Ketika berbicara mengenai penjumlahan suku-suku dari suatu barisan bilangan, kita menggunakan notasi sigma, atau kadang disebut sebagai notasi sumasi (summation notation). Hal ini dilakukan semata-mata untuk mempersingkat penulisan. Berikut kita definisikan notasi tersebut.
Definisi: Notasi Sigma
Misalkan terdapat barisan untuk suatu bilangan asli dan dengan Penjumlahan setiap suku dari barisan tersebut dinyatakan oleh
Dalam notasi sigma, dan berturut-turut disebut sebagai batas bawah (lower limit) dan batas atas (upper limit).
Perhitungan yang melibatkan notasi sigma selanjutnya disebut sebagai operasi sumasi. Penggunaannya tampak semakin intensif ketika mempelajari matematika tingkat lanjut (advanced mathematics). Sifat-sifat operasi sumasi yang dipakai untuk menyelesaikan soal dapat dilihat di bawah ini.
Sifat 1: Operasi Sumasi
Misalkan merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari Jika merupakan konstanta (bilangan real), maka
Bukti Sifat 1
Misalkan merupakan bilangan bulat dan merupakan bilangan real.
Menurut definisi notasi sigma, diperoleh
Jadi, terbukti bahwa Sifat 1 benar.
[collapse]
Sifat 2: Operasi Sumasi
Misalkan merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari Jika merupakan konstanta (bilangan real) dan merupakan suku ke- dari suatu barisan bilangan, maka
Bukti Sifat 2
Misalkan merupakan bilangan bulat. Misalkan juga merupakan bilangan real dan merupakan suku ke- dari suatu barisan bilangan.
Menurut definisi notasi sigma, diperoleh
Jadi, terbukti bahwa Sifat 2 benar.
[collapse]
Sifat 3: Operasi Sumasi
Misalkan merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari Jika dan merupakan suku ke- dari suatu barisan bilangan, maka
Bukti Sifat 3
Misalkan merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari Misalkan juga dan merupakan suku ke- dari suatu barisan bilangan.
Menurut definisi notasi sigma, diperoleh
Jadi, terbukti bahwa Sifat 3 benar.
[collapse]
Sifat 4: Operasi Sumasi
Misalkan merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari Jika merupakan bilangan bulat dengan dan merupakan suku ke- dari suatu barisan bilangan, maka berlaku
Bukti Sifat 4
Misalkan merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari Misalkan juga merupakan bilangan bulat dengan dan merupakan suku ke- dari suatu barisan bilangan.
Menurut definisi notasi sigma, diperoleh
Jadi, terbukti bahwa Sifat 4 benar.
[collapse]
Sifat 5: Operasi Sumasi
Misalkan merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari Jika dan merupakan bilangan bulat serta merupakan suku ke- dari suatu barisan bilangan, maka
Bukti Sifat 5
Misalkan merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari Misalkan juga dan merupakan bilangan bulat serta merupakan suku ke- dari suatu barisan bilangan.
Menurut definisi notasi sigma, diperoleh
Jadi, terbukti bahwa Sifat 5 benar.
[collapse]
Beberapa rumus deret yang berkaitan dengan notasi sigma berikut banyak dipakai untuk menyelesaikan soal.
Rumus Deret
Untuk memantapkan pemahaman mengenai notasi sigma, berikut disajikan beberapa soal beserta pembahasannya. Soal juga dapat diunduh melalui tautan berikut: Download (PDF, 164 KB).
Today Quote
Ketika rasa ingin menyerah menghampiri, ingatlah sudah seberapa jauh Anda berjuang untuk tidak menyerah sebelum-sebelumnya.
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Nilai dari
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Dengan menggunakan sifat operasi sumasi, diperoleh
Jadi, nilai dari
(Jawaban C)
[collapse]
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Sumasi Rangkap
Soal Nomor 2
Nilai dari adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Jabarkan notasi sigma secara manual.
Diketahui
Untuk , diperoleh
Untuk , diperoleh
Untuk , diperoleh
Untuk , diperoleh
Untuk , diperoleh
Dengan demikian, diperoleh
Jadi, nilai dari
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 3
Nilai dari adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Gunakan sifat/rumus operasi sumasi berikut.
Dengan demikian, kita peroleh
Jadi, nilai dari
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 4
Notasi sigma untuk menyatakan
adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Deret tersebut terbentuk dari barisan aritmetika:
Diketahui suku pertamanya dan beda antarsuku sehingga
Banyaknya suku pada barisan itu adalah
Barisan baru:
Karena untuk setiap suku genap, nilai suku pada barisan bernilai negatif, maka rumus suku ke- berubah menjadi
Dengan demikian, notasi sigma dari deret yang terbentuk adalah
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 5
Notasi sigma dari deret adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Tinjau barisan aritmetika:
Diketahui: dan
Rumus suku ke- barisan di atas adalah
Banyaknya suku pada barisan tersebut dinyatakan oleh
Dengan demikian, notasi sigma dari deret adalah
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 6
Notasi sigma yang ekuivalen dengan adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Gunakan sifat operasi sumasi berikut.
Dengan demikian, diperoleh
Jadi, Notasi sigma yang ekuivalen dengan adalah
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 7
Diketahui . Nilai
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Gunakan sifat operasi sumasi berikut.
Dengan demikian, kita peroleh
Jadi, nilai dari
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 8
Diberikan dan . Nilai dari
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Diketahui:
Dengan menggunakan sifat dan operasi sumasi, diperoleh
Jadi, nilai dari
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 9
Bentuk bila diubah ke dalam notasi sigma dengan batas atas menjadi
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Gunakan sifat operasi sumasi berikut.
Dengan demikian, diperoleh
Jadi, bentuk jika diubah dalam bentuk notasi sigma dengan batas atas akan menjadi
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 10
Nilai adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Gunakan sifat/rumus operasi sumasi berikut.
Dengan demikian, kita peroleh
Jadi, nilai dari
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 11
Nilai dari adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Dengan menggunakan sifat dan operasi sumasi serta rumus deret , diperoleh
Jadi, nilai dari
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 12
Diketahui . Nilai dari adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Perhatikan bahwa bentuk dapat difaktorkan menjadi .
Dengan menggunakan fakta ini beserta sifat operasi sumasi, kita tuliskan
Jadi, nilai dari
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 13
Diketahui . Nilai yang memenuhi adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Dengan menggunakan sifat operasi sumasi serta rumus deret bahwa , diperoleh
Jadi, nilai yang memenuhi adalah
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 14
Bentuk lain dari
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Dengan menggunakan sejumlah sifat-sifat operasi sumasi, diperoleh
Jadi, bentuk lain dari
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 15
Diketahui bentuk penjumlahan dua buah notasi sigma . Jika dituliskan dalam satu buah notasi sigma, maka hasilnya adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Dengan menggunakan sifat operasi sumasi, diperoleh
Jadi, bentuk jika dituliskan dalam satu buah notasi sigma adalah
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 16
Diketahui .
Nilai bila dinyatakan dalam adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Dekomposisikan bentuk terlebih dahulu.
Dari sini, diperoleh
Misalkan sehingga
Misalkan sehingga
Untuk itu, dapat ditulis
Kembali ke dalam bentuk notasi sigma, lalu terapkan Prinsip Teleskopik.
Jadi, nilai bila dinyatakan dalam adalah
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 17
Rata-rata dari nilai dengan masing-masing frekuensi adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Mean (rata-rata) dihitung dengan cara membagi jumlah nilai terhadap total frekuensi. Rata-ratanya dinyatakan oleh
Jadi, rata-rata dari data yang diberikan itu adalah
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 18
Untuk bilangan asli, deret berhingga akan bernilai lebih besar dari jika
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Pertidaksamaan berikut diberlakukan.
Dengan menggunakan sifat operasi sigma, diperoleh
Pembuat nol dari pertidaksamaan terakhir adalah atau Karena bertanda lebih besar dari, maka penyelesaiannya adalah
Karena tidak mungkin bernilai kurang dari (batas bawah notasi sigma), maka penyelesaiannya menjadi , atau ekuivalen dengan , dengan bilangan bulat.
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 19
Notasi sigma yang ekuivalen dengan adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Dengan menggunakan sifat operasi sumasi, diperoleh
Jadi, bentuk yang ekuivalen dengan notasi sigma tersebut adalah
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 20
Notasi sigma yang ekuivalen dengan adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Dengan menggunakan sifat operasi sumasi, diperoleh
Jadi, notasi sigma yang ekuivalen dengan adalah
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 21
Hasil dari adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Karena rumus barisan pada notasi sigmanya sama, maka bentuk notasinya dapat langsung digabungkan dengan menerapkan sifat operasi sumasi.
Jadi, hasil dari (Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 22
Hasil dari adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Gunakan sifat-sifat notasi sigma dan rumus operasi sigma.
Jadi, nilai dari (Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 23
Nilai yang memenuhi persamaan adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Alternatif I: Menggunakan Sifat
Gunakan sifat , dan operasi sumasi.
Alternatif II: Manual
Jabarkan bentuk notasi sigma.
Catatan: Cara ini dapat dikatakan lebih efektif daripada menggunakan sifat notasi sigma (alternatif I) karena nilai batas bawah dan batas atas notasi sigmanya berdekatan.
Jadi, nilai yang memenuhi adalah
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 24
Nilai yang memenuhi persamaan adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Diketahui .
Kunci utama adalah menggunakan sifat operasi sumasi.
Catatan: Bilangan di atas didapat dari banyaknya bilangan bulat dari sampai .
Jadi, nilai yang memenuhi persamaan tersebut adalah
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 25
Nilai dari adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Dengan menggunakan sejumlah sifat notasi sigma beserta prinsip deret teleskopik, diperoleh
Jadi, nilai dari
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 26
Bentuk sama dengan Bentuk notasi sigma yang sesuai dengan adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Pada bentuk tersebut, hanya bagian atasnya yang berubah, dimulai dari sampai , sedangkan bilangan di bawahnya tetap .
Jadi, notasi sigmanya berbentuk
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 27
Nilai dari adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Faktor Persekutuan Terbesar dari dan , ditulis , bernilai bila bukan kelipatan dan bernilai bila kelipatan .
Sebagai contoh,
Dari bilangan sampai , bilangan kelipatan meliputi: .
Bilangan kelipatan sebanyak . Berarti, bilangan yang bukan kelipatan sebanyak .
Dengan demikian,
Jadi, nilai dari
(Jawaban D)
[collapse]
Bagian Esai
Soal Nomor 1
Ubahlah bentuk berikut ke dalam notasi sigma.
a.
b.
Pembahasan
Jawaban a)
Tampak bahwa perubahan terjadi pada pangkat , dengan pola bilangan ganjil. Dengan kata lain, merupakan barisan aritmetika dengan dan , sehingga
Perhatikan juga bahwa suku demi suku bersilang tanda (plus minus plus minus), sehingga dimunculkan bentuk untuk ganjil pada suku pertama. Batas bawah notasi sigma bernilai , sedangkan batas atasnya didapat dari banyaknya suku, yaitu sehingga
Jawaban b)
Asumsikan deretnya berbentuk:
Deret di atas merupakan deret aritmetika dengan dan , sehingga rumus suku ke- dinyatakan oleh
Perhatikan juga bahwa suku demi suku bersilang tanda (minus plus minus plus), sehingga dimunculkan bentuk untuk ganjil pada suku pertama. Batas bawah notasi sigma bernilai , sedangkan batas atasnya didapat dari banyaknya suku, yaitu sehingga
[collapse]
Soal Nomor 2
Nyatakan operasi sigma berikut dalam satu notasi sigma.
a.
b.
Pembahasan
Jawaban a)
Pada bentuk pengurangan dua suku yang melibatkan notasi sigma, notasi sigmanya dapat disatukan apabila batas atas dan batas bawahnya sama.
Jadi, bentuk satu notasi sigmanya adalah
Jawaban b)
Dalam operasi sumasi/sigma, berlaku
Untuk itu, dapat kita tulis
Jadi, bentuk satu notasi sigmanya adalah
[collapse]
Soal Nomor 3
Nyatakan deret berikut dalam notasi sigma.
Pembahasan
Jawaban a)
Ubah deret ke dalam bentuk barisan, yaitu
Tinjau barisan bilangan kuadrat:
yang memiliki rumus suku ke-
Dengan membandingkan nilai tiap suku pada kedua barisan itu, kita dapatkan bahwa suku pada barisan semula merupakan tiga kurangnya dari suku yang berpadanan pada barisan bilangan kuadrat, sehingga rumus suku ke- pada barisan
adalah
Suku terakhir adalah suku ke- karena
Untuk itu, notasi sigma dari deret di atas adalah
Jawaban b)
Perhatikanlah bahwa setiap suku pada deret berubah pada nilai pangkat saja, yakni , yang merupakan barisan aritmetika dengan rumus suku ke-:
Dengan demikian, bentuk notasi sigma dari deret tersebut adalah
[collapse]
Soal Nomor 4
Buktikan bahwa
Pembahasan
Pembuktian dari ruas kiri:
Jadi, terbukti bahwa
[collapse]
Soal Nomor 5
Buktikan bahwa
Pembahasan
Akan dibuktikan bahwa Gunakan rumus operasi sumasi berikut.
Pembuktian dimulai dari ruas kiri.
Jadi, terbukti bahwa
[collapse]
Soal Nomor 6
Buktikan bahwa
Pembahasan
Misalkan Kalikan kedua ruas dengan dan dengan menggunakan aturan pangkat, diperoleh
Kurangi persamaan dengan sehingga didapat
Ingat bahwa pada deret geometri, jumlah suku pertama dapat dicari dengan menggunakan
Deret geometri di atas memiliki suku pertama rasio dan banyak sukunya Dengan demikian, didapat
Jadi, terbukti bahwa
[collapse]
Soal Nomor 7
Tentukan nilai dari
Pembahasan
Perhatikan bahwa
Dengan menggunakan sifat ini, kita peroleh
Catatan: Dalam prosedur di atas, kita menerapkan prinsip teleskopik, yaitu suku-sukunya dibuat saling menghilangkan.
[collapse]
Soal Nomor 8
Buktikan bahwa
Pembahasan
Gunakan rumus deret berikut.
Selanjutnya, akan dibuktikan persamaan di atas dimulai dari ruas kiri.
Jadi, terbukti bahwa
[collapse]
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Faktorial