Rusuk Archives — Mathcyber1997

Dimensi tiga merupakan salah satu materi matematika tingkat SMA/Sederajat. Dimensi tiga yang dipelajari mencakup tentang konsep titik, garis, dan bidang pada bangun ruang termasuk mengenai jarak dan sudut. Pos ini khusus membahas sejumlah soal terkait konsep jarak titik, garis, dan bidang pada bangun ruang. Setiap soal telah disertai pembahasannya yang super lengkap. Soal juga tersedia dalam berkas PDF yang dapat diunduh melalui tautan berikut: Download (PDF, 98 KB).

Teori Kebahagiaan Albert Einstein

Kehidupan yang tenang dan sederhana membawa lebih banyak kebahagiaan daripada mengejar kesuksesan yang dikombinasikan dengan kegelisahan yang konstan.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Diketahui kubus $A B C D . E F G H$ dengan panjang rusuk $2 a$ cm. Panjang ruas garis $H B$ adalah $\dots \cdot$
A. $(2 a \sqrt{3} - a \sqrt{2}) cm$ D. $2 a \sqrt{2} cm$
B. $a \sqrt{2} cm$ E. $2 a \sqrt{3} cm$
C. $a \sqrt{3} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Kubus ABCD.EFGH Pertama, perhatikan segitiga $A B D$ (siku-siku di $A$ ). Panjang $B D$ dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} B D & = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} \\ = \sqrt{(2 a)^{2} + (2 a)^{2}} \\ = \sqrt{8 a^{2}} = 2 a \sqrt{2} cm \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan segitiga $B D H$ (siku-siku di $D$ ). Panjang $H B$ juga dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} H B & = \sqrt{B D^{2} + D H^{2}} \\ = \sqrt{(2 a \sqrt{2})^{2} + (2 a)^{2}} \\ = \sqrt{8 a^{2} + 4 a^{2}} \\ = \sqrt{12 a^{2}} = 2 a \sqrt{3} cm \end{aligned}$
Jadi, panjang ruas garis $H B$ adalah $2 a \sqrt{3} cm$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras

Soal Nomor 2

Diketahui kubus $A B C D . E F G H$ dengan panjang rusuk $8$ cm. Jarak titik $B$ ke garis $H C$ adalah $\dots \cdot$
A. $12 \sqrt{2} cm$ D. $8 cm$
B. $8 \sqrt{5} cm$ E. $4 \sqrt{6} cm$
C. $8 \sqrt{3} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Kubus ABCD.EFGH Jarak titik $B$ ke $H C$ sama dengan jarak titik $B$ ke $C$ . Perhatikan bahwa $B C$ merupakan rusuk kubus sehingga panjang $B C = 8 cm$ .
Jadi, jarak titik $B$ ke garis $H C$ adalah $8 cm$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3

Diketahui kubus $A B C D . E F G H$ dengan panjang rusuk $6$ cm. Jarak antara titik $B$ dan $E G$ adalah $\dots \cdot$
A. $3 \sqrt{6} cm$ D. $6 \sqrt{6} cm$
B. $4 \sqrt{6} cm$ E. $7 \sqrt{6} cm$
C. $5 \sqrt{6} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Kubus ABCD.EFGH Pada segitiga $B E G$ , diketahui $B E, E G$ , dan $B G$ semuanya merupakan diagonal bidang kubus sehingga segitiga $B E G$ merupakan segitiga sama sisi dengan panjang $B E = E G = B G = 6 \sqrt{2} cm$ . Untuk itu, jarak $B$ ke $E G$ adalah jarak $B$ ke $O$ di mana $O$ titik tengah $E G$ .
Sekarang tinjau segitiga siku-siku $B O G$ . Diketahui: $O G = \frac{1}{2} E G = \frac{1}{2} (6 \sqrt{2}) = 3 \sqrt{2} cm$ dan $B G = 6 \sqrt{2} cm$ .
Panjang $B O$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} B O & = \sqrt{B G^{2} - O G^{2}} \\ = \sqrt{(6 \sqrt{2})^{2} - (3 \sqrt{2})^{2}} \\ = \sqrt{72 - 18} \\ = \sqrt{54} = 3 \sqrt{6} cm \end{aligned}$
Jadi, jarak $B$ ke $E G$ adalah $3 \sqrt{6} cm$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4

Diketahui kubus $A B C D . E F G H$ dengan rusuk $8 cm$ . $M$ adalah titik tengah $E H$ . Jarak titik $M$ ke garis $A G$ sama dengan $\dots \cdot$
A. $4 \sqrt{6} cm$ D. $4 \sqrt{2} cm$
B. $4 \sqrt{5} cm$ E. $4 cm$
C. $4 \sqrt{3} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Kubus ABCD.EFGH Misalkan titik $O$ merupakan proyeksi titik $M$ pada garis $A G$ . Titik $O$ tepat di tengah $A G$ karena panjang $M A$ dan $M G$ sama.
Pertama, perhatikan segitiga siku-siku $M H G$ .
Diketahui $H G = 8 cm$ dan $M H = 4 cm$ (setengah dari panjang rusuk kubus). Dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} M G & = \sqrt{H G^{2} + M H^{2}} \\ = \sqrt{8^{2} + 4^{2}} \\ = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5} cm \end{aligned}$
Sekarang, tinjau segitiga siku-siku $M O G$ . Diketahui $O G = 4 \sqrt{3} cm$ (setengah dari panjang diagonal ruang kubus) dan $M G = 4 \sqrt{5} cm$ . Dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} M O & = \sqrt{M G^{2} - O G^{2}} \\ = \sqrt{(4 \sqrt{5})^{2} - (4 \sqrt{3})^{2}} \\ = \sqrt{80 - 48} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2} cm \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $M$ ke garis $A G$ sama dengan $4 \sqrt{2} cm$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5

Panjang rusuk kubus $A B C D . E F G H$ adalah $12 cm$ . Jika $P$ titik tengah $C G$ , maka jarak titik $P$ ke garis $H B$ adalah $\dots \cdot$
A. $8 \sqrt{5} cm$ D. $6 \sqrt{2} cm$
B. $6 \sqrt{5} cm$ E. $6 cm$
C. $6 \sqrt{3} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Kubus ABCD.EFGH Misalkan $O$ merupakan proyeksi titik $P$ ke garis $H B$ . Titik $O$ berada di tengah garis $H B$ karena $P B = P H$ .
Pertama-tama, perhatikan dulu segitiga siku-siku $B C P$ .
Diketahui bahwa $B C = 12 cm$ dan $C P = 6 cm$ sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} B P & = \sqrt{B C^{2} + C P^{2}} \\ = \sqrt{12^{2} + 6^{2}} \\ = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180} = 6 \sqrt{5} cm \end{aligned}$
$H B$ merupakan diagonal ruang kubus, dan karena panjang rusuknya $s = 12 cm$ , maka $H B = s \sqrt{3} = 12 \sqrt{3} cm$ . Ini berarti $P H = \frac{1}{2} (12 \sqrt{3}) = 6 \sqrt{3} = \sqrt{108} cm$ .
Selanjutnya, perhatikan segitiga siku-siku $B O P$ .
Panjang $O P$ merupakan jarak titik $P$ ke garis $H B$ . Dengan menggunakan Teorema Pythagoras kembali, diperoleh
$\begin{aligned} O P & = \sqrt{B P^{2} - O B^{2}} \\ = \sqrt{180 - 108} \\ = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2} cm \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $P$ dengan garis $H B$ adalah $6 \sqrt{2} cm$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6

Diketahui kubus $A B C D . E F G H$ memiliki panjang rusuk $4 cm$ . Jika $Q$ adalah titik tengah rusuk $F G$ , maka jarak titik $Q$ ke garis $B D$ adalah $\dots \cdot$
A. $2 \sqrt{6} cm$ D. $\sqrt{14} cm$
B. $2 \sqrt{5} cm$ E. $2 \sqrt{2} cm$
C. $3 \sqrt{2} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Kubus ABCD.EFGH Jarak titik $Q$ ke $B D$ sama dengan jarak $Q$ ke $O$ pada $B D$ sedemikian sehingga $Q O ⊥ B D$ .
Panjang $Q B$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $B F Q$ .
$\begin{aligned} B Q & = \sqrt{B F^{2} + F Q^{2}} \\ = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} \\ = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} cm \end{aligned}$
Sekarang, misalkan $R$ titik tengah $B C,$ sedemikian dapat dibuat segitiga siku-siku $D R Q$ . Diketahui bahwa $D R = B Q = 2 \sqrt{5} cm$ dan $R Q = 4 cm$ sehingga
$\begin{aligned} D Q & = \sqrt{D R^{2} + R Q^{2}} \\ = \sqrt{(2 \sqrt{5})^{2} + 4^{2}} \\ = \sqrt{20 + 16} = \sqrt{36} = 6 cm \end{aligned}$
Selanjutnya, perhatikan segitiga $B D Q$ berikut.
Karena $B D = 4 \sqrt{2} cm$ (diagonal bidang), maka dapat dimisalkan $D O = (4 \sqrt{2} - x) cm$ dan $O B = x cm$ , serta $Q O = y cm$ .
Pada segitiga $D O Q$ , berlaku
$\begin{aligned} D Q^{2} & = D O^{2} + Q O^{2} \\ 6^{2} & = (4 \sqrt{2} - x)^{2} + y^{2} \\ 36 & = 32 - 8 \sqrt{2} x + x^{2} + y^{2} \\ 4 & = - 8 \sqrt{2} x + x^{2} + y^{2} (\dots \cdot 1) \end{aligned}$
Pada segitiga $B O Q$ , berlaku
$\begin{aligned} B Q^{2} & = B O^{2} + Q O^{2} \\ (2 \sqrt{5})^{2} & = x^{2} + y^{2} \\ 20 & = x^{2} + y^{2} (\dots \cdot 2) \end{aligned}$
Substitusikan persamaan 2 ke persamaan 1.
$\begin{aligned} 4 & = - 8 \sqrt{2} x + 20 \\ - 16 & = - 8 \sqrt{2} x \\ x & = \frac{16}{8 \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \end{aligned}$
Untuk itu, kita dapatkan
$\begin{aligned} y & = \sqrt{(2 \sqrt{5})^{2} - (\sqrt{2})^{2}} \\ = \sqrt{20 - 2} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $Q$ ke garis $B D$ adalah $3 \sqrt{2} cm$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7

Diketahui kubus $A B C D . E F G H$ dengan panjang rusuk $a$ cm. Jarak titik $E$ ke bidang diagonal $B D H F$ adalah $\dots \cdot$
A. $\frac{1}{2} a \sqrt{3} cm$ D. $\frac{1}{2} a cm$
B. $\frac{1}{2} a \sqrt{2} cm$ E. $\frac{1}{4} a cm$
C. $\frac{1}{4} a \sqrt{2} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Kubus ABCD.EFGH Jarak titik $E$ ke bidang diagonal $B D H F$ sama dengan jarak titik $E$ ke titik tengah diagonal $H F$ . Misalkan $O$ titik tengah diagonal $H F$ . $E G$ merupakan diagonal bidang dengan panjang $a \sqrt{2} cm$ .
Perhatikan bahwa panjang $E O$ merupakan setengah dari panjang diagonal $E G$ sehingga $E O = \frac{1}{2} (a \sqrt{2}) = \frac{1}{2} a \sqrt{2} cm .$
Jadi, jarak titik $E$ ke bidang diagonal $B D H F$ adalah $\frac{1}{2} a \sqrt{2} cm$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8

Pada kubus $A B C D . E F G H$ yang panjang rusuknya $8 cm$ , jarak titik $E$ ke bidang $B G D$ adalah $\dots \cdot$
A. $\frac{1}{3} \sqrt{3} cm$ D. $\frac{8}{3} \sqrt{3} cm$
B. $\frac{2}{3} \sqrt{3} cm$ E. $\frac{16}{3} \sqrt{3} cm$
C. $\frac{4}{3} \sqrt{3} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Kubus ABCD.EFGH Misalkan proyeksi titik $E$ pada bidang $B D G$ adalah titik $K$ , sedangkan titik $J$ dan $L$ berturut-turut merupakan titik tengah bidang alas dan bidang atas kubus.
Pertama, perhatikan terlebih dahulu segitiga siku-siku $J C G$ . Diketahui $C G = 8 cm$ dan $J C = 4 \sqrt{2} cm$ karena merupakan setengah dari panjang diagonal bidang.
Dengan Teorema Pythagoras, panjang $J G$ dapat ditentukan sebagai berikut.
$\begin{aligned} J G & = \sqrt{J C^{2} + C G^{2}} \\ = \sqrt{(4 \sqrt{2})^{2} + 8^{2}} \\ = \sqrt{32 + 64} = \sqrt{96} = 4 \sqrt{6} cm \end{aligned}$
Selanjutnya, tarik garis $E G, E J$ , dan $J G$ sehingga diperoleh segitiga yang dapat digambarkan sebagai berikut.
Diketahui panjang $E G = 8 \sqrt{2} cm$ dan $L J = 8 cm$ , serta $J G = 4 \sqrt{6} cm$ .
Akan dicari panjang $E K$ dengan menggunakan prinsip kesamaan luas segitiga.
$\begin{aligned} L_{1} & = L_{2} \\ \frac{1}{2} \times L J \times E G & = \frac{1}{2} \times E K \times J G \\ 8 \times 8 \sqrt{2} & = E K \times 4 \sqrt{6} \\ E K & = \frac{8^{2} \times 8 \sqrt{2}}{4 {\sqrt{6}}^{\sqrt{3}}} \\ = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16}{3} \sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $E$ ke bidang $B G D$ adalah $\frac{16}{3} \sqrt{3}$
Tips & Trick: Untuk soal setipe ini, jarak yang dimaksud dapat dicari secara langsung dengan rumus $\frac{2}{3} s \sqrt{3}$
dengan $s$ panjang rusuk kubus.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 9

Diketahui kubus $A B C D . E F G H$ dengan panjang rusuk $12$ cm. Jarak ruas garis $H D$ dan $E G$ adalah $\dots \cdot$
A. $6 cm$ D. $8 cm$
B. $6 \sqrt{2} cm$ E. $8 \sqrt{2} cm$
C. $6 \sqrt{3} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Jarak $H D$ ke $E G$ sama dengan jarak $H$ ke titik tengah $E G$ . Misalkan $O$ titik tengah $E G$ sehingga kita peroleh sebuah segitiga siku-siku $H E O$ (siku-siku di $O$ ).
Diketahui panjang $E H = 12 cm$ . Panjang diagonal bidang $E G = s \sqrt{2} = 12 \sqrt{2} cm$ sehingga $E O = \frac{1}{2} E G = \frac{1}{2} (12 \sqrt{2}) = 6 \sqrt{2} cm .$
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, didapat
$\begin{aligned} H O & = \sqrt{E H^{2} - E O^{2}} \\ = \sqrt{12^{2} - (6 \sqrt{2})^{2}} \\ = \sqrt{144 - 72} = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2} cm \end{aligned}$
Jadi, jarak ruas garis $H D$ dan $E G$ adalah $6 \sqrt{2} cm$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10

Diketahui kubus $A B C D . E F G H$ memiliki panjang rusuk $10 cm$ . Titik $P$ dan $Q$ masing-masing terletak di tengah-tengah rusuk $A B$ dan $A F$ . Jarak titik $C$ ke bidang $D P Q H$ adalah $\dots \cdot$
A. $3 \sqrt{5} cm$ D. $6 \sqrt{3} cm$
B. $4 \sqrt{5} cm$ E. $7 \sqrt{2} cm$
C. $5 \sqrt{3} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Kubus ABCD.EFGH Jarak titik $C$ ke bidang $D P Q H$ sama dengan jarak titik $C$ ke titik $R$ pada $P D$ sehingga $R C$ tegak lurus $P D$ .
Posisikan titik $S$ di tengah $C D$ sehingga $P S$ tegak lurus $C D$ .
Panjang $P D$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $A D P$ dengan $A P = 5 cm$ dan $A D = 10 cm$ sehingga
$\begin{aligned} P D & = \sqrt{A P^{2} + A D^{2}} \\ = \sqrt{10^{2} + 5^{2}} \\ = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5 \sqrt{5} cm \end{aligned}$ Dengan menggunakan prinsip kesamaan luas segitiga pada $△ C D P$ (lihat gambar kanan), diperoleh
$\begin{aligned} \frac{1}{2} \times C D \times P S & = \frac{1}{2} \times P D \times C R \\ 10 \times 10 & = 5 \sqrt{5} \times C R \\ C R & = \frac{100}{5 \sqrt{5}} = \frac{20}{\sqrt{5}} = 4 \sqrt{5} cm \end{aligned}$ Jadi, jarak titik $C$ ke bidang $D P Q H$ adalah $4 \sqrt{5} cm$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11

Diketahui kubus $A B C D . E F G H$ dengan panjang rusuk $8$ cm. Panjang proyeksi $D E$ pada $B D H F$ adalah $\dots \cdot$
A. $2 \sqrt{2} cm$ D. $4 \sqrt{6} cm$
B. $2 \sqrt{6} cm$ E. $8 \sqrt{2} cm$
C. $4 \sqrt{2} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Kubus ABCD.EFGH Proyeksi $D E$ pada $B D H F$ adalah $O D$ , di mana $O$ titik tengah $H F$ .
Pada segitiga $H O D$ (siku-siku di $H$ ), diketahui panjang $D H = 8 cm$ . Karena panjang $H F$ (diagonal bidang) $8 \sqrt{2} cm$ , maka $H O = \frac{1}{2} (H F) =$ $\frac{1}{2} (8 \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} cm .$ Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} O D & = \sqrt{D H^{2} + H O^{2}} \\ = \sqrt{8^{2} + (4 \sqrt{2})^{2}} \\ = \sqrt{64 + 32} = \sqrt{96} = 4 \sqrt{6} cm \end{aligned}$
Dengan demikian, panjang proyeksinya adalah panjang $O D$ , yaitu $4 \sqrt{6} cm$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12

Kubus $P Q R S . T U V W$ mempunyai panjang rusuk $6$ cm. Jarak antara bidang $P U W$ dan bidang $Q V S$ adalah $\dots \cdot$
A. $6 \sqrt{3} cm$ D. $2 \sqrt{3} cm$
B. $6 \sqrt{2} cm$ E. $2 \sqrt{2} cm$
C. $3 \sqrt{3} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Bidang $P U W$ dan $Q V S$ keduanya sejajar sehingga jarak kedua bidang tersebut sama dengan seperbagian jaraknya dari diagonal ruang kubus. Misalkan $A$ adalah titik tengah $U W$ dan $B$ titik pada ruas garis $A P$ , sedemikian sehingga $T B ⊥ P A .$ Perhatikan segitiga siku-siku $P T A$ .
Diketahui panjang $T A$ setengah dari panjang diagonal bidang kubus sehingga $T A = \frac{1}{2} \times 6 \sqrt{2} = 3 \sqrt{2} cm$ dan $P T = 6 cm$ . Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} P A & = \sqrt{P T^{2} + T A^{2}} \\ = \sqrt{6^{2} + (3 \sqrt{2})^{2}} \\ = \sqrt{36 + 18} = \sqrt{54} = 3 \sqrt{6} cm \end{aligned}$
Karena $T B$ adalah garis tinggi segitiga yang ditarik dari titik $T$ , maka dengan menggunakan rumus kesebangunan, diperoleh
$\begin{aligned} T B & = \frac{P T \times T A}{P A} \\ = \frac{6 \times 3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{6}} \\ = \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = 2 \sqrt{3} cm \end{aligned}$
Jarak titik $R$ ke bidang $Q V S$ juga sama, yaitu $2 \sqrt{3} cm$ , sedangkan panjang diagonal ruang $T R = 6 \sqrt{3} cm$ . Dengan demikian, jarak bidang $P U W$ dan $Q V S$ adalah
$| P U W . Q V S | = (6 - 2 - 2) \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} cm$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13

Diketahui kubus $A B C D . E F G H$ dengan panjang rusuk $12 cm$ . Titik $P$ terletak pada perpanjangan rusuk $D C$ sehingga $D C : C P = 3 : 1$ . Jarak titik $P$ terhadap garis $A H$ adalah $\dots \cdot$
A. $8 \sqrt{28} cm$ D. $2 \sqrt{82} cm$
B. $4 \sqrt{82} cm$ E. $2 \sqrt{28} cm$
C. $4 \sqrt{28} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Diketahui bahwa $D C = 12 cm$ . Karena $D C : C P = 3 : 1$ , maka $C P = \frac{1}{3} \times 12 = 4 cm .$
Pada segitiga siku-siku $D H P$ , diketahui $D H = 12 cm$ dan $D P = 12 + 4 = 16 cm$ sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} H P & = \sqrt{D H^{2} + D P^{2}} \\ = \sqrt{12^{2} + 16^{2}} \\ = \sqrt{144 + 256} \\ = \sqrt{400} = 20 cm \end{aligned}$
Misalkan proyeksi titik $P$ ke garis $A H$ adalah titik $O$ , yang terletak di tengah $A H$ karena $H P = A P$ .
Sekarang, tinjau segitiga siku-siku $H O P$ . Diketahui $O H = 6 \sqrt{2} cm$ dan $H P = 20 cm$ sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras lagi, diperoleh
$\begin{aligned} O P & = \sqrt{H P^{2} - O H^{2}} \\ = \sqrt{20^{2} - (6 \sqrt{2})^{2}} \\ = \sqrt{400 - 72} \\ = \sqrt{328} = 2 \sqrt{82} cm \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $P$ terhadap garis $A H$ adalah $2 \sqrt{82} cm$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14

Kubus $A B C D . E F G H$ mempunyai panjang rusuk $12 cm$ . Titik $P$ terletak pada rusuk $E F$ dengan perbandingan $E P : P F = 1 : 3$ . Jarak titik $B$ ke ruas garis $P G$ adalah $\dots \cdot$
A. $\frac{12 \sqrt{17}}{5} cm$ D. $\frac{6 \sqrt{17}}{5} cm$
B. $\frac{12 \sqrt{34}}{5} cm$ E. $\frac{6 \sqrt{34}}{5} cm$
C. $\frac{12 \sqrt{51}}{5} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Kubus ABCD.EFGH Jarak titik $B$ ke $P G$ sama dengan jarak titik $B$ ke $F$ sedemikian rupa sehingga $B F ⊥ P G$ . Dengan demikian, kita akan menentukan panjang $B F$ .
Karena panjang rusuk kubus $12 cm$ dan $E P : P F = 1 : 3$ , maka $E P = \frac{1}{4} \times 12 = 3 cm$ dan $P F = 9 cm$ .
Perhatikan segitiga siku-siku $P F G$ . Panjang $P G$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} P G & = \sqrt{P F^{2} + F G^{2}} \\ = \sqrt{9^{2} + 12^{2}} \\ = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 cm \end{aligned}$
Pada segitiga $P B Q$ , proyeksi titik $P$ ke $B G$ adalah titik $Q$ yang tepat berada di tengah $B G$ sehingga $P G = P B$ .
Selanjutnya, perhatikan segitiga siku-siku $P Q G$ . Karena $B G$ diagonal bidang kubus dengan $B G = 12 \sqrt{2} cm$ , maka $Q G = 6 \sqrt{2} cm$ sehingga dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} P Q & = \sqrt{P G^{2} - Q G^{2}} \\ = \sqrt{15^{2} - (6 \sqrt{2})^{2}} \\ = \sqrt{225 - 72} = \sqrt{153} = 3 \sqrt{17} \end{aligned}$
Perhatikan gambar berikut untuk lebih jelasnya.
Dengan menggunakan prinsip kesamaan luas segitiga pada $△ P B G$ , diperoleh
$\begin{aligned} \frac{1}{2} \times P G \times B O & = \frac{1}{2} \times B G \times P Q \\ 15 \times B O & = 12 \sqrt{2} \times 3 \sqrt{17} \\ B O & = \frac{36 \sqrt{34}}{15} = \frac{12 \sqrt{34}}{5} cm \end{aligned}$ Jadi, jarak titik $B$ ke $P G$ adalah $\frac{12 \sqrt{34}}{5} cm$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 15

Diketahui $S$ adalah titik yang terletak di perpanjangan $H D$ pada kubus $A B C D . E F G H$ dengan $D S : H D = 1 : 2$ . Jika panjang rusuk kubus adalah $6 cm$ , jarak titik $F$ ke titik $S$ adalah $\dots \cdot$
A. $5 \sqrt{17} cm$ D. $2 \sqrt{17} cm$
B. $4 \sqrt{17} cm$ E. $\sqrt{17} cm$
C. $3 \sqrt{17} cm$

Pembahasan

Metode Penyelesaian 1: Konsep Segitiga
Berdasarkan perbandingan yang diberikan, titik $S$ dipastikan berada dibawah kubus (di bawah garis $H D$ ). Perhatikan sketsa gambar berikut.
Kubus ABCD.EFGH (Perpanjangan) Karena $H D : D S = 2 : 1$ dan $H D = 6 cm$ , maka $D S = \frac{1}{2} \times 6 = 3 cm$ , sehingga $H S = 9 cm$ .
Buatlah segitiga siku-siku $S H F$ seperti gambar di atas.
Karena $H F$ diagonal bidang kubus, maka jelas $H F = 6 \sqrt{2} cm$ .
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} S F & = \sqrt{H S^{2} + H F^{2}} \\ = \sqrt{9^{2} + (6 \sqrt{2})^{2}} \\ = \sqrt{81 + 72} = \sqrt{153} = 3 \sqrt{17} cm \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $S$ ke $F$ adalah $3 \sqrt{17} cm$
Metode Penyelesaian 2: Konsep Vektor 3D
Catatan: Cara ini dapat digunakan bila materi vektor sudah dikuasai.
Posisikan kubus $A B C D . E F G H$ dalam koordinat Kartesius 3D seperti gambar berikut, di mana $D$ berada di titik asal.
Kubus ABCD.EFGH dalam Koordinat Tiga Dimensi Titik $S$ haruslah di bawah kubus berdasarkan perbandingan yang diberikan.
Karena $H D : D S = 2 : 1$ dan $H D = 6 cm$ , maka $D S = \frac{1}{2} \times 6 = 3 cm,$ sehingga koordinat titik $S$ adalah $(0, 0, - 3)$ .
Selanjutnya, buat vektor $\vec{S F}$ , dengan vektor posisinya diwakili oleh
$\begin{aligned} \vec{S F} & = F - S \\ = (6, 6, 6) - (0, 0, - 3) \\ = (6, 6, 9) \end{aligned}$ Panjang $\vec{S F}$ adalah
$\begin{aligned} | \vec{S F} | & = \sqrt{6^{2} + 6^{2} + 9^{2}} \\ = \sqrt{36 + 36 + 81} \\ = \sqrt{153} = 3 \sqrt{17} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $S$ ke $F$ adalah $3 \sqrt{17} cm$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 16

Kubus $A B C D . E F G H$ mempunyai panjang rusuk $8 cm$ . Titik $K$ terletak pada perpanjangan rusuk $D A$ dengan perbandingan $K A : K D = 1 : 3$ . Jarak titik $K$ ke bidang $B D H F$ adalah $\dots \cdot$
A. $6 \sqrt{2} cm$ D. $2 \sqrt{6} cm$
B. $4 \sqrt{3} cm$ E. $2 \sqrt{3} cm$
C. $4 \sqrt{2} cm$

Pembahasan

Diketahui bahwa $K$ merupakan titik pada perpanjangan $A D$ dan $K A : K D = 1 : 3$ . Secara implisit, kita mengetahui bahwa $K$ harus berada di perpanjangan depan $A D$ berdasarkan perbandingan tersebut. Dengan kata lain, $K$ berada lebih dekat dengan $A$ seperti pada gambar berikut.
Jarak titik $K$ ke bidang $B D H F$ sama dengan jarak titik $K$ ke titik $O$ pada $B D$ sehingga $K O ⊥ B D$ . Karena $K A : K D = 1 : 3$ mengimplikasikan $K A : A D = 1 : 2$ dan diketahui bahwa $A D = 8 cm$ , maka haruslah $K A = \frac{1}{2} \times 8 = 4 cm$ sehingga $K D = 12 cm$ .
Panjang $K B$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $K A B$ , yakni
$\begin{aligned} K B & = \sqrt{K A^{2} + A B^{2}} \\ = \sqrt{4^{2} + 8^{2}} \\ = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5} cm \end{aligned}$
Di lain itu, panjang $B D = 8 \sqrt{2} cm$ (diagonal bidang kubus).
Sekarang, dapat dibuat segitiga $K B D$ seperti gambar berikut (perhatikan bahwa $B A ⊥ K D$ ).
Dengan menggunakan prinsip kesamaan luas segitiga, diperoleh
$\begin{aligned} \frac{1}{2} \times B D \times K O & = \frac{1}{2} \times K D \times A B \\ 8 \sqrt{2} \times K O & = 12 \times 8 \\ K 0 & = \frac{12 \times 8}{8 \sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6 \sqrt{2} cm \end{aligned}$ Jadi, jarak titik $K$ ke bidang $B D H F$ adalah $6 \sqrt{2} cm$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 17

Kubus $A B C D . E F G H$ memiliki panjang rusuk $6 cm$ . Titik $P, Q$ , dan $R$ berturut-turut adalah titik tengah rusuk $E H, B F$ , dan $C G$ . Titik $S$ adalah titik potong garis $A C$ dan $B D .$ Jarak titik $S$ ke bidang $P Q R$ adalah $\dots \cdot$
A. $\frac{3}{5} \sqrt{5} cm$ D. $\frac{9}{5} \sqrt{5} cm$
B. $\frac{6}{5} \sqrt{5} cm$ E. $\frac{12}{5} \sqrt{5} cm$
C. $\frac{7}{5} \sqrt{5} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Kubus ABCD.EFGH Kita misalkan titik $U$ di tengah $F G$ , titik $W$ di tengah $B C$ , titik $V$ di tengah $U W$ , dan titik $T$ merupakan titik potong bidang $P Q R$ dan garis $S U$ . Dalam hal ini, panjang $S T$ merupakan jarak titik $S$ ke bidang $P Q R$ .
Perhatikan segitiga siku-siku $S W U$ .
Diketahui bahwa $S W = 3 cm$ dan $W U = 6 cm$ sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} S U & = \sqrt{S W^{2} + W U^{2}} \\ = \sqrt{3^{2} + 6^{2}} \\ = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5} cm \end{aligned}$
Segitiga $S W U$ sebangun dengan segitiga $T V U$ (sudut-sudut-sisi) sehingga dengan menggunakan konsep kesebangunan, diperoleh
$\begin{aligned} \frac{S U}{V U} & = \frac{W U}{T U} \\ \frac{3 \sqrt{5}}{3} & = \frac{6}{T U} \\ \sqrt{5} & = \frac{6}{T U} \\ T U & = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6}{5} \sqrt{5} cm \end{aligned}$ Dengan demikian,
$\begin{aligned} S T & = S U - T U \\ = 3 \sqrt{5} - \frac{6}{5} \sqrt{5} \\ = \frac{9}{5} \sqrt{5} cm \end{aligned}$ Jadi, jarak titik $S$ ke bidang $P Q R$ adalah $\frac{9}{5} \sqrt{5} cm$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18

Diketahui sebuah balok $P Q R S . T U V W$ dengan panjang $15$ cm, lebar $7$ cm, dan tinggi $5$ cm. Jarak antara bidang alas $P Q R S$ dan bidang atas $T U V W$ adalah $\dots \cdot$
A. $5 cm$ D. $7 cm$
B. $5 \sqrt{2} cm$ E. $7 \sqrt{2} cm$
C. $5 \sqrt{3} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Jarak antara bidang alas $P Q R S$ dan bidang atas $T U V W$ sama dengan tinggi balok tersebut. Dengan demikian, jarak kedua bidang itu adalah $5 cm$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19

Balok $P Q R S . T U V W$ mempunyai panjang rusuk $P Q = 8 cm$ , $Q R = 6 cm$ , dan $R V = 5 cm$ . Jarak titik $T$ ke titik $R$ adalah $\dots \cdot$
A. $5 \sqrt{5} cm$ D. $3 \sqrt{5} cm$
B. $5 \sqrt{3} cm$ E. $2 \sqrt{5} cm$
C. $5 \sqrt{2} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Balok ABCD.EFGH Pada segitiga siku-siku $P Q R$ dengan $P Q = 8 cm$ dan $Q R = 6 cm$ , panjang $P R$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} P R & = \sqrt{P Q^{2} + Q R^{2}} \\ = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} \\ = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 cm \end{aligned}$
Selanjutnya, pada segitiga siku-siku $T P R$ dengan $T P = 5 cm$ dan $P R = 10 cm$ , panjang $T R$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} T R & = \sqrt{T P^{2} + P R^{2}} \\ = \sqrt{5^{2} + 10^{2}} \\ = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5 \sqrt{5} cm \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $T$ ke titik $R$ adalah $5 \sqrt{5} cm$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 20

Balok $A B C D . E F G H$ mempunyai panjang rusuk $A B = 4 cm$ , $B C = 2 cm$ , dan $A E = 2 cm$ . Titik $P$ terletak di tengah rusuk $C H$ . Jarak titik $A$ ke titik $P$ adalah $\dots \cdot$
A. $\sqrt{5} cm$ D. $2 \sqrt{3} cm$
B. $3 cm$ E. $2 \sqrt{6} cm$
C. $2 \sqrt{2} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan titik $O$ di tengah rusuk $C D$ sehingga dapat dibuat segitiga $A O P$ yang siku-siku di $O$ .
Pada segitiga $A D O$ , panjang $A O$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} A O & = \sqrt{A D^{2} + D O^{2}} \\ = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{2} cm \end{aligned}$
Karena $P$ terletak di tengah rusuk $C H,$ maka $O P = \frac{1}{2} \times t = 1 cm .$
Dengan demikian, panjang $A P$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras di segitiga $A O P .$
$\begin{aligned} A P & = \sqrt{A O^{2} + O P^{2}} \\ = \sqrt{(2 \sqrt{2})^{2} + 1^{2}} \\ = \sqrt{8 + 1} = 3 cm \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $A$ ke titik $P$ adalah $3 cm$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 21

Diketahui balok $K L M N . P Q R S$ dengan $K L = 3 cm$ , $L M = 4 cm$ , dan $K P = 12 cm$ . Jarak titik $R$ ke garis $P M$ adalah $\dots \cdot$
A. $\frac{35}{13} cm$ D. $\frac{50}{13} cm$
B. $\frac{40}{13} cm$ E. $\frac{60}{13} cm$
C. $\frac{45}{13} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Balok KLMN.PQRS Jarak titik $R$ ke garis $P M$ sama dengan jarak titik $R$ ke titik $O$ sedemikian sehingga $R O ⊥ P M$ .
Oleh karena itu, buat segitiga $P R M$ yang siku-siku di $R$ .
Panjang $P R$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada
segitiga siku-siku $P Q R$ , yakni
$\begin{aligned} P R & = \sqrt{P Q^{2} + Q R^{2}} \\ = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} \\ = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 cm \end{aligned}$
Panjang $P M$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada
segitiga siku-siku $P R M$ , yakni
$\begin{aligned} P M & = \sqrt{P R^{2} + R M^{2}} \\ = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} \\ = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 cm \end{aligned}$
Karena $R O$ merupakan garis tinggi segitiga $P R M$ dari titik $R$ , maka panjangnya dapat dengan mudah ditentukan menggunakan rumus kesebangunan, yaitu
$\begin{aligned} R O & = \frac{P R \times R M}{P M} \\ = \frac{5 \times 12}{13} = \frac{60}{13} cm . \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $R$ ke garis $P M$ adalah $\frac{60}{13} cm$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 22

Diketahui $T . A B C D$ limas segi empat beraturan yang memiliki panjang rusuk alas 12 cm dan panjang rusuk tegak $12 \sqrt{2} cm$ . Jarak titik $A$ ke $T C$ adalah $\dots \cdot$
A. $3 \sqrt{6} cm$ D. $6 \sqrt{6} cm$
B. $4 \sqrt{6} cm$ E. $7 \sqrt{6} cm$
C. $5 \sqrt{6} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Limas T.ABCD Panjang diagonal alasnya adalah
$\begin{aligned} A C & = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} \\ = \sqrt{12^{2} + 12^{2}} \\ = 12 \sqrt{2} \end{aligned}$ Segitiga $A T C$ merupakan segitiga sama sisi karena $A C = A T = T C = 12 \sqrt{2} cm .$
Dengan demikian, jarak titik $A$ ke $T C$ adalah jarak titik $A$ ke titik $O$ di mana $O$ titik tengah $T C$ seperti gambar.
Perhatikan segitiga siku-siku $A O C$
Diketahui: $A C = 12 \sqrt{2} cm$ dan $O C = \frac{1}{2} T C = \frac{1}{2} (12 \sqrt{2}) = 6 \sqrt{2} cm .$
Panjang $A O$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} A O & = \sqrt{A C^{2} - O C^{2}} \\ = \sqrt{(12 \sqrt{2})^{2} - (6 \sqrt{2})^{2}} \\ = \sqrt{288 - 72} = \sqrt{216} = 6 \sqrt{6} cm \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $A$ ke $T C$ adalah $6 \sqrt{6} cm$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 23

Diketahui limas segi empat beraturan $T . A B C D$ dengan $A B = B C = 5 \sqrt{2}$ cm dan $T A = 13$ cm. Jarak titik $A$ ke garis $T C$ adalah $\dots \cdot$
A. $4 \frac{8}{13}$ cm D. $10$ cm
B. $4 \frac{12}{13}$ cm E. $12$ cm
C. $9 \frac{3}{13}$ cm

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} A B & = B C = 5 \sqrt{2} cm \\ T A & = T C = 13 cm \end{aligned}$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Limas T.ABCD Misalkan $O$ adalah titik tengah diagonal $A C$ dan $P$ adalah titik pada $T C$ sehingga $A P$ merupakan garis tinggi segitiga $A C T$ . Dalam hal ini, $A P$ merupakan jarak $A$ ke $T C$ .
Tinjau segitiga $A B C$ (siku-siku di $B$ ). Panjang $A C$ dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras,
$\begin{aligned} A C & = \sqrt{(5 \sqrt{2})^{2} + (5 \sqrt{2})^{2}} \\ = \sqrt{50 + 50} \\ = 10 cm \end{aligned}$ Dengan demikian, $A O = 5 cm$ .
Selanjutnya, tinjau segitiga $A O T$ (siku-siku di $O$ ).
Panjang $O T$ juga dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras.
$\begin{aligned} O T & = \sqrt{A T^{2} - A O^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} \\ = \sqrt{144} = 12 cm \end{aligned}$
Terakhir, perhatikan segitiga $A T C$ .
Dengan menggunakan kesamaan luas segitiga, diperoleh
$\begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot A C \cdot O T & = \frac{1}{2} \cdot T C \cdot A P \\ 10 \cdot 12 & = 13 \cdot A P \\ A P & = \frac{120}{13} = 9 \frac{3}{13} cm \end{aligned}$ Jadi, jarak titik $A$ ke garis $T C$ adalah $9 \frac{3}{13} cm$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 24

Diketahui sebuah limas $T . A B C D$ dengan sisi alas berbentuk persegi dan panjang rusuk alas $6$ cm serta panjang rusuk tegaknya $5$ cm. Tinggi limas tersebut adalah $\dots \cdot$
A. $\sqrt{7} cm$ D. $4 cm$
B. $3 cm$ E. $3 \sqrt{2} cm$
C. $\sqrt{13} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Limas T.ABCD Misalkan proyeksi titik $T$ ke bidang alas $A B C D$ adalah titik $O$ yang terletak di tengah-tengah bidang itu. Sekarang, perhatikan segitiga $A O T$ (siku-siku di $O$ ). Karena $A C$ merupakan diagonal bidang alas (persegi), maka $A C = 6 \sqrt{2} cm$ sehingga $A O = \frac{1}{2} (A C) =$ $\frac{1}{2} (6 \sqrt{2}) = 3 \sqrt{2} cm .$
$A T$ merupakan rusuk tegak limas sehingga $A T = 5 cm$ . Dalam bentuk ini, $O T$ merupakan tinggi limas yang akan dicari panjangnya dengan menggunakan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} O T & = \sqrt{A T^{2} - A O^{2}} \\ = \sqrt{5^{2} - (3 \sqrt{2})^{2}} \\ = \sqrt{25 - 18} = \sqrt{7} cm \end{aligned}$
Jadi, tinggi limas tersebut adalah $\sqrt{7} cm$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 25

Diketahui limas segi empat $T . A B C D$ dengan panjang rusuk $A B = B C = 8 cm$ dan $T A = 6 cm$ . Jika $P$ titik tengah $B C$ , maka jarak titik $P$ ke bidang $T A D$ adalah $\dots \cdot$
A. $2 \sqrt{6} cm$ D. $\frac{8}{3} \sqrt{3} cm$
B. $\frac{8}{5} \sqrt{5} cm$ E. $\frac{5}{8} \sqrt{3} cm$
C. $\frac{4}{5} \sqrt{5} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Jarak titik $P$ ke bidang $T A D$ sama dengan jarak titik $P$ ke titik $R$ pada $Q T$ sehingga garis $P R$ dan $Q T$ saling tegak lurus.
Misalkan $O$ titik tengah bidang alas $A B C D$ dan $Q$ titik tengah rusuk $A D$ .
Tinjau $△ T P B$ (siku-siku di $P$ ).
Diketahui $B P = \frac{1}{2} \times 8 = 4 cm$ dan $T B = 6 cm$ sehingga dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} T P & = \sqrt{T B^{2} - B P^{2}} \\ = \sqrt{6^{2} - 4^{2}} \\ = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} cm \end{aligned}$ .
Tinjau $△ T O P$ (siku-siku di $O$ ).
Diketahui $O P = \frac{1}{2} \times 8 = 4 cm$ dan $T P = 2 \sqrt{5} cm$ sehingga dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} T O & = \sqrt{T P^{2} - O P^{2}} \\ = \sqrt{(2 \sqrt{5})^{2} - 4^{2}} \\ = \sqrt{20 - 16} = \sqrt{4} = 2 cm \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan $△ T Q P$ yang diilustrasikan seperti pada gambar kanan di atas.
Dalam segitiga tersebut, $T Q = T P = 2 \sqrt{5} cm$ .
Dengan menggunakan kesamaan luas segitiga, diperoleh
$\begin{aligned} \frac{1}{2} \times Q P \times T O & = \frac{1}{2} \times T Q \times P R \\ 8 \times 2 & = 2 \sqrt{5} \times P R \\ P R & = \frac{8 \times 2}{2 \sqrt{5}} \\ P R & = \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{8}{5} \sqrt{5} cm \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $P$ ke bidang $T A D$ adalah $\frac{8}{5} \sqrt{5} cm$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 26

Diketahui $T . A B C$ adalah limas segitiga beraturan dengan panjang rusuk alas $12 cm$ dan panjang rusuk tegak $6 \sqrt{2} cm$ serta titik $E$ di tengah rusuk $T C$ . Jarak titik $A$ ke $B E$ adalah $\dots \cdot$
A. $3 \sqrt{10} cm$ D. $\frac{6}{5} \sqrt{15} cm$
B. $\frac{18}{5} \sqrt{15} cm$ E. $3 \sqrt{15} cm$
C. $\frac{12}{5} \sqrt{15} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Limas Segitiga T.ABC Diketahui bahwa $T E = E C = 3 \sqrt{2}$ karena $E$ terletak tepat di tengah rusuk $T C$ . Perhatikan juga bahwa $A E = B E$ . Posisikan titik $D$ di pertengahan rusuk $A B$ dan titik $O$ di pertengahan rusuk $B C$ . Misalkan titik $I$ terletak pada $B E$ sedemikian sehingga $A I ⊥ B E$ , yang berarti jarak titik $A$ ke $B E$ dapat diwakili oleh jarak titik $A$ ke titik $I$ .
Tinjau $△ B C T$ .
Misalkan panjang $B E = x$ .
Dengan menggunakan aturan kosinus pada $△ B C T$ dan $△ B C E$ , diperoleh
$\begin{aligned} \cos θ = \frac{(12)^{2} + (6 \sqrt{2})^{2} - (6 \sqrt{2})^{2}}{2 \cdot 12 \cdot {6 \sqrt{2}}^{2}} & = \frac{(12)^{2} + (3 \sqrt{2})^{2} - (x)^{2}}{2 \cdot 12 \cdot 3 \sqrt{2}} \\ \frac{144}{2} & = 144 + 18 - x^{2} \\ 72 & = 162 - x^{2} \\ x^{2} & = 90 \\ x & = \sqrt{90} = 3 \sqrt{10} \end{aligned}$ Diperoleh panjang $A E = B E =$ $3 \sqrt{10} cm .$
Selanjutnya, tinjau $△ A B E$ .
Panjang $D E$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $D B E$ .
$\begin{aligned} D E & = \sqrt{B E^{2} - B D^{2}} \\ = \sqrt{(3 \sqrt{10})^{2} - (6)^{2}} \\ = \sqrt{90 - 36} = \sqrt{54} = 3 \sqrt{6} \end{aligned}$
Misalkan besar $∠ A B E = α$ sehingga dengan menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku $D B E$ dan $A B I$ , diperoleh
$\begin{aligned} \sin α & = \frac{D E}{B E} \\ = \frac{3 \sqrt{6}}{3 \sqrt{10}} = \sqrt{3} 5 = \frac{1}{5} \sqrt{15} . \end{aligned}$
Pada segitiga siku-siku $A B I$ , diperoleh
$\begin{aligned} A I & = A B \cdot \sin α \\ = 12 \cdot \frac{1}{5} \sqrt{15} \\ = \frac{12}{5} \sqrt{15} cm . \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $A$ ke $B E$ adalah $\frac{12}{5} \sqrt{5} cm$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 27

Ahmad memiliki ruang belajar berbentuk balok dengan panjang $6$ meter, lebar $4$ meter, dan tinggi $4$ meter. Ia ingin memasang lampu tepat di tengah-tengah atas ruangan. Ia juga ingin memasang sakelar lampu di tengah-tengah salah satu dinding ruangan. Jarak terpendek sakelar dengan lampu adalah $\dots$ meter.
A. $\sqrt{2}$ C. $2 \sqrt{2}$ E. $3 \sqrt{2}$
B. $\sqrt{3}$ D. $\sqrt{13}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar balok yang merepresentasikan bentuk ruang belajar Ahmad berikut.
Sketsa Ruangan Berbentuk Balok Lampu diposisikan tepat di tengah bidang $E F G H$ . Agar jarak lampu terhadap sakelar minimum, maka sakelar harus dipasang pada bagian dinding depan atau belakang, bukan di dinding kiri maupun kanan (karena panjang ruangan lebih besar dari lebar ruangannya). Misalnya, sakelar dipasang tepat di tengah bidang $A B F E$ , beri nama titik $L$ . Dengan demikian, dapat dibentuk sebuah segitiga siku-siku untuk menentukan jarak keduanya.
Berdasarkan rumus Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} J L & = \sqrt{K L^{2} + K J^{2}} \\ = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{2} m \end{aligned}$
Jadi, jarak minimum lampu terhadap sakelar adalah $2 \sqrt{2} meter$ .
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 28

Perhatikan gambar di bawah.
Jika $A T, A B$ , dan $A C$ adalah segmen yang saling tegak lurus di $A$ dengan panjang masing-masing $6 cm$ , jarak titik $A$ ke bidang $T B C$ adalah $\dots \cdot$
A. $\frac{3}{2} \sqrt{6} cm$ D. $3 \sqrt{2} cm$
B. $2 \sqrt{3} cm$ E. $6 \sqrt{2} cm$
C. $2 \sqrt{6} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Jarak titik $A$ ke bidang $T B C$ sama dengan jarak titik $A$ ke titik berat segitiga $T B C$ , yaitu titik $P$ sedemikian sehingga $A P$ dan $T O$ saling tegak lurus dengan $O$ titik tengah $B C$ .
Perhatikan $△ T A B$ (siku-siku di $A$ ) dengan $A T = A B = 6 cm$ . Dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} B T & = \sqrt{A T^{2} + A B^{2}} \\ = \sqrt{6^{2} + 6^{2}} = 6 \sqrt{2} cm \end{aligned}$
Perhatikan $△ A B C$ (siku-siku di $A$ ) dengan $A B = A C = 6 cm$ . Dengan Teorema Pythagoras, juga diperoleh $B C = 6 \sqrt{2} cm$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} O B & = \frac{1}{2} \times B C \\ = \frac{1}{2} \times 6 \sqrt{2} = 3 \sqrt{2} cm \end{aligned}$
Selanjutnya, tinjau $△ A O B$ (siku-siku di $O$ ) dengan $A B = 6 cm$ dan $O B = 3 \sqrt{2} cm$ . Dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} A O & = \sqrt{A B^{2} - O B^{2}} \\ = \sqrt{6^{2} - (3 \sqrt{2})^{2}} \\ = \sqrt{36 - 18} = 3 \sqrt{2} cm \end{aligned}$
Berikutnya, tinjau $△ T A O$ (siku-siku di $A$ ) dengan $A T = 6 cm$ dan $A O = 3 \sqrt{2} cm$ . Dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} O T & = \sqrt{A T^{2} + A O^{2}} \\ = \sqrt{6^{2} + (3 \sqrt{2})^{2}} \\ = \sqrt{36 + 18} = \sqrt{54} = 3 \sqrt{6} cm \end{aligned}$
Dengan menggunakan kesamaan luas segitiga pada $△ T A O$ , diperoleh
$\begin{aligned} \frac{1}{2} \times A T \times A O & = \frac{1}{2} \times A P \times O T \\ 6 \times 3 \sqrt{2} & = A P \times 3 \sqrt{6} \\ A P & = \frac{18 \sqrt{2}}{3 \sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{3} cm \end{aligned}$ Jadi, jarak titik $A$ ke bidang $T B C$ adalah $2 \sqrt{3} cm$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 29

Diketahui prisma tegak segitiga sama sisi $A B C . D E F$ dengan panjang $A B = s$ dan $A D = t$ . Jika titik $G$ terletak di tengah rusuk $E F$ , maka panjang $A G$ adalah $\dots \cdot$
A. $\sqrt{t^{2} - \frac{3}{4} s^{2}}$
B. $\sqrt{t^{2} + \frac{3}{4} s^{2}}$
C. $\sqrt{t^{2} + s^{2}}$
D. $\sqrt{t^{2} - s^{2}}$
E. $\sqrt{t^{2} + \frac{1}{4} s^{2}}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Perhatikan segitiga sama sisi $A B C .$
Tarik garis tinggi dari $A$ ke $B C$ sehingga proyeksi titiknya pada $H$ yang tepat terletak di tengah $B C .$
Tinjau segitiga siku-siku $A H B$ dengan $A B = s$ dan $H B = \frac{1}{2} s$ . Dengan Teorema Pythagoras, didapat
$\begin{aligned} A H^{2} & = A B^{2} - H B^{2} \\ = s^{2} - {(\frac{1}{2} s)}^{2} \\ = s^{2} - \frac{1}{4} s^{2} = \frac{3}{4} s^{2} \end{aligned}$
Selanjutnya, buatlah segitiga siku-siku $A H G$ seperti gambar.
Diketahui $A H = \frac{3}{4} s^{2}$ dan $H G = t$ sehingga dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} A G^{2} & = A H^{2} + H G^{2} \\ A G^{2} & = \frac{3}{4} s^{2} + t^{2} \\ A G & = \sqrt{\frac{3}{4} s^{2} + t^{2}} \\ = \sqrt{t^{2} + \frac{3}{4} s^{2}} \end{aligned}$
Jadi, panjang $A G$ adalah $\sqrt{t^{2} + \frac{3}{4} s^{2}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 30

Pada kubus $A B C D . E F G H$ , titik $P, Q$ , dan $R$ adalah titik di pertengahan rusuk $A D, A B$ , dan $B F$ . Irisan bidang yang melalui $P, Q$ , dan $R$ berbentuk $\dots \cdot$
A. persegi
B. trapesium
C. segitiga sama sisi
D. segi lima beraturan
E. segi enam beraturan

Pembahasan

Posisikan titik $P, Q, R$ pada kubus $A B C D . E F G H$ , lalu buatlah bidang yang menembus (membelah) kubus serta melalui ketiga titik tersebut seperti tampak pada gambar di bawah.
Perhatikan bahwa setiap sisi yang membentuk bangun memiliki panjang yang sama dengan jarak titik tengah rusuk yang satu ke titik tengah rusuk yang lain pada satu bidang sehingga jaraknya pasti sama. Untuk itu, bidang yang terbentuk berupa segi enam beraturan (memiliki $6$ sisi dan semua sisinya sama panjang).
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 31

Diketahui kubus $A B C D . E F G H$ dengan panjang rusuk $7$ cm. Titik $M$ adalah titik potong garis $A C$ dan $B D$ , sedangkan titik $N$ adalah titik potong garis $E G$ dan $H F$ .
Jarak garis $E M$ dan garis $C N$ adalah $\dots \cdot$
A. $\frac{7}{2}$ cm D. $7 \sqrt{2}$ cm
B. $7$ cm E. $\frac{7}{3} \sqrt{3}$ cm
C. $\frac{7}{2} \sqrt{2}$ cm

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
$E M C N$ bukanlah persegi panjang, melainkan jajar genjang (sudut antara garis $E M$ dan $M C$ tidak siku-siku).
Jarak $E M$ dan $C N$ diwakili oleh jarak titik $O$ (pada $E M$ ) ke titik $N$ atau jarak titik $P$ (pada $C N$ ) ke titik $M .$
Sekarang, tinjau $△ E M N .$
Segitiga $E M N$ siku-siku di $N .$
Panjang $E N$ merupakan setengah dari panjang diagonal bidang $E G$ sehingga $E N = \frac{1}{2} \cdot s \sqrt{2}$ $= \frac{7}{2} \sqrt{2} cm .$
$N M$ merupakan tinggi kubus, yakni $7 cm .$
Untuk mencari panjang $E M$ , gunakan rumus Pythagoras.
$\begin{aligned} E M & = \sqrt{E N^{2} + N M^{2}} \\ = \sqrt{{(\frac{7}{2} \sqrt{2})}^{2} + (7)^{2}} \\ = \sqrt{\frac{49}{2} + 49} \\ = \sqrt{\frac{49 + 49 \cdot 2}{2}} \\ = \sqrt{\frac{49 \cdot 3}{2}} \\ = \frac{7}{2} \sqrt{6} cm \end{aligned}$
Dengan menggunakan prinsip kesamaan luas segitiga pada $△ E M N$ , diperoleh
$\begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot E N \cdot N M & = \frac{1}{2} \cdot E M \cdot O N \\ \frac{7}{2} \sqrt{2} \cdot 7 & = \frac{7}{2} \sqrt{6} \cdot O N \\ O N & = \frac{7 \sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{7}{3} \sqrt{3} cm \end{aligned}$
Jadi, jarak garis $E M$ dan $C N$ adalah $\frac{7}{3} \sqrt{3} cm$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 32

Diketahui kubus $A B C D . E F G H$ dengan panjang rusuk $2 cm$ . $P$ adalah titik tengah $H G$ , $Q$ titik tengah $F G$ , dan $R$ titik tengah $P Q$ . Jika $B S$ adalah proyeksi $B R$ pada bidang $A B C D$ , maka panjang $B S$ sama dengan $\dots$ cm.
A. $\frac{1}{2} \sqrt{14}$ D. $\frac{1}{2} \sqrt{8}$
B. $\frac{1}{2} \sqrt{12}$ E. $\frac{1}{2} \sqrt{6}$
C. $\frac{1}{2} \sqrt{10}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.Proyeksi $B R$ pada bidang $A B C D$ adalah $B S$ (garis warna hijau) seperti tampak pada gambar di atas.
Dalam hal ini, kita akan mencari panjang $B S$ .
Perhatikan bahwa $△ B T S$ merupakan segitiga siku-siku di $T$ .
Panjang $B T$ sama dengan $\frac{3}{4}$ dari panjang $B C$ (rusuk kubus) sehingga $B T = \frac{3}{4} (2) = \frac{3}{2} cm$ .
Panjang $S T$ sama dengan $\frac{1}{4}$ dari panjang $A B$ (rusuk kubus) sehingga $S T = \frac{1}{4} (2) = \frac{1}{2} cm$ .
Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} B S & = \sqrt{B T^{2} + S T^{2}} \\ = \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} \\ = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{1}{4}} \\ = \sqrt{\frac{10}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{10} cm \end{aligned}$
Jadi, panjang $B S$ adalah $\frac{1}{2} \sqrt{10} cm$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 33

Diketahui kubus $A B C D . E F G H .$ Titik $M$ adalah titik potong diagonal $C E$ dengan bidang $B D G .$ Jika jarak dari titik $M$ ke titik $A$ adalah $1$ cm, maka panjang rusuk kubus adalah $\dots$ cm.
A. $1$ C. $3$ E. $5$
B. $2$ D. $4$

Pembahasan

Gambarkan kubus tersebut beserta titik $M$ dan bidang $B D G .$ Posisikan titik $P$ di tengah diagonal $E G,$ titik $Q$ di tengah diagonal $A C,$ dan titik $O$ yang merupakan perpotongan ruas garis $E G$ dan $A P,$ seperti yang tampak pada gambar berikut.
Diketahui $A M = 1.$
Perhatikan bahwa $Q G = A P$ sehingga sudut siku-siku terbentuk di titik $O,$ sama halnya dengan di titik $M .$ Ruas garis $E M$ akan terbelah dua sama panjang oleh $O$ sehingga $E O = O M .$ Akibatnya, $△ A E M$ merupakan segitiga sama kaki sehingga dapat disimpulkan bahwa $A E = A M = 1 cm .$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 34

Diberikan balok $A B C D . E F G H$ dengan panjang $B C = 4, F B = \sqrt{11},$ dan $C D = 3.$ Jika $T$ pada $F D$ sehingga panjang $T C = 3,$ maka jarak $T$ ke $D$ adalah $\dots \cdot$
A. $\frac{1}{2} \sqrt{2}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $2$
D. $2 \sqrt{2}$
E. $3$

Pembahasan

Gambarkan baloknya terlebih dahulu.
Tinjau $△ C F D .$
Kita akan mencari panjang setiap sisi segitiga tersebut. Diketahui dari soal bahwa panjang $C D = 3.$ Panjang $C F$ dapat dicari dengan rumus Pythagoras dengan menggunakan segitiga siku-siku $C B F .$
$\begin{aligned} C F & = \sqrt{B C^{2} + F B^{2}} \\ = \sqrt{4^{2} + (\sqrt{11})^{2}} \\ = \sqrt{16 + 11} \\ = 3 \sqrt{3} \end{aligned}$ Panjang $F D$ dapat dicari dengan menggunakan rumus Pythagoras pada segitiga siku-siku $B D F .$ Panjang $B D$ sendiri harus dicari terlebih dahulu dengan menggunakan rumus Pythagoras pada segitiga siku-siku $A B D .$
$\begin{aligned} B D & = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} \\ = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} \\ = \sqrt{25} \\ = 5 \end{aligned}$ Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} F D & = \sqrt{B D^{2} + F B^{2}} \\ = \sqrt{5^{2} + (\sqrt{11})^{2}} \\ = \sqrt{36} \\ = 6 \end{aligned}$ Sekarang kita dapat menggambarkan $△ C F D$ beserta dengan panjang sisinya dan titik $T$ yang dimaksud oleh soal.
Dengan menggunakan aturan kosinus pada $△ C F D$ dengan mengacu pada sudut $D,$ kita peroleh
$\begin{aligned} \cos D & = \frac{F D^{2} + C D^{2} - C F^{2}}{2 \cdot C F \cdot C D} \\ = \frac{6^{2} + 3^{2} - (3 \sqrt{3})^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 3} \\ = \frac{36 + 9 - 27}{36} \\ = \frac{1}{2} \end{aligned}$ Diperoleh $∠ D = 60^{\circ} .$
Perhatikan bahwa $T C = C D = 3$ sehingga segitiga $D C T$ merupakan segitiga sama kaki dan akibatnya $∠ D T C = ∠ D = 60^{\circ} .$ Lebih lanjut, hal ini akan mengakibatkan $∠ D C T = 60^{\circ}$ sehingga kita dapat simpulkan bahwa segitiga $D C T$ sama sisi dan ini berarti $T D = T C = C D = 3.$
Jadi, jarak $T$ ke $D$ adalah $3$
(Jawaban E)

[collapse]

Tag: Rusuk

Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Dimensi Tiga (Konsep Jarak: Titik, Garis, dan Bidang)

Teori Kebahagiaan Albert Einstein

Soal Nomor 1

Soal Nomor 2

Soal Nomor 3

Soal Nomor 4

Soal Nomor 5

Soal Nomor 6

Soal Nomor 7

Soal Nomor 8

Soal Nomor 9

Soal Nomor 10

Soal Nomor 11

Soal Nomor 12

Soal Nomor 13

Soal Nomor 14

Soal Nomor 15

Soal Nomor 16

Soal Nomor 17

Soal Nomor 18

Soal Nomor 19

Soal Nomor 20

Soal Nomor 21

Soal Nomor 22

Soal Nomor 23

Soal Nomor 24

Soal Nomor 25

Soal Nomor 26

Soal Nomor 27

Soal Nomor 28

Soal Nomor 29

Soal Nomor 30

Soal Nomor 31

Soal Nomor 32

Soal Nomor 33

Soal Nomor 34