Soal Cadangan

Soal Nomor
Berapa penjumlahan semua faktor positif dari $2.020$?

Pembahasan

Tuliskan $2020$ dalam bentuk faktorisasi prima, yakni $2.020 = 2^2 \cdot 5^1 \cdot 101^1.$
Jumlah semua faktor positifnya dapat dicari dengan mengalikan setiap penjumlahan faktor prima berpangkat dari $0$ sampai pangkat terbesar yang ada pada bentuk faktorisasi primanya.
$$\begin{aligned} n & = (2^0 + 2^1 + 2^2) \times (5^0 + 5^1) \times (101^0 + 101^1) \\ & = (1 + 2 + 4) \times (1 + 5) \times (1 + 101) \\ & = 7 \cdot 6 \cdot 102 \\ & = 4.284 \end{aligned}$$Jadi, hasil jumlah semua faktor positif dari $2.020$ adalah $\boxed{4.284}$

[collapse]

Soal Nomor
Dalam suatu permainan, pesulap meminta seorang penonton membayangkan bilangan 3-digit $\overline{dmj}$ dengan syarat $d, m, j \neq 0.$ Selanjutnya, pesulap meminta penonton tersebut untuk membentuk lima bilangan, yaitu $\overline{djm},$ $\overline{mdj},$ $\overline{mjd},$ $\overline{jdm},$ dan $\overline{jmd}.$ Penonton diminta memberitahukan jumlah dari lima bilangan tersebut dan ia menjawab $3.194.$ Tentukan bilangan $\overline{dmj}$ yang dibayangkan oleh penonton tersebut.

Pembahasan

Perhatikan bahwa jika $6$ bilangan tersebut ditulis dalam bentuk panjang, kita peroleh
$$\begin{aligned} \overline{dmj} & = 100d + 10m + j \\ \overline{djm} & = 100d + 10j + m \\ \overline{mdj} & = 100m + 10d + j \\ \overline{mjd} & = 100m + 10j + d \\ \overline{jdm} & = 100j + 10d + m \\ \overline{jmd} & = 100j + 10m + d \end{aligned}$$dan jika dijumlahkan semuanya didapat
$$\begin{aligned} \overline{dmj} + \overline{djm} + \overline{mdj} + \overline{mjd} + \overline{jdm} + \overline{jmd} & = 222d + 222j + 222m \\ & = 222(d + j + m) \end{aligned}$$Pertama, nyatakan bilangan 3-digit $\overline{dmj}$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \overline{dmj} & = (\overline{dmj} + \overline{djm} + \overline{mdj} + \overline{mjd} + \overline{jdm} + \overline{jmd})-(\overline{djm} + \overline{mdj} + \overline{mjd} + \overline{jdm} + \overline{jmd}) \\ & = 222(d + j + m)-3.194 \end{aligned}$$Karena $\overline{dmj}$ merupakan bilangan ratusan, maka nilainya terbatas dari $100$ sampai $999$ sehingga kita tulis
$$\begin{aligned} 100 & \leq 222(d + j + m)-3.194 \leq 999 \\ 3.294 & \leq 222(d+j+m) \leq 4.193 \\ 15 & \leq d + j + m \leq 18. \end{aligned}$$Catatan: Karena $d, j, m$ digit, maka pastilah hasil jumlahnya berupa bilangan bulat sehingga batas bawah/atasnya kita sesuaikan.
Kasus 1:
Jika $d + j + m = 15,$ maka diperoleh
$$\begin{aligned} 222(d+j+m)-3.194 & = 222(15)-3.194 \\ & = 136. \end{aligned}$$Dapat diperiksa bahwa
$$163 + 316 + 361 + 613 + 631 \neq 3.194$$sehingga kasus ini TIDAK memberi solusi yang tepat.
Kasus 2:
Jika $d + j + m = 16,$ maka diperoleh
$$\begin{aligned} 222(d+j+m)-3.194 & = 222(16)-3.194 \\ & = 358. \end{aligned}$$Dapat diperiksa bahwa
$$385 + 538 + 583 + 835 + 853 = 3.194$$sehingga kasus ini memberi solusi yang tepat.
Kasus 3:
Jika $d + j + m = 17,$ maka diperoleh
$$\begin{aligned} 222(d+j+m)-3.194 & = 222(17)-3.194 \\ & = 580. \end{aligned}$$Namun, $\overline{dmj} = 580$ menunjukkan bahwa $j = 0,$ padahal syaratnya ketiga digit tersebut tidak boleh sama dengan nol. Jadi, kasus ini TIDAK memberi solusi yang tepat.
Kasus 4:
Jika $d + j + m = 18,$ maka diperoleh
$$\begin{aligned} 222(d+j+m)-3.194 & = 222(18)-3.194 \\ & = 802. \end{aligned}$$Namun, $\overline{dmj} = 802$ menunjukkan bahwa $m = 0,$ padahal syaratnya ketiga digit tersebut tidak boleh sama dengan nol. Jadi, kasus ini TIDAK memberi solusi yang tepat.

Kesimpulannya, bilangan yang dibayangkan penonton tersebut adalah $\boxed{358}$

[collapse]

Soal Nomor
Dua buah persegi panjang berukuran $45~\text{cm} \times 15~\text{cm}$ tersusun seperti gambar di bawah.
Luas total bangun yang terbentuk adalah $\cdots~\text{cm}^2.$

A. $700$                              D. $925$
B. $825$                              E. $975$
C. $900$

Pembahasan

Perhatikan kembali gambar yang telah diberi label berikut.



Asumsikan semua satuan dalam cm. Misalkan panjang $CD = x$ sehingga $AC = 45-x.$ Perhatikan bahwa $\triangle ABC$ dan $\triangle CDE$ kongruen karena ketiga sudut yang bersesuaian sama besar dan ada satu sisi yang bersesuaian sama panjangnya, yaitu $\angle ABC = \angle CDE = 90^\circ,$ $\angle ACB = \angle DCE$ (sudut berseberangan sama besar), dan akibatnya $\angle BAC = \angle CED,$ serta panjang $AB = DE.$
Karena kongruen, maka panjang $AC = CE = 45-x.$
$\triangle CDE$ adalah segitiga siku-siku sehingga dengan menggunakan rumus Pythagoras, kita dapat mencari nilai $x.$
$$\begin{aligned} CE^2 & = CD^2+DE^2 \\ (45-x)^2 & = x^2+15^2 \\ 2.025-90x+x^2 & = x^2+225 \\ 90x & = 1.800 \\ x & = 20 \end{aligned}$$Luas keseluruhan bangun adalah jumlah dari luas satu persegi panjang dan 2 kali luas segitiga $ABC$ (karena luas $\triangle ABC = \triangle EFG$).
$$\begin{aligned} L_{\text{total}} & = L_{\text{persegi panjang}} + 2 \cdot L_{\triangle ABC} \\ & = (45 \times 15) + 2 \cdot \left(\dfrac12 \cdot 15 \times 20\right) \\ & = 675 + 300 = 975~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas bangun tersebut adalah $\boxed{975~\text{cm}^2}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor
Ada berapa banyak bilangan kuadrat yang sekaligus merupakan bilangan kubik pada himpunan $50.000$ bilangan asli pertama?
A. $15$                          D. $7$
B. $12$                          E. $6$
C. $10$

Pembahasan

Diketahui bahwa himpunan $50.000$ bilangan asli pertama adalah $\{1, 2, 3, \cdots, 50.000\}.$ Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli sehingga berlaku $a^2 = b^3.$ Persamaan tersebut berlaku jika $a = k^3$ dan $b = k^2$ untuk suatu bilangan asli $k.$ Dengan kata lain, bilangan kuadrat yang sekaligus merupakan bilangan kubik adalah bilangan berpangkat enam, atau ditulis $k^6.$
Daftarkan bilangan berpangkat enam seperti berikut.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Bilangan} & \text{Hasil} \\ \hline 1^6 & 1 \\ \hline 2^6 & 64 \\ \hline 3^6 & 729 \\ \hline 4^6 & 4.096 \\ \hline 5^6 & 15.625 \\ \hline 6^6 & 46.656 \\ \hline 7^6 & \color{red}{117.649} \\ \hline \end{array}$$Tampak bahwa banyak bilangan berpangkat enam yang nilainya 1 sampai 50.000 hanya ada $\boxed{6}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor
Toko komputer Mathcyber berhasil menjual $2021$ unit laptop selama bulan Mei 2021. Mereka menjual 4 merek laptop terbaru, yaitu merek A, B, C, dan D. Diketahui bahwa $20$ unit laptop merek A memiliki harga yang sama dengan $7$ unit laptop merek B, sedangkan $4$ unit laptop merek A berturut-turut memiliki harga yang setara dengan $1$ unit laptop merek C dan $3$ laptop merek D. Setelah dihitung, ternyata masing-masing merek laptop menghasilkan jumlah uang yang sama setelah dijual. Berapa banyak unit laptop merek A yang terjual?
A. $215$                        D. $860$
B. $505$                        E. $920$
C. $645$

Pembahasan

Misalkan $A, B, C,$ dan $D$ berturut-turut mewakili harga satu unit laptop merek $A, B, C,$ dan $D.$ Dengan demikian, diperoleh persamaan berikut.
$$\begin{aligned} 20A & = 7B \\ 4A & = C \Rightarrow 20A = 5C \\ 4A & = 3D \Rightarrow 20A = 15D \end{aligned}$$Ketiga persamaan di atas dapat digabungkan sehingga menjadi $20A = 7B = 5C = 15D.$ Perbandingan banyak laptop yang dijual adalah $n_A : n_B : n_C : n_D = 20 : 7 : 5 : 15.$ Karena jumlah laptop yang terjual ada $2021$ unit, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} n_A & = \dfrac{20}{20 + 7 + 5 + 15} \times 2021 \\ & = \dfrac{20}{\cancel{47}} \times \cancelto{43}{2021} \\ & = 860 \end{aligned}$$Jadi, laptop merek A terjual sebanyak $\boxed{860}$ unit.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor
Jumlah lima bilangan prima terkecil $p$ sehingga terdapat dua bilangan asli $m$ dan $n$ yang memenuhi persamaan $p+ m^3 = n^3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $210$                          D. $251$
B. $212$                          E. $288$
C. $215$

Pembahasan

Perhatikan bahwa persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut.
$$\begin{aligned} p & = n^3-m^3 \\ & = (n-m)(n^2+nm+m^2) \end{aligned}$$ $p$ dapat kita nyatakan dalam $2$ faktor, yakni $(n-m)$ dan $(n^2+nm+m^2).$ Karena $p$ prima, maka salah satu faktor tersebut harus sama dengan $1.$ Untuk $m, n$ bilangan asli, jelas bahwa $(n^2+nm+m^2)$ tidak mungkin bernilai $1$ sehingga pastilah $n-m=1,$ berakibat $n =m+1.$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p & = n^2+nm+m^2 \\ & = (m+1)^2+(m+1)m+m^2 \\ & = (m^2+2m+1)+m^2+m+m^2 \\ & = 3m^2 +3m+1 \\ & = 3m(m+1)+1 \end{aligned}$$Sekarang, tinggal dimasukkan nilai bilangan asli $m$ (dimulai dari $1$) agar menghasilkan bilangan prima.
$$\begin{array}{ccc} \hline m & p & \text{Keterangan} \\ \hline 1 & 7 & \checkmark \\ 2 & 19 & \checkmark \\ 3 & 37 & \checkmark \\ 4 & 61 & \checkmark \\ 5 & 91 & \text{X} \\ 6 & 127 & \checkmark \\ \hline \end{array}$$Catatan: $91$ ditolak karena bukan bilangan prima.
Jadi, kita peroleh lima bilangan prima $p$ yang dimaksud, yaitu $7, 19, 37, 61,$ dan $127$ dengan jumlahnya $251.$
(Jawaban D)

[collapse]
 

Soal Nomor
Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif $(m, n)$ yang memenuhi persamaan $1 + 2^n \cdot 3 = m^2.$

Pembahasan

Perhatikan bahwa persamaan di atas dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} 2^n \cdot 3 & = m^2-1 \\ 2^n \cdot 3 & = (m+1)(m-1). \end{aligned}$$Bentuk $2^n \cdot 3$ akan selalu bernilai genap untuk setiap bilangan bulat positif $n,$ sedangkan bentuk $m^2-1$ akan bernilai genap ketika $m$ ganjil.
Karena $m$ ganjil, kita dapat nyatakan sebagai $m = 2k-1$ untuk sembarang bilangan bulat positif $k.$
Jadi, kita peroleh
$$\begin{aligned} 2^n \cdot 3 & = (\color{red}{(2k-1)}+1)(\color{red}{(2k-1)}-1) \\ 2^n \cdot 3 & = (2k)(2k-2) \\ 2^n \cdot 3 & = 4(k)(k-1) \\ 2^{n-2} \cdot 3 & = k(k-1) \end{aligned}$$Ada dua kasus yang dapat dianalisis.

  1. Andaikan $k$ ganjil, maka jelas bahwa $k = 3$ dan $k-1 = 2^{n-2}.$ Akibatnya, diperoleh $n = 3$ sehingga substitusi pada persamaan mula-mula menghasilkan nilai $m = 5.$
  2. Andaikan $k$ genap, maka jelas bahwa $k-1 = 3$ dan $k = 2^{n-2}.$ Akibatnya, diperoleh $n = 4$ sehingga substitusi pada persamaan mula-mula menghasilkan nilai $m = 7.$

Jadi, pasangan bilangan bulat positif $(m, n)$ yang memenuhi persamaan tersebut ada $\boxed{2},$ yakni $(5, 3)$ dan $(7, 4).$

[collapse]

Soal Nomor (UM – Magister P.Mat ITB)
Misalkan $n$ adalah bilangan bulat yang lebih besar dari 1. Buktikan bahwa:

  1. $3^n$ adalah jumlah dari tiga bilangan bulat yang berurutan.
  2. $2^n$ bukan jumlah dari dua bilangan bulat yang berurutan.

Pembahasan

Jawaban a)
Dapat diobservasi bahwa untuk beberapa nilai $n,$ kita memang dapat menuliskan $3^n$ sebagai penjumlahan $3$ bilangan bulat berurutan. Sebagai contoh:
$$\begin{aligned} 3^2 & = 3 + 3 + 3 = 2 + 3 + 4 \\ 3^3 & = 9 + 9 + 9 = 8 + 9 + 10 \\ 3^4 & = 27 + 27 + 27 = 26 + 27 + 28. \end{aligned}$$Berangkat dari sini, kita peroleh
$$\begin{aligned} 3^n & = 3 \cdot 3^{n-1} \\ & = 3^{n-1} + 3^{n-1} + 3^{n-1} \\ & = (3^{n-1}-1) + 3^{n-1} + (3^{n-1}+1). \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $3^n$ dapat dituliskan sebagai penjumlahan $3$ bilangan bulat berurutan untuk $n > 1, n \in \mathbb{Z}.$
Jawaban b)
Gunakan metode kontradiksi. Misalkan $2^n$ dapat dituliskan sebagai penjumlahan $2$ bilangan bulat. Ini artinya terdapat bilangan bulat $k$ sehingga
$$\begin{aligned} 2^n & = k + (k+1) \\ & = 2k + 1. \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $2^n$ pasti genap, sedangkan $2k+1$ ganjil. Terjadi kontradiksi dan pernyataan semula harus diingkari. Jadi, $2^n$ tidak dapat dituliskan sebagai penjumlahan $2$ bilangan bulat untuk $n > 1, n \in \mathbb{Z}.$

[collapse]

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *