Soal Babak Final Mathematics Competition (MC) LIMAS Ke-6 Tingkat SMP Beserta Pembahasannya

Diketahui
$a^2 = 7b + 51 (\cdots 1)$
$b^2 = 7a + 51 (\cdots 2)$
Kurangi persamaan $1$ dan $2$, sehingga diperoleh
$a^2 – b^2 = 7b – 7a$
$(a+b)(a-b) = -7(a – b)$
$a + b = -7$
Jumlahkan persamaan $1$ dan $2$, sehingga diperoleh
$a^2 + b^2 = 7a + 7b + 51 + 51$
$(a + b)^2 – 2ab = 7(a+b) + 102$
$(-7)^2 – 2ab = 7(-7) + 102$
$49 – 2ab = 53$
$ab = -2$
Jadi, hasil dari $ab$ adalah $\boxed{-2}.

Faktorkan persamaan yang diberikan seperti berikut.
$(a + b)^2 – 2ab = 6ab$
$(a+b)^2 = 8ab$
$a + b = \sqrt{8ab}$
Di lain sisi, persamaan di atas juga dapat difaktorkan seperti berikut.
$(a-b)^2 + 2ab = 6ab$
$(a-b)^2 = 4ab$
$a-b = \sqrt{4ab}$
Dengan demikian,
$\dfrac{a+b}{a-b} = \dfrac{\sqrt{8\cancel{ab}}}{\sqrt{4\cancel{ab}}} = \sqrt2$
Jadi, nilai dari $\dfrac{a+b}{a-b}$ adalah $\boxed{\sqrt{2}}$

Dengan memperhatikan jalur masuk dan keluar (yang pusatnya berada di daerah perempatan setiap celah), kita peroleh
$s_8 + 34 = 50 + 40 \Leftrightarrow s_8 = 56$
$s_7 + s_8 = 24 + 56 \Leftrightarrow s_7 + 56 = 24 + 56 \Leftrightarrow s_7= 24$
$s_6 + s_7 = 15 + 16 \Leftrightarrow s_6 + 24 = 31 \Leftrightarrow s_6 = 7$
$s_5 + 19 = s_6 + 34 \Leftrightarrow s_5 + 19 = 7 + 34 \Leftrightarrow s_5 = 22$
$s_4 + 39 = 34 + s_5 \Leftrightarrow s_4 + 39 = 34 + 22 \Leftrightarrow s_4 = 17$
$s_3 + s_4 = 50 + 30 \Leftrightarrow s_3 + 17 = 80 \Leftrightarrow s_3 = 63$
$s_2 + s_3 = 36 + 41 \Leftrightarrow s_2 + 63 = 77 \Leftrightarrow s_2 = 14$
$\boxed{s_1 + 28 = 39 + s_2 \Leftrightarrow s_1 + 28 = 39 + 14 \Leftrightarrow s_1 = 25}$
Jadi, nilai $s_1$ adalah $\boxed{25}$.

Dengan cara looking backward, alur pengerjaan dimulai dari bawah ke atas.
$f(31) = f(30 + 1) = f(30) + 2 \times 30 + 1$
Cari nilai $f(30)$
$f(30) = f(2 \times 15) = 4f(15) – 1$
Cari nilai $f(15)$
$f(15) = f(14 + 1) = f(14) + 2 \times 14 + 1$
Cari nilai $f(14)$
$f(14) = f(2 \times 7) = 4f(7)-1$
Cari nilai $f(7)$
$f(7) = f(6 + 1) = f(6) + 2 \times 6 + 1$
Cari nilai $f(6)$
$f(6) = f(2 \times 3) = 4f(3)-1$
Cari nilai $f(3)$
$f(3) = f(2 + 1) = f(2) + 2 \times 2 + 1$
Cari nilai $f(2)$
$f(2) = f(2 \times 1) = 4f(1)-1$
Selanjutnya, mulai dengan mensubstitusikan $f(1) = 2$, kita peroleh secara berkelanjutan (dari bawah ke atas),
$f(2) = 4(2) – 1 = 7$
$f(3) = 7 + 4 + 1 =12$
$f(6) = 4(12) – 1 = 47$
$f(7) = 47 + 12 + 1 = 60$
$f(14) = 4(60) – 1 = 239$
$f(15) = 239 + 28 + 1 = 268$
$f(30) = 4(268 – 1) = 1071$
$f(31) = 1071 + 60 + 1 = 1132$
Jadi, nilai dari $f(31)$ adalah $\boxed{1132}$.

Misalkan $x = 2018^{2017 – 6}$, berarti $\dfrac{1}{x} = 2018^{6 – 2017}$, sehingga
$\dfrac{1}{1 + 2018^{2017 – 6}} + \dfrac{1}{1 + 2018^{6 – 2017}} = \dfrac{1}{1 + x} + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}}$
$= \dfrac{1}{1+x} + \dfrac{x}{x+1}$
$=  \dfrac{1+x}{1+x} = 1$
Jadi, nilai dari $\dfrac{1}{1 + 2018^{2017 – 6}} + \dfrac{1}{1 + 2018^{6 – 2017}}$ adalah $\boxed{1}$.

Jumlahkan persamaan $1$ dan $2$, diperoleh
$10a + 7b + 4c + 7d = 26~~~(\cdots 5)$
Kurangi persamaan 5 dengan 3, diperoleh
$5a + 5b + 2c + 6d = 6~~~(\cdots 6)$
Terakhir, kurangi persamaan $6$ dengan $4$, diperoleh
$a + b + c + d = -9$
Jadi, nilai dari $a + b + c + d$ adalah $\boxed{-9}$.

Selesaikan sistem persamaan $\begin{cases} 2x + y – 6 = 0 \\ 2x + 2y – 3 =  0 \end{cases}$ untuk mendapatkan titik potong kedua garisnya. Titik potong kedua garis itu adalah $A\left(\dfrac{9}{2}, -3\right)$. Selanjutnya, perhatikan gambar berikut.

$AD$ adalah garis tinggi segitiga dari titik sudut $A$ (dalam hal ini, kita harus menentukan gradien garis yang melalui titik $A$ dan $D$, lalu mencari persamaan garisnya). Misal garis yang melalui $B$ dan $C$ bergradien $m_{BC}$, sehingga $m_{BC} = \dfrac{2 – 1}{1 – 0} = 1$. Misalkan juga gradien garis yang melalui $A$ dan $D$ adalah $m_{AD}$, berarti $m_{BC} \times m_{AD} = -1$ (karena $AD \perp BC$), yang mengakibatkan $m_{AD} = -1$. Persaman garis yang melalui titik $A\left(\dfrac{9}{2}, -3\right)$ dan bergradien  $-1$ adalah
$y = m(x-x_1) + y_1$
$y = -1\left(x – \dfrac{9}{2}\right) – 3$
$\Leftrightarrow \boxed{2y + 2x – 3 = 0}$
Jadi, persamaan garis tinggi dari titik sudut $A$ pada segitiga $ABC$ adalah $\boxed{2y + 2x – 3 = 0}$

$x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat $x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$
Kasus Supri: Misalkan persamaan kuadrat yang ditulis Supri adalah $ax^2 + bx + c = 0$ dengan akar $x_1 = 6$ dan $x_2 = 2$. Dengan demikian,
$x_1 + x_2 = 6 + 2 = 8$
$x_1 \times x_2 = 6 \times 2 = 12$
Persamaan kuadratnya adalah $x^2 – 8x + 12 = 0$. Karena Supri hanya melakukan kesalahan penulisan pada konstanta, maka kita peroleh $a = 1$ dan $b = -8$. Ini berarti, persamaan kuadrat yang sebenarnya berbentuk $x^2 – 8x + c = 0$
Kasus Sunarti: Akar persamaan kuadrat yang didapat Sunarti adalah $x_1 = -7$ dan $x_2 = -1$. Berarti,
$x_1 + x_2 = -7 + (-1) = -8$
$x_1 \times x_2 = -7 \times (-1) = 7$
Dengan demikian, persamaan kuadrat yang didapat Sunarti adalah $x^2 + 8x + 7 = 0$. Karena Sunarti hanya melakukan kesalahan penulisan pada koefisien $x$, maka dari sini kita peroleh $a = 1$ dan $c = 7$. Jadi, persamaan kuadrat yang sebenarnya adalah $\boxed{x^2 – 8x + 7 = 0}$

$\dfrac{2018}{1 \times 2}+\dfrac{2018}{2 \times 3}+ \cdots + \dfrac{2018}{2017 \times 2018}$
$=\left(\dfrac{2018}{1} – \dfrac{2018}{2}\right) + \left(\dfrac{2018}{2} – \dfrac{2018}{3}\right) + \cdots + \left(\dfrac{2018}{2017} – \dfrac{2018}{2018}\right)$
$= 2018 – 1 = 2017$
Jadi, nilai dari $\dfrac{2018}{1 \times 2}+\dfrac{2018}{2 \times 3}+ \cdots + \dfrac{2018}{2017 \times 2018}$ adalah $\boxed{2017}$.

Konversi satuan minyak dalam liter: $287~\text{m}^3 = 287.000~\text{liter}$
Perbandingan banyak minyak untuk toko $A : B : C = 9 : 15 : 17$.
Banyak minyak yang didapat toko $B$ adalah
$\dfrac{15}{9+15+17} \times 287.000 = 105.000~\text{liter}$
Harga jual minyak = $15.000 \times 105.000 = Rp.1.575.000.000$
Gunakan konsep harga jual, untung, dan harga beli:
Harga jual = untung + harga beli
Harga jual = $\dfrac{25}{100} \times$ harga beli + harga beli
Harga jual = $\dfrac{5}{4} \times$ harga beli
Harga beli = $\dfrac{4}{5} \times$ harga jual
$= \dfrac{4}{5} \times 1.575.000.000 = 1.260.000.000$
Untung = harga jual – harga beli = $1.575.000.000 – 1.260.000.000$
Untung = $315.000.000$
Jadi, keuntungan yang didapat toko $B$ atas hasil penjualan minyak adalah Rp315.000.000,00.

Misalkan $x$ menyatakan banyak sangkar, sedangkan $y$ menyatakan banyak burung.
Kasus I: Setiap sangkar dimasukkan $7$ ekor burung.
Perhatikan bagan yang menyatakan hubungan banyak sangkar dan burung berikut.
$\begin{array}{ccc} x & y \\ 1 & 7 + 1 = 8 \\ 2 & 14 + 1 = 15 \\ 3 & 21 + 1 = 22 \\ 4 & 28 + 1 = 29 \\ 5 & 35 + 1 = 36 \end{array}$
Kasus II: Setiap sangkar dimasukkan $9$ ekor burung.
Perhatikan bagan yang menyatakan hubungan banyak sangkar dan burung berikut.
$\begin{array}{ccc} y & x \\ 9 & 1 + 1 = 2 \\ 18 & 2 + 1 = 3 \\ 27 & 3 + 1 = 4 \\ 36 & 4 + 1 = 5 \end{array}$
Dari kedua bagan di atas, banyak burung dan banyak sangkar sama kedua kasus jika diambil $x = 5$ dan $y = 36$. Jadi, banyak burung yang ada adalah $\boxed{36}$ ekor (dengan jumlah sangkar sebanyak $5$).

Karena jumlah sisi dadu ada $6$, maka nilai $n$ yang mungkin agar diperoleh jumlah mata dadu $6$ adalah $n \leq 6$.
Untuk $n = 1$, peluang munculnya jumlah mata dadu $6$ jelas adalah $\dfrac{1}{6}$
Untuk $n = 2$, kejadian munculnya jumlah mata dadu $6$ adalah
$A = \{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)\}$
sehingga $n(A) = 5$. Dengan demikian, peluang munculnya $A$ adalah $\dfrac{5}{6^2}$
Untuk $n = 3$, kejadian munculnya jumlah mata dadu $6$ adalah
$\begin{aligned} A & = \{(1, 1, 4), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 4, 1), (2, 1, 3), (2, 2, 2), \\ & (2, 1, 4), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (4, 1, 1)\} \end{aligned}$
sehingga $n(A) = 10$. Dengan demikian, peluang munculnya $A$ adalah $\dfrac{10}{6^3}$
Untuk $n = 4$, kejadian munculnya jumlah mata dadu $6$ adalah
$\begin{aligned} A & = \{(1, 1, 1, 3), (1, 1, 2, 2 ), (1, 1, 3, 1), (1, 2, 1, 2), (1, 2, 2, 1), \\ & (1, 3, 1, 1), (2, 1, 1, 2), (2, 1, 2, 1), (2, 2, 1, 1), (3, 1, 1, 1)\} \end{aligned}$
sehingga $n(A) = 10$. Dengan demikian, peluang munculnya $A$ adalah $\dfrac{10}{6^4}$
Untuk $n = 5$, kejadian munculnya jumlah mata dadu $6$ adalah
$A = \{(1, 1, 1, 1, 2), (1, 1, 1, 2, 1), (1, 1, 2, 1, 1), (1, 2, 1, 1, 1), (2, 1, 1, 1)\}, berarti $n(A) = 5$.
Dengan demikian, peluang munculnya $A$ adalah $\dfrac{5}{6^5}$
Untuk $n = 6$, kejadian munculnya jumlah mata dadu $6$ adalah
$A = \{(1, 1, 1, 1, 1, 1)\}$, berarti $n(A) = 1$.
Dengan demikian, peluang munculnya $A$ adalah $\dfrac{1}{6^6}$
Kita peroleh pertidaksamaan
$\boxed{\dfrac{1}{6^6} < \dfrac{5}{6^5} < \dfrac{10}{6^4} < \dfrac{10}{6^3} < \dfrac{5}{6^2} < \dfrac{1}{6}}$
Jadi, nilai $n$ agar peluang munculnya jumlah mata dadu 6 paling besar adalah 1.

Perlu diperhatikan!
Suatu bilangan habis dibagi $6$ jika dan hanya jika bilangan itu genap dan jumlah digit-digitnya habis dibagi $3$.
Suatu bilangan (empat digit atau lebih) habis dibagi $8$ jika dan hanya jika tiga digit terakhirnya habis dibagi $8$.
Suatu bilangan habis dibagi $9$ jika dan hanya jika jumlah digit-digitnya habis dibagi $9$.
Sekarang, beralih pada soal.
Diinformasikan pada soal bahwa Sukardi lahir antara tahun $1930$ sampai $2000$. Jelas $2000$ bukan tahun kelahirannya karena $2000$ habis dibagi $8$. Jadi, tahun kelahiran Sukardi dapat ditulis dalam bentuk $19ab$. Jika $19$ dibagi $6$ maupun $9$, sisa hasil baginya $1$, sehingga kita tinggal mencari nilai $ab$ yang habis dibagi $6$ dan $9$.
$19ab$ dibagi $6$ dan bersisa $1$ jika dan hanya jika $ab$ habis dibagi $3$ dan $b$ harus bilangan ganjil.
$19ab$ dibagi $9$ dan bersisa $1$ jika dan hanya jika $ab$ habis dibagi $9$.
Dari kedua kasus di atas, kita peroleh $a + b = 9$, sehingga kemungkinan nilai $a$ dan $b$ dapat ditulis $(a, b) = (4, 5), (6, 3), (8, 1)$. Perhatikan bahwa $(2, 7)$ tidak diambil karena dari soal diketahui bahwa $ab$ paling kecil adalah $30$.
Selanjutnya, agar $19ab$ dibagi $8$ bersisa 1, kita tinggal memeriksa 3 nilai $ab$ yang mungkin tadi satu per satu.
Misal $ab = 45$. Jika $1945$ dibagi $8$, maka sisanya $1$ (sesuai).
Misal $ab = 63$. Jika $1963$ dibagi $8$, maka sisanya $3$ (tidak sesuai).
Misal $ab = 81$. Jika $1981$ dibagi $8$, maka sisanya $5$ (tidak sesuai).
Jadi, tahun kelahiran Sukardi adalah $\boxed{1945}$

Misal umur Agus $10a + b$ dan umur Fauzan $10c + d$ dengan $1 \leq a, c \leq 9~\text{dan}~0 \leq b, d \leq 9$ serta $a, b, c, d$ bilangan bulat. Dari sini, diperoleh
$1000a + 100b+ 10c + d = m^2 (\cdots 1)$
untuk suatu bilangan positif $m$.
Setelah 23 tahun, umur Agus menjadi $10(a+2) + (b+3)$, sedangkan umur Fauzan menjadi $10(c+2) + (d+3)$ sehingga diperoleh persamaan
$1000(a+2) + 100(b+3) + 10(c+2) 1 + (d+3) = n^2 (\cdots 2)$
untuk suatu bilangan positif $n$.
Kurangkan persamaan $1$ dengan $2$, sehingga diperoleh
$n^2 – m^2 = 2323$
$(n-m)(n+m) = 23 \times 101$
Karena $n – m < n + m$, didapat $n – m = 23$ dan $n + m = 101$. Selesaikan SPLDV ini sehingga didapat $m = 39, n = 62$. Berarti, $\boxed{m^2 = 1521}$
Jadi, umur Agus dan umur Fauzan berturut-turut saat ini adalah $15$ tahun dan $21$ tahun.

Dari gambar, diperoleh $EB = BF = 7~\text{cm}$. Karena $BF : CF = 1 : 3$, kita peroleh $CF = 3 \times BF = 3 \times 7 = 21~\text{cm}$. Tampak juga dari gambar bahwa $AD = BC = BF + CF = 7 × 21 = 28~\text{cm}$. Selanjutnya, kita akan menghitung luassetiap bagian/daerah yang diarsir.
Pandang $ADE$ sebagai suatu sektor lingkaran dengan jari-jari $AD = AE = 28~\text{cm}$. Luas yang diarsir pada sektor lingkaran itu adalah tembereng $DE = x$, yaitu luas 1/4 lingkaran dikurangi luas segitiga ADE. Dapat dituliskan sebagai berikut.
$x = \dfrac{1}{4}\pi(AD)^2 – \dfrac{1}{2}(AD)^2$
$x = \dfrac{1}{4}\pi(28)^2 – \dfrac{1}{2}(28)^2$
$x = 224~\text{cm}^2$
Dengan prinsip yang sama, luas tembereng $EF = y$ adalah
$y = \dfrac{1}{4}\pi(EB)^2 – \dfrac{1}{2}(EB)^2$
$y = \dfrac{1}{4}\pi(7)^2 – \dfrac{1}{2}(7)^2$
$y= 14~\text{cm}^2$
Begitu juga dengan luas tembereng $GF= z $, yaitu
$z = \dfrac{1}{4}\pi(CF)^2 – \dfrac{1}{2}(CF)^2$
$z = \dfrac{1}{4}\pi(21)^2 – \dfrac{1}{2}(21)^2$
$z = 126~\text{cm}^2$
Luas daerah yang diarsir $=x + y + z = 224 + 14 + 126 = 364~\text{cm}^2$
Jadi, luas daerah yang diarsir pada gambar adalah $\boxed{364~\text{cm}^2}$