Soal dan Pembahasan – Bilangan Kompleks dan Perhitungannya

Diketahui $z=2-3i.$ Bilangan kompleks ini memuat bagian real dan bagian imajiner. Bagian realnya adalah $\text{Re}(z)=2,$ sedangkan bagian imajinernya diwakili oleh koefisien dari bilangan imajiner $i,$ yaitu $\text{Im}(z)=-3.$ Perhatikan juga bahwa pernyataan pada opsi jawaban E kurang tepat karena seharusnya $3z=3(2-3i)=6-9i.$ Jadi, pernyataan yang benar adalah $\text{Re}(z)=2$ pada opsi jawaban A.

Bilangan kompleks memiliki bentuk umum $a+bi$ dengan $a$ dan $b$ berturut-turut disebut sebagai bagian real dan bagian imajiner serta $i=\sqrt{-1}$ (bilangan imajiner). Oleh karena itu, kita akan mencari bilangan kompleks yang memiliki nilai $a=0.$
Perhatikan tabel berikut agar lebih detail.
$$\overline{)\begin{array}{ccc}\text{Bilangan Kompleks}& \text{Bagian Real}(a)& \text{Bagian Imajiner}(b)\\ 2+i& 2& 1\\ 2-\sqrt{-4}& 2& -2\\ \sqrt{-1}+1& 1& 1\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{-3}}{7}}& 0& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{7}}\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{-2}+{\displaystyle \frac{4}{3}}& {\displaystyle \frac{4}{3}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\end{array}}$$Jadi, bilangan kompleks yang memiliki bagian real $0$ adalah $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\sqrt{-3}}{7}}}}$
(Jawaban D)

Diketahui $z=-{\displaystyle \frac{4+\sqrt{-4}}{2}}.$ Perhatikan bahwa $i=\sqrt{-1}$ dan kita akan mengubah $z$ dalam bentuk $a+bi$ dengan $a$ sebagai bagian real dan $b$ sebagai bagian imajiner.
$$\begin{array}{rl}z& =-{\displaystyle \frac{4+\sqrt{-4}}{2}}\\ & =-{\displaystyle \frac{4+2\sqrt{i}}{2}}\\ & =-{\displaystyle \frac{4}{2}}-{\displaystyle \frac{2\sqrt{i}}{2}}\\ & =-2-i\end{array}$$Jadi, bentuk umum dari bilangan kompleks $z=-{\displaystyle \frac{4+\sqrt{-4}}{2}}$ adalah $\boxed{{\displaystyle z=-2-i}}$
(Jawaban D)

Tinjau bahwa perpangkatan dari $i$ memiliki nilai yang berulang setiap $4$ suku.
$$\overline{)\begin{array}{ccc}i& \sqrt{-1}& i^5,i^9,i^{13},\cdots \\ i^2& -1& i^6,i^{10},i^{14},\cdots \\ i^3& -\sqrt{-1}& i^7,i^{11},i^{15},\cdots \\ i^4& 1& i^8,i^{12},i^{16},\cdots \end{array}}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}{i}^{78}& =i^{19\times 4+2}\\ & =(i^4{)}^{19}\cdot i^2\\ & =1^{19}\cdot i^2\\ & =i^2\end{array}$$Oleh karena itu, kita tinggal mencari perpangkatan $i$ yang memiliki sisa hasil bagi $2$ setelah dibagi $4.$
Dalam kasus ini,
$$\begin{array}{rl}{i}^{10}& =i^{2\times 4+2}=i^2\\ i^{16}& =i^{4\times 4}=i^4\\ i^{60}& =i^{15\times 4}=i^4\\ i^{81}& =i^{20\times 4+1}=i.\end{array}$$Nilai dari $i^{78}$ sama dengan nilai dari $\boxed{{\displaystyle i^{10}}}$

Diketahui $z=5-2i$ sehingga kita peroleh
$$\begin{array}{rl}{z}^3& =(5-2i{)}^3\\ & =5^3-3(5{)}^2(2i)+3(5)(2i{)}^2-(2i{)}^3\\ & =125-150i+60i^2-8i^3\\ & =125-150i-60+8i\\ & =65-142i.\end{array}$$Jadi, $z^3=65-142i$ yang berarti bahwa $\text{Re}(z^3)=65$ dan $\text{Im}(z^3)=-142.$
(Jawaban D)

Dari gambar, tampak bahwa titik tersebut berada pada koordinat $(-2,3)$ dengan bagian real $\text{Re}(z)=-2$ dan bagian imajiner $\text{Im}(z)=3$ sehingga bilangan kompleks yang dinyatakan olehnya adalah $-2+3i.$
(Jawaban A)

Bilangan kompleks $z=-4+\sqrt{2}i$ memiliki bagian real $\text{Re}(z)=-4$ dan bagian imajiner $\text{Im}(z)=\sqrt{2}$ sehingga koordinat titik yang merepresentasikan bilangan tersebut pada bidang Kartesius dinyatakan oleh $(x,y)=(-4,\sqrt{2}).$ Letaknya berada di kuadran kedua seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.

(Jawaban B)

Bilangan kompleks $4-3i$ memiliki bagian real $\text{Re}(z)=4$ dan $\text{Im}(z)=-3$ sehingga representasinya pada bidang Kartesius dinyatakan oleh titik dengan koordinat $(4,-3),$ yaitu $z_5.$
Adapun bilangan kompleks yang dinyatakan oleh titik yang lain adalah sebagai berikut.
$$\overline{)\begin{array}{cc}{z}_1& 4+3i\\ z_2& -1+3i\\ z_3& -3\\ z_4& -3-3i\end{array}}$$(Jawaban E)

Catat bahwa $i^k=-1$ untuk $k=2,6,10,14,\cdots .$
Kita peroleh
$$\begin{array}{rl}(1+i{)}^{20}& =((1+i{)}^2{)}^{10}\\ & =(1+2i+i^2{)}^{10}\\ & =(1+2i+(-1){)}^{10}\\ & =(2i{)}^{10}\\ & =2^{10}\cdot i^{10}\\ & =1.024\cdot (-1)\\ & =-1.024.\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle (1+i{)}^{20}=-1.024}}$
(Jawaban D)

Diketahui $z=\sqrt{3}+i$ dengan $a=\sqrt{3}$ dan $b=1.$
Modulus dari $z$ adalah $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=2.$$Argumen dari $z$ adalah $$\theta =\arctan {\displaystyle \frac{b}{a}}=\arctan {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}={30}^{\circ }.$$Jadi, bentuk polar dari bilangan kompleks tersebut adalah
$$z=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )\Rightarrow z=2(\cos {30}^{\circ }+i\sin {30}^{\circ }).$$(Jawaban B)

Bilangan kompleks pada umumnya memiliki bentuk $a+bi$ dengan $a$ sebagai bagian real dan $b$ sebagai bagian imajiner. Untuk mengubah $z={\displaystyle \frac{7-3i}{4+2i}}$ menjadi bentuk umum, langkah utama yang harus dilakukan adalah mengalikan pembilang dan penyebut dengan $4-2i$ yang merupakan konjugat dari $4+2i.$ Setelah itu, lakukan operasi aljabar biasa.
$$\begin{array}{rl}z& ={\displaystyle \frac{7-3i}{4+2i}}\times {\displaystyle \frac{4-2i}{4-2i}}\\ & ={\displaystyle \frac{28-26i+6i^2}{16-4i^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{28-26i-6}{16-4(-1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{22-26i}{20}}\\ & ={\displaystyle \frac{11}{10}}-{\displaystyle \frac{13}{10}}i\end{array}$$Jadi, bentuk umum dari bilangan kompleks itu adalah $\boxed{{\displaystyle z={\displaystyle \frac{11}{10}}-{\displaystyle \frac{13}{10}}i}}$
(Jawaban C)

Ubah dulu $z$ dalam bentuk umum $a+bi.$ Nilai $b$ inilah yang merupakan $\text{Im}(z).$
$$\begin{array}{rl}z& ={\displaystyle \frac{i}{2-i}}\times {\displaystyle \frac{2+i}{2+i}}\\ & ={\displaystyle \frac{2i+i^2}{4-i^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{2i-1}{4-(-1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{-1+2i}{5}}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}i\end{array}$$Dari bentuk terakhir, diperoleh $\boxed{{\displaystyle \text{Im}(z)={\displaystyle \frac{2}{5}}}}$
(Jawaban D)

Diketahui $z={\left({\displaystyle \frac{1+i}{1-i}}\right)}^3.$ Ubah ${\displaystyle \frac{1+i}{1-i}}$ menjadi bentuk umum bilangan kompleks terlebih dahulu.
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1+i}{1-i}}& ={\displaystyle \frac{1+i}{1-i}}\times {\displaystyle \frac{1+i}{1+i}}\\ & ={\displaystyle \frac{1+2i+i^2}{1-i^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{1+2i+(-1)}{1-(-1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{2i}{2}}=i\end{array}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{array}{r}z={\left({\displaystyle \frac{1+i}{1-i}}\right)}^3=(i{)}^3=-i.\end{array}$$Jadi, bilangan kompleks $z={\left({\displaystyle \frac{1+i}{1-i}}\right)}^3$ dapat dinyatakan dalam bentuk $-i$ atau ditulis $0+(-1)i$ sehingga nilai $a=0$ dan $b=-1.$ Akibatnya, nilai $\boxed{{\displaystyle ab=0(-1)=0}}$
(Jawaban C)

Modulus dari bilangan kompleks $z=a+bi$ didefinisikan sebagai $|z|=\sqrt{a^2+b^2}.$
Cek Opsi A:
Misalkan $z_1=3+2i$ sehingga $|z_1|=\sqrt{(3{)}^2+(2{)}^2}=\sqrt{13}.$
Cek Opsi B:
Misalkan $z_2=-3+2i$ sehingga $|z_2|=\sqrt{(-3{)}^2+(2{)}^2}=\sqrt{13}.$
Cek Opsi C:
Misalkan $z_3=-3-i$ sehingga $|z_3|=\sqrt{(-3{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{10}.$
Cek Opsi D:
Misalkan $z_4=5i$ sehingga $|z_4|=\sqrt{(5{)}^2}=5.$
Cek Opsi E:
Misalkan $z_5=-4$ sehingga $|z_5|=\sqrt{(-4{)}^2}=4.$
Dari pengecekan di atas, diperoleh bahwa $|z_4|$ merupakan nilai modulus terbesar dari $5$ bilangan kompleks yang diberikan.
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}{x}^2+2& =0\\ x^2& =-2\\ x& =\pm \sqrt{-2}\\ x& =\pm \sqrt{2}i\end{array}$$dengan $i=\sqrt{-1}.$
Jadi, solusi dari persamaan kuadrat tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle x=\pm \sqrt{2}i}}$
(Jawaban A)

Setiap persamaan kuadrat memiliki karakteristik berupa jumlah akar dan hasil akar akar.
Jumlah akar adalah hasil penjumlahan dari kedua akar persamaan kuadrat itu.
$$x_1+x_2=(1+i)+(1-i)=2$$Hasil kali akar adalah hasil perkalian dari kedua akar persamaan kuadrat itu.
$$\begin{array}{rl}{x}_1{x}_2& =(1+i)(1-i)\\ & =1-i+i-i^2\\ & =1-(-1)=2\end{array}$$Dengan demikian, persamaan kuadrat yang dimaksud dapat ditulis sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}{x}_2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2& =0\\ x^2-2x+2& =0\end{array}$$Jadi, persamaan kuadrat yang memiliki solusi $x_1=1+i$ dan $x_2=1-i$ adalah $\boxed{{\displaystyle x^2-2x+2=0}}$
(Jawaban E)

Didefinisikan bahwa $i=\sqrt{-1}$ yang dikenal sebagai bilangan imajiner (khayal).
Perhatikan bahwa
$\begin{array}{rl}{i}^2& =(\sqrt{-1}{)}^2=-1\\ i^3& =i^2\cdot i=-i\\ i^4& =i^2\cdot i^2=(-1)(-1)=1\\ i^5& =i^4\cdot i=1(i)=i.\end{array}$
Perpangkatan $i$ membentuk pola $i,-1,-i,1$.
Sekarang, akan ditinjau $4$ bilangan tersebut satu per satu.
$\begin{array}{rl}{i}^{31}& =i^{4\cdot 7+3}\\ & =(i^4{)}^7\cdot i^3\\ & =(1{)}^7\cdot i^3=i^3\end{array}$
$\begin{array}{rl}{i}^{87}& =i^{4\cdot 21+3}\\ & =(i^4{)}^{21}\cdot i^3\\ & =(1{)}^{21}\cdot i^3=i^3\end{array}$
$\begin{array}{rl}{i}^{115}& =i^{4\cdot 28+3}\\ & =(i^4{)}^{28}\cdot i^3\\ & =(1{)}^{28}\cdot i^3=i^3\end{array}$
$\begin{array}{rl}{i}^{221}& =i^{4\cdot 55+1}\\ & =(i^4{)}^{55}\cdot i^1\\ & =(1{)}^{55}\cdot i=i\end{array}$
Jadi, bilangan yang nilainya berbeda dengan yang lain adalah $i^{221}$.

Ingat bahwa
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}& i=\sqrt{-1}\\ & i^2=-1\\ & i^3=-\sqrt{-1}=-i\\ & i^4=1\end{array}}}$
Jawaban a)
$$\begin{array}{rl}(3+4i)+(3i-2)& =(4i+3i)+(3-2)\\ & =\boxed{{\displaystyle 7i+1}}\end{array}$$Jawaban b)
$$\begin{array}{rl}(3+2i)(3i-2)& =(9i-6)+(6i^2-4i)\\ & =9i-4i-6-6\\ & =\boxed{{\displaystyle 5i-12}}\end{array}$$Jawaban c)
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{2-3i}{4-i}}& ={\displaystyle \frac{2-3i}{4-i}}\times {\displaystyle \frac{4+i}{4+i}}\\ & ={\displaystyle \frac{8+2i-12i-3i^2}{16-i^2}}\\ & =\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{11-10i}{17}}}}\end{array}$
Jawaban d)
$$\begin{array}{rl}{i}^{123}-4i^9-4i& =(i^{120})(i^3)-4(i^8)(i)-4i\\ & =-i-4i-4i=\boxed{{\displaystyle -9i}}\end{array}$$Jawaban e)
$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{i^4+i^9+i^{16}}{2-i^5+i^{10}-i^{15}}}\\ & ={\displaystyle \frac{i^4+(i^8)(i)+i^{16}}{2-(i^4)(i)+(i^8)(i^2)-(i^{12})(i^3)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1+i+1}{2-i+(-1)+i}}\\ & ={\displaystyle \frac{2+i}{1}}=2+i\end{array}$ 

Suatu bilangan kompleks $z$ memiliki invers perkalian $z^{-1}$ (baca: $z$ invers) apabila berlaku $z\cdot z^{-1}=1.$
Jawaban a)
Diketahui $z=1+i.$ Kita akan mencari invers perkaliannya, yaitu $z^{-1}.$
$$\begin{array}{rl}z\cdot z^{-1}& =1\\ z^{-1}& ={\displaystyle \frac{1}{z}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{1+i}}\cdot {\displaystyle \frac{1-i}{1-i}}\\ & ={\displaystyle \frac{1-i}{1-(-1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1-i}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}i\end{array}$$Jadi, invers perkalian dari $1+i$ adalah $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}i}}$
Jawabaan b)
Diketahui $z=3-2i.$ Kita akan mencari invers perkaliannya, yaitu $z^{-1}.$
$$\begin{array}{rl}z\cdot z^{-1}& =1\\ z^{-1}& ={\displaystyle \frac{1}{z}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3-2i}}\cdot {\displaystyle \frac{3+2i}{3+2i}}\\ & ={\displaystyle \frac{3+2i}{9-4(-1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{3+2i}{13}}={\displaystyle \frac{3}{13}}+{\displaystyle \frac{2}{13}}i\end{array}$$Jadi, invers perkalian dari $3-2i$ adalah $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{3}{13}}+{\displaystyle \frac{2}{13}}i}}$
Jawaban c)
Diketahui $z={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}i.$ Kita akan mencari invers perkaliannya, yaitu $z^{-1}.$
$$\begin{array}{rl}z\cdot z^{-1}& =1\\ z^{-1}& ={\displaystyle \frac{1}{z}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}i}}\cdot {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}i}{{\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}i}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}i}{{\displaystyle \frac{4}{9}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}(-1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}i}{{\displaystyle \frac{25}{36}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{24-18i}{25}}={\displaystyle \frac{24}{25}}-{\displaystyle \frac{18}{25}}i\end{array}$$Jadi, invers perkalian dari ${\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}i$ adalah $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{24}{25}}-{\displaystyle \frac{18}{25}}i}}$ 
 

Diberikan $z=-1-i$ sehingga
$$\begin{array}{rl}{z}^2+2z+2& =(-1-i{)}^2+2(-1-i)+2\\ & =1+2i-1-2-2i+2\\ & =0.\end{array}$$(Terbukti) 

Misalkan $z_1=a+bi$ dan $z_2=c+di$ sehingga konjugatnya adalah $\overline{z_1}=a-bi$ dan $\overline{z_2}=c-di.$
$\begin{array}{rl}\overline{z_1{z}_2}& =\overline{(a+bi)(c+di)}\\ & =\overline{(ac-bd)+(ad+bc)i}\\ & =(ac-bd)-(ad+bc)i\\ & =(a-bi)(c-di)\\ & =\overline{z_1}\overline{z_2}\end{array}$
(Terbukti) 

Pada setiap ruas, samakan setiap komponen real dan imajinernya.
Jawaban a)
Perhatikan bahwa
$1+(2+x)i=y+2+5i.$
Ekspresi yang ditandai dengan warna merah di atas menyatakan komponen real, sedangkan warna biru menyatakan komponen imajiner.
Kita akan memperoleh
$1=y+2⟺y=-1$
dan
$2+x=5⟺x=3.$
Jadi, bilangan kompleks yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{{\displaystyle x+yi=3-i}}$
Jawaban b)
Perhatikan bahwa
$2+(x+y)i=y+2xi.$
Ekspresi yang ditandai dengan warna merah di atas menyatakan komponen real, sedangkan warna biru menyatakan komponen imajiner.
Kita akan memperoleh
$2=y$ dan $x+y=2x$.
Substitusikan $y=2$ pada persamaan $x+y=2x$ untuk mendapatkan
$x+2=2x⟺x=2$.
Jadi, bilangan kompleks yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{{\displaystyle x+yi=2+2i}}$
Jawaban c)
Perhatikan bahwa
$2+3yi=x^2+x+(x+y)i.$
Ekspresi yang ditandai dengan warna merah di atas menyatakan komponen real, sedangkan warna biru menyatakan komponen imajiner.
Kita akan memperoleh
$\begin{array}{rl}2& =x^2+x\\ x^2+x-2& =0\\ (x+2)(x-1)& =0\\ x=-2\text{atau}& x=1\end{array}$
dan $3y=x+y⟺2y=x.$
Substitusi $x=-2$ dan $x=1$ pada persamaan $2y=x$ menghasilkan $y=-1$ dan $y={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
Jadi, bilangan kompleks yang memenuhi persamaan itu ada $2$, yaitu $\boxed{{\displaystyle x+yi=-2-i}}$ dan $\boxed{{\displaystyle 1+{\displaystyle \frac{1}{2}}i}}$

Kelompokkan/faktorkan persamaan tersebut sebagai berikut berdasarkan bagian real dan imajinernya.
$\begin{array}{rl}& (2x-2y-5)+(-3y+4x-10)i\\ & =(x+y-2)+(x-y-3)i\end{array}$
Dengan menyamakan posisi real dan imajinernya, diperoleh
$\{\begin{array}{ll}2x-2y-5& =x+y-2\\ -3y+4x-10& =x-y-3\end{array}$
Sederhanakan kembali.
$\{\begin{array}{ll}x-3y& =3\\ 3x-2y& =7\end{array}$
Selesaikan SPLDV ini sehingga diperoleh $x={\displaystyle \frac{15}{7}}$ dan $y=-{\displaystyle \frac{2}{7}}$.