Soal dan Pembahasan – Operasi Biner dan Teori Grup Dasar

       Struktur Aljabar atau sering dikenal sebagai Aljabar Abstrak adalah salah satu mata kuliah yang bakal ditempuh oleh mahasiswa yang berkecimpung dalam program studi matematika atau yang terkait. Mata kuliah ini tidak menuntut kemampuan berhitung yang signifikan, melainkan lebih kepada pemahaman konsep untuk membentuk suatu struktur matematika yang sah. Materi pertama dalam Aljabar Abstrak adalah teori grup, dan di dalamnya kita akan menjumpai definisi operasi biner serta definisi grup. Sepertinya terdengar ribet, ya!

Setelah mempelajari materi tersebut, mahasiswa disarankan untuk mengerjakan soal-soal terkait untuk memantapkan pemahaman. Nah, berikut ini disajikan soal dan pembahasan tentang operasi biner dan teori grup dasar. Semoga dapat bermanfaat!

Quote by Buya Hamka

Iman tanpa ilmu bagaikan lentera di tangan bayi. Namun ilmu tanpa iman bagaikan lentera di tangan pencuri.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Diberikan $(G, \star)$ suatu grup dan $a, b \in G$. Diketahui $a \star b = b \star a^{-1}$ dan $b \star a = a \star b^{-1}$. Elemen identitas dari $G$ adalah $\cdots \cdot$
A. $a^5$                  C. $a^3$                 E. $a$
B. $a^4$                  D. $a^2$   

Pembahasan

Diketahui bahwa $a \star b = b \star a^{-1}$ untuk setiap $a, b \in G$. Karena $G$ grup, maka setiap anggota $G$ memiliki invers di $G$. Dalam kasus ini, $a$ memiliki invers, yaitu $a^{-1} \in G$. Jadi, berlaku $a \star a^{-1} = a^{-1} \star a^{-1}.$
Dengan menggunakan hukum kanselasi kanan, diperoleh
$\begin{aligned} a \star \cancel{a^{-1}} & = a^{-1} \star \cancel{a^{-1}} \\ a & = a^{-1} \end{aligned}$
Diperoleh bahwa invers anggota $G$ adalah dirinya sendiri. Menurut definisi grup, berlaku
$\begin{aligned} a \star a^{-1} & = e \\ a \star a & = e \\ a^2 & = e \end{aligned}$
Jadi, unsur identitas $G$ adalah $a^2$.
(Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 2
Misalkan $M_n(\mathbb{Z})$ menyatakan himpunan matriks persegi berukuran $n \times n$ dengan elemen-elemennya pada $\mathbb{Z}$. Jika operasi $\bullet$ menyatakan perkalian matriks dan $\mathbb{M} = \{M \in M_2(\mathbb{Z}) : |M| \neq 0\}$, maka $(\mathbb{M}, \bullet)$ adalah $\cdots \cdot$
A. grup abelian
B. grup non-abelian
C. monoid abelian dan bukan grup
D. monoid non-abelian dan bukan grup
E. tidak dapat ditentukan

Pembahasan

Jelas bahwa pada operasi perkalian maupun penjumlahan pada bilangan bulat bersifat tertutup. Sifat asosiatif juga berlaku secara umum pada matriks. Himpunan matriks $\mathbb{M}$ juga memiliki identitas terhadap operasi perkalian matriks, yaitu $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$Meskipun demikian, tidak semua anggota himpunan matriksnya memiliki invers yang juga anggota himpunan matriks tersebut.
Dalam hal ini, kita sudah tahu matriks berordo $2$ dengan entri bilangan bulat $a,b,c,d$ yang dinotasikan $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$memiliki invers $\dfrac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}.$
Perkalian terhadap bilangan konstan berupa pecahan (bilangan rasional) di luar matriks mengakibatkan entrinya tidak selalu bilangan bulat. Berarti, struktur aljabar $(\mathbb{M}, \bullet)$ memenuhi sifat tertutup, asosiatif, dan memiliki identitas, tetapi tidak semua anggotanya memiliki invers di $\mathbb{M}$. Karena hanya memenuhi 3 aksioma pertama, maka struktur tersebut dinamakan monoid (jika aksioma invers terpenuhi disebut grup). Selanjutnya, operasi perkalian matriks tidak berlaku sifat komutatif. Jadi, struktur tersebut adalah monoid non-abelian (atau monoid non-komutatif) dan bukan grup.
(Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 3
Semigrup adalah himpunan tak kosong dengan operasi biner yang memenuhi sifat tertutup dan asosiatif, sedangkan monoid adalah semigrup dengan identitas. Pernyataan berikut yang benar adalah $\cdots \cdot$
A. $(\mathbb{Z}, \times)$ monoid dan bukan grup
B. $(\mathbb{Z}^+, \times)$ semigrup dan bukan monoid
C. $(\mathbb{Z}, +)$ monoid dan bukan grup
D. $(\mathbb{Z}^+, +)$ semigrup dan bukan monoid
E. Lebih dari satu pilihan jawaban di atas benar

Pembahasan

$(\mathbb{Z}, \times)$ merupakan monoid dan bukan grup adalah pernyataan yang benar karena tidak setiap elemennya memiliki invers di $\mathbb{Z}$. Contohnya, invers perkalian dari $1$ adalah $1$ (bulat), tetapi invers perkalian dari $2$ adalah $\dfrac{1}{2}$ yang jelas bukan bilangan bulat.
$(\mathbb{Z}^+, \times)$ adalah semigrup dan bukan monoid merupakan pernyataan yang salah sebab strukturnya memiliki identitas, yaitu $1$, yang merupakan bilangan bulat positif (seharusnya monoid dan bukan grup).
$(\mathbb{Z}, +)$ adalah monoid dan bukan grup merupakan pernyataan yang salah karena elemen himpunannya memiliki invers di himpunan itu sendiri. Misalkan invers jumlah dari $2$ adalah $-2$, invers jumlah dari $0$ adalah $0$, dan seterusnya.
$(\mathbb{Z}^+, +)$ adalah semigrup dan bukan monoid merupakan pernyataan yang benar karena strukturnya tidak memiliki identitas. Identitas operasi penjumlahan pada bilangan bulat adalah $0$, tetapi $0$ sendiri bukan bilangan bulat positif.
Jadi, ada $2$ alternatif jawaban yang benar.
(Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui grup permutasi $S_4$. Order dari $(1~2~3~4) \in S_4$ adalah $\cdots$ (order dari $a \in G$ adalah bilangan asli terkecil yang memenuhi $a^n = e$ dengan $e$ elemen identitas).
A. $1$                     C. $3$                    E. $5$
B. $2$                     D. $4$          

Pembahasan

$(1~2~3~4)$ artinya permutasi yang mengambil $\{1,2,3,4\}$ sebagai suatu sikel (siklus), yaitu $\begin{cases} 1 \mapsto 2 \\ 2 \mapsto 3 \\ 3 \mapsto 4 \\ 4 \mapsto 1 \end{cases}$
Bagan di atas menunjukkan adanya $4$ siklus, yang berarti membutuhkan pengoperasian sebanyak $4$ kali dari permutasi semula. Jadi, order dari $S_4$ adalah $4$.
Tips: Order dari $(1~2~3~\cdots~n) \in S_n$ adalah $n$.

[collapse]

Soal Nomor 5
Misalkan $A = \{e, x, x^2, x^3, y, xy, x^2y, x^3y\}$ dengan $x^4 = y^2 = e$ dan $xy = y^{-1}x$. Banyaknya unsur idempoten di $A$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                       C. $3$                     E. $5$
B. $2$                       D. $4$          

Pembahasan

Elemen $a \in A$ disebut unsur idempoten di $A$ jika berlaku $a^2 = a$. Jelas bahwa $e$ adalah elemen idempoten dalam $A$, karena berlaku $e^2 = e$.
Perhatikan bahwa $x^{2a} = x^a$ hanya ketika $x^a = e$. Dengan kata lain, tidak ada perpangkatan $x$ lain yang merupakan idempoten. Selain itu, $y^{-1} = y$, sehingga dalam grup ini, berlaku $xy = yx$ (abelian). Selanjutnya,

$(x^ay)(x^ay) = x^{2a}y^2 = x^{2a}e = x^{2a} \neq x^ay$
Jadi, tidak ada elemen $A$ dalam bentuk $x^ay$ yang merupakan idempoten di grup tersebut.
Dapat disimpulkan bahwa banyak unsur idempoten di $A$ hanya ada $1$, yaitu $e$.(Jawaban A)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Misalkan himpunan bilangan asli $\mathbb{N}$, didefinisikan dalam operasi $\star$, yaitu $\forall x,y \in \mathbb{N}$, berlaku $x \star y = x + y -xy$.
Tunjukkan bahwa $(\mathbb{N}, \star)$ bukan grupoid.

Pembahasan

Perhatikan bahwa $(\mathbb{N}, \star)$ merupakan struktur aljabar yang dilengkapi dengan operasi $\star$, tetapi bukan disebut sebagai grupoid karena tidak mewarisi sifat tertutup (operasinya bukan biner). Dengan counter example, ambil $x = 4$ dan $y = 5$, sehingga
$\begin{aligned} x \star y & = 4 \star 5  \\ & = 4 + 5 -4 \cdot 5 \\ & = -11 \notin \mathbb{N} \end{aligned}$
(Terbukti) $\blacksquare$

[collapse]
 

Soal Nomor 2
Diberikan $\mathbb{Z}^+$ merupakan himpunan bilangan bulat positif dan didefinisikan $x * y = |x -y|$ untuk setiap $x,y \in \mathbb{Z}^+$. Apakah operasi $*$ pada himpunan tersebut bersifat tertutup, komutatif, atau asosiatif?

Pembahasan

Dengan meninjau definisi harga mutlak
$|x -y| = \begin{cases} x -y, & \mbox{jika}~x > y \\ 0, & \mbox{jika}~x = y \\ -x + y, & \mbox{jika}~x < y \end{cases}$
Perhatikan bahwa $|x -y| = 0$ jika dan hanya jika $x = y$, padahal $0$ bukanlah anggota $\mathbb{Z}^+$, sehingga operasi $*$ tidak bersifat tertutup dalam $\mathbb{Z}^+$. Sebagai contoh, ambil $x = y = 3$, akibatnya $|x -y| = |3 -3| = 0 \notin \mathbb{Z}^+$
Jika operasi tersebut memenuhi sifat komutatif, maka haruslah berlaku $x * y = y * x$ dengan $x, y \in \mathbb{Z}^+$.
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} x * y & = |x -y| \\ & = |(-1)(y – x)| \\ & = |-1| \cdot |y-x| \\ & = 1 \cdot |y-x| \\ & = |y-x| \\ & = y * x \end{aligned}$
Jadi, operasi $*$ terbukti memenuhi sifat komutatif.
Jika operasi tersebut memenuhi sifat asosiatif, maka haruslah berlaku $x * (y * z)= (x * y) * z$ dengan $x, y, z \in \mathbb{Z}^+.$ 
Perhatikan bahwa
$x * (y * z)= x * |y -z| = |x -|y -z||$
$(x * y) * z = |x -y| * z = ||x -y| -z|$
Diperoleh bahwa $x * (y * z) \neq (x * y) * z.$
Jadi, operasi $*$ tidak terbukti memenuhi sifat asosiatif.

[collapse]

Soal Nomor 3
Tunjukkan bahwa untuk  $G = \{0, 1\}$,  $(G, \times)$ bukan grup.

Pembahasan

Agar $G$ dikatakan grup dalam operasi perkalian standar, maka $G$ harus memenuhi $4$ aksioma (termasuk aksioma operasi biner yaitu sifat tertutup pada operasi perkalian standar). Untuk menunjukkannya, gunakan Tabel Cayley.
$\renewcommand{\arraystretch}{2.5} \begin{array}{|c|c|c|} \hline \times & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$
Dengan meninjau Tabel Cayley di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa:

  1. Operasi perkalian merupakan operasi biner karena bersifat tertutup pada $G$, yaitu hasil operasinya sendiri merupakan anggota $G$.
  2. Operasi perkalian standar pada $G$ bersifat asosiatif.
  3. Setiap elemen $G$ memiliki identitas, yaitu $1$.
  4. Tidak semua elemen $G$ memiliki invers, yakni $0$. Karena untuk $a \in G$, diperoleh $a \times 0 = 0 \times a \neq 1$.Karena hanya memenuhi $3$ aksioma grup, maka $G$ bukan grup terhadap operasi perkalian standar.
    (Terbukti) $\blacksquare$

    [collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui $G = \{\text{bilangan rasional positif}\}$ dan $a * b = \dfrac{ab}{2}, \forall a,b \in G$. Tunjukkan bahwa $(G, *)$ merupakan grup.

Pembahasan

Agar $(G, *)$ dikatakan sebagai grup dalam operasi $*$, maka harus ditunjukkan bahwa $(G, *)$ memenuhi $4$ aksioma grup (termasuk sifat tertutup).
Aksioma 1: Ketertutupan
Akan ditunjukkan bahwa operasi $*$ bersifat tertutup pada $G$.
Ambil sembarang $a,b \in G$ sehingga menurut definisi operasi $*$, diperoleh $a*b = \dfrac{ab}{2}$. Karena $ab$ dan $2$ masing-masing merupakan bilangan bulat positif, maka $\dfrac{ab}{2}$ merupakan bilangan rasional positif, sehingga $\dfrac{ab}{2}$ juga anggota $G$. Berarti, operasi $*$ bersifat tertutup pada $G.$
Aksioma 2: Asosiatif
Akan ditunjukkan bahwa operasi $*$ pada $G$ bersifat asosiatif.
Ambil sembarang $a,b,c \in G$. Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} (a * b) * c & = \dfrac{ab}{2} * c \\ & = \dfrac{abc}{4} \\ & = a * \dfrac{bc}{2} \\ & = a * (b * c) \end{aligned}$
Karena $(a * b) * c =  a * (b * c)$, maka dapat dikatakan bahwa operasi $*$ pada $G$ bersifat asosiatif.
Aksioma 3: Identitas
Akan ditunjukkan bahwa operasi $*$ pada $G$ memiliki identitas.
Ambil sembarang $a \in G$ dengan $e$ sebagai identitas (yang akan dicari). Perhatikan bahwa
$a * e  = \dfrac{ae}{2} = a \Rightarrow e = \dfrac{2a}{a} = 2$
$e * a = \dfrac{ea}{2} = a \Rightarrow e = \dfrac{2a}{a} = 2$
Jadi, unsur identitas/kesatuannya adalah $2$.
Aksioma 4: Invers
Akan ditunjukkan bahwa operasi $*$ pada $G$ memiliki invers.

Ambil sembarang $a, b \in G$, sehingga menurut aksioma invers pada grup, invers dari $a$ yaitu $b$ harus memenuhi
$a * b = 2 \Leftrightarrow \dfrac{ab}{2} = 2 \Leftrightarrow b = \dfrac{4}{a}$
Jadi, invers sembarang $a \in G$ adalah $\dfrac{4}{a}$.
Karena memenuhi $4$ aksioma grup tersebut, maka $(G, *)$ merupakan grup.
(Terbukti) $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 5
Operasi bilangan $*$ pada himpunan bilangan rasional $\mathbb{Q}$ didefinisikan sebagai $\dfrac{a} {b} * \dfrac{c}{d} = \dfrac{a} {b} -\dfrac{4}{5} + \dfrac{c} {d}$. Tentukan:
a. $\dfrac{1}{2} * \dfrac{2}{3}$;
b. elemen identitas operasi tersebut;
c. invers dari $\dfrac{2}{5}$.

Pembahasan

Jawaban a)
Dengan menggunakan definisi operasi yang diberikan, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{1}{2} * \dfrac{2}{3} & = \dfrac{1}{2} -\dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{3} \\ & = \dfrac{15 -24 + 20}{30} = \dfrac{11}{30} \end{aligned}$
Jawaban b)
Misalkan $\dfrac{a}{b} \in \mathbb{Q}$. Akan dicari $e \in \mathbb{Q}$, sedemikian sehingga berlaku $\dfrac{a}{b} * e = \dfrac{a}{b}$.
Dengan menggunakan definisi operasi $*$, didapat $\dfrac{a}{b} -\dfrac{4}{5} + e = \dfrac{a}{b}.$ Jadi, didapat $e= \dfrac{4}{5}$.
Dengan demikian, identitas operasi $*$ adalah $\dfrac{4}{5}$.
Jawaban c)
Akan dicari $a^{-1} \in \mathbb{Q}$ sedemikian sehingga berlaku $\dfrac{2}{5}*a^{-1} = e = \dfrac{4}{5}$.
Selanjutnya, diperoleh
$\dfrac{2}{5} -\dfrac{4}{5} + a^{-1} = \dfrac{4}{5}$
Jadi, didapat $a^{-1} = \dfrac{6}{5}$.
Dengan demikian, invers dari $\dfrac{2}{5}$ adalah $\dfrac{6}{5}.$

[collapse]

Soal Nomor 6
Untuk semua bilangan bulat $n \geq 2$ didefinisikan $Z_n = \{0, 1, 2, \cdots, n-1\}$. Untuk $ \forall a,b \in Z_n$, didefinisikan

$a +_n b = (a+b)~\text{mod}~n$
$a \times_n b = (a \times b)~\text{mod}~n$
Untuk $n = 8$, tunjukkan bahwa $+_n$ dan $\times_n$ adalah operasi biner.

Pembahasan

Untuk $n = 8$, diperoleh $Z_8 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$
Buatlah Tabel Cayley untuk kasus ini.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline +_8 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 0 \\ \hline 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 0 & 1 \\ \hline 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 0 & 1 & 2 \\ \hline 4 & 4 & 5 & 6 & 7 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 5 & 5 & 6 & 7  & 0 & 1 & 2 & 3& 4 \\ \hline 6 & 6 & 7 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 7 & 7 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \times_8 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ \hline 3 & 0 & 3 & 6 & 1 & 4 & 7 & 2 & 5 \\ \hline 4 & 0 & 4 & 0 & 4 & 0 & 4 & 0 & 4 \\ \hline 5 & 0 & 5 & 2 & 7 & 4 & 1 & 6 & 3 \\ \hline 6 & 0 & 6 & 4 & 2 & 0 & 6 & 4 & 2 \\ \hline 7 & 0 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}$
Diambil beberapa sampel perhitungan untuk memberi penjelasan cara mengisi Tabel Cayley di atas. Misal,
$\begin{aligned} 5 +_8 7 & = (5 + 7)~\text{mod}~8 \\ & = 12~\text{mod}~8 \\ & = (8 \times 1 + 4)~\text{mod}~8 = 4 \end{aligned} $
Dalam hal ini, $12$ dibagi $8$ bersisa $4$ (mod = sisa hasil bagi).
$\begin{aligned} 4 \times_8 7 & = (4 \times 7)~\text{mod}~8 \\ & = 28~\text{mod}~8 \\ & = (8 \times 3 + 4)~\text{mod}~8 = 4 \end{aligned}$
Dalam hal ini, $28$ dibagi $8$ bersisa $4$.
Dari Tabel Cayley di atas, terlihat bahwa hasil operasi $+_8$ dan $\times_8$ semuanya merupakan anggota $Z_8$, sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa $+_8$ dan $\times_8$ adalah operasi biner karena bersifat tertutup. (Terbukti) $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 7
Misalkan $\dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d} \in \mathbb{Q} -\{0\}$ sembarang. Didefinisikan operasi $*$ dengan$\dfrac{a}{b} * \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b^2 + d}$. Tunjukkan bahwa $*$ bukan operasi biner.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa $*$ bukan operasi biner, berarti kita harus membuktikan (memberi penyangkal) bahwa operasi tersebut tidak bersifat tertutup. Dengan kata lain, kita harus menemukan dua buah bilangan rasional tak $0$ yang bila dioperasikan tidak menghasilkan bilangan rasional tak $0$.
Ambil $a = -c$ atau $d = -b^2$, dengan $a, b, c, d \in \mathbb{Z} -\{0\}$, maka hasil operasi $*$ menghasilkan bilangan yang bukan anggota himpunan $\mathbb{Q} -\{0\}$.
Untuk $a = -c$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{a}{b} * \dfrac{c}{d}  & = \dfrac{a + c}{b^2 + d} \\ & = \dfrac{-c + c}{b^2 + d} \\ & = \dfrac{0}{b^2 + d} = 0 \notin \mathbb{Q} -\{0\} \end{aligned}$
Untuk $d = -b^2$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{a}{b} * \dfrac{c}{d}  & = \dfrac{a + c}{b^2 + d} \\ & = \dfrac{a + c}{b^2 -b^2} \\ & = \dfrac{a + c}{0} = \emptyset \notin \mathbb{Q}- \{0\} \end{aligned}$
Jadi, operasi tersebut tidak bersifat tertutup dan oleh karenanya bukan termasuk operasi biner. (Terbukti) $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 8
Misalkan $P$ adalah himpunan bilangan bulat berkelipatan $3$. Tunjukkan bahwa $(P, +)$ merupakan grup abelian.

Pembahasan

Diberikan $P = \{3x~|~x \in \mathbb{Z}\}$. Agar $(P, +)$ disebut grup abelian, struktur tersebut harus memenuhi $4$ aksioma grup, ditambah berlakunya sifat komutatif oleh operasi $+$.
Aksioma 1: Ketertutupan
Ambil sembarang $a = 3x \in P$ dan $b = 3y \in P$. Perhatikan bahwa $a + b \in P$

karena $a + b = 3x + 3y = 3(x + y)$ dan $x + y \in \mathbb{Z}$.
Aksioma 2: Asosiatif
Ambil sembarang $a = 3x \in P, b = 3y \in P$, dan $c = 3z \in P$. Akan ditunjukkan bahwa $(a + b) + c = a + (b + c)$

$\begin{aligned} (a + b) + c & = (3x + 3y) + 3z \\ & = 3(x + y) + 3z \\ & = 3((x + y) + z \\ & = 3(x + (y + z)) \\ & = 3x + 3(y +z) \\ & = 3x + (3y + 3z) \\ & = a + (b + c) \end{aligned}$
Aksioma 3: Identitas
Ambil sembarang $a = 3x \in P$. Akan ditunjukkan bahwa ada $b = 3 \cdot 0\in P$ sedemikian sehingga berlaku $a + b = a$ sebagai berikut.

$\begin{aligned} a + b & = 3x + 3 \cdot 0 \\ & = 3(x + 0) \\ & = 3x = a \end{aligned}$
Jadi, unsur identitas dalam $P$ terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat adalah $0$.
Aksioma 4: Invers
Ambil sembarang $a = 3x \in P$. Akan ditunjukkan bahwa ada $b = 3(-x) \in P$ sedemikian sehingga berlaku $a + b = 0$ sebagai berikut.

$\begin{aligned} a + b & = 3x + 3(-x) \\ & = 3(x + (-x)) \\ & = 3(0) = 0 \end{aligned}$
Aksioma 5: Komutatif
Ambil sembarang $a = 3x \in P$ dan $b = 3y \in P$. Akan ditunjukkan bahwa $a + b = b + a$ sebagai berikut.

$\begin{aligned} a + b & = 3x + 3y \\ & = 3(x + y) \\ & = 3(y + x) \\ & = 3y + 3x = b + a \end{aligned}$
Karena memenuhi kelima syarat, maka dapat disimpulkan $(P, +)$ merupakan grup komutatif (grup abelian).

[collapse]

Soal Nomor 9
Misalkan $\mathbb{Z}$ bilangan bulat dan didefinisikan operasi biner $x * y = x + y -1$, $\forall x,y \in \mathbb{Z}$. Tunjukkan bahwa $(\mathbb{Z}, *)$ merupakan grup abelian.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa $(\mathbb{Z}, *)$ grup abelian, maka harus ditunjukkan bahwa $(\mathbb{Z}, *)$ memenuhi $4$ aksioma grup, ditambah dengan sifat komutatif.
Aksioma 1: Ketertutupan
Ambil sembarang $x, y \in \mathbb{Z}$. Karena $x*y = x+y-1$, maka jelas bahwa $x*y \in \mathbb{Z}$ karena operasi penjumlahan dan pengurangan pada domain bilangan bulat tetap menghasilkan bilangan bulat. Dengan kata lain, operasi $*$ memenuhi sifat ketertutupan.

Aksioma 2: Asosiatif
Akan ditunjukkan bahwa $x * (y * z) = (x * y) * z, \forall x,y,z \in \mathbb{Z}$. yaitu
$\begin{aligned} x * y * z & = x * (y + z -1) \\ & = x + (y + z -1) -1 \\ & = (x + y -1) + z -1 \\ & = (x * y) + z -1 \\ & = (x * y) * z \end{aligned}$
Jadi, operasi $*$ berlaku sifat asosiatif.
Aksioma 3: Identitas
Akan ditunjukkan bahwa ada $e \in \mathbb{Z}$ sedemikian sehingga berlaku $x * e = e * x = x, x \in \mathbb{Z}$. Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} x * e & = x \\  x + e -1 & = x \\ e -1 & = 0 \\ e & = 1 \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} e * x & = x \\  e + x -1 &  = x \\ e -1 & = 0 \\ e & = 1 \end{aligned}$
Jadi, $(\mathbb{Z}, *)$ memiliki identitas, yaitu $1$.
Aksioma 4: Invers
Akan ditunjukkan bahwa $x * x^{-1} = x^{-1} * x = e = 1, x \in \mathbb{Z}$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} x * x^{-1} & = 1\Leftrightarrow x + x^{-1} -1 = 1 \Leftrightarrow x^{-1} = 2 -x \\ x * x^{-1} & = 1\Leftrightarrow x^{-1} + x -1 = 1 \Leftrightarrow x^{-1} = 2 -x \end{aligned}$$Jadi, setiap $x \in \mathbb{Z}$ memiliki invers yaitu $x^{-1} = 2 -x$.
Aksioma 5: Komutatif 
Akan ditunjukkan bahwa berlaku $x * y = y * x$ untuk $\forall x,y \in \mathbb{Z}$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} x * y & = x + y -1 \\ & = y + x -1 \\ & = y * x \end{aligned}$
Jadi, operasi $*$ bersifat komutatif.
Karena memenuhi $5$ aksioma ini, maka $(\mathbb{Z}, *)$ terbukti merupakan grup abelian. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 10
Misalkan $G$ grup sedemikian sehingga $(ab)^2 = a^2b^2$, untuk $\forall a,b \in G$. Tunjukkan bahwa $G$ merupakan grup komutatif (abelian).

Pembahasan

Ambil sembarang $a, b \in G$. Akan ditunjukkan bahwa $ab = ba$. Perhatikan  bahwa $(ab)^2 = a^2b^2 = (aa)(bb)$. Di lain sisi, juga diketahui bahwa $(ab)^2 = (ab)(ab)$. Ini berarti,
$\begin{aligned} (aa)(bb) & = (ab)(ab) \\ a(ab)b &  = a(ba)b && (\cdots~\text{Asosiatif}) \\ ab & = ba && (\cdots~\text{Kanselasi}) \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $G$ merupakan grup komutatif (abelian). $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 11
Tunjukkan bahwa jika setiap unsur dalam grup $G$ merupakan invers dari dirinya sendiri, maka $G$ grup abelian.

Pembahasan

Ambil sembarang $a, b \in G$. Diberikan bahwa $a = a^{-1}$ dan $b = b^{-1}$. Juga karena $G$ grup, maka operasi $*$ pada $G$ bersifat tertutup. Artinya, $a*b \in G$. Akan ditunjukkan bahwa $a * b = b * a.$ Perhatikan bahwa $a * b = (a * b)^{-1}.$
Dengan menggunakan teorema grup, berlaku
$(a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1} = b * a.$
Terbukti bahwa $a * b = b * a$. Jadi, $G$ merupakan grup abelian.

[collapse]

Soal Nomor 12
Misalkan $\textbf{R}$ menyatakan himpunan semua bilangan real kecuali $-1$. Operasi $*$ didefinisikan pada $\textbf{R}$ dengan aturan $a*b = a+b+ab$, untuk setiap $a,b \in \textbf{R}$. Buktikan bahwa $\textbf{R}$ adalah grup di bawah operasi tersebut.

Pembahasan

Diberikan $\textbf{R} = \{x~|~x \neq -1, x \in \mathbb{R}\}$.
Untuk membuktikan $(\textbf{R}, *)$ adalah sebuah grup, kita harus menunjukkan bahwa struktur tersebut memenuhi keempat aksioma sesuai dengan definisi.
Aksioma 1: Ketertutupan
Ambil $a, b \in \textbf{R}$ sedemikian sehingga berlaku
$a*b = a + b + ab$.
Sekarang, perhatikan bahwa bila $a+b+ab = -1$, berakibat
$\begin{aligned} a+b+ab+1 & = 0 \\ (a+1)(b+1) & = 0 \\ a = -1~&\text{atau}~b = -1 \end{aligned}$
padahal $a, b \neq -1$, sehingga $a*b$ tidak mungkin bernilai $-1$. Dengan kata lain, $a*b$ menghasilkan bilangan real kecuali $-1$ sehingga $a*b \in \mathbf{R}$. Operasi $*$ bersifat tertutup.
Aksioma 2: Asosiatif
Ambil $a, b, c \in \textbf{R}$.
Akan ditunjukkan bahwa $(a*b)*c = a*(b*c)$. Pembuktian dari ruas kiri.
$$\begin{aligned} (a*b)*c & = (a+b+ab)*c && (\text{Defi}\text{nisi}~*) \\ & = (a+b+ab)+c+(a+b+ab)c && (\text{Defi}\text{nisi}~*) \\ & = a+b+ab+c+ac+bc+abc && (\text{Sifat Distri}\text{butif}) \\ & = a + (b+c+bc) + a(b+c+bc) && (\text{Defi}\text{nisi}~*) \\ & = a*(b+c+bc) && (\text{Defi}\text{nisi}~*) \\ & = a*(b*c) \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa operasi $*$ bersifat asosiatif.
Aksioma 3: Memiliki Identitas
Ambil $a \in \textbf{R}$ sedemikian sehingga berlaku $a*e = a$. Selanjutnya, $e$ disebut identitas dari $(\textbf{R}, *)$.
Dari $a*e = a$, kita peroleh
$\begin{aligned} a+e+ae & = a \\ (-a)+(a+e+ae) & = (-a)+a \\ e+ae & = 0 \\ e(a+1) & = 0 \\ \dfrac{e(\cancel{a+e})}{\cancel{a+e}} & = \dfrac{0}{a+e} \\ e & = 0 \end{aligned}$
Jadi, identitas dari operasi $*$ dalam $\textbf{R}$ adalah $0$.
Aksioma 4: Invers
Ambil $a \in \textbf{R}$ sedemikian sehingga berlaku $a*b = 0$. Selanjutnya, $b \in \textbf{R}$ disebut sebagai invers dari $a$.
Dari $a*b=0$, kita peroleh
$\begin{aligned} a+b+ab & = 0 \\ (a+1)(b+1) & = 1 \\ b+1 & = \dfrac{1}{a+1} \\ b & = \dfrac{1}{a+1}-1 \\ b & = \dfrac{-a}{a+1} \end{aligned}$
Jadi, invers dari $a$ adalah $b = \dfrac{-a}{a+1}$. Karena $a \neq -1$, maka $b$ selalu terdefinisi. Jadi, operasi $*$ memiliki invers di $\textbf{R}$.
Karena keempat aksioma grup berlaku, maka dapat disimpulkan bahwa $\textbf{R}$ terbukti sebagai grup di bawah operasi $*$.

[collapse]

Soal Nomor 13
Misalkan $S_5$ adalah grup permutasi atas $\{1, 2, 3, 4, 5\}$. Banyaknya unsur berorde $2$ di $S_5$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Unsur berorde $2$ pada grup permutasi $S_5$ menandakan bahwa kita harus membentuk cycle permutasi berbentuk $(a, b)$ atau $(a, b)(c, d)$, yang banyak unsurnya dapat dihitung dengan aturan kombinasi. Ingat bahwa $(a, b)$ dan $(b, a)$ dianggap sama. Untuk kasus $(a, b)$, ada sebanyak $C_2^5 = 10$.
Untuk kasus $(a, b)(c, d)$, ada sebanyak $C_2^5 \times C_2^3 = 10 \times 3 = 30$
Jadi, banyak unsur berorde $2$ di $S_5$ adalah $10 + 30 = 40$.

[collapse]

Soal Nomor 14
Jika $G$ adalah grup dan $a^2 = e, \forall a \in G$, buktikan bahwa $G$ adalah grup abelian.

Pembahasan

Misal $G$ grup dengan operasi $*$ dan $a^2 = e$ untuk setiap $a \in G$.
Akan ditunjukkan bahwa $a * b = b * a$ dengan $a, b \in G$
Karena $a,b \in G$, maka $a*b$ juga elemen $G$ (sifat tertutup). Berarti,
$\begin{aligned} (a*b)^2 & = e \\ a*b*a*b&=e \\  a^2*b*a*b &= a \\ e*b*a*b & = a \\ b*a*b & = a \\ b^2*a*b & = b * a \\  e*a*b & = b * a \\  a*b & = b*a \end{aligned}$
Terbukti bahwa $G$ abelian.

[collapse]

Soal Nomor 15
Buktikan bahwa semua grup dengan order kurang dari $5$ adalah abelian.

Pembahasan

Misalkan grup $G$ mempunyai $4$ elemen dan $a, b, e$ tiga elemen berbeda dalam $G$. Berarti, $a * b$ dan $b * a$ juga elemen $G$.
Andaikan $a * b \neq b * a$, berarti $a*b = e, a$ atau $b$.
Jika $a * b = e$, maka $b * a = e$ dan akibatnya $a * b = b * a$.
Jika $a * b = a$, maka $b = e$.
Jika $a * b = b$, maka $a = e$.
Semuanya kontradiksi dengan pengandaian, sehingga haruslah $a * b = b*a$, dan $G$ terdiri atas $4$ elemen, yaitu $e, a, b, a*b$.
Untuk menunjukkan bahwa $G$ abelian, harus dibuktikan bahwa $a*(a*b) = (a*b)*a$
yaitu
$\begin{aligned} & a * b = b * a \\ & a * (a * b) = a * (b * a) \\ & a * (a * b) = (a * b) * a \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $G$ abelian.

[collapse]

Soal Nomor 16
Jika grup $G$ dengan $a^5 = e$ dan $aba^{-1} = b^2$ untuk setiap $a,b \in G$, buktikan bahwa $|b| = 31$.

Pembahasan

Diberikan $a^5 = e$ dan $aba^{-1} = b^2$. Akan ditunjukkan bahwa $|b| = 31$ atau dengan kata lain, $b^{31} = e$. Selain itu, kita juga mendapatkan bahwa $ab = b^2a$. 
Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} aba^{-1} & = b^2 \\ ab & = b^2a \\ a^4ab & = a^4b^2a \\ b & = a^4b^2a \\ b^{31} & = (a^4b^2a)^{31} \\ & = a^{31}b^{62}a^{124} \\ & = ab^{62}a^4 \\ & = (b^{62})^2aa^4 \\ & =  b^{124}a^5 = b^{124}e = b^{124} \end{aligned}$
Persamaan $b^{31} = b^{124} = (b^{31})^4$ akan benar apabila $b^{31} = e$. Jadi, terbukti bahwa $|b| = 31$.

[collapse]

4 Replies to “Soal dan Pembahasan – Operasi Biner dan Teori Grup Dasar”

  1. Sangat membantu KK terimakasih banyak
    Mau bertanya
    Kalo soal ya seperti ini gimana yah🙏
    Operasi pada q, untuk setiap a/b,c/d €q dimana/b=5/6 dan c/d=1/2 hitung 5/6*1/2
    Mohon bantuannya KK terimakasih

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *