 

Soal Nomor 20

Notasi sigma yang ekuivalen dengan 2k=1nk(2k+5)+2k=1n(k+3)+3n adalah
A. k=1n(4k2+12k+3)
B. k=1n(4k2+10k+3)
C. k=1nk(4k+9) 
D. k=1n(4k+3)2
E. k=1n(2k+3)2

Pembahasan

Soal Nomor 21

Hasil dari n=45n25n+6n24n+4+n=67n25n+6n24n+4 adalah
A. 16960                      D. 16060
B. 16660                      E. 15760
C. 16360

Pembahasan

Soal Nomor 22

Hasil dari p=1n(3p2)(2p+1) adalah
A. 14n(4n2+5n3)
B. 12n(4n2+5n3)
C. 4n3+5n23n
D. 8n3+10n26n
E. 16n3+20n212n

Pembahasan

Soal Nomor 23

Nilai a yang memenuhi persamaan k=21(2a3k)=2 adalah
A. 14                        D. 14
B. 12                        E. 12
C. 0

Pembahasan

Soal Nomor 24

Nilai x yang memenuhi persamaan k=3x7x(4k+1)=85 adalah
A. 0                       C. 2                    E. 5
B. 1                       D. 3

Pembahasan

Soal Nomor 25

Nilai dari k=1402k422k41 adalah
A. 10                   C. 25                E. 40
B. 20                   D. 30

Pembahasan

Soal Nomor 26

Bentuk (nk) sama dengan n!k!(nk)!. Bentuk notasi sigma yang sesuai dengan (22)+(32)+(42)+(52)++ (142) adalah
A. i=214i2i2
B. i=214i2+i2
C. i=114i2i2
D. i=114i2+i2
E. i=214i22

Pembahasan

Soal Nomor 27

Nilai dari s=12.020FPB(s,7) adalah
A. 3.745                    D. 3.748
B. 3.746                    E. 3.749
C. 3.747

Pembahasan

Bagian Esai

Soal Nomor 1

Ubahlah bentuk berikut ke dalam notasi sigma.
a. xx3+x5x7+x9
b. 2+58+1114+1720

Pembahasan

Soal Nomor 2

Nyatakan operasi sigma berikut dalam satu notasi sigma.
a. a=1n(a2+1)a=3n+2(3a5)
b. k=4n(k+2)+k=n+315k

Pembahasan

Soal Nomor 3

Nyatakan deret berikut dalam notasi sigma.
a).2+1+6+13+22++397b).alog1x+alog1x2+alog1x3++alog1x15

Pembahasan

Soal Nomor 4

Buktikan bahwa n=19(2n3)=3n=13(2n+3).

Pembahasan

Soal Nomor 5

Buktikan bahwa i=1n(2i1)2=n(2n1)(2n+1)3.

Pembahasan

Soal Nomor 6

Buktikan bahwa i=1ni3i=(2n1)3n+1+34.

Pembahasan

Soal Nomor 7

Tentukan nilai dari 12.015!+k=12.014k(k+1)!.

Pembahasan

Soal Nomor 8

Buktikan bahwa k=1n(k3(k1)3)=n3.

Pembahasan

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Faktorial