Soal dan Pembahasan – Geometri Bidang Datar

Geometri adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari tentang bangun dan bentuk. Geometri identik dengan visualisasi gambar yang perlu dihadirkan untuk memahami bagaimana sifat-sifat bentuk dan bangun tersebut. Pada umumnya, geometri dibagi menjadi dua bagian utama, yakni geometri bangun datar dan geometri bangun ruang. Meskipun begitu, geometri sebenarnya dikaji secara luas apabila dipelajari secara lebih mendalam. 

Berikut ini telah disediakan sejumlah soal geometri bangun datar yang juga telah dilengkapi dengan pembahasannya untuk setiap nomor. Soal ini cocok dipelajari untuk siswa/i SMP dan SMA, terutama bagi mereka yang sedang mempersiapkan lomba. Semoga dapat membantu meningkatkan kemampuan menjelajahi dunia geometri.

Quote by Confucius

Mengetahui bahwa sesuatu salah, tetapi tetap melakukannya, itulah yang benar-benar disebut sebagai kesalahan.

Bagian Pilihan Ganda 

Soal Nomor 1

Sebuah persegi panjang dibagi menjadi 6 persegi seperti tampak pada gambar. Panjang sisi persegi terkecil adalah 1 cm. Panjang sisi persegi terbesar adalah $\cdots \cdot$
A. $4$ cm                       D. $7$ cm
B. $5$ cm                       E. $8$ cm
C. $6$ cm

Pembahasan

Misalkan persegi yang berwarna kuning memiliki panjang sisi $x$ cm.
Selanjutnya, kita peroleh panjang sisi persegi yang lain dalam $x$ seperti tampak pada gambar di atas. Perhatikan panjang dan lebar sisi persegi panjang terbesar. Lebarnya adalah $x + 2,$ sedangkan panjangnya (jika dipandang dari sisi bawah) adalah $(x-1)+(x-2) = 2x-3.$ Karena persegi memiliki empat sisi yang sama panjang, kita peroleh
$$\begin{aligned} x+2 & = 2x-3 \\ \Rightarrow x & = 5. \end{aligned}$$Dengan demikian, panjang sisi persegi terbesar adalah $\boxed{5 + 2 = 7~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Keliling dan Luas Bangun Datar (Tingkat Lanjut) 

Soal Nomor 2

Sebuah persegi dengan total luas $125~\text{cm}^2$ dibagi menjadi lima daerah yang sama luasnya seperti gambar. Daerah itu berupa empat persegi dan bangun datar berbentuk huruf L. Panjang sisi terpendek dari bangun datar berbentuk L tersebut adalah $\cdots$ cm.
A. $1$                                  D. $3(\sqrt5-1)$
B. $1,2$                             E. $3(\sqrt5+1)$
C. $5\sqrt5-10$

Pembahasan

Karena luas total persegi besar adalah $125~\text{cm}^2,$ maka luas masing-masing daerah adalah $125 \div 5 = 25~\text{cm}^2.$ Ini menunjukkan bahwa panjang sisi persegi adalah $5~\text{cm}.$
Misalkan panjang sisi terpendek dari bangun datar berbentuk L adalah $x.$ Perhatikan gambar.
Luas bangun ini juga $25~\text{cm}^2$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} (10)(x) + (10+x)(x) & = 25 \\ 10x + 10x + x^2 & = 25 \\ x^2 + 20x & = 25 \\ (x+10)^2-100 & = 25 \\ (x+10)^2 &= 125\\ x+10 & = \pm 5\sqrt5 \\ x & = \pm 5\sqrt5-10. \end{aligned}$$Karena ukuran panjang tidak mungkin bernilai negatif, maka diambil $x = 5\sqrt5-10.$ Jadi, panjang sisi terpendek tersebut adalah $\boxed{(5\sqrt5-10)~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3

Perhatikan gambar persegi berikut.
Persegi kecil yang diberi warna jingga memiliki luas yang sama. Jika panjang sisinya $1$ satuan, maka panjang sisi persegi terbesar adalah $\cdots$ satuan.
A. $\sqrt2$                                D. $(2+2\sqrt2)$
B. $2$                                    E. $(2\sqrt2 + 4)$
C. $2\sqrt2$

Pembahasan

Karena panjang sisi persegi kecil adalah $1$ satuan, maka panjang diagonalnya dengan menggunakan rumus Pythagoras adalah $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt2$ satuan.
Jadi, panjang sisi persegi terbesar adalah $$\boxed{1 + \sqrt2 + \sqrt2 + 1 = (2 + 2\sqrt2)~\text{satuan}}$$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4

Dua segitiga sama sisi yang kongruen dengan keliling $24$ cm tumpang-tindih sedemikian sehingga sisi-sisinya saling sejajar. Keliling segi enam yang terbentuk dari irisan kedua segitiga itu adalah $\cdots \cdot$
A. $11$ cm                           D. $16$ cm
B. $12$ cm                           E. $18$ cm
C. $14$ cm

Pembahasan

Perhatikan bahwa posisi kedua segitiga tersebut membentuk beberapa daerah yang berbentuk segitiga sama sisi. Kita misalkan panjang sisinya masing-masing $a, b,$ dan $c$ seperti tampak pada gambar.
Karena keliling segitiga sama sisi yang besar adalah $24$ cm, maka panjang sisinya adalah $24 \div 3 = 8$ cm.
Permisalan sebelumnya menunjukkan bahwa $a + b + c = 8$ cm.
Sekarang perhatikan segi enam yang terbentuk. Kelilingnya adalah jumlah panjang semua sisinya, yaitu $$\boxed{2a + 2b + 2c = 2(a + b + c) = 2(8) = 16~\text{cm}}$$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5

Segitiga $PQR$ adalah segitiga siku-siku di $P$ dengan $PQ = 2$ dan $PR = 2\sqrt3.$ Garis tinggi $PL$ memotong garis berat $RM$ di titik $F.$ Panjang $PF$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{\sqrt3}{2}$                              D. $\dfrac{4\sqrt3}{9}$
B. $\dfrac{3\sqrt3}{7}$                            E. $\dfrac{5\sqrt3}{7}$
C. $\dfrac{4\sqrt3}{7}$

Pembahasan

Misalkan segitiga $PQR$ tersebut diletakkan pada bidang koordinat Kartesius sedemikian sehingga titik $P$ berada di titik asal $(0, 0).$ Dengan demikian, diperoleh $Q(2, 0), M(1, 0),$ dan $R(0, 2\sqrt3).$
Kita akan mencari koordinat $F$ dengan terlebih dahulu mencari persamaan garis $MR$ dan $PL.$


Persamaan garis $MR$:
Karena $M(1, 0)$ dan $R(0, 2\sqrt3),$ maka persamaan garisnya adalah $1y + 2\sqrt3x = (1)(2\sqrt3)$ atau disederhanakan menjadi $y + 2\sqrt3x = 2\sqrt3.$


Persamaan garis $PL$:
Perhatikan bahwa $PL \perp QR.$ Gradien garis $QR$ adalah $m_{QR} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-2\sqrt3}{2} = -\sqrt3.$ Persamaan garis yang tegak lurus dengannya, yaitu $PL,$ bergradien $m_{PL} = -\dfrac{1}{m_{QR}} = \dfrac{1}{\sqrt3}.$
Persamaan garis yang melalui titik $P(0,0)$ dan bergradien $m_{QR} = \dfrac{1}{\sqrt3}$ adalah
$$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-0 & = \dfrac{1}{\sqrt3}(x-0) \\ y & = \dfrac13\sqrt3x. \end{aligned}$$


Kita peroleh dua persamaan berikut.
$$\begin{cases} y + 2\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ y & = \dfrac13\sqrt3x \end{cases}$$Selesaikan dengan metode substitusi.
$$\begin{aligned} y + 2\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ \Rightarrow \dfrac13\sqrt3x + 2\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ \dfrac73\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ x & = \dfrac67 \end{aligned}$$Akibatnya, $y = \dfrac{6}{7\sqrt3}.$
Jadi, koordinat $F$ adalah $\left(\dfrac67, \dfrac{6}{7\sqrt3}\right).$


Panjang $PF$ dapat dicari dengan rumus Pythagoras karena kedua titik ujungnya telah diketahui koordinatnya.
$$\begin{aligned} |PF| & = \sqrt{\left(\dfrac67-0\right)^2+\left(\dfrac{6}{7\sqrt3}-0\right)^2} \\ & = \sqrt{\dfrac{36}{49}+\dfrac{36}{49 \cdot 3}} \\ & = \sqrt{\dfrac{4 \cdot 36}{49 \cdot 3}} \\ & = \dfrac{12}{7\sqrt3} \\ & = \dfrac{4\sqrt3}{7} \end{aligned}$$Jadi, panjang $PF$ adalah $\boxed{\dfrac{4\sqrt3}{7}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6

$PA$ adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $O.$ Jika $PC$ membagi dua sudut $APB$ sama besar, maka berapakah besar sudut $ACP$?
A. $30^\circ.$                     C. $50^\circ.$                     E. $75^\circ.$
B. $45^\circ.$                    D. $60^\circ.$             

Pembahasan

Tarik garis dari $O$ ke $A.$ Karena $PA$ merupakan garis singgung lingkaran, maka $OA \perp PA.$ Perhatikan juga bahwa $AB$ dan $AO$ menghadap busur yang sama sehingga sudut pada $AO$ nilainya dua kali dari sudut pada $AB.$
Kita lakukan permisalan seperti yang tampak pada gambar berikut.
Pada $\triangle ACP$ dan $\triangle BCP$ berturut-turut berlaku:
$$\begin{aligned} \angle A + x + p & = 180^\circ && (\cdots 1) \\ \alpha + y + p & = 180^\circ && (\cdots 2) \end{aligned}$$Jumlahkan kedua persamaan itu sehingga didapat
$$\begin{aligned} \angle A + \alpha + (x + y) + 2p & = 360^\circ \\ \angle A + \alpha + 180^\circ + 2p & = 360^\circ \\ \angle A + \alpha + 2p & = 180^\circ. \end{aligned}$$Pada $\triangle AOP$ berlaku
$$\begin{aligned} 90^\circ + 2a + 2p & = 180^\circ \\ 2a + 2p & = 90^\circ \\ a + p & = 45^\circ \\ \alpha & = 45^\circ-p. \end{aligned}$$Selanjutnya, pada $\triangle ABP$ berlaku
$$\begin{aligned} \angle A + \alpha + 2p & = 180^\circ \\ \angle A + (45^\circ-p) + 2p & = 180^\circ \\ \angle A + p & = 135^\circ. \end{aligned}$$Substitusi hasil ini ke persamaan $(1).$
$$\begin{aligned} \angle A + x + p & = 180^\circ \\ (\angle A + p) + x & = 180^\circ \\ 135^\circ + x & = 180^\circ \\ x & = 45^\circ \end{aligned}$$Jadi, besar sudut $ACP$ adalah $\boxed{45^\circ}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Lingkaran (Tingkat SD) 

Soal Nomor 7

Dua segi enam beraturan yang sama diletakkan di dalam sebuah jajaran genjang seperti tampak pada gambar.
Berapa perbandingan jumlah luas kedua segi enam terhadap luas jajaran genjang?
A. $1 : 2$                        D. $2 : 3$
B. $1 : 3$                        E. $2 : 5$
C. $1 : 4$

Pembahasan

Bagilah jajaran genjang beserta segi enam dengan ruas-ruas garis sehingga diperoleh sejumlah segitiga sama sisi seperti tampak pada gambar.
Ada $24$ segitiga sama sisi pembentuk jajaran genjang, sedangkan ada $12$ segitiga sama sisi pembentuk segi enam. Jadi, perbandingan jumlah luas kedua segi enam terhadap luas jajaran genjang adalah $\boxed{12 : 24 = 1 : 2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8

Gambar di bawah merupakan segi delapan (oktagon) beraturan. Jika luas daerah yang diarsir adalah $6$ satuan luas, maka luas segi delapan tersebut adalah $\cdots \cdot$

A. $18$                          D. $24$
B. $21$                          E. $28$
C. $22$

Pembahasan

Pada segi delapan beraturan, panjang delapan sisinya sama. Kita misalkan sebagai $x.$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Daerah yang diarsir adalah trapesium sama kaki. Panjang sisi siku segitiga dapat dicari dengan menggunakan rumus Pythagoras.
$$\begin{aligned} a^2 + a^2 & = x^2 \\ 2a^2 & = x^2 \\ a^2 & = \dfrac{x^2}{2} \\ a & = \sqrt{\dfrac{x^2}{2}} = \dfrac{x}{\sqrt2} \end{aligned}$$Karena luas trapesium (daerah yang diarsir) adalah $6$ satuan luas, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} \text{Luas trapesium} & = 6 \\ 2 \cdot \text{Luas segitiga} + \text{Luas persegi panjang} & = 6 \\ 2 \cdot \dfrac12 \cdot \left(\dfrac{x}{\sqrt2}\right)^2 + \dfrac{x}{\sqrt2} \cdot x & = 6 \\ \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^2}{\sqrt2} & = 6 \\ x^2 \left(\dfrac12 + \dfrac12\sqrt2\right) & = 6 \\ x^2 & = \dfrac{6}{\dfrac12 + \dfrac12\sqrt2} \\ x & = \dfrac{12}{1 + \sqrt2}. \end{aligned}$$Luas segi delapan dapat dicari jika diketahui panjang sisinya ($x$), yaitu $\boxed{L = 2x^2(\sqrt2 + 1)}$
$$\begin{aligned} \text{Luas segitiga-8} & = 2x^2(\sqrt2+1) \\ & = 2\left(\dfrac{12}{\cancel{1 + \sqrt2}}\right)\cancel{(\sqrt2+1)} \\ & = 2(12) = 24 \end{aligned}$$
Jadi, luas segi delapan itu adalah $24$ satuan luas.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9

$ABCDEF$ adalah segi enam beraturan dengan $M$ dan $N$ terletak di tengah sisi yang saling berhadapan seperti tampak pada gambar. Jika luas segi enam ini adalah $120,$ maka hasil kali nilai panjang $AD$ dan $MN$ adalah $\cdots \cdot$
A. $200$                              D. $140$
B. $180$                              E. $100$
C. $160$

Pembahasan

segi enam beraturan tersusun dari 6 segitiga sama sisi seperti tampak pada gambar.
Misalkan panjang sisinya adalah $x.$ Diketahui bahwa luas segi enam adalah $120,$ sehingga luas segitiga sama sisi adalah $\dfrac{120}{6} = 20.$
Dengan menggunakan rumus luas segitiga menurut sinus, diperoleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac12ab \sin \theta \\ 20 & = \dfrac12(x)(x) \sin 60^\circ \\ 20 & = \dfrac12x^2 \cdot \dfrac12\sqrt3 \\ x^2 & = \dfrac{80}{\sqrt3}. \end{aligned}$$Panjang $MN$ sama dengan dua kalinya panjang $M$ ke $O$ (titik tengah segi enam) yang juga merupakan tinggi segitiga sama sisi tersebut. Untuk itu, kita dapat menggunakan rumus Pythagoras untuk mencarinya.
$$\begin{aligned} MN & = 2MO \\ & = 2 \cdot \sqrt{x^2-\left(\dfrac{x}{2}\right)^2} \\ & = 2 \cdot \dfrac12x\sqrt3 \\ & = x\sqrt3 \end{aligned}$$Panjang $AD$ jelas adalah $x + x = 2x.$
Kita peroleh
$$\begin{aligned} AD \cdot MN & = 2x \cdot x\sqrt3 \\ & = 2(x^2)\sqrt3 \\ & = 2 \cdot \dfrac{80}{\cancel{\sqrt3}} \cdot \cancel{\sqrt3} \\ & = 160. \end{aligned}$$Jadi, hasil kali nilai panjang $AD$ dan $MN$ adalah $\boxed{160}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Lingkaran (Tingkat SMP) 

Soal Nomor 10

Pada gambar berikut, $ABCDEF$ adalah segi enam beraturan dengan $P$ di tengah $AB$ serta $Q$ dan $R$ berturut-turut adalah titik potong $PD$ dan $PE$ terhadap diagonal $CE.$ Berapakah perbandingan luas segitiga $PFR$ dan luas trapesium $EDQR$?
A. $\dfrac12$                       C. $\dfrac14$                     E. $\dfrac34$
B. $\dfrac13$                      D. $\dfrac23$

Pembahasan

Misalkan $x$ adalah panjang sisi segi enam, titik $O$ adalah titik tengah segi enam, dan titik $S$ adalah titik tengah $ED.$
$\triangle AOB$ adalah segitiga sama sisi. Karena $P$ berada di tengah $AB,$ kita peroleh bahwa $PB = \dfrac12x$ dan $BO = x.$ Dengan menggunakan rumus Pythagoras,

$$\begin{aligned} PO & = \sqrt{BO^2-PB^2} \\ & = \sqrt{x^2-\dfrac14x^2} \\ & = \dfrac12\sqrt3x. \end{aligned}$$Karena segi enam ini beraturan, maka panjang $PO$ sama dengan panjang $OS.$ Perhatikan bahwa $\triangle PRQ$ dan $\triangle PED$ sebangun karena ketiga sudutnya sama besar. Karena tinggi $\triangle PED$ dua kali lipatnya dan $ED = x,$ maka $RQ = \dfrac12x.$ Panjang $FC = x + x = 2x$ sehingga $FR = QC = \dfrac{2x-\dfrac12x}{2} = \dfrac34x.$
Luas $\triangle PFR$ sekarang dapat dicari.
$$\begin{aligned} L_{\triangle PFR} & = \dfrac12 (FR)(PO) \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac34x \cdot \dfrac12\sqrt3x \\ & = \dfrac{3}{16}\sqrt3x \end{aligned}$$Luas trapesium $EDQR$ juga dapat dicari.
$$\begin{aligned} L_{EDQR} & = \dfrac{ED+RQ}{2} \cdot OS \\ & = \dfrac{x + \dfrac12x}{2} \cdot \dfrac12\sqrt3x \\ & = \dfrac34x \cdot \dfrac12\sqrt3x \\ & = \dfrac38\sqrt3x^2 \end{aligned}$$Dengan demikian, perbandingan luas keduanya dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} L_{\triangle PFR} : L_{EDQR} & = \dfrac{3}{16}\cancel{\sqrt3x^2} : \dfrac38\cancel{\sqrt3x^2} \\ & = \dfrac{3}{16} : \dfrac38 \\ & = \dfrac{3}{16}(16) : \dfrac38(16) \\ & = 3 : 6 \\ & = 1 : 2 \end{aligned}$$Jadi, perbandingan luas segitiga dan trapesium tersebut adalah $\boxed{\dfrac12}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 11

Pada gambar berikut, $ABCD$ adalah trapesium sama kaki, sedangkan $X$ dan $Y$ terletak tepat di tengah-tengah sisi $AD$ dan $BC.$ Jika luas daerah yang diarsir adalah $28~\text{cm}^2,$ maka berapakah luas $ABCD$?
A. $30$                        C. $42$                      E. $56$
B. $35$                        D. $48$

Pembahasan

Posisikan titik $O$ sehingga $XO \perp OD,$ titik $P$ sehingga $AP \perp PX,$ dan $Q$ sehingga $XQ \perp QD$ seperti tampak pada gambar.
Perhatikan bahwa $\angle AXP = \angle QXD$ karena merupakan pasangan sudut yang saling berseberangan. Diketahui juga $\angle XQD = \angle APX = 90^\circ$ sehingga sudut ketiga pasti memiliki besar yang sama pula. Karena ada satu sisi yang sama panjang, yaitu $AX = XD,$ maka $\triangle APX$ dan $\triangle XQD$ kongruen sehingga $AP = QD$ dan $PX = XQ.$ Jadi, kita bisa memindahkan $\triangle APX$ ke $\triangle XQD,$ begitu juga dengan segitiga di sebelah kanan sisi trapesium.
Kita peroleh bahwa luas trapesium akan sama dengan $2$ kali luas daerah yang diarsir, yakni $\boxed{28 \times 2 = 56~\text{cm}^2}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 12

Pada gambar berikut, $PQRS$ merupakan persegi dengan panjang sisi $2$ cm. Diketahui bahwa $\triangle QRM$ dan $\triangle SRN$ merupakan segitiga sama sisi. Berapakah panjang $MN$?
A. $5\sqrt2$                           D. $2\sqrt2$
B. $4\sqrt2$                           E. $\sqrt2$
C. $3\sqrt2$

Pembahasan

Tarik garis $MN$ sehingga diperoleh segitiga $MNR.$ Perhatikan bahwa $SR = RQ = 2$ sehingga $MR = RN = 2$ karena merupakan sisi dari segitiga sama sisi yang kongruen.
Jika titik baru $O$ diposisikan sedemikian rupa sehingga $MRNO$ merupakan persegi, maka $MN$ adalah diagonalnya. Dengan menggunakan rumus Pythagoras, panjang $MN$ sama dengan $\boxed{\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt2}$

(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13

Dua setengah lingkaran (semicircles) digambarkan seperti berikut.
Tali busur $CD$ yang panjangnya $8$ sejajar dengan diameter $AB$ dari setengah lingkaran yang besar. Tali busur tersebut menyinggung setengah lingkaran kecil. Luas daerah yang diarsir adalah $\cdots \cdot$
A. $6\pi$                    C. $10\pi$                  E. $16\pi$
B. $8\pi$                    D. $12\pi$

Pembahasan

Misalkan titik $O$ adalah titik pusat setengah lingkaran besar. Tarik garis penghubung $OC$ dan $OD$ yang merupakan jari-jari setengah lingkaran besar seperti tampak pada gambar.
Segitiga $COD$ merupakan segitiga siku-siku di $O.$ Dengan demikian, kita bisa mencari nilai $R$ (panjang jari-jari setengah lingkaran besar) dengan menggunakan rumus Pythagoras.
$$\begin{aligned} OC^2 + OD^2 & = CD^2 \\ R^2 + R^2 & = 8^2 \\ 2R^2 & = 64 \\ R^2 & = 32 \end{aligned}$$Misalkan $r$ adalah panjang jari-jari setengah lingkaran kecil. Luas segitiga $COD$ dapat kita tentukan dengan menggunakan prinsip kesamaan alas dan tinggi.
$$\begin{aligned} \cancel{\dfrac12} \cdot R \cdot R & = \cancel{\dfrac12} \cdot r \cdot CD \\ 32 & = r \cdot 8 \\ r & = 4 \end{aligned}$$Luas daerah yang diarsir sama dengan selisih luas setengah lingkaran besar dan lingkaran kecil.
$$\begin{aligned} L_{\text{arsir}} & = L_{\text{besar}}-L_{\text{kecil}} \\ & = \dfrac12 \pi R^2 -\dfrac12 \pi r^2 \\ & = \dfrac12\pi(R^2-r^2) \\ & = \dfrac12\pi(32-4^2) \\ & = 8\pi \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{8\pi}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Garis Singgung Lingkaran (Tingkat SMP)

Soal Nomor 14

Gambar berikut menunjukkan juring (sector) lingkaran dengan satu lingkaran dalam (incircle). Perbandingan panjang jari-jarinya adalah $3 : 1.$ Perbandingan luas juring lingkaran terhadap lingkaran dalam tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $2 : 1$                           D. $5 : 2$
B. $3 : 2$                           E. $5 : 3$
C. $4 : 3$

Pembahasan

Misalkan panjang jari-jari lingkaran dalam adalah $r$ dan juring lingkaran adalah $R = 3r.$ Titik $O$ diposisikan pada titik pusat lingkaran dalam dan $2\theta$ adalah besar sudut juring lingkaran tersebut.
Perhatikan segitiga siku-siku $ABO.$ Diketahui bahwa $OB = r$ dan $AO = R-r = 3r-r = 2r.$ Menurut perbandingan trigonometri sinus, kita peroleh
$$\begin{aligned} \sin \theta & = \dfrac{OB}{AO} \\ \sin \theta & = \dfrac{r}{2r} = \dfrac12. \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $\theta = 30^\circ.$ Dengan demikian, besar sudut juring lingkaran itu adalah $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ.$ Perbandingan luas juring dan lingkaran dalam dapat ditentukan.
$$\begin{aligned} L_{\text{juring}} : L_{\text{lingkaran dalam}} & = \dfrac{60^\circ}{360^\circ} \pi (3r)^2 : \pi (r)^2 \\ & = \dfrac16 \pi (9r^2) : \pi r^2 \\ & = \dfrac32 : 1 \\ & = 3 : 2 \end{aligned}$$Jadi, perbandingan luas juring lingkaran terhadap lingkaran dalam tersebut adalah $\boxed{3 : 2}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 15

Pada gambar berikut, terdapat dua lingkaran dengan ukuran berbeda dan sebuah persegi dengan panjang sisi $2$ satuan. Panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $\cdots \cdot$
A. $6-4\sqrt2$                            D. $2-\sqrt2$
B. $6+4\sqrt2$                           E. $\sqrt2$
C. $4-2\sqrt2$

Pembahasan

Misalkan titik $B$ adalah titik pusat lingkaran kecil. Buat segitiga $OAB$ yang siku-siku di $A$ seperti tampak pada gambar.
Misalkan panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $r.$ Karena perseginya memiliki panjang sisi $2,$ maka kita peroleh $OA = AB = 2-r$ dan $OB = 2 + r.$
Sekarang kita gunakan rumus Pythagoras pada $\triangle OAB$ untuk mencari nilai $r.$
$$\begin{aligned} OA^2 + AB^2 & = OB^2 \\ (2-r)^2 + (2-r)^2 & = (2+r)^2 \\ 2(4-4r+r^2) & = 4+4r+r^2  \\ r^2-12r+4 & = 0 \\ (r-6)^2-32 & = 0 \\ (r-6)^2 & = 32 \\ r-6 & = \pm 4\sqrt2 \\ r & = 6 \pm 4\sqrt2 \end{aligned}$$Karena $r = 6 + 4\sqrt2$ nilainya lebih dari $2$ sehingga tidak mungkin menjadi pilihan, maka kita ambil $r = 6-4\sqrt2.$
Jadi, panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $\boxed{6-4\sqrt2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 16

Pada gambar berikut, $XY$ merupakan diameter dari lingkatan kecil dan $S$ merupakan titik yang terletak pada lingkaran kecil sekaligus merupakan titik pusat lingkaran besar. Jika panjang jari-jari lingkaran besar adalah $2$ satuan, maka luas daerah yang diarsir adalah $\cdots$ satuan luas.
A. $2$                            C. $6$                        E. $10$
B. $4$                           D. $8$

Pembahasan

Posisikan titik $O$ sebagai titik pusat lingkaran kecil.
Perhatikan bahwa $OY$ dan $OS$ merupakan jari-jari lingkaran kecil sehingga haruslah $|OY| = |OS| = r.$ $SY$ sendiri merupakan jari-jari lingkaran besar sehingga $R = |SY| = 2.$

Pada $\triangle YOS$ (siku-siku di $O$), kita peroleh $r^2$ dengan menggunakan rumus Pythagoras.
$$\begin{aligned} |OY|^2 + |OS|^2 & = |SY|^2 \\ r^2 + r^2 & = 2^2 \\ 2r^2 & = 4 \\ r^2 & = 2 \\ r & = \sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $r = \sqrt2.$ Perhatikan bahwa $|SY| = |SX| = 2$ dan $|XY| = 2\sqrt2$ sehingga rumus Pythagoras terpenuhi. Jadi, $\triangle SXY$ merupakan segitiga siku-siku di $S.$
Selanjutnya, cari tembereng lingkaran besar yang dibatasi oleh $XY$ terlebih dahulu.
$$\begin{aligned} L_{\text{tembereng}} &= L_{\text{juring}}-L_{\triangle SXY} \\ & = \dfrac14 \pi R^2-\dfrac12(SY)(SX) \\ & = \dfrac14 \pi (2)^2-\dfrac12(2)(2) \\ & = \pi-2 \end{aligned}$$Luas setengah lingkaran kecil (putih) adalah $L_{\frac12 O} = \dfrac12\pi r^2 = \dfrac12 \pi (2) = \pi.$ Jadi, luas daerah yang diarsir sama dengan luas lingkaran kecil dikurangi jumlahan luas tembereng dan luas setengah lingkaran kecil.
$$L = \pi(2)-((\pi-2)+\pi) = 2$$Dengan demikian, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{2}$ satuan luas.
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras 

Soal Nomor 17

Pada gambar berikut, persegi panjang dengan panjang sisi $12$ cm memuat $6$ lingkaran kongruen yang diposisikan membentuk formasi segitiga sama sisi dan menyinggung sisi persegi panjang. Berapakah jarak terpendek antara dua lingkaran yang diberi arsir dalam satuan cm?
A. $4(3\sqrt3-2)$
B. $4(3\sqrt3-1)$
C. $4(\sqrt3-2)$
D. $4(\sqrt3-1)$
E. $4\sqrt3-2$

Pembahasan

Buatlah segitiga sama sisi yang melalui titik pusat keenam lingkaran seperti tampak pada gambar.
Panjang jari-jari lingkaran adalah $12 \div 3 = 4$ cm. Panjang sisi segitiga tersebut adalah $4+4=8$ cm. Selanjutnya, cari tinggi segitiga $OA$ dengan menggunakan rumus Pythagoras pada $\triangle OAB.$
$$\begin{aligned} OA & = \sqrt{AB^2-OB^2} \\ & = \sqrt{8^2-4^2} \\ & = \sqrt{48} \\ & = 4\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$$Jarak terpendek kedua lingkaran yang diarsir sama dengan tinggi segitiga tersebut dikurangi dua kali panjang jari-jari lingkaran.
$$\begin{aligned} \text{Jarak} & = OA-2r \\ & = 4\sqrt3-4 \\ & = 4(\sqrt3-1)~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, jarak yang dimaksud sejauh $\boxed{4(\sqrt3-1)~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18

Diberikan sebuah segitiga $\triangle ABC.$ Titik $D$ pada $AC$ sehingga $AD : AC = 2 : 3.$ Titik $E$ pada $AB$ sehingga $AE : EB = 1 : 2.$ Titik $F$ merupakan titik potong ruas garis $CE$ dan $BD.$ Jika diketahui luas $\triangle BFC$ adalah $12$ satuan luas, maka luas $\triangle ABC$ adalah $\cdots$ satuan luas.
A. $24$                         C. $40$                       E. $48$
B. $36$                        D. $42$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Dari perbandingan yang diberikan, kita dapat misalkan $CD = x$ sehingga $AD = 2x$ dan $AE = y$ sehingga $BE = 2y.$
Karena $\triangle AFE$ dan $\triangle BFE$ dapat dipandang sebagai dua segitiga dengan tinggi yang sama, tetapi alasnya berkelipatan, maka dapat kita misalkan luas $\triangle AFE = b$ sehingga luas $\triangle BFE = 2b.$ Prinsip serupa juga berlaku untuk luas $\triangle CFD = a$ sehingga luas $\triangle AFD = 2a.$
Dengan menggunakan perbandingan luas pada keseluruhan $\triangle ABC$ yang dibelah oleh $BD,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{a+12}{2a+b+2b} & = \dfrac12 \\ 2a+24 & = 2a+3b \\ 3b & = 24 \\ b & = 8. \end{aligned}$$Berikutnya, dengan menggunakan perbandingan luas pada keseluruhan $\triangle ABC$ yang dibelah oleh $CE,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{a+2a+b}{2b+12} & = \dfrac12 \\ 6a+2b & = 2b+12 \\ 6a & = 12\\ a & = 2. \end{aligned}$$Luas $\triangle ABC$ sama dengan
$$\begin{aligned} 12+a+2a+b+2b & = 12+3(a+b) \\ & = 12+3(2+8) \\ & = 42~\text{satuan luas}. \end{aligned}$$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 19

Pada segitiga $ABC,$ titik $D$ membagi sisi $AC$ sehingga $AD : DC = 1 : 2.$ Misalkan $E$ adalah titik tengah $BD$ dan $F$ adalah titik potong garis $BC$ dan perpanjangan garis $AE.$ Jika luas segitiga $ABC$ adalah $720,$ maka luas segitiga $EBF$ adalah $\cdots \cdot$
A. $180$                           C. $80$                            E. $40$
B. $120$                           D. $60$

Pembahasan

Diketahui $L_{\triangle ABC} = 720.$ Karena $D$ pada $AC$ sehingga $AD : DC = 1 : 2,$ maka
$$\begin{aligned} L_{\triangle ABD} & = \dfrac{1}{3} \cdot L_{\triangle ABC} = \dfrac13(720) = 240 \\ L_{\triangle CBD} & = 720-240 = 480. \end{aligned}$$Selanjutnya perhatikan $\triangle CBD.$ Karena $E$ berada di tengah $BD,$ maka $BE = ED$ yang berakibat $CE$ membelah $\triangle CBD$ menjadi dua bagian yang sama luasnya, yaitu $\dfrac12(480) = 240.$
Jika $L_{\triangle EBF} = x,$ maka $L_{\triangle ECF} = 240-x.$ Perhatikan gambar berikut agar lebih jelas.
Dengan menggunakan perbandingan luas segitiga dengan satu cevian yang sama, yaitu $EF,$ kita peroleh

$$\begin{aligned} \dfrac{L_{\triangle EBF}}{L_{\triangle ABF}} & = \dfrac{L_{\triangle ECF}}{L_{\triangle ACF}} \\ \dfrac{x}{120+x} & = \dfrac{240-x}{120+240+(240-x)} \\ \dfrac{x}{120+x} & = \dfrac{240-x}{600-x} \\ x(600-x) & = (120+x)(240-x) \\ -x^2+600x & = 28.800+120x-x^2 \\ 480x & = 28.800 \\ x & = 60. \end{aligned}$$Jadi, luas segitiga $EBF$ adalah $\boxed{60}$
Catatan: Cevian adalah ruas garis yang ditarik dari salah satu titik sudut segitiga ke sisi segitiga di hadapannya.

(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 20

Pada gambar di bawah, beberapa garis sejajar dibuat sehingga membagi dua sisi segitiga menjadi 10 ruas yang sama panjangnya. Berapakah persentase luas daerah yang diberi warna biru terhadap luas keseluruhan segitiga?
A. $41,75\%$                       D. $46\%$
B. $42,5\%$                         E. $48\%$
C. $45\%$

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut.
Misalkan luas $\triangle ABC = 1.$ Karena ketiga sudut pada $\triangle ADE$ bersesuaian dengan sudut pada $\triangle ABC,$ maka kedua segitiga ini sebangun. Panjang alas dan tinggi $\triangle ADE$ dua kali lipatnya dari $\triangle ABC$ sehingga luas $\triangle ADE = (2)(2) = 4.$ Jika prinsip ini dilanjutkan, kita peroleh luas segitiga berikutnya adalah $9, 16, 25, 36, \cdots, 100.$ 
Persentase luas daerah yang diberi warna biru terhadap luas keseluruhan segitiga adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \text{Persentase Luas} & = \dfrac{1 + (9-4) + (25-16) + (36-25) +  (64-49) +(100-81)}{100} \times 100\% \\ & = (1 + 5 + 9 + 11 + 17)\% \\ & = 45\% \end{aligned}$$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 21

Diberikan suatu persegi panjang dengan lebar $4.$ Di dalamnya terdapat satu lingkaran besar dan dua lingkaran kecil yang kongruen. Setiap lingkaran saling bersinggungan satu sama lain dan menyinggung sisi-sisi persegi panjang. Panjang persegi panjang tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $6$                                      D. $4\sqrt3$
B. $3\sqrt2$                              E. $6\sqrt2$
C. $4\sqrt2$

Pembahasan

Misalkan $O$ dan $P$ berturut-turut adalah titik pusat lingkaran besar dan kecil, sedangkan $Q$ adalah titik singgung kedua lingkaran kecil.
Karena lebar persegi panjang $4,$ maka diameter lingkaran besar juga $4$ sehingga jari-jarinya memiliki panjang $2,$ sedangkan lingkaran kecil memiliki panjang jari-jari $1.$
Kita peroleh $AP = 2+1 = 3$ dan $PQ = 1$ sehingga dengan menggunakan rumus Pythagoras, didapat
$$\begin{aligned} OQ & = \sqrt{OP^2-PQ^2} \\ & = \sqrt{3^2-1^2} \\ & = 2\sqrt2. \end{aligned}$$Jadi, panjang persegi panjang adalah
$$\begin{aligned} AB & = AO + OQ + QB \\ & = 2 + 2\sqrt2 + 1 \\ & = 3 + 2\sqrt2. \end{aligned}$$(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 22

Sejumlah lingkaran diposisikan sedemikian rupa sehingga titik pusatnya merupakan titik sudut suatu persegi. Ada dua lingkaran besar dan dua lingkaran kecil yang masing-masing kongruen seperti tampak pada gambar. Berapakah rasio panjang jari-jari lingkaran besar terhadap lingkaran kecil?
A. $1$                                        D. $2$
B. $\sqrt2$                                   E. $2,5$
C. $1 + \sqrt2$

Pembahasan

Misalkan panjang jari-jari lingkaran besar dan kecil berturut-turut adalah $y$ dan $x.$ Buat segitiga siku-siku yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran seperti tampak pada gambar.
Segitiga siku-siku ini memiliki panjang sisi $(x + y), (x + y),$ dan $(y + y = 2y.$
Dengan menggunakan rumus Pythagoras, kita peroleh
$$\begin{aligned} (x + y)^2 + (x + y)^2 & = (2y)^2 \\ 2(x + y)^2 & = 2(2y^2) \\ (x + y)^2 & = 2y^2 \\ x + y & = \pm y\sqrt2. \end{aligned}$$Karena $x + y$ menyatakan jumlah panjang jari-jari lingkaran yan g nilainya jelas tidak mungkin negatif, maka ambil $x + y = y\sqrt2$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} y\sqrt2-y & = x \\ y(\sqrt2-1) & = x \\ \dfrac{y}{x} & = \dfrac{1}{\sqrt2-1} \\ \dfrac{y}{x} & = \dfrac{1}{\sqrt2-1} \cdot \dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2+1} \\ \dfrac{y}{x} & = \sqrt2+1. \end{aligned}$$Jadi, rasio panjang jari-jari lingkaran besar terhadap lingkaran kecil adalah $\boxed{1+\sqrt2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 23

Persegi panjang $ABCD$ dibagi menjadi sembilan persegi panjang kecil. Bilangan di dalamnya menunjukkan keliling masing-masing persegi panjang. Keliling persegi panjang $ABCD$ adalah $\cdots \cdot$
A. $23$                         C. $46$                         E. $92$
B. $24$                        D. $48$

Pembahasan

Misalkan panjang setiap sisi persegi panjang kecil disimbolkan dengan $a, b, c, d, e,$ dan $f$ seperti gambar di bawah.
Dari sini, kita tahu bahwa
$$\begin{cases} 2(b + d) & = 11 && (\cdots 1) \\ 2(a + e) & = 20 && (\cdots 2) \\ 2(b + e) & = 8 && (\cdots 3) \\ 2(c +e) & = 11 && (\cdots 4) \\ 2(b+f) & = 12 && (\cdots 5) \end{cases}$$Jumlahkan persamaan $(4)$ dan $(5)$, kemudian gunakan persamaan $(3)$ untuk memperoleh
$$\begin{aligned} 2(b + e + c + f) & = 23 \\ \color{red}{2(b + e)} + 2(c + f) & = 23 \\ 8 + 2(c + f) & = 23 \\ 2(c + f) & = 15.\end{aligned}$$Keliling persegi panjang $ABCD$ dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} k_{ABCD} & = 2(a + b + c + d + e + f) \\ & = 2(b + d) + 2(a + e) + 2(c + f) \\ & = 11 + 20 + 15 \\ & = 46 \end{aligned}$$Jadi, keliling persegi panjang $ABCD$ adalah $\boxed{46}$
(Jawaban C)

[collapse]

Garis Bagi

Soal Nomor 1

Diketahui $\triangle ABC$ siku-siku di $B.$ Garis $CD$ merupakan garis bagi yang ditarik dari titik sudut $C.$ Jika panjang $AB = BC = 6$ cm, maka panjang $AD = \cdots$ cm.
A. $(6-3\sqrt2)$
B. $(6+3\sqrt2)$
C. $(12-6\sqrt2)$
D. $(12+6\sqrt2)$
E. $(18+6\sqrt2)$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Karena $\triangle ABC$ siku-siku, maka rumus Pythagoras berlaku.
$$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2+BC^2} \\ & = \sqrt{6^2+6^2} \\ & = 6\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$$Misalkan panjang $AD = x$ cm sehingga berakibat $DB = (6-x)$ cm. Dengan menggunakan teorema perbandingan oleh garis bagi, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{AD}{DB} & = \dfrac{AC}{BC} \\ \dfrac{x}{6-x} & = \dfrac{\cancel{6}\sqrt2}{\cancel{6}} \\ x & = 6\sqrt2-\sqrt2x \\ (1+\sqrt2)x & = 6\sqrt2 \\ x & = \dfrac{6\sqrt2}{1+\sqrt2} \\ x & = \dfrac{(6\sqrt2)(1-\sqrt2)}{-1} \\ x & = (\sqrt2-1)(6\sqrt2) \\ x & = 12-6\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, panjang $AD$ adalah $\boxed{(12-6\sqrt2)~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2

Diketahui segitiga siku-siku sama kaki $ABC$ dengan sudut siku-siku di $C.$ $D$ adalah titik pada $BC$ sehingga $AD$ adalah garis bagi. Perbandingan luas $\triangle ABD$ dan $\triangle ABC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt2$
B. $\sqrt2+1$
C. $\sqrt2-1$
D. $2\sqrt2-1$
E. $2-\sqrt2$

Pembahasan

Karena $\triangle ABC$ sama kaki, maka $AC = BC = x.$ Teorema Pythagoras juga berlaku karena segitiga tersebut siku-siku.
$$\begin{aligned} AB & = \sqrt{AC^2+BC^2} \\ & = \sqrt{x^2+x^2} \\ & = x\sqrt2 \end{aligned}$$Menurut teorema perbandingan oleh garis bagi, berlaku bahwa
$$\dfrac{CD}{DB} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{x}{x\sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt2}.$$Oleh karena itu, didapat
$$\begin{aligned} \dfrac{L_{\triangle ABD}}{L_{\triangle ABC}} & = \dfrac{\cancel{\frac12} \cdot DB \cdot \bcancel{AC}}{\cancel{\frac12} \cdot BC \cdot \bcancel{AC}} \\ & = \dfrac{DB}{BC} \\ & = \dfrac{DB}{CD + DB} \\ & = \dfrac{\sqrt2}{1+\sqrt2} \\ & = -(\sqrt2)(1-\sqrt2) \\ & = 2-\sqrt2. \end{aligned}$$Jadi, perbandingan kedua segitiga tersebut adalah $\boxed{2-\sqrt2}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 3

Pada gambar berikut, $\angle ABC$ dan $\angle ECD$ siku-siku serta $AD$ adalah garis bagi $\angle CAB.$ Jika panjang $AB$ adalah $21$ dan $CD$ adalah $28,$ maka berapakah panjang $BE$?
A. $\sqrt7$                            D. $15$
B. $3\sqrt7$                         E. $21$
C. $7$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
$AD$ merupakan garis bagi sehingga $\angle BAE = \angle CAD.$
Perhatikan bahwa $\triangle ABE$ dan $\triangle DCE$ sebangun berdasarkan kesamaan ketiga sudutnya. Oleh karena itu, berlaku perbandingan $\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{21}{28} = \dfrac34.$
Misalkan $BE = 3x$ dan $EC = 4x.$ Segitiga $ABC$ siku-siku sehingga rumus Pythagoras berlaku untuk mencari panjang $AC.$
$$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2+BC^2} \\ & = \sqrt{21^2+(7x)^2} \end{aligned}$$Menurut teorema perbandingan oleh garis bagi, berlaku
$$\begin{aligned} \dfrac{AC}{CE} & = \dfrac{AB}{BE} \\ \dfrac{\sqrt{21^2 + (7x)^2}}{4x} & = \dfrac{21}{3x} \\ \sqrt{21^2 + (7x)^2} & = 7(4) \\ \sqrt{3^2 + x^2} & = 4 \\ 9 + x^2 & = 16 \\ x & = \sqrt7. \end{aligned}$$Jadi, panjang $BE$ adalah $\boxed{3x = 3\sqrt7}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4

$ABC$ adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-sikunya di $B.$ Jika $AD$ adalah garis bagi pada sudut $A$ dan membagi $BC$ menjadi dua bagian sedemikian sehingga $BD = 2$ dan $CD = 3,$ maka panjang $AD = \cdots \cdot$
A. $2\sqrt3$                               D. $4\sqrt2$
B. $2\sqrt5$                               E. $4\sqrt3$
C. $2\sqrt6$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
$AD$ merupakan garis bagi pada sudut $A$ sehingga $\angle BAD = \angle DAC.$
Menurut teorema perbandingan oleh garis bagi, berlaku
$$\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac23.$$Misalkan $AB = 2x$ dan $AC = 3x$ untuk suatu $x \in \mathbb{R}^+.$
Perhatikan bahwa $\triangle ABC$ siku-siku sehingga berlaku rumus Pythagoras.
$$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2 \\ (3x)^2 & = (2x)^2 + (2+3)^2 \\ 9x^2 & = 4x^2 + 25 \\ 5x^2 & = 25 \\ x^2 & = 5 \end{aligned}$$Perhatikan juga bahwa $\triangle ABD$ siku-siku sehingga berlaku rumus Pythagoras.
$$\begin{aligned} AD^2 & = AB^2 + BD^2 \\ & = (2x)^2 + 2^2 \\ & = 4x^2 + 4 \\ & = 4(5) + 4 \\ & = 24 \\ AD & = \sqrt{24} = 2\sqrt6 \end{aligned}$$Jadi, panjang $AD$ adalah $\boxed{2\sqrt6}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5

Pada segitiga $ABC,$ $ED$ adalah garis bagi $\angle BDA$ dan $DF$ adalah garis bagi $\angle ADC.$ Jika $AE = 3,$ $BE = 7,$ $BD = 3DC,$ dan $AC = 32,$ maka panjang $FC = \cdots \cdot$
A. $16$                          D. $11$
B. $14$                          E. $10$
C. $12$

Pembahasan

Misalkan $DC = x$ sehingga $BD = 3x.$ Misalkan juga $FC = y$ sehingga $AC = 32-y.$
Pada $\triangle ABD,$ $ED$ merupakan garis bagi $\angle BDA$ sehingga berlaku teorema perbandingan oleh garis bagi berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{BE}{EA} & = \dfrac{BD}{DA} \\ \dfrac73 & = \dfrac{3x}{DA} \\ DA & = \dfrac{9x}{7} \end{aligned}$$Hal yang sama juga berlaku pada $\triangle ADC$ oleh garis bagi $DF.$
$$\begin{aligned} \dfrac{AF}{FC} & = \dfrac{DA}{DC} \\ \dfrac{32-y}{y} & = \dfrac{\frac{9x}{7}}{x} \\ \dfrac{32-y}{y} & = \dfrac97 \\ 9y & = 32(7)-7y \\ 16y & = 32(7) \\ y & = 2(7) = 14 \end{aligned}$$Jadi, panjang $FC$ adalah $\boxed{14}$
(Jawaban B)

[collapse]