Cara Menghitung Luas Daun Beraturan dalam Matematika

Matematika mengajarkan kita untuk berpikir secara kritis dan kreatif. Terkadang kita diajak untuk berpikir dalam konteks yang ideal untuk menyelesaikan suatu permasalahan. Permasalahan yang dimaksud misalnya menentukan luas suatu bangun datar tidak beraturan (permukaan daun, serpihan kayu, sobekan kertas, dan masih banyak lagi) dengan menggunakan kertas berpetak (grid) seperti ilustrasi di bawah ini.

Kita tinggal menghitung banyaknya petak yang ada di lingkup bangun datar. Sayangnya, luas yang kita dapatkan memiliki tingkat keakuratan yang rendah (galatnya cukup besar; galat = tingkat kesalahan) jika menggunakan metode seperti itu karena terdapat petak yang tidak seluruhnya terlingkup dalam bangun datar. Di tingkat lanjut, matematika menawarkan metode yang sangat ampuh dan banyak diterapkan dalam bidang teknik, yaitu integral. Kali ini, kita tidak akan membahas lebih jauh tentang integral, tetapi lebih kepada pendekatan lain yang bisa dikatakan kreatif untuk menghitung luas sebuah bangun datar yang mirip seperti daun.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Lingkaran (Tingkat SD)  

Dalam persoalan mengenai lingkaran, kita mungkin pernah menghadapi soal yang menanyakan luas arsiran seperti daun yang tampak pada gambar di bawah.

Karena bentuk arsirannya seperti daun, kita akan sebut ini sebagai “daun” saja. Daun tersebut sebenarnya merupakan hasil irisan dari dua buah seperempat lingkaran yang diimpitkan di dalam sebuah persegi. Perhatikan bahwa daun tersebut setangkup (simetris) dan lengkungannya mulus (tidak bergerigi).

Today Quote

Bagaimana cara menghitung luas daun tersebut? Berikut ulasannya. Sekarang, coba perhatikan gambar berikut.

Gambar di atas merupakan seperempat lingkaran yang diletakkan di dalam sebuah persegi dengan panjang sisi $r$. Lingkaran itu juga berjari-jari $r$. Untuk mencari luas yang diarsir biru, kita hanya perlu mencari luas persegi dan luas seperempat lingkaran, lalu dikurangi. Bila kita anggap $\pi = \dfrac{22}{7}$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned}\text{Luas Arsir} & = \text{Luas Per}\text{segi}-\text{Luas Seperempat Ling}\text{karan} \\ & = (r \times r)-\left(\dfrac14 \times \pi \times r \times r\right) \\ & = r^2-\dfrac14 \times \dfrac{22}{7} r^2 \\ & = r^2-\dfrac{11}{14}r^2 = \left(1-\dfrac{11}{14}\right)r^2 = \dfrac{3}{14}r^2 \end{aligned}$$Selanjutnya, perhatikan gambar berikut.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di atas merupakan dua kalinya dari luas daerah arsiran pada gambar sebelumnya. Jadi, luas daerah arsiran untuk gambar ini adalah
$\text{Luas Arsir} = 2 \times \dfrac{3}{14}r^2 = \dfrac{3}{7}r^2.$
Nah, yang terakhir, nih! Perhatikan gambar berikut.
Daerah yang diarsir berlawanan dari daerah arsiran sebelumnya. Jadi, kita tinggal mengurangi luas persegi dengan luas daerah yang tak diarsir (sebelumnya telah dicari). Luas arsiran ini kita sebut sebagai luas daun.
$\begin{aligned} \text{Luas Daun} & = (r \times r)-\dfrac37r^2 \\ & = \left(1-\dfrac37\right)r^2 = \dfrac47r^2 \end{aligned}$
Jadi, luas daun di dalam persegi dengan panjang sisi $r$ adalah $\boxed{L = \dfrac47 \times r \times r}$

Bagaimana jika bentuk daunnya seperti ini?
Masing-masing daun tersebut sebenarnya disusun dari dua buah tembereng lingkaran yang sama. Perhatikan gambar berikut.
Kita misalkan panjang sisi persegi kecil (yang diberi warna ungu pada gambar) adalah $s$. Diameter lingkaran itu dapat dicari dengan menggunakan rumus Pythagoras, yaitu $d = \sqrt{s^2 + s^2} = \sqrt{2s^2} = s\sqrt2.$
Jari-jari lingkarannya adalah panjang diameter dibagi $2$, yakni $r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{s}{2}\sqrt2.$
Selanjutnya, perhatikan gambar berikut.
Luas tembereng (daerah warna hijau) dapat dihitung dengan mengurangi luas juring lingkaran bersudut $90^{\circ}$ dengan luas segitiga siku-siku.
$$\begin{aligned} L_{\text{tem}\text{bereng}} & = \dfrac14 \times \pi \times \left(\dfrac{s}{2}\sqrt2\right)^2-\dfrac12 \times \dfrac{s}{2}\sqrt2 \times \dfrac{s}{2}\sqrt2 \\ & =  \pi \times \dfrac{s^2}{8}-\dfrac{s^2}{4} \\ & = \dfrac{s^2 \pi-2s^2}{8} \end{aligned}$$Jadi, kita peroleh rumus luas tembereng, yaitu $L_{\text{tem}\text{bereng}} = \dfrac{s^2 \pi-2s^2}{8}.$
Kembali ke bentuk soal awal (luas daun): ada $4$ daun, masing-masing terbentuk dari $2$ tembereng yang sama besar sehingga ada $8$ tembereng secara keseluruhan. Dengan demikian, luas daun seluruhnya adalah
$$\boxed{L_{4~\text{daun}} = \cancel{8} \times \dfrac{s^2 \pi-2s^2}{\cancel{8}} = s^2 \pi-2s^2}$$Jika dari gambar berikut:
diketahui panjang sisi persegi (besar) adalah $14$ cm sehingga $s = 7$ cm dan anggap $\pi = \dfrac{22}{7}$, maka dengan menggunakan rumus yang telah didapat, luas daun yang diarsir hijau pada gambar di atas adalah
$\begin{aligned} L_{4~\text{daun}} & = s^2 \pi-2s^2 \\ & = 7^2 \times \dfrac{22}{7}-2 \times 7^2 \\ & = 154-98 = 56~\text{cm}^2 \end{aligned}$

Baca: Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras

Soal yang menanyakan luas daun seperti ini sering dimunculkan dalam soal lingkaran tipe Higher Order Thinking Skills (HOTS) dan soal olimpiade. Meskipun hasilnya masih merupakan suatu upaya pendekatan atas nilai $\pi$ (karena $\pi$ adalah bilangan irasional), tetapi perlu diketahui bersama bahwa matematika mengajarkan kepada kita untuk menyelesaikan suatu permasalahan secara ideal terlebih dahulu untuk menguji penalaran dan melatih daya problem solving kita.