Tag: Segitiga

Misalkan persegi yang berwarna kuning memiliki panjang sisi $x$ cm.
Selanjutnya, kita peroleh panjang sisi persegi yang lain dalam $x$ seperti tampak pada gambar di atas. Perhatikan panjang dan lebar sisi persegi panjang terbesar. Lebarnya adalah $x + 2,$ sedangkan panjangnya (jika dipandang dari sisi bawah) adalah $(x-1)+(x-2) = 2x-3.$ Karena persegi memiliki empat sisi yang sama panjang, kita peroleh
$$\begin{aligned} x+2 & = 2x-3 \\ \Rightarrow x & = 5. \end{aligned}$$Dengan demikian, panjang sisi persegi terbesar adalah $\boxed{5 + 2 = 7~\text{cm}}$
(Jawaban D)

Karena luas total persegi besar adalah $125~\text{cm}^2,$ maka luas masing-masing daerah adalah $125 \div 5 = 25~\text{cm}^2.$ Ini menunjukkan bahwa panjang sisi persegi adalah $5~\text{cm}.$
Misalkan panjang sisi terpendek dari bangun datar berbentuk L adalah $x.$ Perhatikan gambar.
Luas bangun ini juga $25~\text{cm}^2$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} (10)(x) + (10+x)(x) & = 25 \\ 10x + 10x + x^2 & = 25 \\ x^2 + 20x & = 25 \\ (x+10)^2-100 & = 25 \\ (x+10)^2 &= 125\\ x+10 & = \pm 5\sqrt5 \\ x & = \pm 5\sqrt5-10. \end{aligned}$$Karena ukuran panjang tidak mungkin bernilai negatif, maka diambil $x = 5\sqrt5-10.$ Jadi, panjang sisi terpendek tersebut adalah $\boxed{(5\sqrt5-10)~\text{cm}}$
(Jawaban C)

Karena panjang sisi persegi kecil adalah $1$ satuan, maka panjang diagonalnya dengan menggunakan rumus Pythagoras adalah $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt2$ satuan.
Jadi, panjang sisi persegi terbesar adalah $$\boxed{1 + \sqrt2 + \sqrt2 + 1 = (2 + 2\sqrt2)~\text{satuan}}$$(Jawaban D)

Perhatikan bahwa posisi kedua segitiga tersebut membentuk beberapa daerah yang berbentuk segitiga sama sisi. Kita misalkan panjang sisinya masing-masing $a, b,$ dan $c$ seperti tampak pada gambar.
Karena keliling segitiga sama sisi yang besar adalah $24$ cm, maka panjang sisinya adalah $24 \div 3 = 8$ cm.
Permisalan sebelumnya menunjukkan bahwa $a + b + c = 8$ cm.
Sekarang perhatikan segi enam yang terbentuk. Kelilingnya adalah jumlah panjang semua sisinya, yaitu $$\boxed{2a + 2b + 2c = 2(a + b + c) = 2(8) = 16~\text{cm}}$$(Jawaban D)

Misalkan segitiga $PQR$ tersebut diletakkan pada bidang koordinat Kartesius sedemikian sehingga titik $P$ berada di titik asal $(0, 0).$ Dengan demikian, diperoleh $Q(2, 0), M(1, 0),$ dan $R(0, 2\sqrt3).$
Kita akan mencari koordinat $F$ dengan terlebih dahulu mencari persamaan garis $MR$ dan $PL.$

Persamaan garis $MR$:
Karena $M(1, 0)$ dan $R(0, 2\sqrt3),$ maka persamaan garisnya adalah $1y + 2\sqrt3x = (1)(2\sqrt3)$ atau disederhanakan menjadi $y + 2\sqrt3x = 2\sqrt3.$

Persamaan garis $PL$:
Perhatikan bahwa $PL \perp QR.$ Gradien garis $QR$ adalah $m_{QR} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-2\sqrt3}{2} = -\sqrt3.$ Persamaan garis yang tegak lurus dengannya, yaitu $PL,$ bergradien $m_{PL} = -\dfrac{1}{m_{QR}} = \dfrac{1}{\sqrt3}.$
Persamaan garis yang melalui titik $P(0,0)$ dan bergradien $m_{QR} = \dfrac{1}{\sqrt3}$ adalah
$$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-0 & = \dfrac{1}{\sqrt3}(x-0) \\ y & = \dfrac13\sqrt3x. \end{aligned}$$

Kita peroleh dua persamaan berikut.
$$\begin{cases} y + 2\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ y & = \dfrac13\sqrt3x \end{cases}$$Selesaikan dengan metode substitusi.
$$\begin{aligned} y + 2\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ \Rightarrow \dfrac13\sqrt3x + 2\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ \dfrac73\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ x & = \dfrac67 \end{aligned}$$Akibatnya, $y = \dfrac{6}{7\sqrt3}.$
Jadi, koordinat $F$ adalah $\left(\dfrac67, \dfrac{6}{7\sqrt3}\right).$

Panjang $PF$ dapat dicari dengan rumus Pythagoras karena kedua titik ujungnya telah diketahui koordinatnya.
$$\begin{aligned} |PF| & = \sqrt{\left(\dfrac67-0\right)^2+\left(\dfrac{6}{7\sqrt3}-0\right)^2} \\ & = \sqrt{\dfrac{36}{49}+\dfrac{36}{49 \cdot 3}} \\ & = \sqrt{\dfrac{4 \cdot 36}{49 \cdot 3}} \\ & = \dfrac{12}{7\sqrt3} \\ & = \dfrac{4\sqrt3}{7} \end{aligned}$$Jadi, panjang $PF$ adalah $\boxed{\dfrac{4\sqrt3}{7}}$
(Jawaban C)

Tarik garis dari $O$ ke $A.$ Karena $PA$ merupakan garis singgung lingkaran, maka $OA \perp PA.$ Perhatikan juga bahwa $AB$ dan $AO$ menghadap busur yang sama sehingga sudut pada $AO$ nilainya dua kali dari sudut pada $AB.$
Kita lakukan permisalan seperti yang tampak pada gambar berikut.
Pada $\triangle ACP$ dan $\triangle BCP$ berturut-turut berlaku:
$$\begin{aligned} \angle A + x + p & = 180^\circ && (\cdots 1) \\ \alpha + y + p & = 180^\circ && (\cdots 2) \end{aligned}$$Jumlahkan kedua persamaan itu sehingga didapat
$$\begin{aligned} \angle A + \alpha + (x + y) + 2p & = 360^\circ \\ \angle A + \alpha + 180^\circ + 2p & = 360^\circ \\ \angle A + \alpha + 2p & = 180^\circ. \end{aligned}$$Pada $\triangle AOP$ berlaku
$$\begin{aligned} 90^\circ + 2a + 2p & = 180^\circ \\ 2a + 2p & = 90^\circ \\ a + p & = 45^\circ \\ \alpha & = 45^\circ-p. \end{aligned}$$Selanjutnya, pada $\triangle ABP$ berlaku
$$\begin{aligned} \angle A + \alpha + 2p & = 180^\circ \\ \angle A + (45^\circ-p) + 2p & = 180^\circ \\ \angle A + p & = 135^\circ. \end{aligned}$$Substitusi hasil ini ke persamaan $(1).$
$$\begin{aligned} \angle A + x + p & = 180^\circ \\ (\angle A + p) + x & = 180^\circ \\ 135^\circ + x & = 180^\circ \\ x & = 45^\circ \end{aligned}$$Jadi, besar sudut $ACP$ adalah $\boxed{45^\circ}$
(Jawaban B)

Bagilah jajaran genjang beserta segi enam dengan ruas-ruas garis sehingga diperoleh sejumlah segitiga sama sisi seperti tampak pada gambar.
Ada $24$ segitiga sama sisi pembentuk jajaran genjang, sedangkan ada $12$ segitiga sama sisi pembentuk segi enam. Jadi, perbandingan jumlah luas kedua segi enam terhadap luas jajaran genjang adalah $\boxed{12 : 24 = 1 : 2}$
(Jawaban A)

Pada segi delapan beraturan, panjang delapan sisinya sama. Kita misalkan sebagai $x.$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Daerah yang diarsir adalah trapesium sama kaki. Panjang sisi siku segitiga dapat dicari dengan menggunakan rumus Pythagoras.
$$\begin{aligned} a^2 + a^2 & = x^2 \\ 2a^2 & = x^2 \\ a^2 & = \dfrac{x^2}{2} \\ a & = \sqrt{\dfrac{x^2}{2}} = \dfrac{x}{\sqrt2} \end{aligned}$$Karena luas trapesium (daerah yang diarsir) adalah $6$ satuan luas, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} \text{Luas trapesium} & = 6 \\ 2 \cdot \text{Luas segitiga} + \text{Luas persegi panjang} & = 6 \\ 2 \cdot \dfrac12 \cdot \left(\dfrac{x}{\sqrt2}\right)^2 + \dfrac{x}{\sqrt2} \cdot x & = 6 \\ \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^2}{\sqrt2} & = 6 \\ x^2 \left(\dfrac12 + \dfrac12\sqrt2\right) & = 6 \\ x^2 & = \dfrac{6}{\dfrac12 + \dfrac12\sqrt2} \\ x & = \dfrac{12}{1 + \sqrt2}. \end{aligned}$$Luas segi delapan dapat dicari jika diketahui panjang sisinya ($x$), yaitu $\boxed{L = 2x^2(\sqrt2 + 1)}$
$$\begin{aligned} \text{Luas segitiga-8} & = 2x^2(\sqrt2+1) \\ & = 2\left(\dfrac{12}{\cancel{1 + \sqrt2}}\right)\cancel{(\sqrt2+1)} \\ & = 2(12) = 24 \end{aligned}$$
Jadi, luas segi delapan itu adalah $24$ satuan luas.
(Jawaban D)

segi enam beraturan tersusun dari 6 segitiga sama sisi seperti tampak pada gambar.
Misalkan panjang sisinya adalah $x.$ Diketahui bahwa luas segi enam adalah $120,$ sehingga luas segitiga sama sisi adalah $\dfrac{120}{6} = 20.$
Dengan menggunakan rumus luas segitiga menurut sinus, diperoleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac12ab \sin \theta \\ 20 & = \dfrac12(x)(x) \sin 60^\circ \\ 20 & = \dfrac12x^2 \cdot \dfrac12\sqrt3 \\ x^2 & = \dfrac{80}{\sqrt3}. \end{aligned}$$Panjang $MN$ sama dengan dua kalinya panjang $M$ ke $O$ (titik tengah segi enam) yang juga merupakan tinggi segitiga sama sisi tersebut. Untuk itu, kita dapat menggunakan rumus Pythagoras untuk mencarinya.
$$\begin{aligned} MN & = 2MO \\ & = 2 \cdot \sqrt{x^2-\left(\dfrac{x}{2}\right)^2} \\ & = 2 \cdot \dfrac12x\sqrt3 \\ & = x\sqrt3 \end{aligned}$$Panjang $AD$ jelas adalah $x + x = 2x.$
Kita peroleh
$$\begin{aligned} AD \cdot MN & = 2x \cdot x\sqrt3 \\ & = 2(x^2)\sqrt3 \\ & = 2 \cdot \dfrac{80}{\cancel{\sqrt3}} \cdot \cancel{\sqrt3} \\ & = 160. \end{aligned}$$Jadi, hasil kali nilai panjang $AD$ dan $MN$ adalah $\boxed{160}$
(Jawaban C)

Misalkan $x$ adalah panjang sisi segi enam, titik $O$ adalah titik tengah segi enam, dan titik $S$ adalah titik tengah $ED.$
$\triangle AOB$ adalah segitiga sama sisi. Karena $P$ berada di tengah $AB,$ kita peroleh bahwa $PB = \dfrac12x$ dan $BO = x.$ Dengan menggunakan rumus Pythagoras,
$$\begin{aligned} PO & = \sqrt{BO^2-PB^2} \\ & = \sqrt{x^2-\dfrac14x^2} \\ & = \dfrac12\sqrt3x. \end{aligned}$$Karena segi enam ini beraturan, maka panjang $PO$ sama dengan panjang $OS.$ Perhatikan bahwa $\triangle PRQ$ dan $\triangle PED$ sebangun karena ketiga sudutnya sama besar. Karena tinggi $\triangle PED$ dua kali lipatnya dan $ED = x,$ maka $RQ = \dfrac12x.$ Panjang $FC = x + x = 2x$ sehingga $FR = QC = \dfrac{2x-\dfrac12x}{2} = \dfrac34x.$
Luas $\triangle PFR$ sekarang dapat dicari.
$$\begin{aligned} L_{\triangle PFR} & = \dfrac12 (FR)(PO) \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac34x \cdot \dfrac12\sqrt3x \\ & = \dfrac{3}{16}\sqrt3x \end{aligned}$$Luas trapesium $EDQR$ juga dapat dicari.
$$\begin{aligned} L_{EDQR} & = \dfrac{ED+RQ}{2} \cdot OS \\ & = \dfrac{x + \dfrac12x}{2} \cdot \dfrac12\sqrt3x \\ & = \dfrac34x \cdot \dfrac12\sqrt3x \\ & = \dfrac38\sqrt3x^2 \end{aligned}$$Dengan demikian, perbandingan luas keduanya dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} L_{\triangle PFR} : L_{EDQR} & = \dfrac{3}{16}\cancel{\sqrt3x^2} : \dfrac38\cancel{\sqrt3x^2} \\ & = \dfrac{3}{16} : \dfrac38 \\ & = \dfrac{3}{16}(16) : \dfrac38(16) \\ & = 3 : 6 \\ & = 1 : 2 \end{aligned}$$Jadi, perbandingan luas segitiga dan trapesium tersebut adalah $\boxed{\dfrac12}$
(Jawaban A)

Posisikan titik $O$ sehingga $XO \perp OD,$ titik $P$ sehingga $AP \perp PX,$ dan $Q$ sehingga $XQ \perp QD$ seperti tampak pada gambar.
Perhatikan bahwa $\angle AXP = \angle QXD$ karena merupakan pasangan sudut yang saling berseberangan. Diketahui juga $\angle XQD = \angle APX = 90^\circ$ sehingga sudut ketiga pasti memiliki besar yang sama pula. Karena ada satu sisi yang sama panjang, yaitu $AX = XD,$ maka $\triangle APX$ dan $\triangle XQD$ kongruen sehingga $AP = QD$ dan $PX = XQ.$ Jadi, kita bisa memindahkan $\triangle APX$ ke $\triangle XQD,$ begitu juga dengan segitiga di sebelah kanan sisi trapesium.
Kita peroleh bahwa luas trapesium akan sama dengan $2$ kali luas daerah yang diarsir, yakni $\boxed{28 \times 2 = 56~\text{cm}^2}$
(Jawaban E)

Tarik garis $MN$ sehingga diperoleh segitiga $MNR.$ Perhatikan bahwa $SR = RQ = 2$ sehingga $MR = RN = 2$ karena merupakan sisi dari segitiga sama sisi yang kongruen.
Jika titik baru $O$ diposisikan sedemikian rupa sehingga $MRNO$ merupakan persegi, maka $MN$ adalah diagonalnya. Dengan menggunakan rumus Pythagoras, panjang $MN$ sama dengan $\boxed{\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt2}$
(Jawaban D)

Misalkan titik $O$ adalah titik pusat setengah lingkaran besar. Tarik garis penghubung $OC$ dan $OD$ yang merupakan jari-jari setengah lingkaran besar seperti tampak pada gambar.
Segitiga $COD$ merupakan segitiga siku-siku di $O.$ Dengan demikian, kita bisa mencari nilai $R$ (panjang jari-jari setengah lingkaran besar) dengan menggunakan rumus Pythagoras.
$$\begin{aligned} OC^2 + OD^2 & = CD^2 \\ R^2 + R^2 & = 8^2 \\ 2R^2 & = 64 \\ R^2 & = 32 \end{aligned}$$Misalkan $r$ adalah panjang jari-jari setengah lingkaran kecil. Luas segitiga $COD$ dapat kita tentukan dengan menggunakan prinsip kesamaan alas dan tinggi.
$$\begin{aligned} \cancel{\dfrac12} \cdot R \cdot R & = \cancel{\dfrac12} \cdot r \cdot CD \\ 32 & = r \cdot 8 \\ r & = 4 \end{aligned}$$Luas daerah yang diarsir sama dengan selisih luas setengah lingkaran besar dan lingkaran kecil.
$$\begin{aligned} L_{\text{arsir}} & = L_{\text{besar}}-L_{\text{kecil}} \\ & = \dfrac12 \pi R^2 -\dfrac12 \pi r^2 \\ & = \dfrac12\pi(R^2-r^2) \\ & = \dfrac12\pi(32-4^2) \\ & = 8\pi \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{8\pi}$
(Jawaban B)

Misalkan panjang jari-jari lingkaran dalam adalah $r$ dan juring lingkaran adalah $R = 3r.$ Titik $O$ diposisikan pada titik pusat lingkaran dalam dan $2\theta$ adalah besar sudut juring lingkaran tersebut.
Perhatikan segitiga siku-siku $ABO.$ Diketahui bahwa $OB = r$ dan $AO = R-r = 3r-r = 2r.$ Menurut perbandingan trigonometri sinus, kita peroleh
$$\begin{aligned} \sin \theta & = \dfrac{OB}{AO} \\ \sin \theta & = \dfrac{r}{2r} = \dfrac12. \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $\theta = 30^\circ.$ Dengan demikian, besar sudut juring lingkaran itu adalah $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ.$ Perbandingan luas juring dan lingkaran dalam dapat ditentukan.
$$\begin{aligned} L_{\text{juring}} : L_{\text{lingkaran dalam}} & = \dfrac{60^\circ}{360^\circ} \pi (3r)^2 : \pi (r)^2 \\ & = \dfrac16 \pi (9r^2) : \pi r^2 \\ & = \dfrac32 : 1 \\ & = 3 : 2 \end{aligned}$$Jadi, perbandingan luas juring lingkaran terhadap lingkaran dalam tersebut adalah $\boxed{3 : 2}$ 
(Jawaban A)

Misalkan titik $B$ adalah titik pusat lingkaran kecil. Buat segitiga $OAB$ yang siku-siku di $A$ seperti tampak pada gambar.
Misalkan panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $r.$ Karena perseginya memiliki panjang sisi $2,$ maka kita peroleh $OA = AB = 2-r$ dan $OB = 2 + r.$
Sekarang kita gunakan rumus Pythagoras pada $\triangle OAB$ untuk mencari nilai $r.$
$$\begin{aligned} OA^2 + AB^2 & = OB^2 \\ (2-r)^2 + (2-r)^2 & = (2+r)^2 \\ 2(4-4r+r^2) & = 4+4r+r^2  \\ r^2-12r+4 & = 0 \\ (r-6)^2-32 & = 0 \\ (r-6)^2 & = 32 \\ r-6 & = \pm 4\sqrt2 \\ r & = 6 \pm 4\sqrt2 \end{aligned}$$Karena $r = 6 + 4\sqrt2$ nilainya lebih dari $2$ sehingga tidak mungkin menjadi pilihan, maka kita ambil $r = 6-4\sqrt2.$
Jadi, panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $\boxed{6-4\sqrt2}$
(Jawaban A)

Posisikan titik $O$ sebagai titik pusat lingkaran kecil.
Perhatikan bahwa $OY$ dan $OS$ merupakan jari-jari lingkaran kecil sehingga haruslah $|OY| = |OS| = r.$ $SY$ sendiri merupakan jari-jari lingkaran besar sehingga $R = |SY| = 2.$
Pada $\triangle YOS$ (siku-siku di $O$), kita peroleh $r^2$ dengan menggunakan rumus Pythagoras.
$$\begin{aligned} |OY|^2 + |OS|^2 & = |SY|^2 \\ r^2 + r^2 & = 2^2 \\ 2r^2 & = 4 \\ r^2 & = 2 \\ r & = \sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $r = \sqrt2.$ Perhatikan bahwa $|SY| = |SX| = 2$ dan $|XY| = 2\sqrt2$ sehingga rumus Pythagoras terpenuhi. Jadi, $\triangle SXY$ merupakan segitiga siku-siku di $S.$
Selanjutnya, cari tembereng lingkaran besar yang dibatasi oleh $XY$ terlebih dahulu.
$$\begin{aligned} L_{\text{tembereng}} &= L_{\text{juring}}-L_{\triangle SXY} \\ & = \dfrac14 \pi R^2-\dfrac12(SY)(SX) \\ & = \dfrac14 \pi (2)^2-\dfrac12(2)(2) \\ & = \pi-2 \end{aligned}$$Luas setengah lingkaran kecil (putih) adalah $L_{\frac12 O} = \dfrac12\pi r^2 = \dfrac12 \pi (2) = \pi.$ Jadi, luas daerah yang diarsir sama dengan luas lingkaran kecil dikurangi jumlahan luas tembereng dan luas setengah lingkaran kecil.
$$L = \pi(2)-((\pi-2)+\pi) = 2$$Dengan demikian, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{2}$ satuan luas.
(Jawaban A)

Buatlah segitiga sama sisi yang melalui titik pusat keenam lingkaran seperti tampak pada gambar.
Panjang jari-jari lingkaran adalah $12 \div 3 = 4$ cm. Panjang sisi segitiga tersebut adalah $4+4=8$ cm. Selanjutnya, cari tinggi segitiga $OA$ dengan menggunakan rumus Pythagoras pada $\triangle OAB.$
$$\begin{aligned} OA & = \sqrt{AB^2-OB^2} \\ & = \sqrt{8^2-4^2} \\ & = \sqrt{48} \\ & = 4\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$$Jarak terpendek kedua lingkaran yang diarsir sama dengan tinggi segitiga tersebut dikurangi dua kali panjang jari-jari lingkaran.
$$\begin{aligned} \text{Jarak} & = OA-2r \\ & = 4\sqrt3-4 \\ & = 4(\sqrt3-1)~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, jarak yang dimaksud sejauh $\boxed{4(\sqrt3-1)~\text{cm}}$
(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Dari perbandingan yang diberikan, kita dapat misalkan $CD = x$ sehingga $AD = 2x$ dan $AE = y$ sehingga $BE = 2y.$
Karena $\triangle AFE$ dan $\triangle BFE$ dapat dipandang sebagai dua segitiga dengan tinggi yang sama, tetapi alasnya berkelipatan, maka dapat kita misalkan luas $\triangle AFE = b$ sehingga luas $\triangle BFE = 2b.$ Prinsip serupa juga berlaku untuk luas $\triangle CFD = a$ sehingga luas $\triangle AFD = 2a.$
Dengan menggunakan perbandingan luas pada keseluruhan $\triangle ABC$ yang dibelah oleh $BD,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{a+12}{2a+b+2b} & = \dfrac12 \\ 2a+24 & = 2a+3b \\ 3b & = 24 \\ b & = 8. \end{aligned}$$Berikutnya, dengan menggunakan perbandingan luas pada keseluruhan $\triangle ABC$ yang dibelah oleh $CE,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{a+2a+b}{2b+12} & = \dfrac12 \\ 6a+2b & = 2b+12 \\ 6a & = 12\\ a & = 2. \end{aligned}$$Luas $\triangle ABC$ sama dengan
$$\begin{aligned} 12+a+2a+b+2b & = 12+3(a+b) \\ & = 12+3(2+8) \\ & = 42~\text{satuan luas}. \end{aligned}$$(Jawaban D)

Diketahui $L_{\triangle ABC} = 720.$ Karena $D$ pada $AC$ sehingga $AD : DC = 1 : 2,$ maka
$$\begin{aligned} L_{\triangle ABD} & = \dfrac{1}{3} \cdot L_{\triangle ABC} = \dfrac13(720) = 240 \\ L_{\triangle CBD} & = 720-240 = 480. \end{aligned}$$Selanjutnya perhatikan $\triangle CBD.$ Karena $E$ berada di tengah $BD,$ maka $BE = ED$ yang berakibat $CE$ membelah $\triangle CBD$ menjadi dua bagian yang sama luasnya, yaitu $\dfrac12(480) = 240.$
Jika $L_{\triangle EBF} = x,$ maka $L_{\triangle ECF} = 240-x.$ Perhatikan gambar berikut agar lebih jelas.
Dengan menggunakan perbandingan luas segitiga dengan satu cevian yang sama, yaitu $EF,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{L_{\triangle EBF}}{L_{\triangle ABF}} & = \dfrac{L_{\triangle ECF}}{L_{\triangle ACF}} \\ \dfrac{x}{120+x} & = \dfrac{240-x}{120+240+(240-x)} \\ \dfrac{x}{120+x} & = \dfrac{240-x}{600-x} \\ x(600-x) & = (120+x)(240-x) \\ -x^2+600x & = 28.800+120x-x^2 \\ 480x & = 28.800 \\ x & = 60. \end{aligned}$$Jadi, luas segitiga $EBF$ adalah $\boxed{60}$
Catatan: Cevian adalah ruas garis yang ditarik dari salah satu titik sudut segitiga ke sisi segitiga di hadapannya.
(Jawaban D)

Perhatikan gambar berikut.
Misalkan luas $\triangle ABC = 1.$ Karena ketiga sudut pada $\triangle ADE$ bersesuaian dengan sudut pada $\triangle ABC,$ maka kedua segitiga ini sebangun. Panjang alas dan tinggi $\triangle ADE$ dua kali lipatnya dari $\triangle ABC$ sehingga luas $\triangle ADE = (2)(2) = 4.$ Jika prinsip ini dilanjutkan, kita peroleh luas segitiga berikutnya adalah $9, 16, 25, 36, \cdots, 100.$ 
Persentase luas daerah yang diberi warna biru terhadap luas keseluruhan segitiga adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \text{Persentase Luas} & = \dfrac{1 + (9-4) + (25-16) + (36-25) +  (64-49) +(100-81)}{100} \times 100\% \\ & = (1 + 5 + 9 + 11 + 17)\% \\ & = 45\% \end{aligned}$$(Jawaban C)

Misalkan $O$ dan $P$ berturut-turut adalah titik pusat lingkaran besar dan kecil, sedangkan $Q$ adalah titik singgung kedua lingkaran kecil.
Karena lebar persegi panjang $4,$ maka diameter lingkaran besar juga $4$ sehingga jari-jarinya memiliki panjang $2,$ sedangkan lingkaran kecil memiliki panjang jari-jari $1.$
Kita peroleh $AP = 2+1 = 3$ dan $PQ = 1$ sehingga dengan menggunakan rumus Pythagoras, didapat
$$\begin{aligned} OQ & = \sqrt{OP^2-PQ^2} \\ & = \sqrt{3^2-1^2} \\ & = 2\sqrt2. \end{aligned}$$Jadi, panjang persegi panjang adalah
$$\begin{aligned} AB & = AO + OQ + QB \\ & = 2 + 2\sqrt2 + 1 \\ & = 3 + 2\sqrt2. \end{aligned}$$(Jawaban B)

Misalkan panjang jari-jari lingkaran besar dan kecil berturut-turut adalah $y$ dan $x.$ Buat segitiga siku-siku yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran seperti tampak pada gambar.
Segitiga siku-siku ini memiliki panjang sisi $(x + y), (x + y),$ dan $(y + y = 2y.$
Dengan menggunakan rumus Pythagoras, kita peroleh
$$\begin{aligned} (x + y)^2 + (x + y)^2 & = (2y)^2 \\ 2(x + y)^2 & = 2(2y^2) \\ (x + y)^2 & = 2y^2 \\ x + y & = \pm y\sqrt2. \end{aligned}$$Karena $x + y$ menyatakan jumlah panjang jari-jari lingkaran yan g nilainya jelas tidak mungkin negatif, maka ambil $x + y = y\sqrt2$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} y\sqrt2-y & = x \\ y(\sqrt2-1) & = x \\ \dfrac{y}{x} & = \dfrac{1}{\sqrt2-1} \\ \dfrac{y}{x} & = \dfrac{1}{\sqrt2-1} \cdot \dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2+1} \\ \dfrac{y}{x} & = \sqrt2+1. \end{aligned}$$Jadi, rasio panjang jari-jari lingkaran besar terhadap lingkaran kecil adalah $\boxed{1+\sqrt2}$
(Jawaban C)

Misalkan panjang setiap sisi persegi panjang kecil disimbolkan dengan $a, b, c, d, e,$ dan $f$ seperti gambar di bawah.
Dari sini, kita tahu bahwa
$$\begin{cases} 2(b + d) & = 11 && (\cdots 1) \\ 2(a + e) & = 20 && (\cdots 2) \\ 2(b + e) & = 8 && (\cdots 3) \\ 2(c +e) & = 11 && (\cdots 4) \\ 2(b+f) & = 12 && (\cdots 5) \end{cases}$$Jumlahkan persamaan $(4)$ dan $(5)$, kemudian gunakan persamaan $(3)$ untuk memperoleh
$$\begin{aligned} 2(b + e + c + f) & = 23 \\ \color{red}{2(b + e)} + 2(c + f) & = 23 \\ 8 + 2(c + f) & = 23 \\ 2(c + f) & = 15.\end{aligned}$$Keliling persegi panjang $ABCD$ dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} k_{ABCD} & = 2(a + b + c + d + e + f) \\ & = 2(b + d) + 2(a + e) + 2(c + f) \\ & = 11 + 20 + 15 \\ & = 46 \end{aligned}$$Jadi, keliling persegi panjang $ABCD$ adalah $\boxed{46}$
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Karena $\triangle ABC$ siku-siku, maka rumus Pythagoras berlaku.
$$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2+BC^2} \\ & = \sqrt{6^2+6^2} \\ & = 6\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$$Misalkan panjang $AD = x$ cm sehingga berakibat $DB = (6-x)$ cm. Dengan menggunakan teorema perbandingan oleh garis bagi, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{AD}{DB} & = \dfrac{AC}{BC} \\ \dfrac{x}{6-x} & = \dfrac{\cancel{6}\sqrt2}{\cancel{6}} \\ x & = 6\sqrt2-\sqrt2x \\ (1+\sqrt2)x & = 6\sqrt2 \\ x & = \dfrac{6\sqrt2}{1+\sqrt2} \\ x & = \dfrac{(6\sqrt2)(1-\sqrt2)}{-1} \\ x & = (\sqrt2-1)(6\sqrt2) \\ x & = 12-6\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, panjang $AD$ adalah $\boxed{(12-6\sqrt2)~\text{cm}}$
(Jawaban C)

Karena $\triangle ABC$ sama kaki, maka $AC = BC = x.$ Teorema Pythagoras juga berlaku karena segitiga tersebut siku-siku.
$$\begin{aligned} AB & = \sqrt{AC^2+BC^2} \\ & = \sqrt{x^2+x^2} \\ & = x\sqrt2 \end{aligned}$$Menurut teorema perbandingan oleh garis bagi, berlaku bahwa
$$\dfrac{CD}{DB} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{x}{x\sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt2}.$$Oleh karena itu, didapat
$$\begin{aligned} \dfrac{L_{\triangle ABD}}{L_{\triangle ABC}} & = \dfrac{\cancel{\frac12} \cdot DB \cdot \bcancel{AC}}{\cancel{\frac12} \cdot BC \cdot \bcancel{AC}} \\ & = \dfrac{DB}{BC} \\ & = \dfrac{DB}{CD + DB} \\ & = \dfrac{\sqrt2}{1+\sqrt2} \\ & = -(\sqrt2)(1-\sqrt2) \\ & = 2-\sqrt2. \end{aligned}$$Jadi, perbandingan kedua segitiga tersebut adalah $\boxed{2-\sqrt2}$
(Jawaban E)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
$AD$ merupakan garis bagi sehingga $\angle BAE = \angle CAD.$
Perhatikan bahwa $\triangle ABE$ dan $\triangle DCE$ sebangun berdasarkan kesamaan ketiga sudutnya. Oleh karena itu, berlaku perbandingan $\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{21}{28} = \dfrac34.$
Misalkan $BE = 3x$ dan $EC = 4x.$ Segitiga $ABC$ siku-siku sehingga rumus Pythagoras berlaku untuk mencari panjang $AC.$
$$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2+BC^2} \\ & = \sqrt{21^2+(7x)^2} \end{aligned}$$Menurut teorema perbandingan oleh garis bagi, berlaku
$$\begin{aligned} \dfrac{AC}{CE} & = \dfrac{AB}{BE} \\ \dfrac{\sqrt{21^2 + (7x)^2}}{4x} & = \dfrac{21}{3x} \\ \sqrt{21^2 + (7x)^2} & = 7(4) \\ \sqrt{3^2 + x^2} & = 4 \\ 9 + x^2 & = 16 \\ x & = \sqrt7. \end{aligned}$$Jadi, panjang $BE$ adalah $\boxed{3x = 3\sqrt7}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
$AD$ merupakan garis bagi pada sudut $A$ sehingga $\angle BAD = \angle DAC.$
Menurut teorema perbandingan oleh garis bagi, berlaku
$$\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac23.$$Misalkan $AB = 2x$ dan $AC = 3x$ untuk suatu $x \in \mathbb{R}^+.$
Perhatikan bahwa $\triangle ABC$ siku-siku sehingga berlaku rumus Pythagoras.
$$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2 \\ (3x)^2 & = (2x)^2 + (2+3)^2 \\ 9x^2 & = 4x^2 + 25 \\ 5x^2 & = 25 \\ x^2 & = 5 \end{aligned}$$Perhatikan juga bahwa $\triangle ABD$ siku-siku sehingga berlaku rumus Pythagoras.
$$\begin{aligned} AD^2 & = AB^2 + BD^2 \\ & = (2x)^2 + 2^2 \\ & = 4x^2 + 4 \\ & = 4(5) + 4 \\ & = 24 \\ AD & = \sqrt{24} = 2\sqrt6 \end{aligned}$$Jadi, panjang $AD$ adalah $\boxed{2\sqrt6}$
(Jawaban C)

Misalkan $DC = x$ sehingga $BD = 3x.$ Misalkan juga $FC = y$ sehingga $AC = 32-y.$
Pada $\triangle ABD,$ $ED$ merupakan garis bagi $\angle BDA$ sehingga berlaku teorema perbandingan oleh garis bagi berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{BE}{EA} & = \dfrac{BD}{DA} \\ \dfrac73 & = \dfrac{3x}{DA} \\ DA & = \dfrac{9x}{7} \end{aligned}$$Hal yang sama juga berlaku pada $\triangle ADC$ oleh garis bagi $DF.$
$$\begin{aligned} \dfrac{AF}{FC} & = \dfrac{DA}{DC} \\ \dfrac{32-y}{y} & = \dfrac{\frac{9x}{7}}{x} \\ \dfrac{32-y}{y} & = \dfrac97 \\ 9y & = 32(7)-7y \\ 16y & = 32(7) \\ y & = 2(7) = 14 \end{aligned}$$Jadi, panjang $FC$ adalah $\boxed{14}$
(Jawaban B)