Materi, Soal, dan Pembahasan – Peluang Bersyarat

Misalkan kita menggulirkan sekeping koin (dengan sisi angka $A$ dan gambar $G$) sebanyak tiga kali. Delapan keluaran yang dihasilkan memiliki kemungkinan yang sama untuk terjadi. Misalkan $F$ menyatakan kejadian munculnya sisi gambar pada guliran pertama. Jika diketahui informasi seperti itu, berapa peluang terjadinya $E,$ yaitu kejadian munculnya sisi gambar sebanyak ganjil. Karena guliran pertama menghasilkan sisi gambar, hanya ada 4 keluaran yang mungkin: $GGG,$ $GGA,$ $GAG,$ dan $GAA.$ Keluaran yang sisi gambarnya muncul sebanyak ganjil hanya $GGG$ dan $GAA.$ Karena setiap keluaran memiliki kemungkinan yang sama untuk terjadi, masing-masing keluaran pada $F$ adalah $\dfrac14.$ Akibatnya, peluang $E$ dengan syarat $F$ terjadi adalah $\dfrac24 = \dfrac12.$ Peluang seperti kasus ini disebut peluang bersyarat dari $E$ diberikan $F.$ Dari sini, kita dapat membuat definisi berikut.

Definisi: Peluang Bersyarat

Misalkan $E$ dan $F$ merupakan kejadian dengan $p(F) > 0.$ Peluang bersyarat dari $E$ diberikan $F$ (conditional probability of $E$ given $F$), dinotasikan oleh $p(E \mid F),$ didefinisikan sebagai $$p(E \mid F) = \dfrac{p(E \cap F)}{p(F)}.$$

Notasi $P(E \mid F)$ perlu dipahami dengan baik. Di sini kita mempertanyakan: jika keluaran dari suatu percobaan memenuhi $F,$ lantas seberapa sering keluaran tersebut juga memenuhi $E$? Dengan kata lain, kita menghitung seberapa sering kemunculan $E$ ketika $F$ sudah terjadi dulu. Bedakan kasus ini dengan soal yang menanyakan seberapa sering $E$ dan $F$ terjadi secara bersamaan.

Adapun sifat-sifat peluang bersyarat yang dapat diturunkan dari definisi tersebut adalah sebagai berikut.

Sifat-Sifat Peluang Bersyarat

Misalkan $E$ dan $F$ merupakan kejadian dalam ruang sampel $S$ dengan $p(F) > 0.$

  1. Jika $E \subseteq F,$ maka $E \cap F = E$ sehingga $p(E \mid F) = \dfrac{p(E)}{p(F)}.$
  2. Jika $F \subseteq E,$ maka $E \cap F = F$ sehingga $p(E \mid F) = \dfrac{p(F)}{p(F)} = 1.$

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang (Tingkat SMP/Sederajat) 

Perhatikan juga bahwa dari definisi peluang bersyarat tersebut, dapat kita peroleh
$$\begin{aligned} p(E \mid F) & = \dfrac{p(E \cap F)}{p(F)} \\ & = \dfrac{n(E \cap F)/n(S)}{n(F)/n(S)} \\ & = \dfrac{n(E \cap F)}{n(F)} \end{aligned}$$dengan $n(S)$ menyatakan banyak anggota ruang sampel secara keseluruhan.

Mari Menganalisis!

Perhatikan dua persoalan berikut.
Soal 1: Satu dadu setimbang digulir dua kali. Berapa peluang kejadian munculnya jumlah mata dadu lebih dari $10$ jika mata dadu guliran pertama harus $6$?
Soal 2: Satu dadu setimbang digulir dua kali. Berapa peluang kejadian munculnya jumlah mata dadu lebih dari $10$ jika diketahui bahwa mata dadu guliran pertama $6$?

Menurutmu, apakah dua persoalan itu memiliki makna yang sama?

Jika dicermati dengan seksama, soal 1 mengindikasikan bahwa kita belum menggulirkan dadu itu sama sekali, sedangkan soal 2 mengindikasikan bahwa dadu telah digulirkan sekali dan keluar mata dadu $6.$

Misalkan $E$ menyatakan kejadian munculnya jumlah mata dadu lebih dari $10$ dan $F$ menyatakan kejadian munculnya mata dadu $6$ pada guliran pertama.
Ini berarti $$E = \{(5, 6), (6, 5), (6, 6)\}$$dan $$F = \{(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$$sehingga $n(E) = 3$ dan $n(F) = 6.$ Soal 1 menanyakan peluang dari $E \cap F = \{(6, 5), (6, 6)\},$ yaitu $p(E \cap F) = \dfrac{n(E \cap F)}{n(S)} = \dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{18}.$ Berbeda dengan itu, soal 2 menanyakan peluang munculnya kejadian $E$ jika $F$ telah terjadi, yaitu $$p(E \mid F) = \dfrac{n(E \cap F)}{n(F)} = \dfrac{2}{6} = \dfrac13.$$

Contoh lain diberikan sebagai berikut. Misalkan terdapat suatu keluarga dengan dua anak. Berapa peluang bersyarat kejadian keluarga tersebut memiliki dua anak laki-laki jika diketahui keluarga itu memiliki minimal seorang anak laki-laki? Asumsikan setiap keluaran $LL, LP,$ $PL,$ dan $PP$ memiliki kemungkinan yang sama, dengan $L$ dan $P$ berturut-turut merepresentasikan anak laki-laki dan anak perempuan. Notasi $LP$ menyatakan bahwa keluarga itu memiliki anak pertama berjenis kelamin laki-laki dan anak keduanya perempuan. Sebaliknya, $PL$ menyatakan bahwa keluarga itu memiliki anak pertama berjenis kelamin perempuan dan anak keduanya laki-laki.

Solusi: Misalkan $E$ menyatakan kejadian keluarga tersebut memiliki dua anak dengan jenis kelamin laki-laki. Misalkan juga $F$ menyatakan kejadian keluarga tersebut memiliki dua anak dengan paling sedikit ada seorang anak laki-laki. Ini berarti $E = \{LL\},$ $F = \{LL, LP, PL\},$ dan $E \cap F = \{LL\}.$ Karena setiap keluaran memiliki kemungkinan yang sama, diperoleh $p(F) = \dfrac34$ dan $p(E \cap F) = \dfrac14$ sehingga disimpulkan bahwa $$p(E \mid F) = \dfrac{p(E \cap F)}{p(F)} = \dfrac{1/4}{3/4} = \dfrac13.$$

Tinjau kembali eksperimen pengguliran koin sebanyak tiga kali. Apakah dengan mengetahui kemunculan angka pada guliran pertama (kejadian $E$), peluang angka muncul sebanyak ganjil (kejadian $F$) akan berubah? Dengan kata lain, apakah benar bahwa $p(E \mid F) = p(E)$? Persamaan ini berlaku untuk kejadian $E$ dan $F$ karena $p(E \mid F) = \dfrac12$ dan $p(E) = \dfrac12.$ Oleh karena itu, kita sebut $E$ dan $F$ sebagai kejadian yang bebas. Ketika dua kejadian bebas, terjadinya salah satu kejadian tidak memberi informasi apa pun tentang peluang terjadinya kejadian lain. Karena $p(E \mid F) = \dfrac{p(E \cap F)}{p(F)},$ menanyakan apakah $p(E \mid F) = p(E)$ sama artinya dengan menanyakan apakah $p(E \cap F) = p(E) \cdot p(F).$ Ini menjadi latar belakang terciptanya definisi kejadian yang bebas berikut.

Definisi: Kejadian yang Bebas

Dua kejadian $E$ dan $F$ dikatakan bebas (independent) jika $p(E \cap F) = p(E) \cdot p(F).$ Sebaliknya, $E$ bergantung (dependent) dengan $F$ (atau sebaliknya) jika $p(E \cap F) \neq p(E) \cdot p(F).$

Definisi: Bebas Berpasangan dan Saling Bebas

Kejadian $E_1, E_2, \cdots, E_n$ dikatakan bebas berpasangan (pairwise independent) jika $p(E_i \cap E_j) = p(E_i) \cdot p(E_j)$ untuk setiap bilangan bulat $i$ dan $j$ dengan $1 \leq i < j \leq n.$ Kejadian-kejadian tersebut dikatakan saling bebas (mutually independent) jika $$p(E_{i_1} \cap (E_{i_2}) \cap \cdots \cap E_{i_m}) = p(E_{i_1}) \cdot p(E_{i_2}) \cdot \cdots \cdot p(E_{i_m})$$ untuk setiap $i_j$ dengan $j \in \{1, 2, \cdots, m\}$ dan memenuhi $$1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_m \le n$$serta $m \ge 2.$

Dari definisi di atas, dapat diketahui bahwa kejadian-kejadian yang saling bebas pasti juga membentuk kejadian yang bebas berpasangan. Namun, hal demikian tidak berlaku untuk sebaliknya.

Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Salah satu sumber yang digunakan adalah buku “Discrete Mathematics and Its Applications” yang ditulis oleh Kenneth H. Rosen. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.

$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Peluang} & \text{Probability} \\ 2. & \text{Kemungkinan} & \text{Possibility} \\ 3. & \text{Keluaran} & \text{Outcome} \\ 4. & \text{Peluang Bersyarat} & \text{Conditional Probability} \\ 5. & \text{Untaian Bit} & \text{Bitstring} \\ 6. & \text{Bebas} & \text{Independent} \\ 7. & \text{Bergantung} & \text{Dependent} \\ 8. & \text{Setimbang}  & \text{Fair}  \\ 9. & \text{Bias}  & \text{Biased} \\ 10. & \text{Berkecenderungan Sama} & \text{Equally Likely} \\ 11. & \text{Ruang Sampel} & \text{Sample Space} \\ 12. & \text{Kejadian} & \text{Event} \\\ 13. & \text{Bebas Berpasangan} & \text{Pairwise Independent} \\ 14. & \text{Saling Bebas} & \text{Mutually Independent} \\ \hline \end{array}$$

Today Quote

Share your progress, not your goals, and you’ll always be motivated.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Seorang pembina olimpiade dari suatu sekolah akan memilih satu siswa untuk mengikuti lomba cerdas cermat. Ada 7 siswa laki-laki yang memenuhi kriteria: 3 dari kelas A dan 4 sisanya dari kelas B. Selain itu, ada 8 siswa perempuan yang memenuhi kriteria: 5 dari kelas A dan 3 sisanya dari kelas B. Karena alasan tertentu, pembina olimpiade tersebut hanya memilih siswa dari kelas B. Jika setiap siswa memiliki peluang yang sama untuk dipilih, peluang terpilihnya siswa perempuan adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac15$                      C. $\dfrac37$                     E. $\dfrac38$
B. $\dfrac17$                      D. $\dfrac47$

Pembahasan

Pada kasus ini, terpilihnya siswa perempuan terjadi setelah siswa di kelas B yang terpilih. Oleh karena itu, ini termasuk kasus peluang bersyarat.
Misalkan $E$ menyatakan kejadian terpilihnya seorang siswa perempuan. Misalkan juga $F$ menyatakan kejadian terpilihnya seorang siswa dari kelas B. Ini berarti $n(F) = 3 + 4 = 7$ dan $n(E \cap F) = 3.$ Dengan demikian, diperoleh $$p(E \mid F) = \dfrac{n(E \mid F)}{n(F)} = \dfrac{3}{7}.$$Jadi, peluang terpilihnya siswa perempuan dengan kondisi seperti itu adalah $\boxed{\dfrac37}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang dan Kombinatorika (Tingkat SMA)

Soal Nomor 2

Dua dadu setimbang digulir secara bersamaan. Jika jumlah mata dadu yang muncul kurang dari $4,$ peluang bahwa mata dadu pertama sama dengan $1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac13$                        C. $\dfrac16$                        E. $\dfrac{1}{18}$
B. $\dfrac23$                       D. $\dfrac{1}{12}$

Pembahasan

Pada eksperimen ini, kemunculan mata dadu pertama sama dengan $1$ terjadi setelah kemunculan jumlah mata dadu kurang dari $4.$ Oleh karena itu, ini merupakan kasus peluang bersyarat.
Misalkan $E$ menyatakan kejadian munculnya mata dadu pertama sama dengan $1.$ Misalkan juga $F$ menyatakan kejadian munculnya jumlah mata dadu kurang dari $4.$ Ini berarti $$F = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1)\}$$dan $$E \cap F = \{(1, 1), (1, 2)\}$$sehingga $n(F) = 3$ dan $n(E \cap F) = 2.$ Dengan demikian, diperoleh $$p(E \mid F) = \dfrac{n(E \mid F)}{n(F)} = \dfrac{2}{3}.$$Jadi, peluang bahwa mata dadu pertama sama dengan $1$ jika jumlah mata dadu yang muncul kurang dari $4$ adalah $\boxed{\dfrac23}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3

Dua dadu bersisi enam yang setimbang digulir secara bersamaan. Peluang munculnya jumlah mata dadu lebih besar dari $9$ dengan syarat mata dadu pertama $5$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac12$                          C. $\dfrac14$                   E. $\dfrac{1}{18}$
B. $\dfrac13$                          D. $\dfrac16$        

Pembahasan

Misalkan $E$ menyatakan kejadian munculnya jumlah mata dadu lebih besar dari $9.$ Misalkan juga $F$ menyatakan kejadian munculnya mata dadu pertama $5,$ yaitu $\{(5, 1), (5, 2), \cdots, (5, 6)\}.$ Dengan demikian, diperoleh $E \cap F = \{(5, 5), (5, 6)\}.$ Ini berarti $p(F) = \dfrac{6}{6^2} = \dfrac{1}{6}$ dan $p(E \cap F) = \dfrac{2}{6^2} = \dfrac{1}{18}$ sehingga $$p(E \mid F) = \dfrac{p(E \cap F)}{p(F)} = \dfrac{1/18}{1/6} = \dfrac13.$$Jadi, peluang munculnya jumlah mata dadu lebih besar dari $9$ dengan syarat mata dadu pertama $5$ adalah $\boxed{\dfrac13}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4

Misalkan terdapat $2$ sesi dalam suatu pertandingan. Masing-masing sesi terdiri dari $76$ babak. Jika pemain menang saat babak pertama sesi pertama, ia berhak melanjutkan ke babak pertama sesi kedua, dan seterusnya. Seorang pemain diketahui telah memenangkan $30$ babak pada sesi pertama. Pada sesi kedua, $15$ babak berhasil ia menangkan. Peluang pemain tersebut memenangkan babak pada sesi kedua setelah ia memenangkan babak pada sesi pertama adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{45}{76}$                       C. $\dfrac{15}{76}$                     E. $\dfrac{8}{30}$
B. $\dfrac{30}{76}$                       D. $\dfrac{15}{30}$    

Pembahasan

Misalkan $E$ menyatakan kejadian pemain tersebut memenangkan babak pada sesi pertama. Misalkan juga $F$ menyatakan kejadian pemain tersebut memenangkan babak pada sesi kedua (yang berarti ia harus memenangkan babak pada sesi pertama terlebih dahulu). Dengan demikian, diperoleh $n(E) = 30$ dan $n(F \cap E) = 15$ sehingga $p(F \mid E) = \dfrac{n(F \cap E)}{n(E)} =\dfrac{15}{30}.$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5

Peluang seorang dokter mendiagnosis suatu penyakit secara benar sama dengan $0,\!75.$ Jika peluang pasien akan menuntut dokter itu setelah dokter itu salah mendiagnosis penyakit sebesar $0,\!92,$ maka peluang dokter itu salah mendiagnosis dan dituntut oleh pasien adalah $\cdots \cdot$
A. $0,\!06$                        D. $0,\!69$
B. $0,\!23$                        E. $0,\!92$
C. $0,\!25$

Pembahasan

Kasus ini termasuk kasus peluang bersyarat karena kejadian bahwa pasien akan menuntut dokter terjadi setelah kejadian dokter tersebut salah mendiagnosis penyakit.
Misalkan $E$ menyatakan kejadian bahwa pasien akan menuntut dokter. Misalkan juga $F$ menyatakan kejadian dokter salah mendiagnosis penyakit. Diketahui bahwa peluang seorang dokter mendiagnosis suatu penyakit secara benar sama dengan $p(F^c) = 0,\!75.$  Ini berarti $p(F) = 1-p(F^c) = 1-0,\!75 = 0,\!25$ dan $p(E \mid F) = 0,\!92.$ Dengan demikian, diperoleh 
$$\begin{aligned} p(E \mid F) & = \dfrac{p(E \cap F)}{p(F)} \\ 0,\!92 & = \dfrac{p(E \cap F)}{0,\!25} \\ p(E \cap F) & = 0,\!92 \cdot 0,\!25 = 0,\!23. \end{aligned}$$Jadi, peluang dokter itu salah mendiagnosis dan dituntut oleh pasien adalah $\boxed{0,\!23}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Prinsip Sarang Merpati – Materi, Soal, dan Pembahasan 

Soal Nomor 6

Sekeping koin dengan sisi angka dan gambar ditos sebanyak $5$ kali. Peluang kejadian munculnya tepat $4$ kali sisi angka jika telah dipastikan bahwa pada pengetosan pertama muncul sisi angka adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac18$                        C. $\dfrac14$                       E. $\dfrac34$
B. $\dfrac16$                        D. $\dfrac12$ 

Pembahasan

Misalkan $E$ menyatakan kejadian munculnya tepat $4$ kali sisi angka. Misalkan juga $F$ menyatakan kejadian munculnya sisi angka pada pengetosan pertama. Ini berarti $n(F) = 1 \times 2^4 = 16$ dan $n(E \cap F) = 4$ karena banyak susunan agar muncul tepat tiga angka tersisa pada empat pengetosan berikutnya adalah $4.$ Dengan demikian, didapat $p(E \mid F) = \dfrac{n(E \cap F)}{n(F)} = \dfrac{4}{16} = \dfrac14.$
Jadi, peluang kejadian munculnya tepat $4$ kali sisi angka jika telah dipastikan bahwa pada pengetosan pertama muncul sisi angka adalah $\boxed{\dfrac14}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7

Sebuah keluarga terdiri dari $5$ orang. Diketahui bahwa anggota keluarga dengan usia paling tua berjenis kelamin laki-laki. Peluang kejadian bahwa anggota keluarga itu terdiri dari sejumlah laki-laki dan sejumlah perempuan adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac12$                          C. $\dfrac14$                         E. $\dfrac35$
B. $\dfrac13$                          D. $\dfrac23$   

Pembahasan

Misalkan $E$ menyatakan kejadian bahwa anggota keluarga dengan usia paling tua berjenis kelamin laki-laki. Misalkan juga $F$ menyatakan kejadian bahwa anggota keluarga itu terdiri dari sejumlah laki-laki dan sejumlah perempuan. Ini $n(F) = 2^5-2 = 30$ yang didapat dari banyaknya susunan $5$ anggota keluarga berdasarkan jenis kelamin dikurangi dengan banyaknya kejadian semua anggota keluarganya laki-laki atau perempuan. Selain itu, $n(E \cap F) = 2^4-1 = 15$ yang didapat dari banyaknya susunan $4$ anggota keluarga tersisa berdasarkan jenis kelamin dikurangi dengan banyaknya kejadian ketika $4$ anggota keluarga tersisa berjenis kelamin laki-laki semua.
Dengan demikian, diperoleh $p(E \mid F) = \dfrac{n(E \cap F)}{n(F)} = \dfrac{15}{30} = \dfrac12.$ Jadi, peluang kejadian bahwa anggota keluarga itu terdiri dari sejumlah laki-laki dan sejumlah perempuan adalah $\boxed{\dfrac12}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Peluang Binomial

Soal Nomor 8

Sekeping koin dengan sisi angka dan gambar ditos sebanyak $5$ kali. Peluang kejadian munculnya tepat $4$ kali sisi angka jika telah dipastikan bahwa pada pengetosan pertama muncul sisi angka adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac18$                         C. $\dfrac14$                     E. $\dfrac34$
B. $\dfrac16$                         D. $\dfrac12$   

Pembahasan

Misalkan $E$ menyatakan kejadian munculnya tepat $4$ kali sisi angka. Misalkan juga $F$ menyatakan kejadian munculnya sisi angka pada pengetosan pertama. Ini berarti $n(F) = 1 \times 2^4 = 16$ dan $n(E \cap F) = 4$ karena banyak susunan agar muncul tepat tiga angka tersisa pada empat pengetosan berikutnya adalah $4.$ Dengan demikian, didapat $p(E \mid F) = \dfrac{n(E \cap F)}{n(F)} = \dfrac{4}{16} = \dfrac14.$
Jadi, peluang kejadian munculnya tepat $4$ kali sisi angka jika telah dipastikan bahwa pada pengetosan pertama muncul sisi angka adalah $\boxed{\dfrac14}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9

Sebuah keluarga terdiri dari $5$ orang. Diketahui bahwa anggota keluarga dengan usia paling tua berjenis kelamin laki-laki. Peluang kejadian bahwa anggota keluarga itu terdiri dari sejumlah laki-laki dan sejumlah perempuan adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac12$                       C. $\dfrac14$                      E. $\dfrac35$
B. $\dfrac13$                       D. $\dfrac23$   

Pembahasan

Misalkan $E$ menyatakan kejadian bahwa anggota keluarga dengan usia paling tua berjenis kelamin laki-laki. Misalkan juga $F$ menyatakan kejadian bahwa anggota keluarga itu terdiri dari sejumlah laki-laki dan sejumlah perempuan. Ini $n(F) = 2^5-2 = 30$ yang didapat dari banyaknya susunan $5$ anggota keluarga berdasarkan jenis kelamin dikurangi dengan banyaknya kejadian semua anggota keluarganya laki-laki atau perempuan. Selain itu, $n(E \cap F) = 2^4-1 = 15$ yang didapat dari banyaknya susunan $4$ anggota keluarga tersisa berdasarkan jenis kelamin dikurangi dengan banyaknya kejadian ketika $4$ anggota keluarga tersisa berjenis kelamin laki-laki semua.
Dengan demikian, diperoleh $p(E \mid F) = \dfrac{n(E \cap F)}{n(F)} = \dfrac{15}{30} = \dfrac12.$ Jadi, peluang kejadian bahwa anggota keluarga itu terdiri dari sejumlah laki-laki dan sejumlah perempuan adalah $\boxed{\dfrac12}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 10

Untaian bit dengan panjang empat dibangkitkan secara acak sehingga masing-masing dari $16$ untaian bit berbeda yang terbentuk memiliki kemungkinan yang sama untuk muncul. Peluang kejadian terbentuknya untaian bit yang memuat setidaknya dua bit $0$ secara berturut-turut jika diberikan bit pertama $0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{11}{16}$                       C. $\dfrac58$                      E. $\dfrac12$
B. $\dfrac{5}{16}$                       D. $\dfrac34$        

Pembahasan

Misalkan $E$ menyatakan kejadian terbentuknya untaian bit dengan panjang empat yang memuat paling sedikit dua bit $0$ secara berturut-turut. Misalkan juga $F$ menyatakan kejadian terbentuknya untaian bit dengan panjang empat yang bit pertamanya $0.$ Karena $E \cap F = \{0000, 0001, 0010, 0011, 0100\},$ diperoleh $p(E \cap F) = \dfrac{5}{16}.$ Karena ada $8$ untaian bit dengan panjang empat yang bit pertamanya $0,$ diperoleh $p(F) = \dfrac{8}{16} = \dfrac12.$ Akibatnya, $p(E \mid F) = \dfrac{5/16}{1/2} = \dfrac58.$
Jadi, Peluang kejadian terbentuknya untaian bit yang memuat setidaknya dua bit $0$ secara berturut-turut jika diberikan bit pertama $0$ adalah $\boxed{\dfrac58}$
(Jawaban C)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Dragon Air merupakan nama salah satu maskapai pesawat di negeri Konoha. Peluang pesawat Dragon Air berangkat tepat waktu sesuai jadwal adalah $0,\!90,$ sedangkan peluang pesawat itu tiba tepat waktu adalah $0,\!80.$ Selain itu, diketahui pula bahwa peluang pesawat Dragon Air berangkat dan tiba tepat waktu adalah $0,\!75.$

  1. Tentukan peluang pesawat Dragon Air tiba tepat waktu jika diketahui pesawat itu berangkat tepat waktu.
  2. Apakah kejadian bahwa pesawat Dragon Air berangkat dan tiba tepat waktu merupakan kejadian yang bebas? Jelaskan.

Pembahasan

Misalkan $E$ menyatakan kejadian bahwa pesawat Dragon Air berangkat tepat waktu. Misalkan juga $F$ menyatakan kejadian bahwa pesawat Dragon Air tiba tepat waktu. Diketahui $p(E) = 0,\!90,$ $p(F) = 0,\!80,$ dan $p(E \cap F) = 0,\!75.$
Jawaban a)
Karena kejadian pesawat Dragon Air tiba tepat waktu terjadi setelah pesawat itu berangkat tepat waktu, ini merupakan kasus peluang bersyarat.
$$\begin{aligned} p(F \mid E) & = \dfrac{p(E \cap F)}{p(E)} \\ & = \dfrac{0,\!75}{0,\!90} \\ & \approx 0,\!833 \end{aligned}$$Jadi, peluang pesawat Dragon Air tiba tepat waktu jika diketahui pesawat itu berangkat tepat waktu adalah $\boxed{0,\!833}$
Jawaban b)
Perhatikan bahwa $p(E) = 0,\!90,$ $p(F) = 0,\!80,$ dan $p(E \cap F) = 0,\!75.$ Karena $0,\!90 \cdot 0,\!80 = \!0,72 \neq 0,\!75,$ disimpulkan bahwa $p(E) \cdot p(F) \neq p(E \cap F).$ Dengan kata lain, kejadian bahwa pesawat Dragon Air berangkat dan tiba tepat waktu merupakan kejadian yang tidak bebas.

[collapse]

Soal Nomor 2

Misalkan $E$ merupakan kejadian dibangkitkannya untaian biner dengan panjang $4$ yang diawali oleh bit $1$ dan $F$ merupakan kejadian bahwa untaian biner tersebut memuat bit $1$ sebanyak genap. Apakah $E$ dan $F$ bebas? Asumsikan bahwa $16$ untaian biner dengan panjang empat berkecenderungan sama.

Pembahasan

Ada $8$ untaian biner dengan panjang $4$ yang diawali oleh bit $1.$
$$\begin{array}{cc} \hline 1000 & 1001 \\ 1010 & 1100 \\ 1011 & 1101 \\ 1110 & 1111 \\ \hline \end{array}$$Selain itu, ada $8$ untaian biner dengan panjang $4$ yang memuat bit $1$ sebanyak genap.
$$\begin{array}{cc} \hline 1111 & 0000 \\ 1100 & 1010  \\ 1001 & 0110 \\ 0101 & 0011 \\ \hline \end{array}$$Karena untaian biner dengan panjang empat ada sebanyak $2^4 = 16,$ diperoleh $p(E) = p(F) = \dfrac{8}{16} = \dfrac12.$
Karena $$E \cap F = \{1111, 1100, 1010, 1001\},$$didapat $p(E \cap F) = \dfrac{4}{16} = \dfrac14.$
Karena $$p(E \cap F) = \dfrac14 = \dfrac12 \cdot \dfrac12 = p(E) \cdot p(F),$$disimpulkan bahwa $E$ dan $F$ merupakan kejadian yang bebas.

[collapse]