Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras

Pertama, harus dicari panjang $FK$ terlebih dahulu. Karena segitiga $EDK$ merupakan segitiga siku-siku, berlaku teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} DK & = \sqrt{EK^2-ED^2} \\ & = \sqrt{20^2-16^2} \\ & =\sqrt{400-256} \\ & = \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, $FK = DK-DF = 12-8 = 4~\text{cm}.$
Keliling bangun tersebut adalah
$$\begin{aligned} k & = ED + DM + ML + LF + FK + KE \\ & = 16 + 8 + 20 + 12 + 4 + 20 \\ & = 80~\text{cm}. \end{aligned}$$Jadi, keliling bangun tersebut adalah $\boxed{80~\text{cm}}.$
(Jawaban B)

Karena $\triangle ACD$ siku-siku, berlaku teorema Pythagoras untuk mencari panjang $AC$, yakni
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AD^2-CD^2} \\ & = \sqrt{17^2-8^2} \\ & =\sqrt{289-64} \\ & = \sqrt{225} = 15~\text{cm}. \end{aligned}$
Dari gambar, diketahui bahwa $CD = CB = 8~\text{cm}$ sehingga
$\begin{aligned} AB & = AC-CB \\ & = 15~\text{cm}- 8~\text{cm} = 7~\text{cm}. \end{aligned}$
Jadi, panjang $AB$ adalah $\boxed{7~\text{cm}}.$
(Jawaban A)

Tariklah garis $CE$ seperti gambar berikut.
Diketahui panjang $CE = AD = 15~\text{cm}$ dan panjang $EB = AB-EA = 33-25 = 8~\text{cm}.$
Segitiga $CEB$ merupakan segitiga siku-siku.
Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned}BC & = \sqrt{EB^2 + CE^2} \\ & = \sqrt{8^2 + 15^2} \\ & = \sqrt{64+225} \\ & = \sqrt{289} = 17~\text{cm}. \end{aligned}$
Jadi, panjang $BC$ adalah $\boxed{17~\text{cm}}.$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Dari gambar, $ABCH$ merupakan persegi dengan panjang sisi $6~\text{cm}$ sehingga luasnya adalah $L_{ABCH} = 6 \times 6 = 36~\text{cm}^2.$
$CDGH$ merupakan trapesium sama kaki yang tingginya belum diketahui. Perhatikan segitiga siku-siku $CDE$. $CE$ merupakan tinggi trapesium sekaligus tinggi segitiga yang dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} t = CE & = \sqrt{CD^2-DE^2} \\ & = \sqrt{15^2-9^2} \\ & = \sqrt{225-81} \\ & = \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, luas trapesium $CDGH$ adalah
$\begin{aligned} L_{CDGH} & = \dfrac{GD + HC}{2} \times t \\ & = \dfrac{24 + 6}{\cancel{2}} \times \cancelto{6}{12} \\ & = 30 \times 6 = 180~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Jadi, luas daerah segi enam itu dapat ditentukan dengan menjumlahkan luas persegi dan trapesium, yaitu
$\boxed{\begin{aligned} L_{ABCDGH} & = L_{ABCH} + L_{CDGH} \\ & = 36 + 180 = 216~\text{cm}^2. \end{aligned}}$ 
(Jawaban B)

Perhatikan segitiga siku-siku $ACD$. Panjang $AC$ dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AD^2-CD^2} \\ & = \sqrt{17^2-8^2} \\ & = \sqrt{289-64} = \sqrt{225} = 15~\text{cm} \end{aligned}$
Selanjutnya, perhatikan segitiga siku-siku $ABC$. Panjang $BC$ dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AC^2-AB^2} \\ & = \sqrt{15^2-9^2} \\ & = \sqrt{225-81} = \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $BC$ adalah $\boxed{12~\text{cm}}.$
(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Segitiga sama kaki $ADE$ tidak diketahui tingginya $($panjang $AD)$ sehingga harus ditentukan dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $DOE.$
$\begin{aligned} EO & = \sqrt{ED^2-DO^2} \\ & = \sqrt{17^2-8^2} \\ & = \sqrt{289-64} = \sqrt{225} = 15~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, luas $\triangle ADE$ adalah
$\begin{aligned} L_{ADE} & = \dfrac{AD \times EO}{2} \\ & = \dfrac{\cancelto{8}{16} \times 15}{\cancel{2}} \\ & = 8 \times 15 = 120~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Luas trapesium siku-siku $ABCD$ dapat langsung ditentukan luasnya, yaitu
$\begin{aligned} L_{ABCD} & = \dfrac{AB \times CD}{2} \times AD \\ & = \dfrac{20 + 12}{\cancel{2}} \times \cancelto{8}{16} \\ & = 32 \times 8 = 256~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Jadi, luas bangun $ABCDE$ adalah
$\boxed{\begin{aligned} L_{ABCDE} & = L_{ADE} + L_{ABCD} \\ & = 120 + 256 = 376~\text{cm}^2. \end{aligned}}$
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Perhatikan segitiga siku-siku $BCD$. Panjang $BC$ dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} BC & = \sqrt{BD^2-CD^2} \\ & = \sqrt{13^2-12^2} \\ & = \sqrt{169-144} = \sqrt{25} = 5~\text{m} \end{aligned}$
Selanjutnya, perhatikan segitiga siku-siku $ACD$. Panjang $AC$ dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AD^2-CD^2} \\ & = \sqrt{20^2-12^2} \\ & = \sqrt{400-144} = \sqrt{256} = 16~\text{m} \end{aligned}$
Jarak kedua mobil tersebut adalah panjang $AB$, yaitu $\boxed{AB = AC- BC = 16- 5 = 11~\text{m}}.$
(Jawaban C)

Diketahui bahwa $AD = BC = 25~\text{cm}$ dan $BE = AE-AB = 22-7 = 15~\text{cm}.$ Perhatikan bahwa $AB = CD.$ Karena segitiga $BEC$ merupakan segitiga siku-siku, berlaku teorema Pythagoras sehingga
$\begin{aligned} CE & = \sqrt{BC^2-BE^2} \\ & = \sqrt{25^2-15^2} \\ & = \sqrt{625-225} \\ &= \sqrt{400} = 20~\text{cm}. \end{aligned}$
Jadi, panjang $CE$ adalah $\boxed{20~\text{cm}}.$
(Jawaban B)

Pertama-tama, akan dicari panjang $DE$. Perhatikan bahwa $AB = CE = 15~\text{cm}.$ Karena segitiga $CDE$ siku-siku, berlaku
$\begin{aligned} DE & = \sqrt{CE^2-CD^2} \\ & = \sqrt{15^2-9^2} \\ & = \sqrt{225-81} \\ &= \sqrt{144} = 12~\text{cm}. \end{aligned}$
Dengan demikian, keliling bangun $ABCDE$ adalah
$\begin{aligned} k & = AB + BC + CD + DE + EA \\ & = 15 + 10 + 9 + 12 + 10 \\ & = 56~\text{cm}. \end{aligned}$
(Jawaban A)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Luas trapesium $ABCH$ tidak dapat ditentukan karena panjang $CH$ tidak diketahui. Sekarang perhatikan segitiga siku-siku $BOC$ dengan $CO = AH = 20~\text{m}$ dan $BC = 25~\text{m}$ sehingga dengan menggunakan teorema Pythagoras, didapat
$\begin{aligned} OB & = \sqrt{BC^2-CO^2} \\ & = \sqrt{25^2-20^2} \\ & = \sqrt{625-400} \\ &= \sqrt{225} = 15~\text{m}. \end{aligned}$
Untuk itu, $AO = AB- OB = 35- 15 = 20~\text{m}.$
Perhatikan bahwa $AO = CH = 20~\text{m}.$
Dengan demikian, luas trapesium $ABCH$ adalah
$\begin{aligned} L_{ABCH} & = \dfrac{AB + CH}{2} \times CO \\ & = \dfrac{35 + 20}{\cancel{2}} \times \cancelto{10}{20} \\ & = 55 \times 10 = 550~\text{m}^2. \end{aligned}$
Luas persegi panjang $DEFG$ adalah
$L_{DEFG} = p \times l = 12 \times 8 = 96~\text{m}^2.$
Luas hamparan rumput (luas daerah yang diarsir) dapat ditentukan dengan mengurangi luas trapesium $ABCH$ terhadap luas persegi panjang $DEFG$, yaitu
$\boxed{\begin{aligned} L_{\text{arsir}} & = L_{ABCH}-L_{DEFG} \\ & = 550- 96 = 454~\text{cm}^2. \end{aligned}}$
(Jawaban C) 

Perhatikan sketsa gambar berikut. Titik $C$ merupakan puncak menara, sedangkan titik $D$ merupakan dasar menara.
Panjang garis $AD$ (jarak perahu $A$ ke dasar menara) dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $ACD.$
$\begin{aligned} AD & = \sqrt{AC^2-CD^2} \\ & = \sqrt{130^2-120^2} \\ & =\sqrt{16.900-14.400} \\ & = \sqrt{2.500} = 50~\text{m} \end{aligned}$
Panjang garis $BD$ (jarak perahu $B$ ke dasar menara) juga dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $BCD.$
$\begin{aligned} BD& = \sqrt{BC^2-CD^2} \\ & = \sqrt{150^2-120^2} \\ & =\sqrt{22.500-14.400} \\ & = \sqrt{8.100} = 90~\text{m} \end{aligned}$
Jarak kedua perahu $($jarak titik $A$ dan $B)$ adalah
$\boxed{\begin{aligned} AB & = BD-AD \\ & = 90~\text{m}-50~\text{m} = 40~\text{m}. \end{aligned}}$
(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar belah ketupat berikut.
Segitiga $ABO$ merupakan segitiga siku-siku.
Panjang sisi belah ketupat ($AB$) dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} AB & = \sqrt{OA^2 + OB^2} \\ & = \sqrt{5^2 + 12^2} \\ & = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13~\text{m} \end{aligned}$
Keliling belah ketupatnya adalah
$k = 4 \times AB = 4 \times 13 = 52~\text{m}.$
Karena kawat dipasangkan di sekeliling bangun belah ketupat sebanyak 3 putaran, panjang kawat yang dibutuhkan adalah
$p = 3 \times 52~\text{m} = 156~\text{m}.$
Dengan demikian, harga seluruh kawat yang diperlukan sebesar $\boxed{\text{Rp}5.000,00 \times 156 = \text{Rp}780.000,00}.$
(Jawaban D)

Berdasarkan aturan ketaksamaan segitiga (triangle inequality), tiga bilangan $(a, b, c)$ dapat menjadi panjang sisi segitiga jika jumlah dua panjang sisi lebih besar dari panjang sisi yang satunya.
Kemungkinan 1:
Tiga bilangan $(4, 5, 9)$ tidak dapat dibuat menjadi panjang sisi segitiga karena $4 + 5 = 9$.
Kemungkinan 2:
Tiga bilangan $(4, 5, 10)$ tidak dapat dibuat menjadi panjang sisi segitiga karena $4 + 5 < 10$. Ingat bahwa jumlah dua bilangan harus lebih besar dari bilangan lainnya.
Kemungkinan 3:
Tiga bilangan $(4, 9, 10)$ dapat dibuat menjadi panjang sisi segitiga.
Untuk memeriksa jenis segitiganya, gunakan teorema Pythagoras.
$4^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97 < 10^2 = 100$
Karena bertanda $<$, segitiga yang terbentuk adalah segitiga tumpul.
Kemungkinan 4:
Tiga bilangan $(5, 9, 10)$ dapat dibuat menjadi panjang sisi segitiga.
Untuk memeriksa jenis segitiganya, gunakan teorema Pythagoras.
$5^2 + 9^2 = 25 + 81 = 106 > 10^2 = 100$
Karena bertanda $>$, segitiga yang terbentuk adalah segitiga lancip.
Jadi, Sutan dapat membuat sebuah segitiga lancip dan sebuah segitiga tumpul dengan menggunakan lidi-lidi tersebut. Opsi yang memungkinkan adalah A.
(Jawaban A)

Akan diperiksa kebenaran masing-masing pernyataan di atas.
Pernyataan (i):
Perhatikan bahwa $b^2=a^2-c^2 \Leftrightarrow a^2 = b^2+c^2.$ Berdasarkan teorema Pythagoras, $\angle A = 90^{\circ}.$ Dengan demikian, pernyataan bernilai salah.
Pernyataan (ii):
Perhatikan bahwa $c^2=a^2+b^2.$ Berdasarkan teorema Pythagoras, $\angle C = 90^{\circ}.$ Dengan demikian, pernyataan bernilai benar.
Pernyataan (iii):
Perhatikan bahwa $a^2=b^2-c^2 \Leftrightarrow b^2 = a^2+c^2.$ Berdasarkan teorema Pythagoras, $\angle B = 90^{\circ}.$ Dengan demikian, pernyataan bernilai benar.
Pernyataan (iv):
Perhatikan bahwa $b^2=a^2+c^2.$ Berdasarkan teorema Pythagoras, $\angle B = 90^{\circ}.$ Dengan demikian, pernyataan bernilai salah.
Jadi, pernyataan yang benar adalah pernyataan (ii) dan (iii).
(Jawaban C)

Suppose $y$ be the length of hypotenuse. By applying Pythagorean theorem (since it is right triangle), we have
$\begin{aligned} y & = \sqrt{(4x)^2+(3x)^2} \\ 20 & = \sqrt{16x^2+9x^2} \\ 20 & = \sqrt{25x^2} \\ 20 & = 5x \\ x & = 4. \end{aligned}$
Thus, the length of sides of the right triangle are $4(4) = 16$ cm, $3(4) = 12$ cm and the hypotenuse itself has a length of $20$ cm.
Hence, the perimeter of the triangle is $\boxed{16+12+20 = 48~\text{cm}}.$
(Answer C)

Karena $\triangle PQR$ sama sisi, $PQ = QR = PR = 12~\text{cm}.$ $S$ merupakan titik tengah $PQ$ sehingga $PS = SQ = 6~\text{cm}.$
Tinjau segitiga siku-siku $RSQ.$
Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} RS & = \sqrt{RQ^2-SQ^2} \\ & = \sqrt{12^2-6^2} \\ & = \sqrt{144-36} \\ & = \sqrt{108} \\ & = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt3~\text{cm}. \end{aligned}$
Jadi, panjang $RS$ adalah $\boxed{6\sqrt3~\text{cm}}.$
(Jawaban D)

Diketahui $L = 240~\text{cm}^2$ dan $d_1 = 16~\text{cm}.$
Akan dicari panjang diagonal yang lain menggunakan rumus belah ketupat.
$\begin{aligned} L & = \dfrac{d_1 \times d_2}{2} \\ 240 & = \dfrac{\cancelto{8}{16} \times d_2}{\cancel{2}} \\ 240 & = 8 \times d_2 \\ d_2 & = 30~\text{cm} \end{aligned}$
Perhatikan gambar belah ketupat berikut.
Segitiga $AOB$ siku-siku di $O$ dengan $OB = \dfrac12 \times 30 = 15~\text{cm}$ dan $AO = \dfrac12 \times 16 = 8~\text{cm}.$ Panjang hipotenusa $AB$ dapat dihitung dengan menerapkan rumus Pythagoras.
$\begin{aligned} AB & = \sqrt{AO^2+OB^2} \\ & = \sqrt{8^2+15^2 } \\ & = \sqrt{64+225} \\ & = \sqrt{289} = 17~\text{cm} \end{aligned}$
Panjang sisi belah ketupat adalah $17~\text{cm}.$ Kelilingnya adalah $\boxed{4 \times 17 = 68~\text{cm}}.$
(Jawaban B)

Karena alas kubus berupa persegi, panjang rusuk kubus dapat ditentukan dengan menggunakan rumus luas persegi.
$\begin{aligned} L & = s^2 \\ 64 &= s^2 \\ s & = \sqrt{64} = 8~\text{cm} \end{aligned}$
Perhatikan gambar kubus berikut. Dalam hal ini, kita akan mencari panjang $AG$, yang merupakan salah satu dari empat diagonal ruang kubus.
Segitiga $ABC$ merupakan segitiga siku-siku $($di $B).$ Diketahui bahwa $AB = BC = 8~\text{cm}.$
Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2+BC^2} \\ & = \sqrt{8^2+8^2} \\ & = \sqrt{64+64} = \sqrt{128}~\text{cm}. \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan segitiga siku-siku $ACG$ $($siku-sikunya di $C).$
Diketahui bahwa $CG = 8~\text{cm}$ dan $AC = \sqrt{128}~\text{cm}.$
Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} AG & = \sqrt{AC^2+CG^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt{128})^2+8^2} \\ & = \sqrt{128+64} = \sqrt{192}~\text{cm}. \end{aligned}$
Jadi, panjang diagonal ruang kubus tersebut adalah $\boxed{\sqrt{192}~\text{cm}}.$
(Jawaban B)

Diketahui $BD = 24~\text{cm}.$ Karena $E$ tepat di tengah sisi $BD$, haruslah $BE = \dfrac12 \times 24 = 12~\text{cm}.$ Dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $BEC$, diperoleh
$\begin{aligned} EC & = \sqrt{BC^2-BE^2} \\ & = \sqrt{13^2-12^2} \\ & = \sqrt{169-144} = \sqrt{25} = 5~\text{cm}. \end{aligned}$
Dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $AEB$, diperoleh
$\begin{aligned} AE & = \sqrt{AB^2-BE^2} \\ & = \sqrt{20^2-12^2} \\ & = \sqrt{400-144} = \sqrt{256} = 16~\text{cm}. \end{aligned}$
Dengan demikian, diagonal $AC = AE + EC = 16 + 5 = 21~\text{cm}.$
Luas layang-layang $ABCD$ adalah
$\begin{aligned} L_{ABCD} & = \dfrac{AC \times BD}{2} \\ & = \dfrac{21 \times \cancelto{12}{24}}{\cancel{2}} \\ & = 252~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Jadi, luas layang-layang tersebut adalah $\boxed{252~\text{cm}^2}.$
(Jawaban A)

Tinjau segitiga siku-siku $PQR$. Perbandingan antara panjang sisi di hadapan sudut di hadapan sudut $30^{\circ}$, hipotenusa, dan sisi di hadapan sudut $60^{\circ}$ adalah $1 : 2 : \sqrt3.$ 
Diketahui bahwa besar $\angle P = 30^{\circ},$ $\angle Q = 90^{\circ},$ dan $\angle R = 60^{\circ}$ sehingga perbandingan panjang sisi $QR : PR : PQ = 1 : 2 : \sqrt3.$ Karena $PR = 20~\text{cm},$ dengan menggunakan perbandingan tersebut, diperoleh
$\begin{aligned} QR : PR & = 1 : 2 \\ QR : 20 & = 1 : 2 \\ QR & = \dfrac12 \times 20 = 10~\text{cm} \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} PQ : PR & = \sqrt3 : 2 \\ QR : 20 & = \sqrt3 : 2 \\ QR & = \dfrac12\sqrt3 \times 20 = 10\sqrt3~\text{cm}. \end{aligned}$
Dengan demikian, luas persegi panjang tersebut adalah
$\boxed{\begin{aligned} L_{PQRS} & = PQ \times QR \\ & = 10\sqrt3 \times 10 = 100\sqrt3~\text{cm}^2. \end{aligned}}$
(Jawaban D)

Tiga bilangan $a, b, c$ dikatakan tripel Pythagoras jika memenuhi $a^2+b^2 = c^2$ dengan $c$ merupakan bilangan terbesar.
Cek (i): $21, 20, 29$
$\begin{aligned} 20^2 + 21^2 & = 400+441 \\ & = 841 = 29^2 \end{aligned}$
Ini berarti, $(21, 20, 29)$ merupakan tripel Pythagoras.
Cek (ii): $8, 11, \sqrt{175}$
$\begin{aligned} 8^2 + 11^2 & = 64+121 \\ & = 185 \neq (\sqrt{175})^2 = 175 \end{aligned}$
Ini berarti, $(8, 11, \sqrt{175})$ bukan tripel Pythagoras.
Cek (iii): $50, 48, 14$
$\begin{aligned} 14^2 + 48^2 & = 196+2.304 \\ & = 2.500 = 50^2 \end{aligned}$
Ini berarti, $(50, 18, 14)$ merupakan tripel Pythagoras.
Jadi, dari pasangan tiga bilangan tersebut, yang merupakan tripel Pythagoras adalah (i) dan (iii).
(Jawaban B)

Segitiga $AHB$ merupakan segitiga siku-siku di sudut $A$. Pertama, akan dicari panjang $AH$ terlebih dahulu.
Tinjau segitiga siku-siku $AFH$. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} AH & = \sqrt{AE^2+EH^2} \\ & = \sqrt{8^2+8^2} \\ & = \sqrt{8^2(1+1)} \\ & = 8\sqrt2~\text{cm}. \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari luas segitiga $AHB.$
$\begin{aligned} L_{AHB} & = \dfrac{a \times t}{2} = \dfrac{AB \times AH}{2} \\ & = \dfrac{\cancelto{4}{8} \times 8\sqrt2}{\cancel{2}} = 32\sqrt2~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas segitiga $AHB$ adalah $\boxed{32\sqrt2~\text{cm}^2}.$
(Jawaban A)

Jika panjang dan lebar persegi panjang tersebut masing-masing $16$ cm dan $8$ cm, maka hitunglah panjang diameter setengah lingkaran tersebut.

Misalkan panjang jari-jari lingkaran itu adalah $r$. Sekarang perhatikan sketsa gambar berikut.
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} r + x + r & = 16 \\ 2r + x & = 16 \\ x & = 16-2r. \end{aligned}$
Pada segitiga siku-siku itu, berlaku rumus Pythagoras.
$$\begin{aligned} (r+r)^2 & = 8^2 + x^2 \\ (2r)^2 & = 64 + (16-2r)^2 \\ (2r)^2-(16-2r)^2 & = 64 \\ (2r+16-2r)(2r-16+2r) & = 64 \\ 16(4r-16) & = 64 \\ 4r-16 & = 4 \\ 4r & = 20 \\ r & = 5 \end{aligned}$$Karena panjang jari-jari lingkarannya $5$ cm, panjang diameternya adalah $\boxed{2(5) = 10~\text{cm}}.$

Karena segitiganya siku-siku, berlaku rumus Pythagoras. Misalkan panjang sisinya $(a, b, c)$ dengan $c$ sebagai hipotenusa. Tripel Pythagoras ini dapat ditulis juga sebagai
$$\begin{aligned} a & = m^2-n^2 \\ b & = 2mn \\ c & = m^2+n^2 \end{aligned}$$untuk setiap bilangan bulat positif $m$ dan $n$ serta $m > n.$
Keliling segitiganya adalah
$$\begin{aligned} \textbf{k} & = a + b + c \\ & = (m^2-n^2)+(2mn)+(m^2+n^2) \\ & = 2m^2+2mn. \end{aligned}$$Luas segitiganya adalah
$$\begin{aligned} \textbf{L} & = \dfrac{a \times b}{2} \\ & = \dfrac{(m^2-n^2)(2mn)}{2} \\ & = (m^2-n^2)mn. \end{aligned}$$Karena nilai keliling dan luasnya sama, diperoleh
$$\begin{aligned} \textbf{k} & = \textbf{L} \\ 2m^2+2mn & = (m^2-n^2)mn \\ 2\cancel{m}\bcancel{(m+n)} & = \bcancel{(m+n)}(m-n)\cancel{m}n \\ 2 & = n(m-n). \end{aligned}$$Jika diselesaikan untuk $m,$ kita peroleh $m = \color{red}{\dfrac{2}{n}} + n.$ Karena $m$ bulat positif, nilai $n$ yang mungkin adalah $1$ atau $2.$

1. Jika $n = 1$, didapat $m = \dfrac21+1=3.$
2. Jika $n=2$, didapat $m=\dfrac22+2=3.$

Dengan demikian, berturut-turut kita peroleh panjang sisi segitiganya sebagai berikut.
Untuk $(m, n) = (3, 1),$ diperoleh
$$\begin{aligned} a & = m^2-n^2 = 3^2-1^2 = 8 \\ b & = 2mn = 2(3)(1) = 6 \\ c & = m^2+n^2 = 3^2+1^2=10. \end{aligned}$$Jadi, panjang sisinya $(6, 8, 10).$
Untuk $(m, n) = (3, 2),$ diperoleh
$$\begin{aligned} a & = m^2-n^2 = 3^2-2^2 = 5 \\ b & = 2mn = 2(3)(2) = 12 \\ c & = m^2+n^2 = 3^2+2^2=13. \end{aligned}$$Jadi, panjang sisinya $(5, 12, 13).$
Dengan demikian, disimpulkan bahwa ada $\boxed{2}$ segitiga siku-siku yang memiliki ukuran sisi bilangan bulat serta memiliki nilai luas dan keliling yang sama.

Misalkan $a, b, c \in \mathbb{Z}^+.$ Karena $c = a + 1,$ diperoleh
$$\begin{aligned} a^2 + b^2 & = (a + 1)^2 \\ a^2 + b^2 & = a^2+2a+1 \\ b^2 & = 2a+1. \end{aligned}$$Karena $a$ merupakan bilangan bulat, berdasarkan definisi, $b^2$ merupakan bilangan ganjil sehingga $b$ juga ganjil. Ini berarti $b = 2k + 1$ untuk suatu bilangan bulat $k$ sehingga
$$\begin{aligned} b^2 & = (2k+1)^2 \\ & = 4k^2+4k+1 \\ & = 2(2k^2+2k) + 1. \end{aligned}$$Dengan demikian, nilai $a = 2t^2+2t.$ Dengan mengambil sembarang bilangan bulat $t,$ diperoleh nilai $a$ dan $b$ yang berbeda-beda. Jadi, tripel Pythagoras $(a, b, c)$ akan sebanyak takhingga.