Soal dan Pembahasan – Bilangan Kompleks dan Perhitungannya

Diketahui $z = 2-3i.$ Bilangan kompleks ini memuat bagian real dan bagian imajiner. Bagian realnya adalah $\text{Re}(z) = 2,$ sedangkan bagian imajinernya diwakili oleh koefisien dari bilangan imajiner $i,$ yaitu $\text{Im}(z) = -3.$ Perhatikan juga bahwa pernyataan pada opsi jawaban E kurang tepat karena seharusnya $3z = 3(2-3i) = 6-9i.$ Jadi, pernyataan yang benar adalah $\text{Re}(z) = 2$ pada opsi jawaban A.

Bilangan kompleks memiliki bentuk umum $a + bi$ dengan $a$ dan $b$ berturut-turut disebut sebagai bagian real dan bagian imajiner serta $i = \sqrt{-1}$ (bilangan imajiner). Oleh karena itu, kita akan mencari bilangan kompleks yang memiliki nilai $a = 0.$
Perhatikan tabel berikut agar lebih detail.
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Bilangan Kompleks} & \text{Bagian Real}~(a) & \text{Bagian Imajiner}~(b) \\ \hline 2 + i & 2 & 1 \\ 2-\sqrt{-4} & 2 & -2 \\ \sqrt{-1} + 1 & 1 & 1 \\ \dfrac{\sqrt{-3}}{7} & 0 & \dfrac{\sqrt3}{7} \\ \dfrac13\sqrt{-2} + \dfrac43 & \dfrac43 & \dfrac{\sqrt2}{3} \\ \hline \end{array}$$Jadi, bilangan kompleks yang memiliki bagian real $0$ adalah $\boxed{\dfrac{\sqrt{-3}}{7}}$
(Jawaban D)

Diketahui $z = -\dfrac{4 + \sqrt{-4}}{2}.$ Perhatikan bahwa $i = \sqrt{-1}$ dan kita akan mengubah $z$ dalam bentuk $a + bi$ dengan $a$ sebagai bagian real dan $b$ sebagai bagian imajiner.
$$\begin{aligned} z & = -\dfrac{4 + \sqrt{-4}}{2} \\ & = -\dfrac{4 + 2\sqrt{i}}{2} \\ & = -\dfrac42-\dfrac{2\sqrt{i}}{2} \\ & = -2-i \end{aligned}$$Jadi, bentuk umum dari bilangan kompleks $z = -\dfrac{4 + \sqrt{-4}}{2}$ adalah $\boxed{z = -2-i}$
(Jawaban D)

Tinjau bahwa perpangkatan dari $i$ memiliki nilai yang berulang setiap $4$ suku.
$$\begin{array}{ccc} \hline i & \sqrt{-1} & i^5, i^9, i^{13}, \cdots \\ i^2 & -1 & i^6, i^{10}, i^{14}, \cdots \\ i^3 & -\sqrt{-1} & i^7, i^{11}, i^{15}, \cdots \\ i^4 & 1 & i^{8}, i^{12}, i^{16}, \cdots \\ \hline \end{array}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} i^{78} & = i^{19 \times 4 + 2} \\ & = (i^4)^{19} \cdot i^2 \\ & = 1^{19} \cdot i^2 \\ & = i^2 \end{aligned}$$Oleh karena itu, kita tinggal mencari perpangkatan $i$ yang memiliki sisa hasil bagi $2$ setelah dibagi $4.$
Dalam kasus ini,
$$\begin{aligned} i^{10} & = i^{2 \times 4 + 2} = i^2 \\ i^{16} & = i^{4 \times 4} = i^4 \\ i^{60} & = i^{15 \times 4} = i^4 \\ i^{81} & = i^{20 \times 4 + 1} = i. \end{aligned}$$Nilai dari $i^{78}$ sama dengan nilai dari $\boxed{i^{10}}$

Diketahui $z = 5-2i$ sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} z^3 & = (5-2i)^3 \\ & = 5^3-3(5)^2(2i) + 3(5)(2i)^2-(2i)^3 \\ & = 125-150i + 60i^2-8i^3 \\ & = 125-150i-60+8i \\ & = 65-142i. \end{aligned}$$Jadi, $z^3 = 65-142i$ yang berarti bahwa $\text{Re}(z^3) = 65$ dan $\text{Im}(z^3) = -142.$
(Jawaban D)

Dari gambar, tampak bahwa titik tersebut berada pada koordinat $(-2, 3)$ dengan bagian real $\text{Re}(z) = -2$ dan bagian imajiner $\text{Im}(z) = 3$ sehingga bilangan kompleks yang dinyatakan olehnya adalah $-2 + 3i.$
(Jawaban A)

Bilangan kompleks $z = -4 + \sqrt{2}i$ memiliki bagian real $\text{Re}(z) = -4$ dan bagian imajiner $\text{Im}(z) = \sqrt2$ sehingga koordinat titik yang merepresentasikan bilangan tersebut pada bidang Kartesius dinyatakan oleh $(x, y) = (-4, \sqrt2).$ Letaknya berada di kuadran kedua seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.

(Jawaban B)

Bilangan kompleks $4-3i$ memiliki bagian real $\text{Re}(z) = 4$ dan $\text{Im}(z) = -3$ sehingga representasinya pada bidang Kartesius dinyatakan oleh titik dengan koordinat $(4, -3),$ yaitu $z_5.$
Adapun bilangan kompleks yang dinyatakan oleh titik yang lain adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{cc} \hline z_1 & 4 + 3i \\ z_2 & -1 + 3i \\ z_3 & -3 \\ z_4 & -3-3i \\ \hline \end{array}$$(Jawaban E)

Catat bahwa $i^k = -1$ untuk $k = 2, 6, 10, 14, \cdots.$
Kita peroleh
$$\begin{aligned} (1 + i)^{20} & = ((1 + i)^2)^{10} \\ & = (1 + 2i + i^2)^{10} \\ & = (1 + 2i + (-1))^{10} \\ & = (2i)^{10} \\ & = 2^{10} \cdot i^{10} \\ & = 1.024 \cdot (-1) \\ & = -1.024. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{(1 + i)^{20} = -1.024}$
(Jawaban D)

Diketahui $z = \sqrt3 + i$ dengan $a = \sqrt3$ dan $b = 1.$
Modulus dari $z$ adalah $$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt3)^2 + 1^2} = 2.$$Argumen dari $z$ adalah $$\theta = \arctan \dfrac{b}{a} = \arctan \dfrac{1}{\sqrt3} = 30^\circ.$$Jadi, bentuk polar dari bilangan kompleks tersebut adalah
$$z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) \Rightarrow z = 2(\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ).$$(Jawaban B)

Bilangan kompleks pada umumnya memiliki bentuk $a + bi$ dengan $a$ sebagai bagian real dan $b$ sebagai bagian imajiner. Untuk mengubah $z = \dfrac{7-3i}{4+2i}$ menjadi bentuk umum, langkah utama yang harus dilakukan adalah mengalikan pembilang dan penyebut dengan $4-2i$ yang merupakan konjugat dari $4 + 2i.$ Setelah itu, lakukan operasi aljabar biasa.
$$\begin{aligned} z & = \dfrac{7-3i}{4+2i} \times \dfrac{4-2i}{4-2i} \\ & = \dfrac{28-26i+6i^2}{16-4i^2} \\ & = \dfrac{28-26i-6}{16-4(-1)} \\ & = \dfrac{22-26i}{20} \\ & = \dfrac{11}{10}-\dfrac{13}{10}i \end{aligned}$$Jadi, bentuk umum dari bilangan kompleks itu adalah $\boxed{z = \dfrac{11}{10}-\dfrac{13}{10}i}$
(Jawaban C)

Ubah dulu $z$ dalam bentuk umum $a + bi.$ Nilai $b$ inilah yang merupakan $\text{Im}(z).$
$$\begin{aligned} z & = \dfrac{i}{2-i} \times \dfrac{2+i}{2+i} \\ & = \dfrac{2i+i^2}{4-i^2} \\ & = \dfrac{2i-1}{4-(-1)} \\ & = \dfrac{-1+2i}{5} \\ & = -\dfrac15+\dfrac25i\end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, diperoleh $\boxed{\text{Im}(z) = \dfrac25}$
(Jawaban D)

Diketahui $z = \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^3.$ Ubah $\dfrac{1+i}{1-i}$ menjadi bentuk umum bilangan kompleks terlebih dahulu.
$$\begin{aligned} \dfrac{1+i}{1-i} & = \dfrac{1+i}{1-i} {\color{red}{\times \dfrac{1+i}{1+i}}} \\ & = \dfrac{1 + 2i + i^2}{1-i^2} \\ & = \dfrac{1 + 2i + (-1)}{1-(-1)} \\ & = \dfrac{2i}{2} = i \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} z = \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^3 = (i)^3 = -i. \end{aligned}$$Jadi, bilangan kompleks $z = \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^3$ dapat dinyatakan dalam bentuk $-i$ atau ditulis $0 + (-1)i$ sehingga nilai $a = 0$ dan $b = -1.$ Akibatnya, nilai $\boxed{ab = 0(-1) = 0}$
(Jawaban C)

Modulus dari bilangan kompleks $z = a + bi$ didefinisikan sebagai $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$
Cek Opsi A:
Misalkan $z_1 = 3 + 2i$ sehingga $|z_1| = \sqrt{(3)^2 + (2)^2} = \sqrt{13}.$
Cek Opsi B:
Misalkan $z_2 = -3 + 2i$ sehingga $|z_2| = \sqrt{(-3)^2 + (2)^2} = \sqrt{13}.$
Cek Opsi C:
Misalkan $z_3 = -3-i$ sehingga $|z_3| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}.$
Cek Opsi D:
Misalkan $z_4 = 5i$ sehingga $|z_4| = \sqrt{(5)^2} = 5.$
Cek Opsi E:
Misalkan $z_5 = -4$ sehingga $|z_5| = \sqrt{(-4)^2} = 4.$
Dari pengecekan di atas, diperoleh bahwa $|z_4|$ merupakan nilai modulus terbesar dari $5$ bilangan kompleks yang diberikan.
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} x^2 + 2 & = 0 \\ x^2 & = -2 \\ x & = \pm \sqrt{-2} \\ x & = \pm \sqrt2i \end{aligned}$$dengan $i = \sqrt{-1}.$
Jadi, solusi dari persamaan kuadrat tersebut adalah $\boxed{x = \pm \sqrt2i}$
(Jawaban A)

Setiap persamaan kuadrat memiliki karakteristik berupa jumlah akar dan hasil akar akar.
Jumlah akar adalah hasil penjumlahan dari kedua akar persamaan kuadrat itu.
$$x_1 + x_2 = (1 + i) + (1-i) = 2$$Hasil kali akar adalah hasil perkalian dari kedua akar persamaan kuadrat itu.
$$\begin{aligned} x_1x_2 & = (1+i)(1-i) \\ & = 1-i+i-i^2 \\ & = 1-(-1) = 2 \end{aligned}$$Dengan demikian, persamaan kuadrat yang dimaksud dapat ditulis sebagai berikut.
$$\begin{aligned} x_2-(x_1 + x_2)x + x_1x_2 & = 0 \\ x^2-2x + 2 & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan kuadrat yang memiliki solusi $x_1 = 1 + i$ dan $x_2 = 1-i$ adalah $\boxed{x^2-2x+2=0}$
(Jawaban E)

Didefinisikan bahwa $i = \sqrt{-1}$ yang dikenal sebagai bilangan imajiner (khayal).
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} i^2 & = (\sqrt{-1})^2 = -1 \\ i^3 & = i^2 \cdot i = -i \\ i^4 & = i^2 \cdot i^2 = (-1)(-1) = 1 \\ i^5 & = i^4 \cdot i = 1(i) = i. \end{aligned}$
Perpangkatan $i$ membentuk pola $i, -1, -i, 1$.
Sekarang, akan ditinjau $4$ bilangan tersebut satu per satu.
$\begin{aligned} i^{31} & = i^{4 \cdot 7 + 3} \\ & = (i^4)^7 \cdot i^3 \\ & = (1)^7 \cdot i^3 = i^3 \end{aligned}$
$\begin{aligned} i^{87} & = i^{4 \cdot 21 + 3} \\ & = (i^4)^{21} \cdot i^3 \\ & = (1)^{21} \cdot i^3 = i^3 \end{aligned}$
$\begin{aligned} i^{115} & = i^{4 \cdot 28 + 3} \\ & = (i^4)^{28} \cdot i^3 \\ & = (1)^{28} \cdot i^3 = i^3 \end{aligned}$
$\begin{aligned} i^{221} & = i^{4 \cdot 55 + 1} \\ & = (i^4)^{55} \cdot i^1 \\ & = (1)^{55} \cdot i = i \end{aligned}$
Jadi, bilangan yang nilainya berbeda dengan yang lain adalah $i^{221}$.

Ingat bahwa
$\boxed{\begin{aligned} & i = \sqrt{-1} \\ &  i^2 = -1 \\ & i^3 = -\sqrt{-1} = -i \\ & i^4 = 1\end{aligned}} $
Jawaban a)
$$\begin{aligned} (3 + 4i)+(3i-2) & = (4i + 3i)+(3-2) \\ & = \boxed{7i + 1} \end{aligned} $$Jawaban b)
$$\begin{aligned}(3+2i)(3i-2) & = (9i -6)+(6i^2 -4i) \\ & = 9i -4i -6 -6 \\ & = \boxed{5i -12} \end{aligned} $$Jawaban c)
$\begin{aligned} \dfrac{2-3i}{4-i}& = \dfrac{2-3i} {4-i} \times \dfrac{4+i}{4+i} \\ & = \dfrac{8 + 2i -12i -3i^2}{16 -i^2} \\ & = \boxed{ \dfrac{11 -10i}{17}} \end{aligned} $
Jawaban d)
$$\begin{aligned} i^{123} -4i^9 -4i & = (i^{120})(i^3)-4(i^8)(i) -4i \\ & = -i- 4i- 4i = \boxed{-9i} \end{aligned}$$Jawaban e)
$\begin{aligned} & \dfrac{i^4 + i^9 + i^{16}} {2-i^5+i^{10}-i^{15}} \\ & = \dfrac{i^4 + (i^8)(i) + i^{16}}{2 -(i^4)(i) + (i^8)(i^2) -(i^{12}) (i^3)} \\ & = \dfrac{1 + i + 1}{2 -i + (-1) + i} \\ & = \dfrac{2 + i}{1} = 2 + i \end{aligned}$ 

Suatu bilangan kompleks $z$ memiliki invers perkalian $z^{-1}$ (baca: $z$ invers) apabila berlaku $z \cdot z^{-1} = 1.$
Jawaban a)
Diketahui $z = 1 + i.$ Kita akan mencari invers perkaliannya, yaitu $z^{-1}.$
$$\begin{aligned} z \cdot z^{-1} & = 1  \\ z^{-1} & = \dfrac{1}{z} \\ & = \dfrac{1}{1+i} {\color{red}{\cdot \dfrac{1-i}{1-i}}} \\ & = \dfrac{1-i}{1-(-1)} \\ & = \dfrac{1-i}{2} = \dfrac12-\dfrac12i  \end{aligned}$$Jadi, invers perkalian dari $1+i$ adalah $\boxed{\dfrac12-\dfrac12i}$
Jawabaan b)
Diketahui $z = 3-2i.$ Kita akan mencari invers perkaliannya, yaitu $z^{-1}.$
$$\begin{aligned} z \cdot z^{-1} & = 1  \\ z^{-1} & = \dfrac{1}{z} \\ & = \dfrac{1}{3-2i} {\color{red}{\cdot \dfrac{3+2i}{3+2i}}} \\ & = \dfrac{3+2i}{9-4(-1)} \\ & = \dfrac{3+2i}{13} = \dfrac{3}{13}+\dfrac{2}{13}i  \end{aligned}$$Jadi, invers perkalian dari $3-2i$ adalah $\boxed{\dfrac{3}{13}+\dfrac{2}{13}i}$
Jawaban c)
Diketahui $z = \dfrac23+\dfrac12i.$ Kita akan mencari invers perkaliannya, yaitu $z^{-1}.$
$$\begin{aligned} z \cdot z^{-1} & = 1  \\ z^{-1} & = \dfrac{1}{z} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac23+\dfrac12i} {\color{red}{\cdot \dfrac{\dfrac23-\dfrac12i}{\dfrac23-\dfrac12i}}} \\ & = \dfrac{\dfrac23-\dfrac12i}{\dfrac49-\dfrac14(-1)} \\ & = \dfrac{\dfrac23-\dfrac12i}{\dfrac{25}{36}} \\ & = \dfrac{24-18i}{25} = \dfrac{24}{25}-\dfrac{18}{25}i \end{aligned}$$Jadi, invers perkalian dari $\dfrac23+\dfrac12i$ adalah $\boxed{\dfrac{24}{25}-\dfrac{18}{25}i}$ 
 

Diberikan $z = -1- i$ sehingga
$$\begin{aligned} z^2 + 2z + 2 & = (-1 -i)^2 + 2(-1-i) +2 \\ & = 1 + 2i -1 -2 -2i + 2 \\ & = 0. \end{aligned}$$(Terbukti) 

Misalkan $z_1 = a + bi$ dan $z_2 = c + di$ sehingga konjugatnya adalah $\overline{z_1} = a -bi$ dan $\overline{z_2} = c -di.$
$\begin{aligned} \overline{z_1z_2} & = \overline{(a+bi)(c+di)} \\ & = \overline{(ac -bd) + (ad + bc)i} \\ & = (ac -bd) -(ad + bc)i \\ & = (a -bi)(c -di) \\ & = \overline{z_1}~\overline{z_2} \end{aligned} $
(Terbukti) 

Pada setiap ruas, samakan setiap komponen real dan imajinernya.
Jawaban a)
Perhatikan bahwa
$\color{red}{1}+\color{blue}{(2+x)}i = \color{red}{y+2}+\color{blue}{5}i.$
Ekspresi yang ditandai dengan warna merah di atas menyatakan komponen real, sedangkan warna biru menyatakan komponen imajiner.
Kita akan memperoleh
$1 = y + 2 \iff y = -1$
dan
$2+x = 5 \iff x = 3.$
Jadi, bilangan kompleks yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x+yi = 3-i}$
Jawaban b)
Perhatikan bahwa
$\color{red}{2}+\color{blue}{(x+y)}i = \color{red}{y} + \color{blue}{2x}i.$
Ekspresi yang ditandai dengan warna merah di atas menyatakan komponen real, sedangkan warna biru menyatakan komponen imajiner.
Kita akan memperoleh
$2 = y$ dan $x + y = 2x$.
Substitusikan $y = 2$ pada persamaan $x+y=2x$ untuk mendapatkan
$x+2 = 2x \iff x = 2$.
Jadi, bilangan kompleks yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x+yi = 2+2i}$
Jawaban c)
Perhatikan bahwa
$\color{red}{2}+\color{blue}{3y}i = \color{red}{x^2+x}+\color{blue}{(x+y)}i.$
Ekspresi yang ditandai dengan warna merah di atas menyatakan komponen real, sedangkan warna biru menyatakan komponen imajiner.
Kita akan memperoleh
$\begin{aligned} 2 & = x^2 + x \\ x^2+x-2 & = 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \\ x = -2~\text{atau}~&x=1 \end{aligned}$
dan $3y = x + y \iff 2y = x.$
Substitusi $x = -2$ dan $x = 1$ pada persamaan $2y=x$ menghasilkan $y = -1$ dan $y = \dfrac12$.
Jadi, bilangan kompleks yang memenuhi persamaan itu ada $2$, yaitu $\boxed{x+yi = -2-i}$ dan $\boxed{1+\dfrac12i}$

Kelompokkan/faktorkan persamaan tersebut sebagai berikut berdasarkan bagian real dan imajinernya.
$\begin{aligned} & (2x -2y -5) + (-3y + 4x -10)i \\ & = (x + y -2) + (x -y -3)i \end{aligned}$
Dengan menyamakan posisi real dan imajinernya, diperoleh
$\begin{cases} 2x -2y -5 & = x + y -2 \\ -3y + 4x -10 & = x -y -3 \end{cases}$
Sederhanakan kembali.
$\begin{cases} x -3y & = 3 \\ 3x -2y & = 7 \end{cases}$
Selesaikan SPLDV ini sehingga diperoleh $x =\dfrac{15}{7}$ dan $y = -\dfrac{2}{7}$.

Perhatikan bahwa $(a+bi)(c+di)=0$ dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} (a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di) & = 0 \\ (a^2-abi+abi-(bi)^2)(c^2-cdi+cdi-(di)^2) & = 0 \\ (a^2+b^2)(c^2+d^2) & = 0. \end{aligned}$$Karena $a, b, c, d$ mewakili bilangan real, maka berlaku 
$a^2+b^2 = 0$ atau $c^2+d^2=0.$
Persamaan di atas terpenuhi jika dan hanya jika $a = b = 0$ atau $c = d = 0.$ Dengan demikian, $(a+bi)(c+di)=0$ mengimplikasikan bahwa $a+bi = 0$ atau $c+di=0.$

Perlu diperhatikan bahwa $\text{Re}(z)$ dan $\text{Im}(z)$ memiliki arti bagian real dan bagian imajiner dari bilangan kompleks $z.$
Misalkan $z = a + bi$ sehingga $\overline{z} = a -bi.$
Akan ditunjukkan bahwa $\text{Re}(z) = a$ dan $\text{Im}(z) = b$, yaitu
$\begin{aligned} \text{Re}(z) & = \dfrac{1}{2}(z + \overline{z}) \\ & = \dfrac{1}{2}(a + bi + a -bi) = a \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \text{Im}(z) & = \dfrac{1}{2i}(z -\overline{z}) \\ & = \dfrac{1}{2i}(a + bi -a + bi) = b. \end{aligned} $
(Terbukti) $\blacksquare$ 

Definisi modulus: Jika $z = a + bi$, maka modulus atau nilai mutlak dari $z$ adalah $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$
Jawaban a)
Diberikan $z = -1 -i$, berarti $|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.$
Jawaban b)
Ubah bentuk $z$ yang diberikan sebagai berikut.
$\begin{aligned} z & = \dfrac{2+3i}{1-i} \times \dfrac{1+i}{1+i} \\ & = \dfrac{2 + 2i + 3i + 3i^2}{1 -i^2} \\ & = \dfrac{-1 + 5i}{2} \end{aligned} $
Jadi,
$|z| = \sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{5}{2}\right)^2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{26}.$

Misalkan $z = a + bi$, berarti $\overline{z} = a -bi.$ Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} |z| & = \sqrt{a^2 + b^2} \\ & = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = |\overline{z}|. \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $|z| = |\overline{z}|$ sehingga $\left|\dfrac{\overline{z}}{z}\right| = 1.$

Jawaban a)
$$\begin{aligned} |2z_2 -3z_1|^2 & = |2(-2 + 4i) -3(1 -i)|^2 \\ & = |-7 + 9i|^2 \\ & = (-7)^2 + 9^2 = 130 \end{aligned}$$Jawaban b)
$$\begin{aligned} |z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1}| & = |(1 -i)(-2 -4i) + (-2 + 4i)(1 + i) \\ & = |-2 -4i + 2i + 4 -2 -2i + 4i -4| \\ & = |-4| = 4 \end{aligned}$$