Soal Cadangan

Tuliskan $2020$ dalam bentuk faktorisasi prima, yakni $2.020 = 2^2 \cdot 5^1 \cdot 101^1.$
Jumlah semua faktor positifnya dapat dicari dengan mengalikan setiap penjumlahan faktor prima berpangkat dari $0$ sampai pangkat terbesar yang ada pada bentuk faktorisasi primanya.
$$\begin{aligned} n & = (2^0 + 2^1 + 2^2) \times (5^0 + 5^1) \times (101^0 + 101^1) \\ & = (1 + 2 + 4) \times (1 + 5) \times (1 + 101) \\ & = 7 \cdot 6 \cdot 102 \\ & = 4.284 \end{aligned}$$Jadi, hasil jumlah semua faktor positif dari $2.020$ adalah $\boxed{4.284}$

Perhatikan bahwa jika $6$ bilangan tersebut ditulis dalam bentuk panjang, kita peroleh
$$\begin{aligned} \overline{dmj} & = 100d + 10m + j \\ \overline{djm} & = 100d + 10j + m \\ \overline{mdj} & = 100m + 10d + j \\ \overline{mjd} & = 100m + 10j + d \\ \overline{jdm} & = 100j + 10d + m \\ \overline{jmd} & = 100j + 10m + d \end{aligned}$$dan jika dijumlahkan semuanya didapat
$$\begin{aligned} \overline{dmj} + \overline{djm} + \overline{mdj} + \overline{mjd} + \overline{jdm} + \overline{jmd} & = 222d + 222j + 222m \\ & = 222(d + j + m) \end{aligned}$$Pertama, nyatakan bilangan 3-digit $\overline{dmj}$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \overline{dmj} & = (\overline{dmj} + \overline{djm} + \overline{mdj} + \overline{mjd} + \overline{jdm} + \overline{jmd})-(\overline{djm} + \overline{mdj} + \overline{mjd} + \overline{jdm} + \overline{jmd}) \\ & = 222(d + j + m)-3.194 \end{aligned}$$Karena $\overline{dmj}$ merupakan bilangan ratusan, maka nilainya terbatas dari $100$ sampai $999$ sehingga kita tulis
$$\begin{aligned} 100 & \leq 222(d + j + m)-3.194 \leq 999 \\ 3.294 & \leq 222(d+j+m) \leq 4.193 \\ 15 & \leq d + j + m \leq 18. \end{aligned}$$Catatan: Karena $d, j, m$ digit, maka pastilah hasil jumlahnya berupa bilangan bulat sehingga batas bawah/atasnya kita sesuaikan.
Kasus 1:
Jika $d + j + m = 15,$ maka diperoleh
$$\begin{aligned} 222(d+j+m)-3.194 & = 222(15)-3.194 \\ & = 136. \end{aligned}$$Dapat diperiksa bahwa
$$163 + 316 + 361 + 613 + 631 \neq 3.194$$sehingga kasus ini TIDAK memberi solusi yang tepat.
Kasus 2:
Jika $d + j + m = 16,$ maka diperoleh
$$\begin{aligned} 222(d+j+m)-3.194 & = 222(16)-3.194 \\ & = 358. \end{aligned}$$Dapat diperiksa bahwa
$$385 + 538 + 583 + 835 + 853 = 3.194$$sehingga kasus ini memberi solusi yang tepat.
Kasus 3:
Jika $d + j + m = 17,$ maka diperoleh
$$\begin{aligned} 222(d+j+m)-3.194 & = 222(17)-3.194 \\ & = 580. \end{aligned}$$Namun, $\overline{dmj} = 580$ menunjukkan bahwa $j = 0,$ padahal syaratnya ketiga digit tersebut tidak boleh sama dengan nol. Jadi, kasus ini TIDAK memberi solusi yang tepat.
Kasus 4:
Jika $d + j + m = 18,$ maka diperoleh
$$\begin{aligned} 222(d+j+m)-3.194 & = 222(18)-3.194 \\ & = 802. \end{aligned}$$Namun, $\overline{dmj} = 802$ menunjukkan bahwa $m = 0,$ padahal syaratnya ketiga digit tersebut tidak boleh sama dengan nol. Jadi, kasus ini TIDAK memberi solusi yang tepat.

Kesimpulannya, bilangan yang dibayangkan penonton tersebut adalah $\boxed{358}$

Diketahui bahwa himpunan $50.000$ bilangan asli pertama adalah $\{1, 2, 3, \cdots, 50.000\}.$ Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli sehingga berlaku $a^2 = b^3.$ Persamaan tersebut berlaku jika $a = k^3$ dan $b = k^2$ untuk suatu bilangan asli $k.$ Dengan kata lain, bilangan kuadrat yang sekaligus merupakan bilangan kubik adalah bilangan berpangkat enam, atau ditulis $k^6.$
Daftarkan bilangan berpangkat enam seperti berikut.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Bilangan} & \text{Hasil} \\ \hline 1^6 & 1 \\ \hline 2^6 & 64 \\ \hline 3^6 & 729 \\ \hline 4^6 & 4.096 \\ \hline 5^6 & 15.625 \\ \hline 6^6 & 46.656 \\ \hline 7^6 & \color{red}{117.649} \\ \hline \end{array}$$Tampak bahwa banyak bilangan berpangkat enam yang nilainya 1 sampai 50.000 hanya ada $\boxed{6}$
(Jawaban E)

Misalkan $A, B, C,$ dan $D$ berturut-turut mewakili harga satu unit laptop merek $A, B, C,$ dan $D.$ Dengan demikian, diperoleh persamaan berikut.
$$\begin{aligned} 20A & = 7B \\ 4A & = C \Rightarrow 20A = 5C \\ 4A & = 3D \Rightarrow 20A = 15D \end{aligned}$$Ketiga persamaan di atas dapat digabungkan sehingga menjadi $20A = 7B = 5C = 15D.$ Perbandingan banyak laptop yang dijual adalah $n_A : n_B : n_C : n_D = 20 : 7 : 5 : 15.$ Karena jumlah laptop yang terjual ada $2021$ unit, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} n_A & = \dfrac{20}{20 + 7 + 5 + 15} \times 2021 \\ & = \dfrac{20}{\cancel{47}} \times \cancelto{43}{2021} \\ & = 860 \end{aligned}$$Jadi, laptop merek A terjual sebanyak $\boxed{860}$ unit.
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut.
$$\begin{aligned} p & = n^3-m^3 \\ & = (n-m)(n^2+nm+m^2) \end{aligned}$$ $p$ dapat kita nyatakan dalam $2$ faktor, yakni $(n-m)$ dan $(n^2+nm+m^2).$ Karena $p$ prima, maka salah satu faktor tersebut harus sama dengan $1.$ Untuk $m, n$ bilangan asli, jelas bahwa $(n^2+nm+m^2)$ tidak mungkin bernilai $1$ sehingga pastilah $n-m=1,$ berakibat $n =m+1.$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p & = n^2+nm+m^2 \\ & = (m+1)^2+(m+1)m+m^2 \\ & = (m^2+2m+1)+m^2+m+m^2 \\ & = 3m^2 +3m+1 \\ & = 3m(m+1)+1 \end{aligned}$$Sekarang, tinggal dimasukkan nilai bilangan asli $m$ (dimulai dari $1$) agar menghasilkan bilangan prima.
$$\begin{array}{ccc} \hline m & p & \text{Keterangan} \\ \hline 1 & 7 & \checkmark \\ 2 & 19 & \checkmark \\ 3 & 37 & \checkmark \\ 4 & 61 & \checkmark \\ 5 & 91 & \text{X} \\ 6 & 127 & \checkmark \\ \hline \end{array}$$Catatan: $91$ ditolak karena bukan bilangan prima.
Jadi, kita peroleh lima bilangan prima $p$ yang dimaksud, yaitu $7, 19, 37, 61,$ dan $127$ dengan jumlahnya $251.$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa persamaan di atas dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} 2^n \cdot 3 & = m^2-1 \\ 2^n \cdot 3 & = (m+1)(m-1). \end{aligned}$$Bentuk $2^n \cdot 3$ akan selalu bernilai genap untuk setiap bilangan bulat positif $n,$ sedangkan bentuk $m^2-1$ akan bernilai genap ketika $m$ ganjil.
Karena $m$ ganjil, kita dapat nyatakan sebagai $m = 2k-1$ untuk sembarang bilangan bulat positif $k.$
Jadi, kita peroleh
$$\begin{aligned} 2^n \cdot 3 & = (\color{red}{(2k-1)}+1)(\color{red}{(2k-1)}-1) \\ 2^n \cdot 3 & = (2k)(2k-2) \\ 2^n \cdot 3 & = 4(k)(k-1) \\ 2^{n-2} \cdot 3 & = k(k-1) \end{aligned}$$Ada dua kasus yang dapat dianalisis.

1. Andaikan $k$ ganjil, maka jelas bahwa $k = 3$ dan $k-1 = 2^{n-2}.$ Akibatnya, diperoleh $n = 3$ sehingga substitusi pada persamaan mula-mula menghasilkan nilai $m = 5.$
2. Andaikan $k$ genap, maka jelas bahwa $k-1 = 3$ dan $k = 2^{n-2}.$ Akibatnya, diperoleh $n = 4$ sehingga substitusi pada persamaan mula-mula menghasilkan nilai $m = 7.$

Jadi, pasangan bilangan bulat positif $(m, n)$ yang memenuhi persamaan tersebut ada $\boxed{2},$ yakni $(5, 3)$ dan $(7, 4).$

Jawaban a)
Dapat diobservasi bahwa untuk beberapa nilai $n,$ kita memang dapat menuliskan $3^n$ sebagai penjumlahan $3$ bilangan bulat berurutan. Sebagai contoh:
$$\begin{aligned} 3^2 & = 3 + 3 + 3 = 2 + 3 + 4 \\ 3^3 & = 9 + 9 + 9 = 8 + 9 + 10 \\ 3^4 & = 27 + 27 + 27 = 26 + 27 + 28. \end{aligned}$$Berangkat dari sini, kita peroleh
$$\begin{aligned} 3^n & = 3 \cdot 3^{n-1} \\ & = 3^{n-1} + 3^{n-1} + 3^{n-1} \\ & = (3^{n-1}-1) + 3^{n-1} + (3^{n-1}+1). \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $3^n$ dapat dituliskan sebagai penjumlahan $3$ bilangan bulat berurutan untuk $n > 1, n \in \mathbb{Z}.$
Jawaban b)
Gunakan metode kontradiksi. Misalkan $2^n$ dapat dituliskan sebagai penjumlahan $2$ bilangan bulat. Ini artinya terdapat bilangan bulat $k$ sehingga
$$\begin{aligned} 2^n & = k + (k+1) \\ & = 2k + 1. \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $2^n$ pasti genap, sedangkan $2k+1$ ganjil. Terjadi kontradiksi dan pernyataan semula harus diingkari. Jadi, $2^n$ tidak dapat dituliskan sebagai penjumlahan $2$ bilangan bulat untuk $n > 1, n \in \mathbb{Z}.$