Dalam bidang aljabar linear, aturan Cramer (Cramer’s rule) merupakan formula yang dipakai untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan determinan dari matriks yang terbentuk dari koefisien dan konstanta masing-masing persamaan di sistem tersebut. Karena melibatkan matriks dan determinannya, maka pembaca dianggap sudah memahami konsep matriks dan perhitungan determinan matriks setidaknya untuk ukuran $\bbox[skyblue, 5pt]{2 \times 2}$ dan $\bbox[skyblue, 5pt]{3 \times 3}$.
Berdasarkan catatan sejarah, Gabriel Cramer (1704 – 1752), matematikawan dari Swiss, merupakan orang pertama yang menerbitkan aturan ini pada tahun 1750. Untuk itu, aturan ini sekarang dikenal sebagai aturan Cramer.
Baca: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks
Beberapa istilah berikut harus dipahami terlebih dahulu karena akan dimunculkan dalam penjelasan mengenai aturan Cramer nantinya.
- Sistem persamaan linear, yaitu sekumpulan persamaan linear dengan sejumlah variabel tertentu. Bentuk umum sistem persamaan linear dengan $n$ variabel adalah
$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n & = & c_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n & = & c_2 \\ \hspace{6em} \vdots & \hspace{0.25em} \vdots & \hspace{0.25em} \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n & = & c_n \end{cases}$$ - Matriks koefisien, yaitu matriks yang entrinya disusun dari koefisien variabel pada suatu sistem persamaan linear. Sebagai contoh, jika diberikan sistem persamaan linear dua variabel $\begin{cases} 3x-2y & = 6 \\ 2x-y & = 4 \end{cases}$, maka matriks koefisiennya adalah $\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$.
- Matriks konstanta, yaitu matriks yang entrinya disusun dari konstanta pada suatu sistem persamaan linear. Sebagai contoh, jika diberikan sistem persamaan linear dua variabel $\begin{cases} 3x-2y & = 6 \\ 2x-y & = 4 \end{cases}$, maka matriks konstantanya adalah $\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}.$
Aturan Cramer untuk SPLDV
Diberikan suatu Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) berikut.
$\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y & = c_1 \\ a_{21}x + a_{22}y & = c_2 \end{cases}$
Determinan matriks koefisien dari SPLDV di atas adalah $D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$.
Jika entri kolom pertama diganti menjadi konstanta SPLDV tersebut, maka diperoleh $D_x = \begin{vmatrix} c_1 & a_{12} \\ c_2& a_{22} \end{vmatrix}$.
Jika entri kolom kedua diganti menjadi konstanta SPLDV tersebut, maka diperoleh $D_y = \begin{vmatrix} a_{11} & c_1 \\ a_{21} & c_2 \end{vmatrix}$.
Penyelesaian (solusi) dari SPLDV di atas adalah pasangan berurut $(x, y)$ dengan
$\boxed{x = \dfrac{D_x}{D}~~~~~~~~~~y = \dfrac{D_y}{D}}$
Aturan Cramer untuk SPLTV
Diberikan suatu Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) berikut.
$\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z & =c_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z & =c_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z & =c_3 \end{cases}$
Determinan matriks koefisien dari SPLTV di atas adalah $D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$.
Jika entri kolom pertama diganti menjadi konstanta SPLTV tersebut, maka diperoleh
$D_x = \begin{vmatrix} c_1 & a_{12} & a_{13} \\ c_2 & a_{22} & a_{23} \\ c_3 & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$.
Jika entri kolom kedua diganti menjadi konstanta SPLTV tersebut, maka diperoleh
$D_y = \begin{vmatrix} a_{11} & c_1 & a_{13} \\ a_{21} & c_2 & a_{23} \\ a_{31} & c_3 & a_{33} \end{vmatrix}$.
Jika entri kolom ketiga diganti menjadi konstanta SPLTV tersebut, maka diperoleh
$D_z = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & c_1 \\ a_{21} & a_{22} & c_2 \\ a_{31} & a_{32} & c_3 \end{vmatrix}$.
Penyelesaian (solusi) dari SPLTV di atas adalah pasangan berurut $(x, y, z)$ dengan
$$\boxed{x = \dfrac{D_x}{D} ~~~ y = \dfrac{D_y}{D} ~~~ z = \dfrac{D_z}{D}}$$
Baca: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks Versi HOTS dan Olimpiade
Secara umum, bunyi teorema yang dikenal sebagai aturan Cramer adalah sebagai berikut.
Teorema: Aturan Cramer
$$x_1 = \dfrac{\mathtip{\det(A_1)}{\text{determin}\text{an ma}\text{triks}~ A_1}}{\det(A)}~~~x_2 = \dfrac{\det(A_2)}{\det(A)}~~~\cdots~~~x_n = \dfrac{\det(A_n)}{\det(A)}$$dengan $A_j$ menyatakan matriks yang diperoleh dari $A$ dengan menggantikan entri-entri pada kolom ke-$j$ dengan entri-entri pada matriks konstanta $\textbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$.
Pembuktian teorema ini diberikan pada panel di bawah.
Jika $\det(A) \neq 0$, maka $A$ dapat dibalik (memiliki invers), dan akibatnya $\textbf{x} = A^{-1}\textbf{b}$ adalah penyelesaian tunggal (unik) dari $A\textbf{x}=\textbf{b}$. Oleh karena itu, didapat
$$\begin{aligned} \textbf{x} & = A^{-1}\textbf{b} \\ & = \dfrac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)\textbf{b} \\ & = \dfrac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jika kita mengalikan dua matriks di atas, akan diperoleh
$$\textbf{x} = \dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} b_1C_{11} & b_2C_{12} & \cdots & b_nC_{1n} \\ b_1C_{21} & b_2C_{22} & \cdots & b_nC_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_1C_{n1} & b_2C_{n2} & \cdots & b_nC_{nn} \end{pmatrix}$$Oleh karena itu, entri dalam kolom ke-$j$ dari $\textbf{x}$ adalah
$$\color{red}{x_j = \dfrac{b_1C_{1j} + b_2C_{2j} + \cdots + b_nC_{nj}}{\det(A)}}$$Sekarang anggap
$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j-1} & b_1 & a_{1j+1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{1)22} & \cdots & a_{2j-1} & b_2 & a_{2j+1} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nj-1} & b_n & a_{nj+1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$$Karena $A_j$ berbeda dengan $A$ hanya pada kolom ke-$j$-nya, maka kofaktor dari entri-entri $b_1, b_2, \cdots, b_n$ dalam $A_j$ sama dengan kofaktor dari entri-entri yang bersesuaian dalam kolom ke-$j$ dari $A$. Dengan demikian, ekspansi (perluasan) kofaktor dari $\det(A_j)$ di sepanjang kolom ke-$j$ adalah
$\det(A_j) = b_1C_{1j} + b_2C_{2j} + \cdots + b_nC_{nj}$
Dengan demikian, substitusi pada persamaan yang diberi tanda warna merah di atas menghasilkan
$$x_j = \dfrac{\det(A_j)}{\det(A)}$$(Terbukti)
Apabila determinan matriks koefisien pada sistem persamaan linear bernilai $0$, yang memberi arti bahwa aturan Cramer tidak berlaku, maka itu menandakan bahwa sistem tersebut tidak konsisten (tidak memiliki penyelesaian atau memiliki banyak penyelesaian). Sebagai contoh, diberikan SPLDV
$$\begin{cases} 4x+y & = 3 \\ -4x-y & = 5 \end{cases}.$$Sistem di atas dapat ditulis ulang dalam bentuk matriks,
$$\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$$dengan matriks koefisiennya,
$$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}$$Determinan dari matriks koefisien $A$ ini dinyatakan oleh
$$|A| = 4(-1)-1(-4) = -4+4 = 0$$Karena bernilai $0$, maka Aturan Cramer tidak berlaku. Simpulkan bahwa SPLDV tersebut tidak konsisten. Hal ini juga bisa dilihat dari dua persamaannya yang sebenarnya hanya berbeda pada konstantanya saja. Secara geometris, grafik dari kedua persamaan itu berupa garis yang saling sejajar sehingga tidak memiliki satu titik potong.
Aturan Cramer hadir sebagai salah satu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, tetapi perlu disadari bahwa perhitungan determinan akan memakan waktu yang lama. Untuk itu, latihan soal dan latihan soal tetap menjadi fokus utama guna memperlancar perhitungan determinan sekaligus memahami teorema ini secara lebih mendalam. Berikut disajikan sejumlah soal mengenai penggunaan aturan Cramer yang telah disertai dengan pembahasannya.
Perhatian!
Karena aturan Cramer berhubungan erat dengan penentuan nilai determinan, maka disarankan pembaca sudah dapat menentukan determinan matriks ukuran $2 \times 2$, dan ukuran matriks yang lebih besar darinya dengan menggunakan Aturan Sarrus (khusus untuk matriks ukuran $3 \times 3$) dan Ekspansi Kofaktor.
Today Quote
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Jika $x_0$ dan $y_0$ adalah penyelesaian dari sistem persamaan $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 4x-y = 2 \end{cases},$ maka nilai $x_0 + y_0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-3$ C. $0$ E. $4$
B. $-2$ D. $3$
Diberikan $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 4x-y = 2 \end{cases}$ yang ekuivalen dengan persamaan $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}.$
Dengan menggunakan aturan Cramer, kita peroleh
$$\begin{aligned} D & = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & – 1 \end{vmatrix} = 3(-1)-2(4) = -11 \\ D_x & = \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 2 & – 1 \end{vmatrix} = 7(-1)-2(2) = -11 \\ D_y & = \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 3(2)-7(4) = -22. \end{aligned}$$Hal ini berakibat bahwa
$$\begin{aligned} x_0 & = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{-11}{-11} = 1 \\ y_0 & = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{-22}{-11} = 2. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $x_0 = 1$ dan $y_0 = 2$ sehingga $\boxed{x_0 + y_0 = 1 + 2 =3}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 2
Jika $x_0$ dan $y_0$ adalah penyelesaian dari sistem persamaan $\begin{cases} 6x-y = -13 \\ -4x + 3y = 11 \end{cases},$ maka nilai $x_0-y_0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-6$ C. $-2$ E. $3$
B. $-3$ D. $1$
Diberikan $\begin{cases}6x-y = -13 \\ -4x + 3y = 11 \end{cases}$ yang ekuivalen dengan persamaan $\begin{pmatrix} 6 & -1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13 \\ 11 \end{pmatrix}.$
Dengan menggunakan aturan cramer, kita peroleh
$$\begin{aligned} D & = \begin{vmatrix} 6 & -1 \\ -4 & 3 \end{vmatrix} = 6(3)-(-1)(-4) = 14 \\ D_x & = \begin{vmatrix} -13 & -1 \\ 11 & 3\end{vmatrix} = -13(3)-(-1)(11) = -28 \\ D_y & = \begin{vmatrix} 6 & -13 \\ -4 & 11 \end{vmatrix} = 6(11)-(-13)(-4) = 14. \end{aligned}$$Hal ini berakibat bahwa
$$\begin{aligned} x_0 & = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{-28}{14} = -2 \\ y_0 & = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{14}{14} = 1. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $x_0 = -2$ dan $y_0 = 1$ sehingga $\boxed{x_0 -y_0 = -2-1 =-3}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 3
Pada saat jam istirahat sekolah, Jessica dan Wesley bersama-sama pergi ke kantin. Jessica membeli $3$ pisang goreng dan $2$ donat dengan harga seluruhnya Rp3.500,00. Sementara Wesley membeli $4$ pisang goreng dan $2$ donat dengan harga seluruhnya Rp4.000,00. Nilai determinan berikut yang bersesuaian dengan harga $1$ pisang goreng adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{\begin{vmatrix} 3.500 & 4.000 \\ 4 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix}}$
B. $\dfrac{\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 3.500 & 4.000 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix}}$
C. $\dfrac{\begin{vmatrix} 3 & 3.500 \\ 4 & 4.000 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix}}$
D. $\dfrac{\begin{vmatrix} 3.500 & 2 \\ 4.000 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix}}$
E. $\dfrac{\begin{vmatrix} 3.500 & 2 \\ 4 & 4.000 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix}}$
Misalkan $p, d$ berturut-turut menyatakan harga $1$ pisang goreng dan $1$ donat, sehingga kita peroleh SPLDV berikut.
$$\begin{cases} 3p + 2d & = 3.500 && (\cdots 1) \\ 4p + 2d & = 4.000 && (\cdots 2) \end{cases}$$Bila dinyatakan dalam bentuk matriks, diperoleh
$$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3.500 \\ 4.000 \end{pmatrix}$$Determinan matriks koefisiennya beserta nilai $D_p$ adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} D & = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} \\ D_p & = \begin{vmatrix} \color{red}{3.500} & 2 \\ \color{red}{4.000} & 2 \end{vmatrix} \end{aligned}$$Menurut aturan Cramer, harga $1$ pisang goreng dinyatakan oleh
$$\boxed{p = \dfrac{D_p}{D} = \dfrac{\begin{vmatrix} 3.500 & 2 \\ 4.000 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix}}}$$(Jawaban D)
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Selesaikan sistem persamaan $2x-3y=-13$ dan $x+2y=4$ dengan menggunakan Aturan Cramer.
Diberikan SPLDV
$\begin{cases} 2x-3y & = -13 \\ x + 2y & = 4 \end{cases}.$
Bila dinyatakan dalam bentuk matriks, diperoleh
$\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13 \\ 4 \end{pmatrix}.$
Determinan matriks koefisiennya beserta $D_x$ dan $D_y$ dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{aligned} D & = \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \\ & = 2(2)-(-3)(1) \\ & = 4+3 = 7 \\ D_x & = \begin{vmatrix} \color{red}{-13} & -3 \\ \color{red}{4} & 2 \end{vmatrix} \\ & = -13(2)-(-3)(4) \\ & = -26+12=-14 \\ D_y & = \begin{vmatrix} 2 & \color{red}{-13} \\ 1 & \color{red}{4} \end{vmatrix} \\ & = 2(4)-(-13)(1) \\ & = 8+13 = 21\end{aligned}$
Berdasarkan aturan Cramer, penyelesaian SPLDV di atas adalah
$\boxed{\begin{aligned} x & = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{-14}{7} = -2 \\ y & = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{21}{7} = 3 \end{aligned}}$
Soal Nomor 2
Selesaikan sistem persamaan $$\begin{cases} 7x_1-2x_2 & = 3 \\ 3x_1 + x_2 & = 5 \end{cases}$$ dengan menggunakan aturan Cramer.
Diberikan SPLDV
$\begin{cases} 7x_1-2x_2 & = 3 \\ 3x_1 + x_2 & = 5 \end{cases}$
Bila dinyatakan dalam bentuk matriks, didapat
$\begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$
Dengan demikian, kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow |A| = 7-(-6) = 13 \\ A_1 & = \begin{pmatrix} \color{red}{3} & -2 \\ \color{red}{5} & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow |A_1| = 3-(-10) = 13 \\ A_2 & = \begin{pmatrix} 7 & \color{red}{3} \\ 3 & \color{red}{5} \end{pmatrix} \Rightarrow |A_2| = 35-9 = 26 \end{aligned}$$Berdasarkan aturan Cramer, penyelesaian SPLDV di atas adalah
$\boxed{\begin{aligned} x_1 & = \dfrac{|A_1|}{|A|} = \dfrac{13}{13} = 1 \\ x_2 & = \dfrac{|A_2|}{|A|} = \dfrac{26}{13} = 2 \end{aligned}}$
Soal Nomor 3
Selesaikan SPLDV berikut dengan menggunakan aturan Cramer.
$$\begin{cases} x-y & = 5 \\ 3x-5y & = 5 \end{cases}$$
Bentuk matriks dari SPLDV di atas adalah $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}.$
Determinan matriks koefisiennya beserta $D_x$ dan $D_y$ dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{aligned} D & = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -5 \end{vmatrix} \\ & = 1(-5)-(-1)(3) \\ & = -5+3=-2 \\ D_x & = \begin{vmatrix} \color{red}{5} & -1 \\ \color{red}{5} & -5 \end{vmatrix} \\ & = 5(-5)-5(-1) \\ & = -25+5=-20 \\ D_y & = \begin{vmatrix} 1 & \color{red}{5} \\ 3 & \color{red}{5} \end{vmatrix} \\ & = 1(5)-3(5) \\ & = 5-15= -10 \end{aligned}$
Berdasarkan auran Cramer, penyelesaian SPLDV di atas adalah
$\boxed{\begin{aligned} x & = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{-20}{-2} = 10 \\ y & = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{-10}{-2} = 5 \end{aligned}}$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – SPLDV
Soal Nomor 4
Selesaikan $x’$ dan $y’$ pada sistem persamaan linear berikut dengan menyatakannya dalam $x$ dan $y$ dengan menggunakan aturan Cramer.
$$\begin{cases} x & = \dfrac35x’-\dfrac45y’ \\ y & = \dfrac45x’+\dfrac35y’ \end{cases}$$
SPL di atas terdiri dari $2$ persamaan. Dengan menganggap $x’$ dan $y’$ sebagai variabel, sedangkan $x$ dan $y$ sebagai suatu konstanta, maka dapat dianggap sudah memenuhi bentuk umum SPLDV.
Pertama, tuliskan bentuk determinan matriks koefisien dari SPL di atas, yaitu
$\begin{aligned} D & = \begin{vmatrix} \dfrac35 & -\dfrac45 \\ \dfrac45 & \dfrac35 \end{vmatrix} \\ & = \left(\dfrac35 \cdot \dfrac35\right)-\left(-\dfrac45 \cdot \dfrac45\right) \\ & = \dfrac{9}{25} + \dfrac{16}{25} = 1 \end{aligned}$
Kemudian tuliskan $D_{x’}$ sebagai $D$ yang entri kolom pertamanya diganti menjadi $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.
$\begin{aligned} D_{x’} & = \begin{vmatrix} x & -\dfrac45 \\ y & \dfrac35 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac35x+\dfrac45y \end{aligned}$
Tuliskan juga $D_{y’}$ sebagai $D$ yang entri kolom keduanya diganti menjadi $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.
$\begin{aligned} D_{y’} & = \begin{vmatrix} \dfrac35 & x \\ \dfrac45 & y \end{vmatrix} \\ & = \dfrac35y-\dfrac45x \end{aligned}$
Berdasarkan aturan Cramer, kita peroleh
$$\begin{aligned} x’ & = \dfrac{D_{x’}}{D} = \dfrac{\dfrac35x+\dfrac45y}{1} = \dfrac35x+\dfrac45y \\ y’ & = \dfrac{D_{y’}}{D} = \dfrac{\dfrac35y-\dfrac45x}{1} = \dfrac35y-\dfrac45x \end{aligned}$$Jadi, solusi dari sistem persaman linear di atas adalah
$\boxed{\begin{aligned} x’ & = \dfrac35x+\dfrac45y \\ y’ & = \dfrac35y-\dfrac45x \end{aligned}}$
Soal Nomor 5
Selesaikan $x’$ dan $y’$ pada sistem persamaan linear berikut dengan menyatakannya dalam $x$ dan $y$ dengan menggunakan aturan Cramer.
$$\begin{cases} x & = x’ \cos \theta-y’ \sin \theta \\ y & =x’ \sin \theta+y’ \cos \theta\end{cases}$$
SPL di atas terdiri dari $2$ persamaan. Dengan menganggap $x’$ dan $y’$ sebagai variabel, sedangkan $x$, $y$, dan $\theta$ sebagai suatu konstanta, maka dapat dianggap sudah memenuhi bentuk umum SPLDV.
Pertama, tuliskan bentuk determinan matriks koefisien dari SPL di atas, yaitu
$\begin{aligned} D & = \begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix} \\ & = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \end{aligned}$
Kemudian tuliskan $D_{x’}$ sebagai $D$ yang entri kolom pertamanya diganti menjadi $\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$.
$\begin{aligned} D_{x’} & = \begin{vmatrix} \color{red}{x} & -\sin \theta \\ \color{red}{y} & \cos \theta \end{vmatrix} \\ & = x \cos \theta + y \sin \theta \end{aligned}$
Tuliskan juga $D_{y’}$ sebagai $D$ yang entri kolom keduanya diganti menjadi $\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$.
$\begin{aligned} D_{y’} & = \begin{vmatrix} \cos \theta & \color{red}{x} \\ \sin \theta & \color{red}{y} \end{vmatrix} \\ & = y \cos \theta-x \sin \theta \end{aligned}$
Berdasarkan aturan Cramer, kita peroleh
$$\begin{aligned} x’ & = \dfrac{D_{x’}}{D} = \dfrac{x \cos \theta + y \sin \theta}{1} = x \cos \theta + y \sin \theta \\ y’ & = \dfrac{D_{y’}}{D} = \dfrac{y \cos \theta-x \sin \theta}{1} = y \cos \theta-x \sin \theta \end{aligned}$$Jadi, solusi dari sistem persaman linear di atas adalah
$\boxed{\begin{aligned} x’ & = x \cos \theta + y \sin \theta \\ y’ & = y \cos \theta-x \sin \theta \end{aligned}}$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Determinan Matriks
Soal Nomor 6
Gunakan determinan untuk menunjukkan bahwa untuk semua nilai real dari $\lambda$ (baca: lambda) satu-satunya penyelesaian untuk
$$\begin{cases} x-2y & = \lambda x \\ x-y & = \lambda y \end{cases}$$adalah $x = 0$ dan $y = 0$.
Posisikan semua ekspresi di ruas kanan ke ruas kiri, lalu faktorkan sehingga diperoleh
$\begin{cases} (1-\lambda)x-2y & = 0 \\ x-(1+a)y & = 0 \end{cases}$
atau bentuk matriksnya,
$\begin{pmatrix} 1-\lambda & -2 \\ 1 & -(1+a) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$
Determinan matriks koefisiennya adalah sebagai berikut.
$\begin{aligned} D & = \begin{vmatrix} 1-\lambda & -2 \\ 1 & -(1+\lambda) \end{vmatrix} \\ & = -(1-\lambda)(1+\lambda)-1(-2) \\ & = -(1-\lambda^2)+2 \\ & = \lambda^2+1 \end{aligned}$
Nilai $D$ di atas tidak mungkin $0$, melainkan pasti positif untuk setiap bilangan real $\lambda$. Ini artinya, penyelesaian (solusi) sistem persamaan di atas tunggal (unik).
Berikutnya, akan dicari nilai $D_x$ dan $D_y$, berturut-turut merupakan determinan dari matriks yang entri kolom pertama dan keduanya diganti oleh entri pada matriks konstanta $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.
$\begin{aligned} D_x & = \begin{vmatrix} \color{red}{0} & -2 \\ \color{red}{0} & -(1+\lambda) \end{vmatrix} = 0 \\ D_y & = \begin{vmatrix} 1-\lambda & \color{red}{0} \\ 1 & \color{red}{0} \end{vmatrix} = 0 \end{aligned}$
Berdasarkan aturan Cramer, penyelesaian sistem diberikan oleh
$\begin{aligned} x & = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{0}{\lambda^2+1} = 0 \\ y & = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{0}{\lambda^2+1} = 0 \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa penyelesaian tunggal sistem di atas adalah $x = 0$ dan $y = 0$.
Soal Nomor 7
Selesaikan sistem persamaan $$\begin{cases} 4x+5y & = 2 \\ 11x+y+2z & = 3 \\ x+5y+2z & = 1 \end{cases}$$ dengan menggunakan aturan Cramer.
Bentuk matriks dari SPLTV di atas adalah sebagai berikut.
$\begin{pmatrix} 4 & 5 & 0 \\ 11 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$
Dengan demikian, kita akan menentukan nilai determinan matriks koefisien $D$, beserta $D_x, D_y$, dan $D_z$ sebagai berikut (di sini perhitungannya menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama).
$$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 0 \\ 11 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow |A| = 4(2-10)-5(22-2)+0 = -132 \\ A_x & =\begin{pmatrix} \color{red}{2} & 5 & 0 \\ \color{red}{3} & 1 & 2 \\ \color{red}{1} & 5 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow |A_x| = 2(2-10)-5(6-2)+0 = -36 \\ A_y & =\begin{pmatrix} 4 & \color{red}{2} & 0 \\ 11 & \color{red}{3} & 2 \\ 1 & \color{red}{1} & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow |A_y| = 4(6-2)-2(22-2)+0 = -24 \\ A_z & =\begin{pmatrix} 4 & 5 & \color{red}{2} \\ 11 & 1 & \color{red}{3} \\ 1 & 5 & \color{red}{1} \end{pmatrix} \Rightarrow |A_z| = 4(1-15)-5(11-3)+2(55-1) = 12 \end{aligned}$$Berdasarkan aturan Cramer, kita peroleh penyelesaian SPLTV tersebut sebagai berikut.
$\begin{aligned} x & = \dfrac{|A_x|}{|A|} = \dfrac{-36}{-132} = \dfrac{3}{11} \\ y & = \dfrac{|A_y|}{|A|} = \dfrac{-24}{-132} = \dfrac{2}{11} \\ z & = \dfrac{|A_z|}{|A|} = \dfrac{12}{-132} = -\dfrac{1}{11} \end{aligned}$
Soal Nomor 8
Selesaikan SPLTV berikut dengan menggunakan aturan Cramer.
$$\begin{cases} x-4y+z & = 6 \\ 4x-y+2z & = -1 \\ 2x+2y-3z & = -20 \end{cases}$$
Bentuk matriks dari SPLTV di atas adalah sebagai berikut.
$\begin{pmatrix} 1 & -4 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -1 \\ -20 \end{pmatrix}$
Dengan demikian, kita akan menentukan nilai determinan matriks koefisien $A$, beserta $A_x, A_y$, dan $A_z$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{pmatrix} \Rightarrow |A| = 1(3-4)+4(-12-4)+1(8+2) = -1-64+10=-55 \\ A_x & = \begin{pmatrix} \color{red}{6} & -4 & 1 \\ \color{red}{-1} & -1 & 2 \\ \color{red}{-20} & 2 & -3 \end{pmatrix} \Rightarrow |A_x| = 6(3-4)+4(3+40)+1(-2-20) = -6+172-22 = 144 \\ A_y & = \begin{pmatrix} 1 & \color{red}{6} & 1 \\ 4 & \color{red}{-1} & 2 \\ 2 & \color{red}{-20} & -3 \end{pmatrix} \Rightarrow |A_y| = 1(3+40)-6(-12-4)+1(-80+2) = 43+96-78= 61 \\ A_z & = \begin{pmatrix} 1 & -4 & \color{red}{6} \\ 4 & -1 & \color{red}{-1} \\ 2 & 2 & \color{red}{-20} \end{pmatrix} \Rightarrow |A_z| = 1(20+2)+4(-80+2)+6(8+2)=22-312+60 = -230 \end{aligned}$$Berdasarkan aturan Cramer, kita peroleh penyelesaian SPLTV tersebut sebagai berikut.
$\begin{aligned} x & = \dfrac{|A_x|}{|A|} =-\dfrac{144}{55} \\ y & = \dfrac{|A_y|}{|A|} = -\dfrac{61}{55} \\ z & = \dfrac{|A_z|}{|A|} = \dfrac{-230}{-55} = \dfrac{46}{11} \end{aligned}$
Soal Nomor 9
Diketahui sistem persamaan linear dalam bentuk matriks $AX = B$, dengan $A = \begin{pmatrix} k & 5 & 5 \\ -1 & -1 & 0 \\ k & 2k & 3 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$, dan $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. Jika $\det(A)=-1$, tentukan nilai $x_3$.
Akan ditentukan dulu nilai $k$ dengan menggunakan nilai determinan yang diberikan.
$$\begin{aligned} \det(A) & = -1 \\ \begin{vmatrix} k & 5 & 5 \\ -1 & -1 & 0 \\ k & 2k & 3 \end{vmatrix} & = -1 \\ 5(-2k + k)-0+3(-k + 5) & = -1 && (\text{Ekspans}\text{i kofak}\text{tor sepanjang kolom ke-3}) \\ -5k-3k+15 & = -1 \\ -8k & = -16 \\ k & = 2 \end{aligned}$$Dengan demikian, matriks $A$ sama dengan $\begin{pmatrix} 2 & 5 & 5 \\ -1 & -1 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$.
Dengan menggunakan aturan Cramer, akan dicari nilai $x_3$. Di sini $A_3$ menyatakan matriks $A$ yang entri kolom ketiganya diganti oleh $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.
$\begin{aligned} x_3 & = \dfrac{\det(A_3)}{\det(A)} \\ & = -\begin{vmatrix} 2 & 5 & \color{red}{1} \\ -1 & -1 & \color{red}{1} \\ 2 & 4 & \color{red}{-1} \end{vmatrix} \\ & = -\left[2(1-4)-5(1-2)+1(-4+2)\right] \\ & = -(-6+5-2) = 3 \end{aligned}$
Catatan: Determinan $A_3$ di atas ditentukan dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama.
Jadi, nilai $\boxed{x_3 = 3}$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – SPLTV
Soal Nomor 10
Untuk segitiga pada gambar di bawah, gunakan trigonometri untuk menunjukkan bahwa
$$\begin{aligned} b \cos \gamma + c \cos \beta & = a \\ c \cos \alpha + a \cos \gamma & = b \\ a \cos \beta + b \cos \alpha & = c \end{aligned}$$dan kemudian terapkan aturan Cramer untuk membuktikan bahwa$$\cos \alpha = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$$Lakukan prinsip serupa untuk mencari rumus $\cos \beta$ dan $\cos \gamma.$
Tarik garis tinggi dari salah satu titik sudut seperti berikut.
Dengan menggunakan perbandingan kosinus, kita peroleh
$\cos \alpha = \dfrac{x}{b} \Leftrightarrow \color{blue}{x} = b \cos \alpha$
dan
$\cos \beta = \dfrac{c-x}{a} \Leftrightarrow \color{red}{x} = c-a \cos \beta.$
Oleh karena itu, didapat
$\begin{aligned} \color{blue}{x} & = \color{red}{x} \\ b \cos \alpha & = c-a \cos \beta \\ a \cos \beta + b \cos \alpha & = c && (\cdots 3) \end{aligned}$
Kita sudah mendapatkan persamaan $3$ dan analog dengan cara seperti ini, tetapi dengan melakukan penarikan garis tinggi dari titik sudut yang berbeda, kita juga akan menemukan persamaan $1$ dan $2$, atau secara keseluruhan,
$\begin{aligned} b \cos y + c \cos \beta & = a && (\cdots 1) \\ c \cos \alpha + a \cos \gamma & = b && (\cdots 2) \\ a \cos \beta + b \cos \alpha & = c && (\cdots 3) \end{aligned}$
Anggap ketiga persamaan di atas membentuk SPLTV dengan $\cos \alpha,$ $\cos \beta,$ dan $\cos \gamma$ sebagai variabelnya. Bentuk matriksnya akan menjadi
$\begin{pmatrix} 0 & c & b \\ c & 0 & a \\ b & a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \cos \beta \\ \cos \gamma \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}.$
Determinan matriks koefisien $D$ beserta nilai $D_{\cos \alpha}$, yaitu determinan dari matriks koefisien yang entri kolom pertamanya diganti menjadi $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} D & = \begin{pmatrix} 0 & c & b \\ c & 0 & a \\ b & a & 0 \end{pmatrix} \\ & = 0-c(0-ab)+b(ac-0) \\ & = abc+abc = 2abc \\ D_{\cos \alpha} & = \begin{vmatrix} \color{red}{a} & c & b \\ \color{red}{b} & 0 & a \\ \color{red}{c} & a & 0 \end{vmatrix} \\ & = a(0-a^2)-c(0-ac) + b(ab-0) \\ & = -a^3+ac^2+ab^2 \\ & = a(-a^2+c^2+b^2) \end{aligned}$$Berdasarkan aturan Cramer, kita peroleh
$\begin{aligned} \cos \alpha & = \dfrac{D_{\cos \alpha}}{D} \\ & = \dfrac{\cancel{a}(-a^2+c^2+b^2)}{2\cancel{a}bc} \\ & = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \end{aligned}$
Dengan menerapkan cara yang sama, nilai $D_{\cos \beta}$, yaitu determinan dari matriks koefisien yang entri kolom keduanya diganti menjadi $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} D_{\cos \beta} & = \begin{vmatrix} 0 & \color{red}{a} & b \\ c & \color{red}{b} & a \\ b & \color{red}{c} & 0 \end{vmatrix} \\ & = 0-a(0-ab)+b(c^2-b^2) \\ & = a^2b+b(c^2-b^2) \\ & = b(a^2+c^2-b^2) \end{aligned}$$Berdasarkan aturan Cramer, kita peroleh
$\begin{aligned} \cos \beta & = \dfrac{D_{\cos \beta}}{D} \\ & = \dfrac{\cancel{b}(a^2+c^2-b^2)}{2a\cancel{b}c} \\ & = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \end{aligned}$
Sekali lagi dengan menerapkan cara yang sama, nilai $D_{\cos \gamma}$, yaitu determinan dari matriks koefisien yang entri kolom ketiganya diganti menjadi $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} D_{\cos \gamma} & = \begin{vmatrix} 0 & c & \color{red}{a} \\ c & 0 & \color{red}{b} \\ b & a & \color{red}{c} \end{vmatrix} \\ & = 0(0-ab)-c(c^2-b^2)+a(ac-0) \\ & = -c(c^2-b^2)+a^2c \\ & = c(a^2+b^2-c^2) \end{aligned}$$Berdasarkan aturan Cramer, kita peroleh
$\begin{aligned} \cos \gamma & = \dfrac{D_{\cos \gamma}}{D} \\ & = \dfrac{\cancel{c}(a^2+b^2-c^2)}{2ab\cancel{c}} \\ & = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \end{aligned}$
Jadi, kita telah memperoleh rumus trigonometri yang dikenal sebagai aturan kosinus.
$\boxed{\begin{aligned} \cos \alpha & = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ \cos \beta & = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \\ \cos \gamma & = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \end{aligned}}$
Soal Nomor 11
Gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan $y$ tanpa menyelesaikan untuk $x, z$, dan $w$.
$$\begin{cases} 4x+y+z+w & = 6 \\ 3x+7y-z+w & = 1 \\ 7x+3y-5z+8w & = -3 \\ x+y+z+2w & = 3 \end{cases}$$
Bentuk matriks dari SPLEV di atas adalah sebagai berikut.
$\begin{pmatrix} 4 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 7 & -1 & 1 \\ 7 & 3 & -5 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}$
Dengan demikian, kita akan menentukan nilai determinan matriks koefisien $A$, serta $A_y$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 7 & -1 & 1 \\ 7 & 3 & -5 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \\ \Rightarrow |A| & = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 7 & -1 & 1 \\ 7 & 3 & -5 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \end{aligned}$$Kita akan mencari nilai determinannya menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama.
$$\begin{aligned} |A| & = 4\begin{vmatrix} 7 & -1 & 1 \\ 3 & -5 & 8 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 7 & -5 & 8 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 3 & 7 & 1 \\ 7 & 3 & 8 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 3 & 7 & -1 \\ 7 & 3 & -5 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \\ & = 4\left[7(-10-8)+1(6-8)+1(3+5)\right]-1\left[3(-10-8)+1(14-8)+1(7+5)\right]+\\ & 1\left[3(6-8)-7(14-8)+1(7-3)\right]-1\left[3(3+5)-7(7+5)-1(7-3)\right] \\ & = 4\left[-126-2+8\right]-\left[-54+6+12\right]+\left[-6-42+4\right]-\left[24-84-4\right] \\ & = 4(-120)-(-36)+(-44)-(-64) \\ & = -480+36-44+64 = -444 + 20 = -424 \end{aligned}$$Berikut adalah $A_y$, yaitu matriks koefisien $A$ yang entru kolom keduanya diganti menjadi entri matriks konstanta.
$$\begin{aligned} A_y & = \begin{pmatrix} 4 & \color{red}{6} & 1 & 1 \\ 3 & \color{red}{1} & -1 & 1 \\ 7 & \color{red}{-3} & -5 & 8 \\ 1 & \color{red}{3} & 1 & 2 \end{pmatrix} \\ \Rightarrow |A_y| & = \begin{vmatrix} 4 & 6 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & -1 & 1 \\ 7 & -3 & -5 & 8 \\ 1 & 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} \end{aligned}$$Kita akan mencari nilai determinannya menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE), lalu ekspansi kofaktor.
$$\begin{aligned} & \begin{vmatrix} 4 & 6 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & -1 & 1 \\ 7 & -3 & -5 & 8 \\ 1 & 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} \xrightarrow{\substack{R_1 \leftrightarrow R_4}} \\ & = -\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 & 1 \\ 7 & -3 & -5 & 8 \\ 4 & 6 & 1 & 1 \end{vmatrix} \xrightarrow{\substack{R_2-3R_1 \\ R_3-7R_1 \\ R_4-4R_1}} \\ & = -\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & -8 & -4 & -5 \\ 0 & -24 & -12 & -6 \\ 0 & -6 & -3 & -7 \end{vmatrix} \\ & = -\mathtip{\begin{vmatrix} -8 & -4 & -5 \\ -24 & -12 & -6 \\ -6 & -3 & -7 \end{vmatrix}}{\text{Hasil ekspansi ko}\text{faktor}~\text{sepanjang kolom pertama}} \\ & = -(-1)(-6)(-1) \begin{vmatrix} 8 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 1 \\ 6 & 3 & 7 \end{vmatrix} \\ & = 6\left[8(14-3)-4(28-6)+5(12-12)\right] \\ & = 6(88-88+0) = 0 \end{aligned}$$Berdasarkan aturan Cramer, kita peroleh penyelesaian untuk $y$ dari SPLEV tersebut sebagai berikut.
$\boxed{y= \dfrac{|A_y|}{|A|} = \dfrac{0}{-424} = 0}$